CCP Maths 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Fonctions propres du laplacien dans le plan
Principaux outils utilisés séries entières, équations différentielles, intégrales à paramètre, coordonnées polaires, dérivation de composées de fonctions de plusieurs variables

Corrigé

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SESSION 2006 PCM2006 A CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est appelé à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. La partie III est indépendante des dent premières. PARTIE 1 Soit (Pn)ngN la suite de fonctions polynomiales définies sur IR par : Po(OE) = 1, Vn & ]N*, P,.(oe) = H(a: + k). k=l 1.1. Soient m EUR IN et n EUR IN. Donner une expression de P" (m) à l'aide de factorielles. Soit @ un nombre réel qui n'est pas un nombre entier strictement négatif. On définit la fonction fa de la variable réelle a: par : +°° (_1)næ2n fa(æ) : É 22"ann(a)' n=0 1.2. Montrer que fcz est définie sur IR tout entier. 1.3. On considère l'équation différentielle linéaire homogène en la fonction inconnue y de la variable réélle a: : - . ' (Eu) OEy"(æ) + (201 + l)y'(æ) + a:y(æ) : 0_ 1.3.1. Montrer que fa est solution de (E.,) sur IR. 1.3.2. Réciproquement, soit y une solution de (E.,), paire, et développable en série entière de la variable a: au voisinage-idea: : O. Exprimer y en fonction de fa et y(0). On suppose à présent, et jusqu'à la fin de la partie I de ce problème, que a & %. 1.4. Soit ga la fonction définie sur ]0, +oo[ par :' Va: EUR]O, +oo[, ga(x) : x"2af_a(æ). 1.4.1. Montrer que 904 est solution de (E,) sur ]0, +oo[. 1.4.2. En comparant les limites à droite en 0 de fa et g... montrer que ces fonctions sont linéairement indépendantes dans C2 (]0, +oo[, IR). En déduire la solution générale de (E.) sur ]0, +oo[. 1.4.3. Soit y une fonction de classe C2 sur ] ---- oo, 0[ à valeurs réelles. Montrer que y est solution de (Eu) sur ] -- oo, 0[ si et seulement si la fonction a: +---> y(----æ) est solution de (E..) sur ]0, +oo[. En déduire la solution générale de (EQ) sur ] ---- oo, 0[. 1.5. Soit ja la fonction définie sur ]0, +oo[ par ja(æ) : æ"fa(oe). 1.5.1. Montrer que ja est solution sur ]0, +oo[ de l'équation différentielle : (Ba) x2y"(OE) + æy'(OE) + (sa? -- a2)y(x) = 0- Que peut--on dire de j_Cz ? 1.5.2. En déduire la solution générale de (Ba) sur ]0, +00[ puis sur ] ---' oo, 0[. PARTIE 11 Dans cette partie, oz désigne un nombre réel strictement supérieur à --l. 2 On définit la fonction ha de la variable réelle x par : 1 _ ha(æ) : /0 (1-- t2)°'"% cos xt dt. 11.1. Montrer que ha est définie et de classe C2 sur IR. 11.2. ' 1 , 11.2.1. Montrer que pour tout a: E IR on a oehä(oe) + æha(æ) : / (l ---- t2)a+%æ cos xt dt. 0 11.2.2. A l'aide d'une intégration par parties, en déduire que ha est solution de (Ed) sur IR. 11.3. Montrer que ha est développable en série entière de a: sur IR, et que l'on a : +oo ' «. _ (--1)nIn(a)xzn Va: & IR, ha(æ) ... % (Zn)! , , '1 1 où In(a) : / (1 -- t2)a"ît2n dt. ' 0 11.4. Exprimer ha en fonction de ha(0) et fa. . 11.5. En déduire pour tout 77. EUR IN une expression de In(oz) en fonction de n, P,.(a) et IO(oz). PARTIE III Soit F : IR2 --- {(O, O)} --> IR une fonction de deux Variables réelles a: et y de classe 62 sur lR2 - { (O, O)}. On lui associe la fonction F de classe 62 sur ]0, +oo[le définie par : F(r, EUR) = F(r cos 9, 7" sin 9) pour tout (730) EUR]0, +oo[le. 2 2 On note AF le laplacz'en de F, défini par AF = ê----F-- + (--9--IÎ. 85132 fifi III.1. Montrer que pour tout (7°, 9) EUR]0, +oo{le on a : 2 " " 2 " AF(rcosâ,rsin9) = %;â--(nâ) +}1- %EUR--(r,9) +;ä- %%(T,9). On se propose de déterminer les fonctions F non identiquement nulles telles que F soit de la forme F (r, 9) = f (r)g(9) et que AF + w2F = 0, où ca est un nombre réel positif ou nul, et f et g des fonctions de classe C2 sur ]0, +oo[ et IR respeCtivement. III.2. Soient F , F, f et g vérifiant les conditions ci--dessus. III.2.1. Montrer que g est 27r--périodique. III.2.2. Montrer qu'il existe un nombre réel A tel que l'on ait simultanément : (i) V7" EUR]O, +oo[, r2f"(r) + rf'(r) + (T'2w2 -- À)f(r) = 0, (ii) V9 EUR IR, g"(9) + Àg(9) = O. III.2.3. Déduire de la questionllI.2.l. que le nombre réel A est nécessairement de la forme À =p2, avecp EUR IN. III.2.4. En déduire la forme générale de g. On distinguera le cas où p = 0 et le cas où p ;é 0. 111.3. On suppose dans cette question que w = O. III.3.1. Déterminer la forme générale de f dans le cas où p = O. III.3.2. Déterminer la forme générale de f dans le cas où p # 0. On pourra commencer par chercher les fonctions f qui sont de la forme f (7) = T". III.4. On suppose dans cette question que a) # O_. ' _ « r Soit f1 la fonction définie sur ]0, +oo[ par f1(r) = f (;) Montrer que f1 est solution sur ]0, +oo[ de l'équation différentielle : (Bp) T2y"(7") + ry'(7'l + (?"2 ---- p2)y(r) == Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan). Il s'agit d'un sujet d'analyse très classique, au cours duquel le candidat étudie plusieurs familles d'équations différentielles linéaires ainsi que les propriétés de leurs solutions. Ce problème s'articule autour de trois parties, de longueur et de difficulté comparables. · On considère d'abord deux familles (E )R et (B )R d'équations différentielles ordinaires homogènes d'ordre deux. À l'aide de séries entières, on exhibe une base de l'espace des solutions de chacune de ces équations. · La deuxième partie étudie une famille (h )R de fonctions définies chacune par une intégrale à paramètre, et établit en particulier qu'elles sont solutions des équations différentielles (E )R . · Enfin, on étudie dans la troisième partie les valeurs propres et vecteurs propres du Laplacien sur R2 . En s'intéressant aux fonctions propres qui sont de la forme F(r, ) = f (r)g() en coordonnées polaires, on montre que f satisfait une équation différentielle du type B , créant ainsi un lien avec l'étude menée au cours des deux premières parties. Ce sujet ne devrait pas présenter de difficulté à l'étudiant habitué aux techniques classiques d'analyse en seconde année de CPGE : séries entières, intégrales à paramètres, équations différentielles, dérivation de composées de fonctions de plusieurs variables. Il s'agit donc d'un excellent problème pour s'assurer que l'on maîtrise les méthodes et outils de base pour ces thèmes. Indications Partie II II.3 D'après le développement en série entière de la fonction cosinus, Z 1 X (-1)n x2n 2 - 21 dt h (x) = (1 - t ) (2n)! 0 n=0 Justifier l'interversion de la somme et de l'intégrale. II.4 Remarquer que h est paire et utiliser la question I.3.2. Partie III e = F où III.1 Remarquer que F (r, ) ] 0 ; + [ × R (r, ) = (r cos , r sin ) Utiliser alors la règle de dérivation de la composée de fonctions de plusieurs e 2F e e F 2F variables pour en déduire , et . 2 r r 2 III.2.1 On a f (r)g() = F(r cos , r sin ) pour tous r et . Établir qu'il existe r0 > 0, F(r0 cos , r0 sin ) tel que f (r0 ) 6= 0, pour en déduire que g() = . f (r0 ) III.2.2 Compte tenu de l'équation différentielle établie à la question III.1, vérifier que pour tous r > 0 et R r2 f (r) + rf (r) + r2 2 f (r) g() + f (r)g () = 0 () Évaluer cette expression en r0 , tel que f (r0 ) 6= 0, pour en déduire l'équation différentielle satisfaite par g. Puis réinjecter cette équation dans (). III.2.3 Résoudre l'équation différentielle satisfaite par g selon le signe de . Utiliser le fait que g est 2-périodique pour s'assurer que ne peut