CCINP Maths 2 PC 2012

SESSION 2012

PCM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
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MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

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Les calculatrices sont interdites
Les trois parties sont, dans une large mesure, independantes.
On s'interesse ici aux proprietes de la fonction polylogarithme, definie comme 
serie entiere
et a son prolongement grace a une representation integrale. On etablit aussi 
quelques
formules generales et on complete l'etude par celle d'un cas particulier.

Partie I : le polylogarithme
Dans toute cette partie,  est un reel fixe.
I - 1.1.
Determiner le rayon de convergence de la serie entiere L definie par :
+ n

x
.
L (x) =
n
n=1
I - 1.2.
Justifier que l'application L est de classe C  sur ] - 1, 1[.
I - 1.3.
Montrer que :
x ] - 1, 1[, L (-x) + L (x) = 21- L (x2 ).

1/4

Tournez la page S.V.P.

I - 2.1.
Pour tout x ] - 1, 1[, etablir une relation entre L+1 (x) et L (x).
Exprimer L+1 (x) sous forme de l'integrale entre 0 et x d'une certaine fonction.
I - 2.2.
Pour x ] - 1, 1[, preciser les valeurs de L (x) lorsque  = 0,  = -1 et  = 1.
I - 3.
Dans cette question, on suppose que   1.
Montrer que L (x) tend vers + quand x tend vers 1 par valeurs strictement
inferieures. Pour cela, on pourra chercher a minorer L (x) pour x ]0, 1[.

Partie II : prolongement pour  > 1
Dans toute cette partie,  est un reel strictement superieur a 1.
II - 1.1.
Montrer que la fonction L definie en I -1.1 est continue sur [-1, 1].
II - 1.2.
Determiner lim L2 (x) et preciser si la fonction L2 est derivable en 1.
x1
x<1 II - 2.1. Montrer que l'application  : u " u-1 est integrable sur ] 0, + [. eu - 1 II - 2.2. Pour tout reel x  1, justifier l'existence de K (x) = + 0 u-1 du. eu - x II - 2.3. Montrer que l'application K ainsi definie est continue sur l'intervalle ] - , 1]. II - 2.4. Dans cette question, on suppose que  > 2.
Montrer que la fonction K est de classe C 1 sur l'intervalle ] - , 1].
II - 2.5.
On revient au cas general ou  > 1.
Montrer que la fonction K est de classe C 1 sur tout segment [a, b] avec a < b < 1, puis sur l'intervalle ] - , 1[. II - 3.1. Prouver l'existence de G = + t-1 e-t dt 0 2/4 et justifier que G > 0.

II - 3.2.
Montrer que pour tout x  [-1, 1] et pour tout u > 0, on a :
+

1
=
xk e-(k+1)u .
eu - x
k=0

II - 3.3.
En deduire que pour tout x  [-1, 1], en utilisant L (x) defini dans I - 1.1 et 
K (x)
defini dans II - 2.2, on a la relation :
xK (x) = G L (x).
On precisera avec soin le theoreme d'integration terme a terme utilise.
II - 4.1.
Pour tout x ] - , 1], on prolonge la definition de L (x) en posant :
+

x
L (x) =
G

0

u-1
du.
eu - x

Montrer que l'application L ainsi definie est continue sur ] - , 1] et de 
classe C 1
sur ] - , 1[.
II - 4.2.
Montrer que pour tout reel x  1, on a :
x
L (x) =
G

1
0

-1

(- ln(t))
1 - xt

dt.

II - 4.3.
Justifier que l'on peut prolonger la fonction L sur C\]1,
I
+[ par la definition :
z
z  C\]1,
I
+[, L (z) =
G

+
0

u-1
du.
eu - z

Montrer alors que pour tout z  C,
I tel que z 2 #]1, +[, on a encore la relation :
L (z) + L (-z) = 21- L (z 2 ).

Partie III : le cas  = 2
On s'interesse ici, pour tout x  [-1, 1], a : L2 (x) =

+ n

x
.
2
n
n=1

III - 1.1.
Soit f : IR  IR, 2-periodique et impaire, telle que :
x ]0, ], f (x) =
Calculer les coefficients de Fourier

bn (f )

-x
.
2

pour n  IN .

III - 1.2.
Grace a l'egalite de Parseval que l'on precisera, appliquee a f , en deduire la 
valeur de
L2 (1). Calculer aussi L2 (-1).

3/4

Tournez la page S.V.P.

III - 2.1.
Montrer que la fonction  definie par :
x ]0, 1[, (x) = L2 (x) + L2 (1 - x) + ln(x) ln(1 - x)
est de classe C 1 sur ]0, 1[.
III - 2.2.
Montrer que la fonction  est constante sur ]0, 1[ et vaut L2 (1).
III - 2.3.
En deduire la valeur de L2

1
.
2

III - 2.4.
Prouver aussi que :
!

"
1
x
x  -1,
, L2 (x) + L2
2
x-1

1
2
= - (ln(1 - x)) .
2

III - 3.
Grace a II - 3, calculer K2 (1) =

#

+

eu

0

u
du.
-1

III - 4.2.
Pour tout x < 0, calculer g(x) = # 0 x ln(1 - t) dt. t-1 III - 4.3. Justifier l'existence de l'integrale A = III - 4.4. Preciser lim g(x) et x- # 0 - ln(1 - t) dt. t(t - 1) lim (L2 (x) - g(x)). En deduire un equivalent simple de x- L2 (x) quand x tend vers -, cet equivalent dependant de ln(-x). Fin de l'enonce 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1240 ­ D'après documents fournis III - 4. Desormais, on s'interesse au prolongement de L2 considere en II - 4, verifiant en particulier la relation vue en II-4.2 dont on partira pour traiter les questions suivantes, c'est-a-dire : # 1 ln(s) x x < 0, L2 (x) = - ds. G2 0 1 - xs III - 4.1. Montrer alors que pour tout x < 0, on a aussi les egalites : t # 0 # 0 ln ln(1 - t) x dt = dt. L2 (x) = - 1-t t x x On pourra effectuer un changement de variable et une integration par parties.