CCP Maths 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Le polylogarithme
Principaux outils utilisés séries entières, séries de fonctions, intégrales à paramètre
Mots clefs logarithme, prolongement, représentation intégrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012 PCM2006 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites Les trois parties sont, dans une large mesure, independantes. On s'interesse ici aux proprietes de la fonction polylogarithme, definie comme serie entiere et a son prolongement grace a une representation integrale. On etablit aussi quelques formules generales et on complete l'etude par celle d'un cas particulier. Partie I : le polylogarithme Dans toute cette partie, est un reel fixe. I - 1.1. Determiner le rayon de convergence de la serie entiere L definie par : + n x . L (x) = n n=1 I - 1.2. Justifier que l'application L est de classe C sur ] - 1, 1[. I - 1.3. Montrer que : x ] - 1, 1[, L (-x) + L (x) = 21- L (x2 ). 1/4 Tournez la page S.V.P. I - 2.1. Pour tout x ] - 1, 1[, etablir une relation entre L+1 (x) et L (x). Exprimer L+1 (x) sous forme de l'integrale entre 0 et x d'une certaine fonction. I - 2.2. Pour x ] - 1, 1[, preciser les valeurs de L (x) lorsque = 0, = -1 et = 1. I - 3. Dans cette question, on suppose que 1. Montrer que L (x) tend vers + quand x tend vers 1 par valeurs strictement inferieures. Pour cela, on pourra chercher a minorer L (x) pour x ]0, 1[. Partie II : prolongement pour > 1 Dans toute cette partie, est un reel strictement superieur a 1. II - 1.1. Montrer que la fonction L definie en I -1.1 est continue sur [-1, 1]. II - 1.2. Determiner lim L2 (x) et preciser si la fonction L2 est derivable en 1. x1 x<1 II - 2.1. Montrer que l'application : u " u-1 est integrable sur ] 0, + [. eu - 1 II - 2.2. Pour tout reel x 1, justifier l'existence de K (x) = + 0 u-1 du. eu - x II - 2.3. Montrer que l'application K ainsi definie est continue sur l'intervalle ] - , 1]. II - 2.4. Dans cette question, on suppose que > 2. Montrer que la fonction K est de classe C 1 sur l'intervalle ] - , 1]. II - 2.5. On revient au cas general ou > 1. Montrer que la fonction K est de classe C 1 sur tout segment [a, b] avec a < b < 1, puis sur l'intervalle ] - , 1[. II - 3.1. Prouver l'existence de G = + t-1 e-t dt 0 2/4 et justifier que G > 0. II - 3.2. Montrer que pour tout x [-1, 1] et pour tout u > 0, on a : + 1 = xk e-(k+1)u . eu - x k=0 II - 3.3. En deduire que pour tout x [-1, 1], en utilisant L (x) defini dans I - 1.1 et K (x) defini dans II - 2.2, on a la relation : xK (x) = G L (x). On precisera avec soin le theoreme d'integration terme a terme utilise. II - 4.1. Pour tout x ] - , 1], on prolonge la definition de L (x) en posant : + x L (x) = G 0 u-1 du. eu - x Montrer que l'application L ainsi definie est continue sur ] - , 1] et de classe C 1 sur ] - , 1[. II - 4.2. Montrer que pour tout reel x 1, on a : x L (x) = G 1 0 -1 (- ln(t)) 1 - xt dt. II - 4.3. Justifier que l'on peut prolonger la fonction L sur C\]1, I +[ par la definition : z z C\]1, I +[, L (z) = G + 0 u-1 du. eu - z Montrer alors que pour tout z C, I tel que z 2 #]1, +[, on a encore la relation : L (z) + L (-z) = 21- L (z 2 ). Partie III : le cas = 2 On s'interesse ici, pour tout x [-1, 1], a : L2 (x) = + n x . 2 n n=1 III - 1.1. Soit f : IR IR, 2-periodique et impaire, telle que : x ]0, ], f (x) = Calculer les coefficients de Fourier bn (f ) -x . 2 pour n IN . III - 1.2. Grace a l'egalite de Parseval que l'on precisera, appliquee a f , en deduire la valeur de L2 (1). Calculer aussi L2 (-1). 3/4 Tournez la page S.V.P. III - 2.1. Montrer que la fonction definie par : x ]0, 1[, (x) = L2 (x) + L2 (1 - x) + ln(x) ln(1 - x) est de classe C 1 sur ]0, 1[. III - 2.2. Montrer que la fonction est constante sur ]0, 1[ et vaut L2 (1). III - 2.3. En deduire la valeur de L2 1 . 2 III - 2.4. Prouver aussi que : ! " 1 x x -1, , L2 (x) + L2 2 x-1 1 2 = - (ln(1 - x)) . 2 III - 3. Grace a II - 3, calculer K2 (1) = # + eu 0 u du. -1 III - 4.2. Pour tout x < 0, calculer g(x) = # 0 x ln(1 - t) dt. t-1 III - 4.3. Justifier l'existence de l'integrale A = III - 4.4. Preciser lim g(x) et x- # 0 - ln(1 - t) dt. t(t - 1) lim (L2 (x) - g(x)). En deduire un equivalent simple de x- L2 (x) quand x tend vers -, cet equivalent dependant de ln(-x). Fin de l'enonce 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1240 ­ D'après documents fournis III - 4. Desormais, on s'interesse au prolongement de L2 considere en II - 4, verifiant en particulier la relation vue en II-4.2 dont on partira pour traiter les questions suivantes, c'est-a-dire : # 1 ln(s) x x < 0, L2 (x) = - ds. G2 0 1 - xs III - 4.1. Montrer alors que pour tout x < 0, on a aussi les egalites : t # 0 # 0 ln ln(1 - t) x dt = dt. L2 (x) = - 1-t t x x On pourra effectuer un changement de variable et une integration par parties.

