CCP Maths 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Étude de deux séries de fonctions liées au sinus hyperbolique
Principaux outils utilisés séries numériques, séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales à paramètre
Mots clefs trigonométrie hyperbolique, produit infini

Corrigé

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SESSION 2011 PCM2006 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites Les parties 11 et 111 sont indépendantes PARTIE 1 Soit 2 un la série de fonctions d'une variable réelle de terme général un défini pour tout n E N* 2æ par: pourtout OEEÆ, un(æ)=2_22. oe +n7r 1.1. 1.1.1. Montrer que 2 un converge simplement sur Æ tout entier. +oo On note U = 2 un la somme de la série de fonctions 2 un . n=1 1.1.2. Montrer que, pour tout a > O, Zun converge normalement sur [--a, a]. La série 2 un converge-t-elle normalement sur Æ '? 1.1.3. Montrer que U est continue sur Æ . 1/3 1.2. 1.2.1. Soit n E N'". Déterminer la primitive qui s'annule en 0 de la fonction un. 1.2.2. Soit (on )OEN* la suite de fonctions définie par : 2 2 pourtout n EUR N",pourtout oe EUR Æ, Un(OE) : ln{l+OE--2J. n7r Montrer que 2 on converge simplement sur Æ . +oo 1.2.3. On note V = z Un la somme de la série de fonctions 2 on . n=1 Montrer que V est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction U . 1.3. On considère la suite ( pn )"E N de fonctions polynômes sur Æ définie par : pour tout oe EUR Æ, p0(æ) : oe; 2 pourtoutnEURN'etpourtoutæEURÆ, pn(æ)=æ {l--l--OE--J. 7T Montrer que la suite ( pn )"E N converge simplement sur Æ , lorsque n tend vers +oo, vers une fonction p que l'on exprimera a l'aide de V puis de U . +00 2 Pour tout oe EUR Æ, la limite donnant p(æ) sera alors notée : p(æ) : oeH{l + kÎ--2J . k=1 77 PARTIE II Pour tout oe EUR Æ, on note 956 la fonction d'une variable réelle, périodique de période 27T, telle que, . t pour tout t E ]--7T,71], on a1t : gæ(t) : ch[OE--] . 71 11.1. 11.1.1. Préciser pourquoi1 g est égale en tout point t E Æ a la somme de sa série de Fourier : --a0(æ æ)--l-- Î<% )(cos (nt) +bn (oe )sin(nt)). 11.1.2. Pour tout n E N' et tout oe ne Æ, calculer bn(æ). 11.1.3. Pour tout n E N et tout oe EUR Æ, calculer %(OE) . On distinguera les cas oe : O et $ i 0. 11.2. 11.2.1. En donnant à t une valeur particulière dans la série de Fourier de gx , montrer que, h 1 pourtout oe EUR Æ", U(æ) : C ($) ----. sh(æ ) $ 11. 2. 2. A partir de V(a: )=fÛ(t U(t )dt et du résultat de 11. 2. 1, donner a l'aide des fonctions usuelles une expression de la fonction V définie a la question 1.2.3. 11.2.3. En déduire que, pour tout oe EUR Æ, on a: sh(æ) =p(æ )=OEH{1+Ë ?} 2/3 PARTIE III Soit la la fonction définie sur Æ >< ]O, +oo[ par : pour tout (æ,t) EUR Æ >< ]O,+oo[, h(æ,t) : SMI--(m). exp(7rt) -- 1 111.1. III.1.1. Soit oe EUR Æ. Montrer que la fonction t |--> h(æ,t) admet, quand t tend vers 0 par valeurs positives, une limite finie que l'on déterminera. III.1.2. Montrer que, pour tout oe EUR Æ, la fonction t |--> h(æ,t) est intégrable sur ]0, +oo[. III.2. III.2.1. Montrer que la possède des dérivées partielles par rapport à $ en tout point de Æ >< ]O, +oo[ et atout ordre. Calculer, pour tout (oe, t) E Æ >< ]O, +oo[ et n tout 77. E N*, Ô--n(æ,t). On distinguera les cas n pair et n impair. a: n III.2.2. Montrer que, pour tout oe EUR Æ et tout 77. E N , la fonction t |--> %(æ,t) a: est continue et intégrable sur ]0, +oo[ . sin(tæ) +oo III.3. Soit f la fonction définie sur Æ par : f (oe) : f dt pour tout oe EUR Æ. () exp(7rt) -- Montrer que f est de classe C00 sur Æ et que, pour tout oe EUR Æ et tout m E N , +00 (--1)mt2m sin(tæ) +00 (-- 1)mt2m+1 cos(tæ) _ (2m) _ (2m+1) _ on a . æ _ dt et æ _ dt . f ( ) f0 exp(7rt) -- 1 f ( ) f0 exp(7rt) -- 1 111.4. III.4.1. Montrer que, pour tout t > 0, on a: =Î