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| Thème de l'épreuve | Étude des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 sur un intervalle |
| Principaux outils utilisés | équations différentielles linéaires, fonctions de deux variables, intégrales à paramètres |
mm.--52-- .v ... mm...--=D
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Les calculatrices sont interdites
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision
et a la conci--
sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui
sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Dans tout l'énoncé de ce problème, ] désigne un intervalle ouvert de IR
symétrique par rapport
a l'origine, et 90 une fonction paire, de classe C°° sur I .
Toutes les fonctions considérées dans ce problème prennent leurs valeurs dans
IR.
On note (E) l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre en la
fonction inconnue
y de la variable réelle 3: suivante :
(E) y"(âî) + @(OE)y(âî) = 0-
On note f0 l'unique solution de (E) sur ] vérifiant les conditions initiales
fO(O) : 1 et fô(0) = O,
et f1 l'unique solution de (E) sur ] vérifiant les conditions initiales f1(0) :
0 et f{(0) : 1.
PARTIE I
1.1. Montrer que si y est une solution de (E) sur [, alors y est de classe C00
sur I .
1.2. Montrer que si y est une solution de (E) sur [, alors la fonction a: |-->
y(--a:) est aussi solution
de (E) sur I .
1.3. Montrer que f0 est une fonction paire et f1 une fonction impaire.
Exprimer la solution générale de (E) sur I a l'aide de fo et fl.
Déterminer parmi les solutions de (E) sur ] celles qui sont paires et celles
qui sont impaires.
1.4. On suppose que f0 ne s'annule pas sur I, et l'on pose u : f--ë.
1.4.1. Montrer que u' ne s'annule pas sur I, et exprimer î--î en fonction de
--É.
1.4.2. En déduire qu'il existe une constante réelle B , que l'on calculera,
telle que u' = %.
0
1.4.3. On note u0 la primitive de % qui s'annule en a: = O. Exprimer f1 a
l'aide de f0 et u0.
0
1/4
2
. 7T 77 . .
1.5. Dans cette question, on suppose que I = } _5' +5 { et que la fonction 33 H
cos a: est solution
de (E) sur [.
1.5.1. Déterminer g0(a:) et f0(a:) pour tout a: E [.
1.5.2. Déterminer u0(a:) pour tout a: E [. On pourra utiliser l'identité :
1 _ 1--l--tan2æ
cos4 a: cos2 a:
et exprimer u0(a:) comme fonction de tan 33.
1.5.3. En déduire la valeur de f1(a:) pour tout a: E I et expliciter la
solution générale de (E)
sur I .
PARTIE 11
Dans cette partie on suppose que I : IR et qu'en plus des conditions imposées
au début de
l'énoncé, @ est 277--périodique.
On s'intéresse aux éventuelles solutions 2%--péri0diquæ de l'équation (E).
11.1. Soit y une solution de (E) sur IR.
Montrer que la fonction 33 H y(a: --l-- 277) est solution de (E) sur IR.
11.2. En déduire qu'il existe des constantes réelles 1000, w..., w..., 1011,
que l'on déterminera en
fonction des valeurs prises par f0, fé, fl, f{ en 277, telles que pour tout a:
E IR on ait :
f0(33 + 277) = w00f0(33) + w10f1(33)7
f1(33 + 277) = w01f0(33) + w11f1(33)-
11.3. Soit W la matrice carrée d'ordre 2 définie par W = ( w... w... ).
w10 w11
Montrer que pour que (E) admette sur IR des solutions non identiquement nulles
277--périodiques,
il faut et il suffit que W admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une
telle solution g
en fonction de f0 et f1 puis utiliser la périodicité de g.
11.4. Montrer que si (E) admet sur IR des solutions non identiquement nulles
277--périodiques,
alors l'une au moins des deux fonctions f0 et f1 est 277--périodique. On
pourra, g étant une telle
solution, considérer les fonctions 33 H g(a:) --l-- g(--a:) et 33 H g(a:) --
g(--a:).
11.5. On suppose dans cette question que la fonction @ est définie par :
Va: EUR IR, g0(a:) : a -- k2 sin2 33,
où a et [{ sont des constantes réelles choisies de telle sorte que la solution
f0 sur IR de l'équation :
(E) y"<æ> + y<æ> = 0
soit 2%--péri0dique (on ne cherchera pas a démontrer l'existence de telles
constantes & et lc).
+7r
Soit F la fonction définie pour tout a: E IR par F(a:) : / ek COS"COSOEfÜ(t)dt.
