CCP Maths 2 PC 2010

SESSION 2010 PCM2006 A CONCOURS (OMMUNS POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites NB. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, la précision et a la conci-- sion de la rédaction ; si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené a prendre. PARTIE I On note D : IR\ (--]N*) l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des nombres entiers strictement négatifs. On considère la série de fonctions d'une variable réelle de terme général un défini par : 1 1.1. Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur D. +OE) On notera désormais U : Zun la somme de cette série de fonctions, et, pour tout 71 E ]N*, n=1 n +OE) Un : Zuk la somme partielle d'ordre n et Rn : î: uk le reste correspondant. On a donc k=1 k=n+1 Rn : U -- Un pour tout 71 E ]N*. 1.2. 1.2.1. Soit E ]N* donné. Pour tout 71 E ]N*, soit ufÎ' la dérivée de un a l'ordre p. EUR( Calculer uf,(OEp a:) pour tout a: E IR, a: # --n. 1.2.2. Soient & et 19 deux nombres réels tels que --1 < a < 19. Montrer que la série de fonctions de terme général ufÎ' converge normalement sur [a, [9]. 1.2.3. Déduire de ce qui précède que U est de classe C00 sur ] -- l, +oo[. 1/3 1.3. 1.3.1. Soit N E ]N* donné. Pour tout a: E D, exprimer U(a:) a l'aide de UN(OE) et U(a: + N). 1.3.2. En déduire que U est de classe COO sur ] -- N -- 1, --N], puis sur D. 1.3.3. Soit ]? E ]N donné, p 2 2. +00 Pour tout a: E D, établir une expression de 2 W a l'aide de p et de U 0 on a ? £ U(a:) £ t--2. oe+1 a: En déduire un équivalent de U (33) lorsque 3: tend vers +oo. l -- 1 1.6. Montrer que pour tout a: E D on a U(a:) : Â ]U (%) + U (1 2 >]. PART1E 11 11.1. Pour tout p E ]N on note f,, la fonction définie sur IR" par : tp+1 et--1' Vt EUR IR*, f,,(t) : 11.1.1. Déterminer ]inà f,,(t) selon les valeurs de p. On notera désormais f,, la fonction f,, prolongée par continuité a IR tout entier. 11.1.2. Déterminer un équivalent de f,,(t) lorsque t tend vers +oo. 11.2. Soit gp la fonction d'une variable réelle 3: définie par : +oo @(fL') = J""o(t)ff"alt = / 0 0 et--1 +OO t6--oet dt. 11.2.1. Montrer que le domaine de définition de go est ] -- 1, +00]. 11.2.2. Soient ]? E ]N et a E] -- 1, +00] donnés. Vérifier que pour tout a: Z a et tout t 2 0 on a 0 £ fp(t)e_OEt £ fp(t)e_at. Montrer que la fonction t |--> fp(t)e_at est intégrable sur ]0, +00]. 11.2.3. Déduire de ce qui précède que gp est de classe C00 sur ] -- 1, +00]. 11.2.4. Déterminer lim g0(a:). oe-->+oo 11.3. 11.3.1. Montrer que gp(a:) -- g0(a: + 1) = 2 pour tout a: > --1. l (a:+1) 11.3.2. En déduire que g0(a:) : U(a:) pour tout a: > --1. 2/3 II.3.3. Soit ]? E ]N donné, p 2 2. +00 1 +00 tp--16--oet P t t >--1 ' --'1"dd td dt. OUT 011 33 ,expr1meräê = % -- 1331- 1 +°° Soit äa0(g) + Z (an(g) cos na: + bn(g) sin nav) la somme de la série de Fourier de g. n=1 III.1. Préciser pourquoi g est égale en tout point de IR a la somme de sa série de Fourier. III.2. III.2.1. Calculer bn(g) pour tout 71 E ]N*. III.2.2. Calculer an(g) pour tout 71 E ]N. III.3. +00 1 III.3.1. Calculer Z _2. k=1 (21EUR -- 1) III.3.2. En déduire la valeur de U (--%), puis celle de U(O). +00 +00 1 1 111.4. Calculer % W. En déduire la valeur de la somme --4. -- n k=1 n=1 III.5. On note G la primitive de g telle que G(O) : O. III.5.1. Montrer que G est impaire, périodique de période 27T. III.5.2. Calculer les coefficients de Fourier de G. Préciser pourquoi G est égale en tout point de IR a la somme de sa série de Fourier. +00 +00 1 1 III.5.3. Calculer les sommes Ë _ et --. _ 6 6 k=1 (21EUR 1) n=1 71 Fin de l'énoncé 3/3

