CCP Maths 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Application de l'étude des séries entières au calcul d'intégrales
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier, séries entières, intégrales à paramètres

Corrigé

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 SESSION 2004 . PCMZOO7 CONCOURS (OMMUNS POlYTECNNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites **** NB.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et a' la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en appliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** La partie Il peut être traitée indépendamment des parties 1 et III. PARTIE 1 +00 On considère la série entière E --n_szn de la variable complexe 2, où 3 est un nombre réel , n=1 donne. I.1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. 1.2 Dans cette question, 2: : ei9 désigne un nombre complexe de module 1. +00 1.2.1 Etudier la convergence de Z n"szn dans le cas0ù s > 1 ainsi que dans le cas n=1 où 3 S 0. +00 1.2.2 Dans le cas où 0.< s 5 l, étudier la convergence de Z n"szn pour 2 = l. ' n=1 1.2.3 Toujours dans le cas où 0 < 3 S 1, on suppose que 2 # 1. On pose So : O, et pour tout nombre entier n E N'", Sn : Z Z,". k=l 1 :: _ QI. 'SH12 Montrer que |Sn| S M(9) pour tout 77. EUR IN, avec M(9) En écrivant z'" sous la forme Sk -- Sk_1 pour tout nombre entier k EUR IN, montrer que : n n---1 ' Vn EUR IN*, 2 k'szk = 2 S,. [w -- (k + 1)--3] + Sun--s. k=1 k=1 +oo Montrer que la série 2 S., [ra--s ---- (n + U") est convergente et en déduire que la série n=1 +00 5 72--82" est convergente. n=1 +oo Nous noterons dorénavant cp(z,s) la somme Zn""z" pour tout couple (2,3) EUR (D >< IR n=1 pour lequel cette série est Convergente. 1.3 On note [ l'intervalle ouvert ] -- 1, +1[ de IR. 7: t 1.3.1 Montrer que pour tout (32,3) EUR ] >< IR on a cp(oe,s + 1) = / ÇP( t's)dt. 0 I.3.2 Calculer ga(oe,0) et go(cc, 1) pour tout 3: EUR [. 1.4 On suppose dans cette question que 3 > 1. 1.4.1 Soit fn la fonction définie sur [O, +oo[ pour tout n EUR IN'" par f,,(t) : e'"'ts°l. +oo Montrer que fn est intégrable sur [O, +oo[ et exprimer f,,(t)dt à l'aide de n, 3 et 0 +00 +00 l'intégrale F(s) : / e°'ts_ldt : f1(t)dt. 0 0 1.4.2 Soit 2 un nombre complexe de module inférieur ou égal à 1. Montrer que +oo la série z z"fn(t) de fonctions de la variable réelle t est intégrable terme a terme sur n=1 ]0, +oo[. En déduire que pour tout 3 > 1 et tout z EUROE tel que |z| S 1, on a : (1) cp(z,s)= FÎS)/O 00 t5-- dt. et--z PARTIE II +oo Pour tout nombre réels > 1, on pose Ç(s) : cp(1,s) : En". n=1 II.] Montrer que Ç est une fonction indéfiniment dérivable de la variable 3 sur ]1, +oo[. 11.2 Montrer que { est strictement décroissante sur ]1, +oo[. II.3 Montrer que pour tout 3 EUR]1,+oo[ on a : 0 g Ç(s) _ 1 g /+oet'sdt g Ç(s). En déduire la limite de Ç(s) lorsque 3 tend vers +00. Déterminer un équivalent de Ç(s) lorsque 3 tend vers 1 par valeurs supérieures à 1. PARTIE III III.1 Soit g la fonction de la variable réelle a: définie par : (i) g(æ) = (" " "')2 pour tout 51: EUR [0,2fl. 2 (iz) g est périodique de période 27r. III.1.1 Montrer que g est paire. Développer g en série de Fourier réelle. Etudier l'égalité entre 9 et la somme de sa série de Fourier. III.1.2 Calculer les valeurs de Ç (2) et Ç(4), où Ç est la fonction définie dans la partie précédente. III.2 Soit 0 un nombre réel. On note ch(9) la partie réelle de go (629,2), où cp est la fonction définie à la question 1.2. III.2.1 Exprimer ch(9) a l'aide de g(9). 111.2.2 En déduire que pour tout 9 EUR IR on a : +00 t t 9 _1 2 / (EUR COS ""'--) dt =9(9) -- î--- 0 e" -- 26t cos9 +1 12 III.2.3 Déduire de ce qui précède la valeur des intégrales : +00 t d +00 t d +00 td [ =' t I = t I = ---- t. 1 /0 et--l ' 2 /0 et+l ' 3 _/0 sht III.3 Soit 3 un nombre réel strictement positif. III.3.1 Montrer que pour tout 9 EUR IR on a les égalités : "__--"_"dt : F 1 --(s+1) 9) /0 e2t--28tcosô+1 (3+ )7ên cosn +°° tsetsin0 , +oo ( ... [; mdt : P(3 +1)Z n sm n9. ' n=1 III.3.2 En déduire (les expressions des intégrales : +oo ts d +00 ts d I = t = t (3) /0 cht ' J(S) /0 sht ' +oo +00 . en fonction des sommes Sl(s) : Z(2k + 1)'(3+1), Sg(8) : Z(--l)k(2k + 1)_(5+1) et de k=0 k=0 F(s+1). Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 PC 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Lévy (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet est un grand classique, qui tourne autour de la fonction 1 P : s 7 s n=1 n de Riemann. Les principaux outils mis en oeuvre sont les séries entières et les intégrales à paramètres. · La première partie propose d'étudier une version généralisée de la fonction , sous la forme de la série entière zn P s n=1 n Après avoir soigneusement examiné ses domaines d'existence selon z et s, on montre un lien avec la fonction d'Euler. · La deuxième partie se consacre à la fonction , dont on étudie la régularité, la monotonie, les limites (en 1 et en +) et un équivalent classique lorsque s 1+ . · La troisième partie vise à calculer quelques intégrales en s'appuyant d'abord sur un calcul usuel de (2) et (4) au moyen des séries de Fourier, puis en utilisant la relation vue à la première partie avec la fonction . Ce problème est de difficulté modérée, en dépit de la richesse des résultats obtenus, parce que l'énoncé est nettement directif ; en outre, vous êtes supposé être déjà familier avec plusieurs des questions posées, qui sont très classiques. Tout ceci en fait un excellent sujet de révision. Indications Partie I I.1 Appliquer le critère de d'Alembert pour les séries entières. I.2.1 Utiliser les résultats sur les séries de Riemann. I.2.3 Pour démontrer la convergence de la série, majorer le module de son terme général en utilisant le début de la question et la monotonie de t 7- t-s . I.3.1 Intervertir la somme et l'intégrale. I.4.1 Effectuer le changement de variable u = nt. I.4.2 Intégrer terme à terme et utiliser la question I.4.1. Partie II II.1 Montrer que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact de l'intervalle ] 1 ; + [. II.3 Utiliser les comparaisons série­intégrale. Partie III III.1.1 Pour montrer la parité de g, se ramener à x [ 0 ; 2 [. III.1.2 Appliquer g en une valeur particulière puis utiliser la formule de Parseval. III.2.2 Utiliser la question I.4.2. . 2 III.3.1 Considérer les parties réelles et imaginaires dans la formule (1) de la question I.4.2. III.3.2 Appliquer le résultat de la question précédente à = 0, et . 2 III.2.3 Appliquer le résultat de la question précédente à = 0 et = Ce sujet fait un usage intensif des séries, en utilisant une notation qui peut prêter à confusion. Afin d'écarter tout doute, voici les conventions usuelles : P · pour désigner une série, on utilise le symbole sigma sans indice : un ; · la somme de la série (lorsque cette dernière converge) est normalement P notée un . n=0 P Le défaut de la notation un est de ne pas préciser l'indice à partir duquel on effectue la sommation, disons n0 pour fixer les idées, par exemple dans une série tronquée. Lorsque le contexte ne permet pas de leverPfacilement toute ambiguïté, certains enseignants recourent à la notation un pour n>n0 désigner la série, alors que syntaxiquement cette écriture devrait désigner la somme. D'autres enseignants utilisent au contraire cette notation comme abréviation de la somme. Le statut de cette notation est donc ambigu et, finalement, seul le contexte permet de comprendre ce que l'on a voulu dire. P L'auteur de l'énoncé a fait le choix d'utiliser la notation un pour n=n0 désigner une série, et non sa somme. Afin de faciliter votre lecture, nous suivons au plus près les notations de l'énoncé et nous adoptons par conséquent la même convention dans ce corrigé. Gardez toutefois à l'esprit que cette convention P n'est pas usuelle et que vous pouvez sans crainte adopter la forme classique un si elle vous semble plus naturelle : lorsque les notations sont aussi proches, c'est la justesse, la précision et la clarté de vos réponses qui seront évaluées, pas vos notations. Partie I I.1 Soit s un nombre réel et n > 1. On a 1 (n + 1)-s -s ln 1+ n = e ---- 1 n n-s Le critère de d'Alembert pour les séries entières montre alors que P 1 n z est 1. s n=1 n + Le rayon de convergence de la série entière I.2.1 Soit z = e i un nombre complexe de module 1 et s un réel. On a zn 1 = s s n n C'est une série de Riemann qui converge si et seulement si s > 1. De plus, si s 6 0, la suite (1/ns )nN ne tend pas vers 0 donc la série associée ne peut converger. En résumé, La série converge absolument si s > 1 et diverge grossièrement si s 6 0. Pour redémontrer ce résultat sur les séries de Riemann, on utilise les comparaisons série-intégrale. Si s 6 0, la suite (1/ns )nN ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement. 1 Si s > 0, la fonction t 7- s est positive et décroissante sur [ 1 ; + [. t 1 À l'aide du schéma suivant, on voit qu'on peut encadrer s (qui est à la n fois l'aire du rectangle R et celle du rectangle R ) par les deux intégrales, calculées entre n et n + 1 d'une part, et n - 1 et n d'autre part. ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... ..... ..... ..... ...... ........ .......... .............. R R ............... 1 ns n-1 0 Z n+1 n n 1 1 dt 6 s 6 ts n n+1 n 1 s t n-1 Z Pour s 6= 1, cela donne Z N+1 Z N Z N N 1 P 1 1 1 dt 6 6 dt = dt + Cte s s s s t n t t n=2 2 1 2 Les deux intégrales se comportent de la même manière lorsque N tend vers l'infini : étudions celle de droite. N Z N 1 1 1 1 1 1 dt = = - s 1 - s ts-1 2 s - 1 2s-1 Ns-1 2 t Regardons ensuite sa limite lorsque N tend vers l'infini, pour pouvoir en déduire le comportement de la série. 1 1 1 1 1 · Si s > 1, - s-1 ----- N+ s - 1 s - 1 2s-1 N 2s-1 donc la série converge. 1 1 1 · Si s < 1, - s-1 ----- + N+ s - 1 2s-1 N donc la série diverge.