exp( --n7rt). e--Xp(7rt) -- 1 III.4.2. Montrer que, pour tout 77. E N* et tout oe EUR Æ, la fonction t |--> exp(--nwt)sin(tæ) est intégrable sur [O,+oo[ et exprimer L+oe exp(--nwt)sin(tæ)dt a l'aide de un(æ). III.4.3. Pour tout 77. E N* , pour tout oe EUR Æ, pour tout t E [O, +oo[, on pose : hn(æ,t) : Îexp(--kwt)sin(tæ) . Montrer que, pour tout oe EUR Æ et tout t E ]O, +oo[, k=1 h,,(æ, t) = (1 -- exp(--n7rt)) Î"Î""î . +oo Puis, montrer que : f(æ) : lim hn(æ,t)dt pour tout oe EUR Æ. n-->+oo 0 En déduire une expression simple de la fonction f a l'aide de la fonction U . Fin de l'énoncé 3/3

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 CCP Maths 2 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE). Ce problème d'analyse est consacré à l'étude des séries de fonctions + + P P 2x x2 U(x) = et V(x) = ln 1 + 2 2 2 2 2 n n=1 x + n n=1 Il est composé de trois parties, dont les deux dernières sont indépendantes entre elles mais qui utilisent les résultats de la première. · Dans la première partie, on étudie la convergence de ces séries ainsi que la régularité des fonctions U et V. On montre en particulier que U est la dérivée de V. · La deuxième partie permet d'écrire des expressions des fonctions U et V à partir des fonctions usuelles, en particulier des fonctions trigonométriques hyperboliques. On utilise pour cela le développement en série de Fourier d'une fonction 2-périodique construite à partir du cosinus hyperbolique. On arrive finalement au développement en produit infini du sinus hyperbolique : + x2 x R sh (x) = x 1 + 2 2 k=1 k · La troisième partie est consacrée au calcul de l'intégrale Z + sin(tx) f (x) = dt e t - 1 0 que l'on exprime en fonction de U après s'être intéressé à sa bonne définition et à sa régularité. La fin du problème comporte quelques subtilités. Ce problème, assez court et peu difficile, permet une bonne révision des théorèmes d'analyse du programme de seconde année, en particulier sur les séries de fonctions et les intégrales dépendant d'un paramètre. Exception faite d'une ou deux questions, il n'est pas spécialement calculatoire, et aucune question ne nécessite d'astuce particulière, seulement de la vigilance dans le raisonnement. Il est tout à fait adapté pour se mettre en confiance en analyse avant d'attaquer des sujets d'un niveau plus élevé. Indications Partie I P I.1.1 Utiliser la convergence de la série 1/n2 . I.1.2 Dans l'étude de la convergence normale sur R, vérifier si P un (n) converge. I.2.1 Remarquer que un est de la forme / pour une fonction bien choisie. I.2.2 Utiliser l'encadrement 0 6 ln(1 + y) 6 y pour tout y > 0. n x2 I.3 Étudier d'abord la suite de terme général ln 1 + 2 2 . k=1 k Partie II II.1.1 Montrer que gx est continue et de classe C 1 par morceaux sur R. II.1.2 Penser à étudier la parité de gx avant de se lancer dans les calculs. II.1.3 Utiliser les écritures ch (y) = (e y + e -y )/2 et cos(y) = (e iy + e -iy )/2 puis la définition des coefficients de Fourier d'une fonction 2-périodique. II.2.1 Évaluer gx en . II.2.2 Ne surtout pas couper l'intégrale en deux intégrales qui divergent. Essayer plutôt de calculer une primitive de l'intégrande entre > 0 et x > puis de prendre la limite de l'expression trouvée quand 0+ (en justifiant ce raisonnement, bien sûr). Partie III III.1.1 Utiliser les développements limités en 0 du sinus et de l'exponentielle. III.1.2 Utiliser l'équivalence 1/(e t - 1) e -t au voisinage de +. III.3 Raisonner par récurrence. Attention, vérifier que f est continue sur R nécessite de montrer que f est continue sur tout intervalle borné. Utiliser ensuite le théorème de dérivation sous le signe intégrale. P III.4.1 Se ramener à la série géométrique z n . III.4.2 Utiliser l'écriture sin(y) = (e iy - e -iy )/2i. III.4.3 Utiliser la valeur de la somme