CCP Maths 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Variations autour des intégrales de Wallis
Principaux outils utilisés suites récurrentes, intégrales généralisées, trigonométrie
Mots clefs Formule de Stirling, Intégrales de Wallis, problème de Cauchy, coefficients de Fourier

Corrigé

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Rapport du jury

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 moa--5.-- EUR " «w.--:D N müD0--H<ËHOEH<Ë o...... BEBE - ...ËOEÜËm mËËË mu=o_z=uuh>_cm ...z=££ou ...oe=ouzou ' Les calculatrices sont interdites N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction ; si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PARTIE I Pour tout nombre reel s, on considere l'equation differentielle lineaire homogene du second ordre (Es ) suivante : (Es ) (1 - x2 ) y (x) - 2(s + 2) xy (x) - 2(s + 1) y(x) = 0. On note fs la solution de (Es ) sur ]-1, +1[ qui verifie les conditions initiales fs (0) = 0 et fs (0) = 1. I.1. Soit gs la fonction definie sur ] - 1, +1[ par gs (x) = fs (x) + fs (-x). I.1.1. Montrer que gs est solution de (Es ) sur ] - 1, +1[. I.1.2. Calculer gs (0) et gs (0). En deduire que fs est impaire. I.2. Determiner en fonction de s l'unique valeur de IR telle que la fonction x 7 (1 - x2 ) soit solution de (Es ) sur ] - 1, +1[. I.3. Soit us la fonction definie sur ] - 1, +1[ par us (x) = (1 - x2 )s+1 fs (x). I.3.1. Montrer que la derivee us de us est solution sur ] - 1, +1[ de l'equation differentielle : (Es ) (1 - x2 ) y (x) + 2sxy(x) = 0. I.3.2. Determiner l'ensemble des solutions de (Es ) sur ] - 1, +1[. Z x (1 - t2 )s dt pour tout x ] - 1, +1[. I.3.3. Calculer us (0) et us (0). En deduire que us (x) = 0 I.4. Soit y une fonction impaire, definie sur un intervalle ouvert I contenant 0, developpable en + X cn x2n+1 le developpement en serie entiere de y sur I. serie entiere sur I. On note y(x) = n=0 1/3 I.4.1. Montrer que pour que y soit solution de (Es ) sur I, il faut et il suffit que l'on ait pour tout n IN : 2s + 2n + 3 cn+1 = cn . 2n + 3 I.4.2. En deduire pour tout n IN une expression de cn en fonction de n et c0 . I.4.3. Pour quelles valeurs de s IR l'equation (Es ) admet-elle des solutions polynomiales impaires non identiquement nulles ? I.4.4. On suppose que s 6 {-n - 23 ; n IN}, que y(x) = + X cn x2n+1 est solution de (Es ) sur n=0 I, et que c0 6= 0. Determiner le rayon de convergence de la serie entiere + X cn x2n+1 . n=0 I.5. Deduire des questions precedentes que pour tout s IR et tout x ] - 1, +1[ on a : # " n + X 2n n! Y (2s + 2k + 1) x2n+1 . fs (x) = x + (2n + 1)! n=1 k=1 I.6. Montrer que pour tout p IN et tout x ] - 1, +1[ on a : Z x Qp (x) dt = 1 , p+ 32 2 (1 - x2 )p+ 2 0 (1 - t ) ou Qp est une fonction polynomiale impaire Z x Z x de degre 2p + 1 que l'on explicitera. dt dt Expliciter en particulier 3 et 5 . 2 2 0 (1 - t ) 2 0 (1 - t ) 2 PARTIE II On considere la fonction de la variable reelle x definie par : Z 1 (1 - t2 )x dt. (x) = 0 II.1. Determiner le domaine de definition de . II.2. Montrer que est continue sur ] - 1, +[. 1 On admettra que est de classe C sur ] - 1, +[, de derivee x 7 (x) = Z 1 (1 - t2 )x ln(1 - t2 )dt. 0 II.3. Montrer que est strictement monotone sur ] - 1, +[ et preciser son sens de variation. II.4. 