être strictement négatif. Dans le cas où > 0, on peut écrire = p2 avec p = > 0. Vérifier que p est entier à l'aide de la périodicité de g. III.3.2 S'assurer que k1 (r) = r-p et k2 (r) = rp sont des solutions de l'équation différentielle satisfaite par f . Ne pas oublier de vérifier qu'elles sont linéairement indépendantes de manière à pouvoir décrire l'espace de ses solutions. Partie I I.1 Soient m et n deux entiers positifs. Calculons une expression de Pn (m) à l'aide de factorielles en supposant d'abord que n est strictement positif : n Pn (m) = + n)! (m + k) = (m + 1)(m + 2) · · · (m + n) = (mm! k=1 (1) Dans le cas où n = 0, P0 (m) vaut 1 par définition, ce qui peut se récrire P0 (m) = 1 = m! (m + 0)! = m! m! Par conséquent, l'expression (1), valide a priori uniquement lorsque n n'est pas nul, peut être généralisée au cas n = 0. En résumé, (n, m) N2 I.2 Posons n N Pn (m) = an = (m + n)! m! (-1)n n () 22n n! P qui est bien défini, puisque n'est pas entier P et Pn () n'est donc pas nul. Calculons le rayon de convergence de la série entière an xn . P Une méthode de calcul du rayon de convergence d'une série entière an xn , dérivée de la règle de d'Alembert, consiste à étudier le rapport an /an+1 . S'il admet une limite, finie ou infinie, il s'agit du rayon de convergence. an (-1)n 22(n+1) (n + 1)! Pn+1 () = 2n an+1 2 n! Pn () (-1)n+1 On a = 22 (n + 1)| + n + 1| P qui tend vers + lorsque n tend vers l'infini. La série entière an xn a donc un rayon de convergence infini. Si y est un réel arbitraire, cette série, évaluée en x = y 2 , converge et la valeur de la somme est précisément f (y). La fonction f : x 7- X (-1)n x2n est définie sur R tout entier. 22n n! Pn () n=0 I.3.1 Comme f est la somme d'une série entière, elle est de classe C sur R et ses dérivées successives s'obtiennent par dérivation terme à terme de la série entière. Ainsi, x R et f (x) = X 2n(-1)n x2n-1 n=1 x R 22n n! P f (x) = n () = X n=1 (-1)n x2n-1 - 1)! Pn () 22n-1 (n X (2n - 1)(-1)n x2n-2 n=1 22n-1 (n - 1)! Pn () Soit x R. Calculons chacun des termes de l'équation différentielle proposée, en effectuant dans chaque somme le changement d'indice qui s'impose, de manière à pouvoir combiner aisément les sommes : xf (x) = X (-1)n x2n+1 n=0 (2 + 1)f (x) = X (2 + 1)(-1)n x2n-1 n=1 et xf (x) = 22n n! Pn () 22n-1 (n - 1)! Pn () X (2n - 1)(-1)n x2n-1 n=1 22n-1 (n - 1)! Pn () = X (2 + 1)(-1)n+1 x2n+1 = 22n+1 n! Pn+1 () n=0 X (2n + 1)(-1)n+1 x2n+1 22n+1 n! Pn+1 () n=0 Les trois séries ci-dessus étant convergentes, on peut les additionner terme à terme. P Par suite, xf (x) + (2 + 1)f (x) + xf (x) est de la forme vn x2n+1 avec n N (-1)n (-1)n+1 (2 + 1) (-1)n+1 (2n + 1) + + 2n+1 22n n! Pn () 22n+1 n! Pn+1 () 2 n! Pn+1 () n 1 +n+1 (-1) = 2n - 2 n! Pn () Pn+1 () vn = vn = Donc (-1)n Pn+1 () - ( + n + 1)Pn () =0 22n n! Pn ()Pn+1 () xf (x) + (2 + 1)f (x) + xf (x) = X vn x2n+1 = 0 n=0 Puisque x était un réel arbitraire, on a obtenu que f est solution sur R de l'équation différentielle (E ). I.3.2 Soit y une solution de (E ), paire et développable en série entière. Notons R son rayon de convergence. On sait, d'après le cours, que seuls des termes de degré pair apparaissent dans le développement en série entière de y. Rappelons comment ce résultat est obtenu. On sait que y est la somme de sa série de Taylor sur son intervalle ouvert de convergence : x ] -R ; R [ y(x) = (n) X y (0) n=0 n! xn Puisque y est paire, toutes ses dérivées d'ordre impair sont des fonctions impaires, dont la valeur en 0 est nécessairement nulle. De même, si y est impaire, ce sont les termes de degré pair dans son développement en série entière qui sont nuls. Il existe donc une suite de réels (an )nN , tels que x ] -R ; R [ y(x) = X an x2n n=0