des premiers termes d'une suite géométrique. Partie I I.1.1 Soit x R. Pour tout n N , x2 + n2 2 > n2 2 > 0 donc la fonction un est bien définie et 2 |x| |un (x)| 6 2 2 n P Comme la série 2 |x| /(n2 2 ) est une série de Riemann convergente, par comparaiP son la série un (x) est absolument convergente donc convergente. P La série un converge simplement sur R. P Soit > 0. Il est indispensable de connaître la nature de laP série 1/n , celle-ci 1/n diverge P converge si et seulement si > 1. En particulier, et 1/n2 converge. Ces deux séries, très classiques, sont très largement utilisées dans les exercices et les problèmes sur la convergence des séries numériques, et doivent donc être connues par coeur. I.1.2 Soient a > 0 et n N . D'après la question précédente, pour tout x [ -a ; a ], 2 |x| 2a 6 2 2 2 2 n n P Ainsi, Sup |un (x)| existe et est majoré par 2a/(n2 2 ) . Comme 2a/(n2 2 ) x[ -a ;a ] P converge, par comparaison la série Sup |un (x)| converge. |un (x)| 6 x[ -a ;a ] Pour tout a > 0, P un converge normalement sur [ -a ; a ]. Cette série converge normalement sur R si et seulement si : · pour tout n N , un est bornée sur R ; P · la série kun k converge. Pour tout n N , un est une fonction continue sur R, qui tend vers 0 en + et -, elle est donc bornée sur R. Alors 2 n N kun k > un (n) = n(1 + 2 ) P P et la série 2/ n(1 + 2 ) diverge. Par comparaison, kun k diverge. P La série un ne converge pas normalement sur R. P I.1.3 D'après le théorème de continuité d'une série de fonctions, si un converge normalement sur tout segment de R et si pour tout n N , un est continue sur R, alors U est continue sur R. · Soit I un segment de R, alors I est borné P donc il existe a > 0 tel que I [ -a ; a ]. D'après la question I.1.2, la série unPconverge normalement sur [ -a ; a ]. Comme Sup |un (x)| 6 Sup |un (x)|, un converge normalement sur I. xI x[ -a ;a ] · Soit n N . Les fonctions : x R 7 2x et : x R 7 x2 + n2 2 sont continues sur R, et ne s'annule pas, donc un = / est continue sur R. La fonction U est continue sur R. I.2.1 Remarquons que pour tout n N , un est de la forme / avec définie à la question I.1.3, strictement positive. La fonction vn : R R est donc une primitive de un sur R si et seulement s'il existe C R tel que x R vn (x) = ln |(x)| + C = ln (x) + C Rappelons que si est une fonction de classe C 1 qui ne s'annule pas sur un intervalle I, l'ensemble des primitives de la fonction / sur I est l'ensemble des fonctions de la forme x 7 ln |(x)| + C, avec C R. Soit C R, alors ln (0) + C = 0 si et seulement si C = - ln(n2 2 ). Dans ce cas, la fonction vn correspondante s'écrit x2 x R vn (x) = ln(x2 + n2 2 ) - ln(n2 2 ) = ln 1 + 2 2 n La primitive de la fonction un qui s'annule en 0 est la fonction R - R vn : x2 x 7- ln 1 + 2 2 n I.2.2 Soit x R. Par concavité du logarithme, y > 0 0 6 ln(1 + y) 6 y P 2 2 2 2 2 2 Par suite, pour tout P n N , |vn (x)| 6 x /(n ). Comme x /(n ) converge, par comparaison vn (x) converge absolument et donc converge. P La série vn converge simplement sur R. Il est également possible de résoudre cette question en utilisant le critère de comparaison suivant : si (xn ) et (yn ) sont des suites de nombres réels po+ sitifs telles P qu'au P voisinage de , xn yn , c'est-à-dire xn /yn 1, alors les séries xn et yn sont de même nature. En particulier, si elles convergent, alors + + P P xn yn n=N+1 n=N+1 et si elles divergent, alors lorsque N est au voisinage de + N P xn n=1 N P yn n=1 Dans le cas de cette question, on peut utiliser l'équivalence ln(1 + y) y au voisinage de 0, puis, par composition, x2 x2 vn (x) = ln 1 + 2 2 2 2 n n P P 2 lorsque n . Comme séries vn (x) et x /(n2 2 ) sont à termes P les 2 2 2 positifs et que la série P x /(n ) converge, on déduit du critère énoncé ci-dessus que la série vn (x) converge.