 CCP Maths 2 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alban Levy (ENS Cachan) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Ce sujet d'analyse propose l'étude de quelques propriétés de la fonction R r (-N ) - R + X U: 1 x - 7 (n + x)2 n=1 et son expression à l'aide d'une intégrale dépendant d'un paramètre. · La première partie se concentre sur la fonction U : domaine de définition, dérivabilité, caractère C , équivalent en l'infini et, enfin, recherche d'une équation fonctionnelle vérifiée par U. · La deuxième partie propose l'étude de la fonction Z + t e -xt x 7- dt et - 1 0 et de son lien avec U. On établit notamment qu'elles coïncident sur ] -1 ; + [. · Dans la dernière partie, on change un peu de fil directeur en calculant des sommes classiques (somme des 1/n2 , des 1/n4 et des 1/n6 ) à partir de la décomposition en série de Fourier de la fonction paire et 2-périodique égale à x 7- - x sur [0, ]. On calcule au passage U(-1/2) et U(0). Le sujet ne nécessite que des raisonnements très classiques, sans doute vus et revus pendant l'année. En pareil cas, pour avoir une bonne note, il faut à la fois trouver rapidement les réponses et les rédiger avec soin. Notons qu'elles ne sont pas toujours données par l'énoncé. Il vaut donc mieux prendre son temps et vérifier ses calculs, car une erreur peut en entraîner d'autres en cascade. Indications I.1 Déterminer un équivalent de un (x) quand n +. I.2.1 Effectuer une récurrence sur p N . (p) I.2.2 Utiliser la monotonie de |un | pour déterminer sa norme infinie sur [a, b]. I.2.3 Utiliser le théorème de dérivation des séries en travaillant sur un segment. I.3.1 Couper la somme définissant U(x) en deux. I.3.2 Utiliser les théorèmes généraux et la continuité de U sur ] - 1, +[. P I.4 Justifier que la somme n6=N 1/(n+x)2 a une limite finie quand x -N puis déterminer le comportement du terme 1/(N + x)2 au voisinage de ce point. I.5.1 Utiliser l'expression de U (x) obtenue à la question I.3.3 I.5.2 Effectuer une comparaison série-intégrale en utilisant le décroissance de un . I.6 Justifier qu'à une constante près, U(x/2) (resp. U (x - 1)/2 ) est la somme des termes d'indices pairs (resp. impairs) de la série définissant U(x). II.1.1 Vérifier que t 7- (e t - 1)/t (qui est un taux d'accroissement) converge en 0. II.2.1 Utiliser les théorèmes de comparaisons pour justifier l'intégrabilité de f0 sur R+ . II.2.3 Appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme en travaillant sur les intervalles de la forme [a, +[ avec a > 0. II.2.4 Utiliser la caractérisation séquentielle de la limite et le théorème de convergence dominée. II.3.1 Se lancer dans le calcul et faire une intégration par partie. II.3 Sommer une série télescopique. II.3.3 Relier les dérivées (p-2)e de U et . III.2.1 Regarder la parité de g. III.2.2 Faire une intégration par partie. (Faites attention aux coefficients : 2/ si vous intégrez entre 0 et .) III.3.1 Calculer g(0) avec l'écriture en série de Fourier de g. III.3.2 Pour déterminer U(0), utiliser la question I.6. III.4 Penser à Parseval, puis séparer la somme en deux sommes. III.5.2 Intégrer par partie pour retrouver an (g) dans le calcul. III.5.3 Parseval et l'intégration par partie reviennent pour de nouvelles aventures ! IV Ne vous amusez à calculer la somme des 1/n8 que si vous avez terminé tout le sujet en deux heures. Partie I I.1 Soit x D. Pour tout n N tel que n > |x| + 1, un (x) > 0 et un (x) n+ 1/n2 qui est le terme général d'une P série à termes positifs, et convergente. Par comparaison aux séries de Riemann, un (x) converge. P La série de fonctions un converge simplement sur D. I.2.1 Soit n N . Montrons par récurrence que la propriété P(p) : (p) un (x) = (-1)p (p + 1)!