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 CCP Maths 2 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan). Ce sujet porte sur l'analyse de la fonction L définie par la somme de la série entière + P xn L (x) = n=1 n pour un réel donné. Cette fonction, appelée polylogarithme, est a priori définie sur l'intérieur du disque de convergence de la série entière, mais elle vérifie des identités permettant d'en construire un prolongement à des domaines de R ou de C plus vastes. C'est l'objet de ce problème, qui comporte trois parties relativement indépendantes. · La première partie, assez courte, propose d'établir quelques résultats généraux sur la fonction L définie sur l'intérieur du disque de convergence. On y fait appel à plusieurs théorèmes fondamentaux du cours sur les séries entières. · Dans la deuxième partie, on se restreint au cas > 1 et on construit un prolongement de L au plan complexe privé d'une droite au moyen d'une représentation intégrale. On utilise la plupart des théorèmes portant sur les séries de fonctions et sur les intégrales dépendant d'un paramètre. · La troisième partie est consacrée au cas = 2. On calcule la valeur de L2 en plusieurs points particuliers et l'on donne un équivalent de L2 en -. On utilise pour cela quelques résultats de la théorie des séries de Fourier. Ce sujet d'une longueur raisonnable fait appel à un grand nombre de théorèmes du cours et permet une bonne révision d'une large partie du programme d'analyse de seconde année. En outre, il aborde des objets classiques mais pas explicitement P au programme, tels que la fonction Gamma d'Euler ou la série de Riemann n-2 . Enfin, aucune question ne nécessite d'astuce particulière, et le découpage du sujet est fait de sorte à séparer les difficultés les unes des autres, en fournissant quelques indications pour les questions délicates. Indications Partie I I.1.1 Utiliser la définition du rayon de convergence d'une série entière. I.1.3 En observant que les séries définissant L (x) et L (-x) convergent absolument, séparer les termes d'indice pair et les termes d'indice impair. I.2.1 Dériver la série terme à terme, en s'assurant que c'est licite. I.2.2 Commencer par = 0 puis utiliser les expressions obtenues à la question I.2.1. I.3 Remarquer que n 6 n pour tout n > 1. Partie II II.1.1 Remarquer que L (1) est une série de Riemann. II.1.2 Faire appel au résultat de la question I.1.2, puis utiliser le théorème des accroissements finis sur l'intervalle ] x ; 1 [. II.2.1 On pourra montrer que (u) = o(1/u2 ) au voisinage de +. II.2.2 Comparer la fonction à intégrer à la fonction introduite à la question II.2.1. II.2.3 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale, en utilisant pour la condition de domination. II.2.4 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale. II.2.5 Comparer les hypothèses de cette question avec celles de la question II.2.4. II.3.1 Comparer la fonction à intégrer à , puis utiliser la question II.2.1. II.3.2 Remarquer que 1/(1-xe -u ) s'écrit comme la somme d'une série géométrique. II.3.3 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. II.4.1 Faire appel aux résultats précédemment obtenus sur la fonction K . II.4.2 Effectuer le changement de variable t = e -u dans l'intégrale définissant K . II.4.3 Pour montrer que l'intégrale converge en 0, différencier les cas z = 1 et z 6= 1. Partie III III.1.2 Pour le calcul de L2 (-1), utiliser l'identité démontrée à la question II.4.3. III.2.1 Utiliser le résultat de la question I.1.2. III.2.2 Pour montrer que vaut L2 (1) sur ] 0 ; 1 [, étudier la limite de en 0. III.2.4 Raisonner comme à la question III.2.2. III.3 Calculer G2 en effectuant une