CCP Maths 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Polynômes d'Hermite et analyse de Fourier
Principaux outils utilisés Séries entières, intégrales à paramètres, séries de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs Polynômes d'Hermite, transformée de Fourier

Corrigé

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 moa--5.-- EUR " «w.--:D N müD0--H<ËHOEH<Ë o...... BEBE - ...ËOEÜËm mËËË mu=o_z=uuh>_cm ...z=££ou ...oe=ouzou ' SESSION 2009 A PCM2006 CONCOURS (OMMUNS POIYTE(HNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et a la conci- sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Dans tout ce problème, on note F la fonction sur IR ><(D, F(a:, z) : exp <--zæ -- %) , et f la fonction sur IR à valeurs dans IR définie par : 2 V3: EUR IR, f(sc) : F(æ,0) : exp (--%--) . PARTIE I 1.1. Soit z 603 un nombre complexe fixé, quelconque. I.1.1. Ecrire les développements en série entière de la variable réelle 3: des fonctions :1: +--> exp(--zæ) et w +----> exp _? . On prec1sera les rayons de convergence des ser1es ent1eres obtenues. I.1.2. A l'aide d'un produit de Cauchy, montrer que l'on peut écrire, pour tout 33 EUR IR : +oo F(æ, z) : ZA,,(z)æ" , n--O où A,, est une fonction polynomiale de degré n. Pour tout n EUR IN on définit la fonction polynomiale H,, par H,, : (--1)"n!A... Donner les expressions de H0(z) et de H1(z) en fonction de z. I.1.3. Calculer la dérivée de la fonction æ +-----> F (a:, z) à l'aide de F. En déduire que pour tout 77. EUR IN et tout 2 EC on a Hn+2(z) : an+1(z) -- (n + 1)H,,(z). Donner les expressions de H2(z), H3(z) et H4(z) en fonction de 2. 1/3 1.2 1.2.1. Montrer que pour tout 513 EUR IR on a f"(a:) + a:f'(:E) + f(îlï) = dn+2f En déduire que pour tout n EUR IN et tout 33 EUR IR on a (a:) + a: ----1 " d" 1.2.2. Pour tout 77. EUR IN on pose Kn : ( ) f . f dai" Montrer que pour tout n EUR IN et tout 33 EUR IR on a Kn+2(æ) -- æKn+1(æ) + (n + 1)Kn(æ) : O. Exprimer K0(æ) et K1(æ) pour tout 55 EUR IR. En déduire que Hn : K" pour tout 71 EUR IN. 1.3. 1.3.1. Montrer que pour tout 71 EUR IN et tout 55 EUR IR on a H;L+1(a:) : (n + 1)Hn(æ). 1.3.2. En déduire que pour tout n EUR IN et tout 3: EUR IR on a HZ(CE) --- a:Hâ(æ) + an(æ) : 0. 1.4. Pour tout n EUR IN on définit la fonction go,. de la variable réelle 3: par : 5132 V3: EUR IR, gan(a:) : (--1)"Hn(æ) exp (--î> . 5132 Montrer que pour tout 513 EUR IR on a ng(a:) -- Îgan(æ) : Àngon(æ), où )... est un nombre réel que l'on déterminera. 1.5. Pour tout couple (p, q) EUR IN2 on pose : +00 +00 Ip,q : Iq,p =/ SÛp dt. OO "OO 11.1. Montrer que f est définie et continue sur IR. 11.2. Montrer que f est de classe C1 sur IR. 11.3. 11.3.1. Montrer que f'(1/) : --47r2yf(y) pour tout 1/ EUR IR. On pourra par exemple, entre autres méthodes, utiliser l'égalité --t : 2i7rv + (--2i7w -- t). 2/3 II.3.2. Calculer f(0). En déduire l'expression de f(u) en fonction de V. PARTIE III On considère la série de fonctions de terme général u,, défini par : uO=f et VnEURlN"', Va:EURIR, u,,(cc) =f(æ--2nw)+f(oe+2nw). Pour tout n EUR IN soit U,, la fonction définie par U,, -- --îî: u,,. On remarquera que pour tout a: E IR on a U,,( =Î f( a: ---- 2k7r). k=--n III.1. Soit A un nombre réel strictement positif. A III.1.1. Soit n EUR IN tel que n 2 -2----. Etudier les variations sur le segment [--A,+Al des 7r fonctions 3: »----> f(a: -- 27m) et a: 1--+ f(a: + 271%). (27...-- _ A)?) En déduire que pour tout a: E [--A, +A], on a 0 S un(ïlî) S 2exp ("' 2 +OED III.1.2. Montrer que la série de fonctions î: u,, converge normalement sur [-----A, +A]. n=0 III.2. +oe> III.2.1. Déduire de la question précédente que la série de fonctions 2 u,, converge simplement n=O sur IR tout entier. On note U sa somme. III.2.2. Montrer que U est continue sur IR. On admettra que U est de classe C1 sur IR. III.2.3. Montrer que U est paire. III.2.4. Exprimer, pour tout a: E IR, U,,(â: + 27r) au moyen de U,,(æ), f(a: + 2(n + 1)7r) et f (a: ---- 2n7r). En déduire que U est périodique de période 277. III. 3. Soita -- 20+ Î a,, cos ...: la série de Fourier de U. III.3.1. .] ust1fier l égalité de U avec la somme de sa série de Fourier. % (2k+J)w III.3.2. Montrer que l'on a / U;,(æ) cos næ dæ : / f(æ) cos m: da: pour tout 77. EUR IN '--W --(2k+l)w et tout k EUR IN. III.3.3. Pour tout 71 EUR IN, justifier l'égalité / U(a:) cos ...: dæ : klim U;,(æ) cos na: dæ. % +OE) _" _fi En déduire que / U (33) cos na: da: : . f(æ) cos na: da:. III.3.4. Déduire de ce qui précède une expression de a,,, pour tout n EUR IN, a l'aide de f et de n, puis exprimer a,, en fonction de n. Fin de l'énoncé 3/3