2x + 2 (x) pour II.4.1. A l'aide d'une integration par parties, montrer que l'on a (x + 1) = 2x + 3 tout x > -1. II.4.2. Calculer (0). En deduire la limite de (x) lorsque x tend vers -1 par valeurs superieures. 2/3 II.4.3. Pour tout n IN donner une expression de (n) a l'aide de factorielles. En utilisant la formule de Stirling, determiner un equivalent de (n) lorsque n tend vers +. En deduire la limite de (n) lorsque n tend vers +, puis celle de (x), x IR, lorsque x tend vers +. II.4.4. Calculer - 21 . En deduire la valeur de - 12 + n pour tout n IN . PARTIE III Soit un nombre reel strictement superieur a 1, non entier. Soit la fonction 2-periodique definie sur IR par : x IR, (x) = |cos x| . On note a0 () + + X [an () cos nx + bn () sin nx] la serie de Fourier de . n=1 III.1. III.1.1. Preciser pourquoi est egale en tout point de IR a la somme de sa serie de Fourier. III.1.2. Que peut-on dire des coefficients bn (), n IN , et a2p+1 (), p IN ? III.2. Pour tout p IN on considere l'integrale Ip = Z 2 cos x. cos 2px dx. 0 III.2.1. Montrer que Ip - Ip+1 = 2 Z 2 cos x sin x. sin(2p + 1)x dx. 0 III.2.2. A l'aide d'une integration par parties, montrer que : Z 2p + 1 2 cos x. cos x cos(2p + 1)x dx. Ip - Ip+1 = 2 +1 0 III.2.3. En deduire que Ip - Ip+1 = 2p + 1 [Ip + Ip+1 ]. +1 III.2.4. Montrer que I0 = ( ), ou est un nombre reel strictement positif que l'on calculera en fonction de . p-1 Y - 2k Ap ()( ), ou Ap () = . III.2.5. En deduire que pour tout p IN on a Ip = + 2p + 2k k=0 III.3. Deduire de ce qui precede les valeurs de a0 () et de a2p () pour tout p IN . Fin de l'enonce 3/3

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 CCP Maths 2 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA). Le fil directeur de cette épreuve est l'étude d'intégrales de la famille de fonctions s : x 7 (1 - x2 )s pour s R. En utilisant le changement de variable t = sin u, on voit qu'il s'agit d'une généralisation des intégrales de Wallis Z /2 Wn = cosn x dx (n N) 0 à des puissances du cosinus non plus seulement entières, mais réelles. Trois parties très largement indépendantes constituent ce sujet. · La première partie utilise une équation différentielle et la méthode des séries entières pour obtenir des formules générales pour des primitives des fonctions s avec s {-n - 3/2 | n N}. · La deuxième vise à expliciter la valeur de l'intégrale de s sur [ 0 ; 1 [ pour s entier ou demi-entier supérieur à -1/2. On retrouve alors les formules et les équivalents des intégrales de Wallis classiques. · Enfin, dans la troisième partie, on cherche à exprimer les coefficients de la série de Fourier de la fonction x 7- | cos x| pour réel non entier strictement supérieur à 1, en fonction de quantités faisant intervenir les intégrales étudiées dans la deuxième partie. Ce sujet, centré sur l'analyse, est de difficulté moyenne mais demande une rédaction soigneuse. Il comporte de nombreuses applications plus ou moins directes du cours (équations différentielles, séries entières, intégrales à paramètre, séries de Fourier). Il n'exige pas de virtuosité technique, mais il est nécessaire de bien maîtriser son cours et les outils de base qu'il fournit, comme le rappelle le rapport du jury : « Le problème d'Analyse de cette année était volontairement plus court et plus simple que ceux des années précédentes. Sa seule ambition était