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Les calculatrices sont interdites
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la
precision et a la concision de la redaction ; si un candidat est amene a
reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur
d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a ete amene a prendre.
PARTIE I
Pour tout nombre reel s, on considere l'equation differentielle lineaire
homogene du second
ordre (Es ) suivante :
(Es )
(1 - x2 ) y (x) - 2(s + 2) xy (x) - 2(s + 1) y(x) = 0.
On note fs la solution de (Es ) sur ]-1, +1[ qui verifie les conditions
initiales fs (0) = 0 et fs (0) = 1.
I.1. Soit gs la fonction definie sur ] - 1, +1[ par gs (x) = fs (x) + fs (-x).
I.1.1. Montrer que gs est solution de (Es ) sur ] - 1, +1[.
I.1.2. Calculer gs (0) et gs (0). En deduire que fs est impaire.
I.2. Determiner en fonction de s l'unique valeur de IR telle que la fonction
x 7 (1 - x2 ) soit
solution de (Es ) sur ] - 1, +1[.
I.3. Soit us la fonction definie sur ] - 1, +1[ par us (x) = (1 - x2 )s+1 fs
(x).
I.3.1. Montrer que la derivee us de us est solution sur ] - 1, +1[ de
l'equation differentielle :
(Es )
(1 - x2 ) y (x) + 2sxy(x) = 0.
I.3.2. Determiner l'ensemble des solutions de (Es ) sur ] - 1, +1[.
Z x
(1 - t2 )s dt pour tout x ] - 1, +1[.
I.3.3. Calculer us (0) et us (0). En deduire que us (x) =
0
I.4. Soit y une fonction impaire, definie sur un intervalle ouvert I contenant
0, developpable en
+
X
cn x2n+1 le developpement en serie entiere de y sur I.
serie entiere sur I. On note y(x) =
n=0
1/3
I.4.1. Montrer que pour que y soit solution de (Es ) sur I, il faut et il
suffit que l'on ait pour
tout n IN :
2s + 2n + 3
cn+1 =
cn .
2n + 3
I.4.2. En deduire pour tout n IN une expression de cn en fonction de n et c0 .
I.4.3. Pour quelles valeurs de s IR l'equation (Es ) admet-elle des solutions
polynomiales
impaires non identiquement nulles ?
I.4.4. On suppose que s 6 {-n - 23 ; n IN}, que y(x) =
+
X
cn x2n+1 est solution de (Es ) sur
n=0
I, et que c0 6= 0. Determiner le rayon de convergence de la serie entiere
+
X
cn x2n+1 .
n=0
I.5. Deduire des questions precedentes que pour tout s IR et tout x ] - 1, +1[
on a :
#
"
n
+
X
2n n! Y
(2s + 2k + 1) x2n+1 .
fs (x) = x +
(2n
+
1)!
n=1
k=1
I.6. Montrer que pour tout p IN et tout x ] - 1, +1[ on a :
Z x
Qp (x)
dt
=
1 ,
p+ 32
2
(1 - x2 )p+ 2
0 (1 - t )
ou Qp est une fonction polynomiale
impaire
Z x
Z x de degre 2p + 1 que l'on explicitera.
dt
dt
Expliciter en particulier
3 et
5 .
2
2
0 (1 - t ) 2
0 (1 - t ) 2
PARTIE II
On considere la fonction de la variable reelle x definie par :
Z 1
(1 - t2 )x dt.
(x) =
0
II.1. Determiner le domaine de definition de .
II.2. Montrer que est continue sur ] - 1, +[.
1
On admettra que est de classe C sur ] - 1, +[, de derivee x 7 (x) =
Z
1
(1 - t2 )x ln(1 - t2 )dt.
0
II.3. Montrer que est strictement monotone sur ] - 1, +[ et preciser son sens
de variation.
II.4.
2x + 2
(x) pour
II.4.1. A l'aide d'une integration par parties, montrer que l'on a (x + 1) =
2x + 3
tout x > -1.
II.4.2. Calculer (0). En deduire la limite de (x) lorsque x tend vers -1 par
valeurs
superieures.
2/3
II.4.3. Pour tout n IN donner une expression de (n) a l'aide de factorielles.
En utilisant
la formule de Stirling, determiner un equivalent de (n) lorsque n tend vers +.
En deduire la
limite de (n) lorsque n tend vers +, puis celle de (x), x IR, lorsque x tend
vers +.
II.4.4. Calculer - 21 . En deduire la valeur de - 12 + n pour tout n IN .
PARTIE III
Soit un nombre reel strictement superieur a 1, non entier. Soit la fonction
2-periodique
definie sur IR par :
x IR,
(x) = |cos x| .
On note a0 () +
+
X
[an () cos nx + bn () sin nx] la serie de Fourier de .
n=1
III.1.
III.1.1. Preciser pourquoi est egale en tout point de IR a la somme de sa
serie de Fourier.
III.1.2. Que peut-on dire des coefficients bn (), n IN , et a2p+1 (), p IN ?
III.2. Pour tout p IN on considere l'integrale Ip =
Z
2
cos x. cos 2px dx.
0
III.2.1. Montrer que Ip - Ip+1 = 2
Z
2
cos x sin x. sin(2p + 1)x dx.
0
III.2.2. A l'aide d'une integration par parties, montrer que :
Z
2p + 1 2
cos x. cos x cos(2p + 1)x dx.
Ip - Ip+1 = 2
+1 0
III.2.3. En deduire que Ip - Ip+1 =
2p + 1
[Ip + Ip+1 ].
+1
III.2.4. Montrer que I0 = ( ), ou est un nombre reel strictement positif que
l'on calculera
en fonction de .
p-1
Y
- 2k
Ap ()( ), ou Ap () =
.
III.2.5. En deduire que pour tout p IN on a Ip =
+ 2p
+ 2k
k=0
III.3. Deduire de ce qui precede les valeurs de a0 () et de a2p () pour tout p
IN .
Fin de l'enonce
3/3