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 CCP Maths 2 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet d'analyse propose une étude de quelques propriétés de la fonction R - R 2 f: x x 7- exp - 2 · La première partie introduit la famille des polynômes d'Hermite (Hn ) à partir du développement en série entière de la fonction R × C - R F: x2 (x, z) 7- exp -zx - 2 On montre que ces polynômes vérifient une relation de récurrence d'ordre 2, qu'ils peuvent s'exprimer en fonction des dérivées de f , qu'ils sont solutions d'une famille d'équations différentielles d'ordre 2, et enfin qu'ils sont orthogonaux pour un certain produit scalaire. · La deuxième partie introduit la transformée de Fourier de f : Z + x2 fb() = exp -2ix - dx 2 - On montre qu'elle vérifie une équation différentielle d'ordre 1, ce qui permet de la déterminer explicitement. · La troisième partie est consacrée à l'étude de la série de fonctions U(x) = + P f (x - 2n) n=- dont on commence par vérifier qu'elle converge, puis que sa somme est continue et 2-périodique. On montre enfin que ses coefficients de Fourier s'expriment simplement en fonction de f . Ce problème ne comporte pas de difficulté particulière. La partie I, essentiellement calculatoire, est sensiblement plus longue que les deux autres. Elle requiert un peu d'habileté dans la manipulation des dérivées. La partie II fait appel aux théorèmes du cours sur les intégrales à paramètre et demande de résoudre une équation différentielle d'ordre 1. La partie III fait appel aux théorèmes du cours sur les séries de fonctions et aborde rapidement les séries de Fourier. Moyennant un peu d'investissement dans les calculs de la première partie, ce sujet assez accessible permet donc une bonne révision d'une grande partie du programme d'analyse. Indications Partie I I.1.1 Écrire le développement en série entière de la fonction exponentielle. I.1.2 Voir F(x, z) comme le produit des deux développements en série entière donnés à la question précédente. I.1.3 Dériver terme à terme le développement en série entière de F(x, z) et l'identifier avec le développement en série entière de la dérivée (par rapport à x) de F(x, z). Effectuer les changements d'indice nécessaires pour remettre tous les x à la même puissance. I.2.2 Utiliser la relation trouvée à la question I.2.1 puis remarquer que Hn et Kn vérifient la même relation de récurrence. I.3.1 Travailler avec l'expression définissant Kn . I.3.2 Dériver la relation obtenue à la question I.3.1 et utiliser la relation de récurrence sur Hn obtenue à la question I.1.3. I.4 Calculer les dérivées première et seconde de n et utiliser le résultat de la question I.3.2. I.5.2 Travailler avec l'expression de Ip,q faisant intervenir Hp et Hq et utiliser les expressions de Kp et Kq pour l'intégration par parties. Partie II II.1 Majorer le module de F(t, 2i) par f (t). II.3.1 Utiliser la formule de Leibniz et le résultat de la question II.2 pour dériver « sous l'intégrale ». II.3.2 Résoudre l'équation différentielle vérifiée par fb. Partie III III.1.1 Prendre garde au fait qu'on a choisi n de sorte que 2n > A. III.2.3 Montrer que les un sont paires, et qu'il en est donc de même pour les Un . III.3.2 Échanger somme et intégrale et utiliser la 2-périodicité du cosinus pour effectuer un changement de variable faisant apparaître f (x) dans l'intégrale. III.3.3 Utiliser le théorème de convergence dominée. Se servir de la convergence nork P male de Uk sur [-; ] pour majorer kuj k par la somme de cette série. j=0 1 III.3.4 Écrire cos(nx) = [exp(inx) + exp(-inx)]. 