(n + x)-(p+2) x R r {-n} , (0) est vraie pour tout p N (avec la convention que un = un ). · P(0) est vraie par définition de un . · P(p) = P(p + 1) : soit p N ; supposons que la formule est vraie au rang p. Alors pour tout x 6= -n, (p+1) un (p+1) un (p) (x) = (un ) (x) = (-1)p (p + 1)! - (p + 2) (n + x)-(p+3) (x) = (-1)(p+1) (p + 2)!(n + x)-(p+3) Ainsi, P(p + 1) est vérifiée. · Conclusion : on a montré par récurrence que la propriété P(p) est vraie pour tout p N, d'où p N n N (p) un (x) = (-1)p · x R r {-n} , (p + 1)! (n + x)p+2 I.2.2 Soient a < b ] -1 ; + [. Pour p N , la fonction x 7- (n + x)-(p+2) étant décroissante sur ] - n, +[, pour tout x [a, b] (p) 0 6 |un (x)| = (p + 1)! (p + 1)! 6 (n + x)p+2 (n + a)p+2 donc ||un ||,[ a ;b ] = avec 1 (n + a)p+2 (p + 1)! (n + a)p+2 1 n+ np+2 Comme p + 2 > 2, le terme de droite est le terme général d'une série de Riemann convergente. D'après le théorème de comparaison de séries à termes positifs, P la série ||un ||,[ a ;b ] converge. On a prouvé que a, b R avec - 1 < a < b, p N , P (p) un converge normalement sur [a, b]. I.2.3 Dans les questions I.1 et I.2.2, on a respectivement prouvé que pour tous réels -1 < a < b, P · un converge simplement sur [a, b], P (p) · un converge normalement sur [a, b] pour tout p N . Les hypothèses du théorème de série de fonctions de classe C p sont bien vérifiées pour tout p N. U est donc C sur tout intervalle [a, b] ] - 1, +[. Le caractère d'être C étant une propriété locale, il est vérifié en tout point de ] - 1, +[. Il s'ensuit que U est de classe C sur ] - 1, +[. I.3.1 Soient N N et x D. On a alors U(x) = P un (x) N P un (x) + n=1 = n=1 P un (x) n=N+1 P 1 (n + x)2 n=N+1 P 1 U(x) = Un (x) + (n + N + x)2 n=1 = Un (x) + un changement d'indice assurant la dernière égalité. On en conclut que N N x D, U(x) = UN (x) + U(x + N) I.3.2 Soit N N . Comme l'application x 7- x+N est C sur R, et que U est C sur ]-1, +[ donc l'est sur ]-1, 0[, par composition de fonctions C , x 7- U(x+N) est C sur ] - N - 1, -N[. De plus, UN est une somme finie de fractions rationnelles de classe C sur ] - 1, 0[. Par suite, elle est également C sur ] - 1, 0[. On déduit enfin de la question I.3.1 que Pour tout N N , U est de classe C sur ] - N - 1, -N[. Puisque D est la réunion de ] - 1, +[ et des intervalles de la forme ] - N - 1, -N[ pour tous les N > 1 et que U est C sur chacun de ces intervalles d'après l'encadré précédent et la question I.2.3, U est de classe C sur D. I.3.3 Soient p N, p > 2, N > 1. Commençons par déterminer une expression de U(p-2) . On est bien sûr amené à inverser sommation et dérivation. P · un converge simplement sur ] - N - 1, -N[ d'après la question I.1, P (k) · pour tout k {1, ..., p - 2}, un converge normalement sur tout [a, b] inclus dans ] - N - 1, -N[ (on le montre de la même façon qu'à la question I.2.2 par décroissance des fonctions à partir d'un certain rang).