de tester chez les candidats, d'une part leur connaissance des théorèmes fondamentaux au programme (Cauchy-Lipschitz, séries entières, intégrales dépendant d'un paramètre, convergence des séries de Fourier,...), d'autre part leur aptitude à les mettre en oeuvre et à effectuer quelques calculs classiques ne demandant aucune astuce particulière (recherche de solutions d'une équation différentielle linéaire sous forme d'une somme de série entière, intégration par parties, ...). » Indications I.1.1 Il suffit de vérifier que x 7 fs (-x) satisfait (Es ). I.1.2 Trouver une condition nécessaire et suffisante sur gs pour que fs soit impaire et remarquer que gs satisfait un problème de Cauchy particulier. I.2 Poser, pour simplifier les calculs, r (x) = (1 - x2 )r pour r réel. I.3.1 Remarquer que us = - fs . I.3.2 Il s'agit simplement de résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre. Remarquer que le terme (1 - x2 ) ne s'annule pas sur ] -1 ; 1 [. I.4.1 Une série entière est indéfiniment dérivable terme à terme sur son disque ouvert de convergence. En outre, P an xn = 0 n an = 0 I.4.2 Utiliser la formule de récurrence pour écrire 2s + 2n + 1 cn-1 2n + 1 et réitérer le processus en descendant jusqu'à c0 . Un polynôme est une série entière « arrêtée ». En déduire une condition sur cn . Pour s / {-n - 3/2 | n N}, vérifier que cn n'est jamais nul et utiliser la règle de d'Alembert (on pourra factoriser x et faire le changement de variable t = x2 ). Autre solution : fixer x et utiliser des résultats sur les séries numériques. Distinguer les cas suivant les valeurs de s. Remarquer que Z 1 (x) = x (t) dt cn = I.4.3 I.4.4 I.5 II.1 0 et que x est de signe constant, puis en trouver un équivalent en t = 1. II.2 Utiliser une majoration sur tout compact de ] -1 ; + [. II.4.1 Décomposer l'intégrale en deux, remarquer que x+1 (t) = 1 - x2 x (t) et que x (t) = -2x t x-1 (t) II.4.3 Rappelons la formule de Stirling n n 2n n+ e Montrer l'existence de la limite de (x) quand x croît indéfiniment. Puis, comme la limite existe, lim (x) = lim (n). n! x n II.4.4 On connaît explicitement une primitive de l'intégrande. III.1.2 Chercher et exploiter d'éventuelles parités et périodicités. III.2.1 Utiliser les formules trigonométriques donnant la différence et la somme de deux cosinus. III.2.2 Intégrer par parties. III.2.3 Même indication qu'à la question III.2.1. III.2.4 Effectuer un changement de variable dans l'intégrale définissant . Partie I Dans l'ensemble de ce corrigé, on note J = ] -1 ; +1 [. L'énoncé parle de la solution de (Es ) sur J. On peut justifier l'existence et l'unicité de cette solution par le fait que l'équation est résolue sur J puisque le terme 1 - x2 ne s'annule pas. (Es ) se met par conséquent sous la forme y + as (x) y + bs (x) y = 0 où as et bs sont des fonctions continues sur J. Le théorème du cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 assure qu'il existe une unique solution (maximale) définie sur J au problème de Cauchy de l'énoncé. I.1.1 Posons hs : x 7 fs (-x) pour x J. Ceci a un sens car fs est définie sur un intervalle symétrique par rapport à 0. Puisque fs est de classe C 2 sur J, il en va de même pour hs et gs = fs + hs . Comme (Es ) est linéaire, il suffit de vérifier que hs vérifie (Es ). Calculons, pour tout x J, hs (x) = -fs (-x) hs (x) = fs (-x) Les égalités précédentes découlent immédiatement des formules de dérivation des fonctions composées. Cependant, le stress faisant écrire des bêtises, nous préférons mettre en garde les candidats en citant le rapport du jury : « pour ce qui est des calculs, les correcteurs ont souvent rencontré l'identité (f (-·)) = f (-·) ». Ne succombez-donc pas à la tentation. Un moyen mnémotechnique peut être de se rappeler que la dérivée d'une fonction paire est impaire, ou même de prendre la fonction cos ! En effectuant le changement de variable x -x dans (Es ), il vient x J 1 - (-x)2 fs (-x) - 2 (s + 2) (-x) fs (-x) - 2 (s + 1) fs (-x) = 0 soit x J 1 - x2 hs (x) - 2 (s + 2) x hs (x) - 2 (s + 1) hs (x) = 0 ce qui montre que hs vérifie (Es ). Par conséquent, gs vérifie (Es ) sur ] -1 ; 1 [. Signalons encore un écueil à éviter, cité par le rapport du jury : « si f est solution d'une équation différentielle sur l'intervalle ] -1 ; 1 [, alors f (-·) l'est aussi car ] -1 ; 1 [ est symétrique par rapport à 0... » (ce résultat est bien entendu faux). Remarquons qu'ici tout marche pour fs (-·), en partie car le terme en y est multiplié par -x et que x2 = (-x)2 ! I.1.2 Comme gs (0) = 2 fs (0) = 0 et puisque gs (0) = fs (0) - fs (0) = 0, on en déduit que gs vérifie (Es ) avec les conditions initiales y(0) = 0 y (0) = 0 Ce problème de Cauchy admet pour solution la fonction nulle ; l'unicité donnée par le théorème de Cauchy-Lipschitz montre donc que gs est la fonction nulle, ce qui s'écrit x J En particulier, gs (x) = fs (x) + fs (-x) = 0 x J fs (-x) = -fs (x) Comme l'intervalle de définition de fs est symétrique par rapport à 0, on obtient bien que fs est impaire sur ] -1 ; 1 [. Le jury souligne que trop peu de candidats pensent à utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz pour montrer l'identité de deux solutions d'une même équation différentielle. Rappelons-donc qu'il s'agit d'un résultat majeur dudit théorème, tout aussi important que l'existence. I.2 Pour tout r R notons r l'application x 7 (1 - x2 )r définie sur J. Soit r un réel fixé. r est de classe C 2 et pour tout x J, r (x) = -2r x r-1 (x) r (x) = -2r r-1 (x) + 4r (r - 1) x2 r-2 (x) En utilisant la relation 1 - x2 r (x) = r+1 (x) valable pour tout x dans J, il vient 1 - x2 r (x) = -2r r (x) + 4r (r - 1) x2 r-1 (x) et -2 (s + 2) x r (x) = 4 (s + 2) r x2 r-1 (x) et Par conséquent, en notant pour x J, (x) = (1 - x2 ) r (x) - 2 (s + 2) x r (x) - 2 (s + 1) r (x) on trouve (x) = r-1 (x) [4r (r - 1) + 4r (s + 2)] x2 - [2r + 2 (s + 1)] 1 - x2 = r-1 (x) 4r (r - 1 + s + 2) x2 - 2 (r + s + 1) 1 - x2 (x) = 2 (r + s + 1) (2r + 1) x2 - 1 r-1 (x) Cette expression devant être nulle pour tout x J, r est solution de (Es ) si et seulement si r = -(s + 1). Dans la suite, nous appelons cette valeur particulière de r : = -s - 1. I.3.1 Avec les notations définies à la question précédente, on a us = - × fs . La fonction us est de classe C 2 comme produit de fonctions de classe C 2 . Effectuons à nouveau les calculs des dérivées : pour tout x J, us (x) = -2 (s + 1) x s (x) fs (x) + s+1 (x) fs (x) = s (x) - 2 (s + 1) x fs (x) + 1 - x2 fs (x) us (x) = -2s x s-1 (x) - 2 (s + 1) x fs (x) + 1 - x2 fs (x) + s (x) 1 - x2 fs (x) - 2 (s + 2) x fs (x) - 2 (s + 1) fs (x) | {z } = 0 car fs vérifie (Es )