2 Le rapport du jury fait état d'un sujet « assez court et sans sérieuse difficulté », en précisant que « tous les résultats pouvant intervenir dans la suite du problème étaient donnés dans l'énoncé », et qu'il « n'était pas demandé aux candidats de faire preuve d'astuce, mais seulement de connaître les théorèmes fondamentaux du programme ». Il signale que « la connaissance [de ceux-ci] semble en progrès », mais qu'il « n'en est pas de même concernant leur application », et que « la vérification dans des cas particuliers des conditions permettant leur utilisation est souvent traitée avec désinvolture, et parfois donne lieu à des expressions délirantes ». Ainsi peut-on conseiller aux candidats de faire preuve de plus d'esprit critique, « le manque de fondements solides à leurs connaissances [les exposant] souvent à commettre de graves bévues ». Le rapport du jury insiste également sur la nécessité de la rigueur dans la rédaction, et rappelle en conclusion qu'il est indispensable de systématiquement démontrer tout ce que l'on affirme ! PARTIE I I.1.1 D'après le cours, la fonction x 7 exp(x) est développable en série entière avec un rayon de convergence infini, et on a pour tout x R, xn P exp(x) = n=0 n ! En composant cette égalité avec les fonctions polynomiales x 7 -zx et x 7 -x2 /2, on obtient les développements en série entière sur R suivants : 2 (-z)n (-1)n P P x n exp(-zx) = x et exp - = x2n n 2 n=0 n ! n=0 2 n ! Rappelons qu'une fonction f : C C est dite développable en série entière avec un rayon de convergence R > 0 s'il existe une suite de nombres complexes (an )nN telle que pour tout nombre complexe x de module strictement P inférieur à R, la série an xn est convergente, et que sa somme vaut f (x). n=0 Si la série est convergente sur tout disque de C, alors le rayon de convergence est dit infini. P Pour normaliser le second développement en une série entière an xn , définissons n=0 0 si n est impair (n) = (-1)k s'il existe k N tel que n = 2k 2k k ! 2 P x puis écrivons exp - = (n)xn 2 n=0 C'est cette écriture qui est adoptée dans la suite du corrigé. Il est néanmoins possible de faire les calculs en gardant une série entière en x2 , mais alors il faut être prudent dans la manipulation des indices, comme le montre la question suivante ­ pour laquelle le rapport de jury précise d'ailleurs que « [peu nombreux] sont ceux qui ont obtenu une expression cohérente ». I.1.2 Le produit de deux fonctions développables en série entière, de rayons de convergence respectifs R et R , est développable en série entière et son rayon est supérieur ou égal au minimum de R et de R . Puisqu'elle est le produit des deux fonctions dont on a donné le développement à la question précédente, la fonction x 7 F(x, z) est donc développable en série entière sur R et son développement est donné par le produit de Cauchy ! P (-z)n n P P P (-z)p n x (n)x = (q) xn n=0 n=0 p+q=n p ! n=0 n ! En posant, pour tout n > 0, An (z) = on a donc pour tout x R F(x, z) = P (-z)p (q) p+q=n p ! P An (z)xn n=0 Soit n N. Montrons maintenant que An (z) est un polynôme en z, de degré n. On a l'expression P (-z)p An (z) = (q) p+q=n p ! Puisque (q) ne dépend pas de z, il est clair que An (z) est un polynôme en z de degré au plus n. De plus, pour tout p [[ 0 ; n ]], le coefficient devant z p est (-1)p (n-p)/p !. En particulier, le coefficient d'ordre n vaut (-1)n (0)/n !. Puisqu'on a (0) = 1, on en conclut que Pour tout n N, An (z) est un polynôme en z de degré n. 2 P x = (n)xn est ici pratique car elle permet d'appliL'écriture exp - 2 n=0 quer directement la formule de Cauchy P P P P an xn bn xn = ap bq xn n=0 n=0 n=0 p+q=n (-1)n P x2n , il faut être n n=0 2 n ! très vigilant dans la manipulation des indices et prendre garde à ne sommer que sur les puissances paires de x : P (-z)n n P (-1)n 2n F(x, z) = x x n n=0 n ! n=0 2 n ! ! P P (-z)p p (-1)q 2q = x q x 2 q! n=0 p+2q=n p ! ! P P (-1)p+q z p F(x, z) = xn q n=0 p+2q=n 2 (p !)(q !) Si l'on souhaite garder pour f (x) le développement