On note K la fonction définie pour tout (a:, t) E 1112 par K(a:, t) :
ekCOSÉCOSOE.
11.5.1. Montrer que F est de classe C2 sur IR et paire.
2/4
II.5.2. Vérifier que pour tout couple (a:, t) E IR2 on a :
ÔZK ÔZK
Ê(aÿ, t) + (a -- k2 sin2 a:)K(a:, t) : Ê(aÿ, t) + (a -- k2 sin2 t)K(a:, 15).
En déduire que pour tout a: E IR on a :
+7T ÔZK +7T
F"(a:) + (a -- k2 sin2 a:)F(a:) =/ Ê(aÿ, t)f0(t)dt + / (a -- k2 sin2 t)K(a:,
t)f0(t)dt,
puis, au moyen d'une double intégration par parties, que F est solution de (E)
sur IR.
II.5.3. Déduire de ce qui précède qu'il existe une constante réelle À telle que
pour tout a: E IR
on ait :
+7r
/ 6kcostc0soef0(t)dt= Àf0(ûî)
--7T
PARTIE III
77 77
Dans cette partie, on suppose que I = ]_5' +5] et que ça est une fonction
constante sur I ,
2
égale a au , avec au > O.
III.1. Déterminer dans ce cas la solution générale de l'équation (E) sur I ,
ainsi que ses solutions
fo et f 1-
III.2. Soit 2 une fonction de classe C°° sur ] -- 1, +1]. Montrer que la
fonction y définie pour tout
a: E I par y(a:) : z(sin a:) est solution de (E) sur ] si et seulement si 2 est
solution sur ] -- 1, +1]
de l'équation différentielle :
(E') (1 -- X2)Z"(X) -- Xz'(X) + w2z(X) = 0.
III.3. Soit 2 une solution de (E') sur ] -- 1, +1], admettant sur ] -- 1, +1]
un développement en
+oo
série entière z(X) : Z CLan.
n=0
III.3.1. Déterminer une relation de récurrence reliant an+2 a a,, pour tout n
EUR IN. En déduire
pour tout 19 EUR IN" les expressions de CL2p en fonction de p, w et CL0, et de
a2p+1 en fonction de 19, w
et al.
Pour quelles valeurs de w l'équation (E' ) admet--elle des solutions
polynomiales non identique--
ment nulles ?
Montrer que quelles que soient les valeurs de CL0, ... et au, le rayon de
convergence de la série
+oo
entière Z CLan est supérieur ou égal a 1.
n=0
III.3.2. On note 20 la solution de (E' ) développable en série entière sur ] --
1, +1] correspondant
au choix a0 : 1, a1 : O, et 21 la solution de (E' ) développable en série
entière sur ] -- 1, +1]
correspondant au choix a0 : 0, a1 : 1.
Donner une expression, sur I , des fonctions a: |--> cos wa: et a: |--> sin wa:
a l'aide des fonctions
Zg, 21 et sin.
3/4
III.3.3. Soit m un nombre entier strictement positif.
77 77
Exprimer cos 2ma: et sin(2m --l-- 1)a:, pour tout a: E i_î° --l--î [, sous la
forme :
cos 2ma: : P...(sin a:), sin(2m --l-- 1)a: : Q...(sinæ),
où P... est une fonction polynomiale de degré 2m et Q... une fonction
polynomiale de degré 2m--l-- 1.
Ces expressions sont--elles valides sur IR tout entier ?
Fin de l'énoncé
4/4
CCP Maths 2 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) ; il a été relu
par David Lecomte (Professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan).
Cette épreuve d'analyse s'intéresse aux solutions à valeurs réelles de
l'équation
différentielle linéaire homogène d'ordre 2
y (x) + (x)y(x) = 0
(E)
sur des intervalles ouverts I de R symétriques par rapport à l'origine.
désigne ici
une fonction de classe C sur I, paire, à valeurs réelles.
Ce problème se compose de trois parties.
· La première traite essentiellement quelques généralités relatives aux
solutions
de (E) sur I, telles que la régularité et la description de l'espace des
solutions.
· La deuxième partie est consacrée aux éventuelles solutions 2-périodiques
de (E) lorsque I = R et est elle-même 2-périodique. Elle offre l'occasion de
revoir certains résultats de base du cours d'analyse, comme le théorème
d'existence et d'unicité des solutions d'une équation différentielle linéaire
résolue sur
un intervalle ou encore les théorèmes assurant la continuité et la dérivabilité
d'une intégrale à paramètre.