intégration par parties. III.4.2 Reconnaître le produit d'une fonction par sa dérivée dans l'intégrale. III.4.4 Il pourra être utile d'établir que ln(1 - x) ln(-x) lorsque x -. I. Le polylogarithme I.1.1 Par définition, le rayon de convergence R de la série entière L est la borne supérieure de l'ensemble des r > 0 tels que la suite (n- rn )n>1 est bornée. D'après les règles de croissances comparées, r < 1 n- rn ---- 0 n et r > 1 n- rn ---- + n En particulier, pour tout r < 1, la suite (n- rn )n>1 converge donc elle est bornée, d'où R > 1. De même, pour tout r > 1, la suite (n- rn )n>1 tend vers + donc elle n'est pas bornée et R 6 1. Le rayon de convergence de la série entière L est 1. Rappelons qu'on appelle « règles de croissances comparées » les énoncés suivants, qui permettent de lever l'indétermination sur les limites de produits et de quotients d'expressions logarithmiques, polynomiales et exponentielles : R > 0 lim x e -x = 0 et lim x ln(x) = 0 et x+ x0+ lim x- e x = + x+ lim x- ln(x) = 0 x+ Notons que dans les deux premières limites, la forme n'est indéterminée que lorsque > 0. Pour appliquer ces règles ici, écrivons n- rn = n- e n ln(r) . Lorsque r > 1, ln(r) > 0 et, en posant x = n ln(r), on a x + lorsque n +, d'où - x - n ln(r) n e = e x = (ln(r)) x- e x ---- + x+ ln(r) tandis que, lorsque r < 1, ln(r) < 0 et, en posant x = -n ln(r), on a x + lorsque n +. Alors - -x n- e n ln(r) = e -x = (- ln(r)) x- e -x ---- 0 x+ ln(r) I.1.2 Comme le rayon de convergence R de la série entière L est strictement positif, on sait d'après le cours que L est de classe C sur ] -R ; R [. Ainsi, La fonction L est de classe C sur ] -1 ; 1 [. Le théorème du cours utilisé ici précise de plus que les dérivées de L s'obtiennent en dérivant la série entière terme à terme : pour tous k > 1 et x ] -1 ; 1 [, (k) L (x) = P n(n - 1) · · · (n - k + 1) n-k x n n=k + I.1.3 Pour tout x ] -1 ; 1 [, les séries L (-x) et L (x) convergent absolument. On peut donc séparer leur somme en somme sur les termes d'indice pair et somme sur les termes d'indice impair, de sorte que xn P (-x)n +P + n=1 n n=1 n + L (-x) + L (x) = + + (-x)2p-1 P (-x)2p +P P x2p P x2p-1 + + + p=1 (2p) p=1 (2p - 1) p=1 (2p) p=1 (2p - 1) + = P 2x2p p=1 (2p) + = L (-x) + L (x) = 21- L (x2 ) Ainsi, L (-x) + L (x) = 21- L (x2 ) x ] -1 ; 1 [ P De manière générale, avant de séparer la somme de la série un en deux sommes sur des sous-ensembles complémentaires dans N, il convient de vériP fier que la série converge absolument, c'est-à-dire que la série |un | converge. En effet, si cette condition n'est pas satisfaite, séparer les termes d'indices pairs et impairs peut donner des résultats Par exemple, le critère des séP -1 faux. n ries alternées montre que la série n (-1) converge, mais pas absolument. P P Or, les séries (2p)-1 (-1)2p et (2p - 1)-1 (-1)2p-1 divergent ! I.2.1 D'après la question I.1.2, L+1 est de classe C 1 sur ] -1 ; 1 [ et sa dérivée s'obtient en dérivant la série entière terme à terme. Ainsi, pour tout x ] -1 ; 1 [, + P nxn-1 P xn-1 = +1 n=1 n n=1 n + L+1 (x) = d'où x ] -1 ; 1 [ xL+1 (x) = L (x) En particulier, pour tout x ] -1 ; 1 [ tel que x 6= 0, L+1 (x) = L (x) x D'après la question I.1.2, L+1 est de classe C 1 sur ] -1 ; 1 [, donc la fonction L+1 est continue en 0. Ainsi, l'expression L (x)/x est prolongeable par continuité en 0. Pour tout x ] -1 ; 1 [, intégrons la relation précédente sur [ 0 ; x ], alors Z x L+1 (x) - L+1 (0) = L+1 (y) dy 0 donc x ] -1 ; 1 [ L+1 (x) = Z x 0 L (y) dy y car L+1 (0) = 0. + I.2.2 Pour tout x ] -1 ; 1 [, L0 (x) = P xn est la somme d'une série géométrique n=1 de raison x et de premier terme x, de sorte que x ] -1 ; 1 [ L0 (x) = x 1-x