· Enfin, la troisième partie considère le cas où I = ] -/2 ; /2 [ et est une
constante strictement positive sur I. L'étude des solutions de (E) est ramenée
à l'étude des solutions d'une autre équation différentielle linéaire d'ordre 2,
dont on cherche les solutions développables en série entière avant de revenir
à celles de (E). Comme application de ces résultats, on montre à la fin de
ce problème que pour tout m appartenant à N , les fonctions x 7 cos(2mx)
et x 7 sin((2m + 1)x) sont sur R des polynômes en x 7 sin(x) dont on précise
les degrés et les coefficients.
D'une difficulté moyenne et d'une longueur raisonnable, cette épreuve permet de
se confronter à plusieurs chapitres du programme d'analyse de PC sans pour
autant
devoir faire face à des difficultés techniques notoires : il n'y a pas de longs
calculs,
pas de recours à des astuces, ni même d'utilisation plus ou moins implicite de
résultats
hors-programme.
Indications
Partie I
I.1 On pourra montrer par récurrence sur k N que y est de classe C k sur I
pour tout k.
I.2 Utiliser la parité de la fonction sur I.
I.3 On pourra considérer les fonctions x 7- f0 (-x) et x 7- -f1 (-x).
I.4.1 Faire apparaître le wronskien de f0 et f1 dans l'expression de u .
I.4.2 Intégrer la relation montrée en I.4.1.
I.5.1 Injecter la solution dans (E) pour en déduire .
Z x
I.5.2 Justifier que u0 (x) =
tan (t)(1 + tan2 t) dt sur I.
0
I.5.3 Utiliser le résultat de la question I.4.3.
Partie II
II.1 Utiliser le résultat de la question I.1 et la périodicité de .
II.2 À l'aide des résultats des questions II.1 et I.3 et des conditions
initiales
vérifiées par f0 et f1 , montrer que w00 = f0 (2), w01 = f1 (2), w10 = f0 (2)
et w11 = f1 (2).
II.3 Raisonner par double implication et utiliser la méthode et le résultat de
la
question précédente.
II.4 Se servir aussi du résultat de la question I.3.
II.5.1 Trouver des majorations indépendantes de x R des modules de
2K
K
(x, t)f0 (t) et
(x, t)f0 (t)
x
x2
par des fonctions intégrables en t sur [ - ; ].
II.5.2 Utiliser la périodicité à x R fixé des fonctions K(x, .) et f0 lors des
intégrations par parties successives.
II.5.3 S'appuyer sur la question précédente, la question I.3 et la parité de F.
K(x, t)f0 (t),
Partie III
III.1 Penser à l'équation caractéristique de l'équation différentielle scalaire
linéaire
d'ordre 2 à coefficients constants (E).
III.2 Calculer y et y en fonction des dérivées de z, et injecter ces
expressions
dans l'équation (E).
III.3.1 Pour l'estimation du rayon de convergence, séparer les termes d'indices
pairs
de ceux d'indices impairs dans la série entière. Ensuite, on pourra distinguer
plusieurs cas, en fonction de la nullité éventuelle de a0 et a1 ainsi que des
valeurs de .
III.3.2 Utiliser le résultat de la question III.2 ainsi que celui de la
question III.1.
III.3.3 Appliquer les résultats des questions précédentes avec des valeurs de
bien choisies. Pour étendre les égalités à R tout entier, commencer par les
étendre à [ -/2 ; /2 ], remarquer que Pm est pair et Qm impair, et
pour x R quelconque, se ramener à l'égalité déjà démontrée en utilisant ces
remarques.
Partie I
I.1 Soit y une solution de (E) sur l'intervalle I. Montrons par récurrence sur
k que
la propriété
P(k) : y est de classe C k sur I
est vraie pour tout k N r {0; 1}.
Pour initialiser la récurrence, on constate que puisque y est solution de
l'équation
différentielle du second ordre (E) sur I, elle est deux fois dérivable sur I et
l'on a
x I
y (x) = -(x)y(x)
La fonction étant de classe C sur I, elle est continue sur I. Par suite, y
est
continue sur I, comme produit de fonctions continues sur I, et donc y est de
classe C 2
sur I. Ainsi, P(2) est vraie.
Pour montrer l'hérédité de la propriété, supposons que la propriété P(k) est
vraie pour un certain k appartenant à N r {0; 1} et montrons que cela implique
que la propriété P(k + 1) est vraie. Soit donc k N r {0; 1} tel que la
solution y
de (E) sur I est de classe C k sur I. Montrons qu'elle est alors de classe C
k+1 sur I.
Puisque y est solution de (E) sur I, on a
x I
y (x) = -(x)y(x)
La fonction étant de classe C sur I, elle est de classe C k sur I. Par suite,
y est
de classe C k sur I comme produit de fonctions de classe C k sur I. Ainsi, y
est de
classe C k+2 sur I. En particulier, y est de classe C k+1 sur I ; c'est-à-dire
que la
propriété P(k + 1) est vraie. Ceci assure que P(k) = P(k + 1).
On en déduit que pour tout k > 2, P(k) est vraie. Par conséquent, pour tout
entier k, la fonction y est de classe C k sur I. Finalement,
Toute solution de (E) sur I est de classe C sur I.
Le résultat que nous venons de montrer pour les solutions de (E) sur I
se généralise sans peine aux solutions d'équations différentielles linéaires
d'ordre n N à coefficients réguliers résolues en y (n) et éventuellement
inhomogènes, c'est-à-dire de la forme
y (n) (x) + an-1 (x)y (n-1) (x) + · · · + a1 (x)y (x) + a0 (x)y(x) = f (x)
où a0 , . . . , an-1 et f sont n + 1 fonctions de classe C sur I.
Avec de bonnes hypothèses, notre résultat se généralise aussi à certaines
équations différentielles non linéaires d'ordre n N résolues en y (n) .
Le lecteur curieux pourra essayer de préciser ces hypothèses.
Le rapport du jury pour cette épreuve note dans ses considérations générales
qu'« une dégradation dans l'utilisation de la langue française [...]
accompagnée d'une imprécision générale du langage [conduit] par exemple [à]
une grande difficulté pour démontrer une équivalence de propositions ou pour
présenter un raisonnement par récurrence de façon cohérente. » On ne saurait
trop recommander aux candidats de soigner la rédaction de leur copie de la
première à la dernière question.
I.2 Soit y une solution de (E) sur I. Puisque I est symétrique par rapport à 0,
la fonction
(
I - R
z:
x 7- y(-x)
est bien définie sur I. En outre, d'après la question précédente, la fonction y
est
de classe C sur I. Il en découle que la fonction z est de classe C sur I,
comme
composée d'applications de classe C sur I. De plus,
z (x) = -y (-x)
x I
Par suite
x I
et
z (x) = y (-x)
z (x) + (x)z(x) = y (-x) + (x)y(-x)
Enfin, la fonction est paire sur I et la fonction y est solution de (E) sur I,
donc
x I
z (x) + (x)z(x) = y (-x) + (-x)y(-x) = 0
puisque -x I. En conséquence,
La fonction x 7- y(-x) est solution de (E) sur I.
I.3 D'après le résultat de I.1, f0 et f1 sont deux fonctions de classe C sur I.
Le résultat démontré à la question précédente assure en outre que les fonctions
(
(
I - R
I - R
g0 :
et
g1 :
x 7- f0 (-x)
x 7- -f1 (-x)
sont solutions de (E) sur I. De plus, la fonction g0 vérifie
g0 (0) = f0 (-0) = f0 (0) = 1
et
g0 (0) = -f0 (-0) = -f0 (0) = 0
Puisque f0 est l'unique solution de (E) sur I vérifiant ces conditions, il
vient que les
fonctions f0 et g0 sont égales. On en déduit
La fonction f0 est paire sur l'intervalle I.
De même, la fonction g1 vérifie
g1 (0) = -f1 (-0) = -f1 (0) = 0
et
g1 (0) = +f1 (-0) = +f1 (0) = -1
et puisque f1 est l'unique solution de (E) sur I vérifiant ces conditions, on
en déduit
que f1 = g1 . Ainsi
La fonction f1 est impaire sur l'intervalle I.
Puisque f0 est paire sur I et f1 est impaire sur I, et sachant que ces
fonctions ne sont pas nulles, elles forment une famille libre de l'espace
vectoriel C (I).
Le cours assure que l'ensemble des solutions sur I de l'équation différentielle
scalaire
linéaire homogène d'ordre 2 résolue en y (E) est un espace vectoriel de
dimension 2.
On en déduit que (f0 , f1 ) est une base de l'espace vectoriel des solutions de
(E) sur I.
Par conséquent,
La solution générale de (E) sur I est af0 +bf1
où a et b sont deux constantes réelles fixées.