CCP Maths 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude de la suite de fonctions de terme général n-x(n-1)!Πk=0n(x+k)
Principaux outils utilisés convergences simple et uniforme, séries numériques, développements limités

Corrigé

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 SESSION 2003 | PCMZOO7 CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUÈ -- FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites ' **** N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'ila été amené à prendre. **** PARTIE 1 Pour tout nombre réel u EUR]O, 1[ on définit la fonction cpu de la variable réelle t par : -- Pour tout t EUR [--7r, +7r[, cpu(t) : cos ut, -- La fonction cpu est périodique de période 271". +00 1 Soit --2-ao(u) + z a,,(u) cos nt la série de Fourier de la fonction 9%. n=1 I.1 Calculer a,,(u) pour tout n EUR IN. _ La fonction cpu est-elle égale en tout point de IR à la somme de sa série de Fourier ? 1.2 En déduire, pour tout u EUR]0, 1[, l'égalité : +oo 7rcos 7... 1 __ 2 Zu sin7ru u _ n___1 u2 -- n2' æ2 I\.3 Montrer que la série de fonctions de terme général u,,(æ) = ln (l ---- --2--) , n EUR N°", n converge simplement sur [O, 1[, et que la série de foncti0ns de terme général uÇ,(æ) converge normalement sur tout segment [O, a] C [0,1[. +a> En déduire une expression de z un(æ) pour tout 33 EUR [0,1[. n=1 ' 1.4 Soit (sn)nEUR1N la suite de fonctions définies pour tout 33 EUR IR par la récurrence : 2 30(oe) : a:, sn(æ) : (l -- OE--) sn_1(æ) pour tout n EUR IN*. 1.4.1 Montrer que la suite de fonctions (Sn)nEURlN converge simplement sur IR. Nous noterons 3 sa limite. æ+n+l OE'--71 1.4.2 Montrer que pour tout n EUR IN"' et tout :v EUR IR on a sn(æ+1) : sn(æ). En déduire que s(oe + 1) : --s(oe) pour tout 3: EUR IR. 1.4.3 Calculer s(x) pour tout 33 EUR [0,1[. sin 7roe En déduire que pour tout a: EUR IR on a s(oe) : 7r PARTIE II On considère la suite ( fn)nEURlN* de fonctions définies pour tout &: EUR IR par : --x _x n--l n n fn(æ) : (n_1)'æ(oe+l) (æ+n--l)= (n--1)'H(æ+k) k=0 11.1 11.1.1 Soit 19 EUR IN un nombre entier naturel. Déterminer _l_1Æl fn(--p). 11.1.2 On suppose que 3: n'est pas un nombre entier négatif ou nul. Montrer que la suite ( fn(oe))nelN. converge vers une limite non nulle (on pourra con- fn+l(æ) fn(æ) déterminera en fonction de 33). Nous noterons f la fonction lir_|n f... définie sur IR tout entier. ?).--> 00 , défini à partir d'un certain rang Na: que l'on sidérer la série de terme général ln 11.2 Montrer que pour tout oe EUR IR on a f(x) : xf(æ +1). Calculer f(1) et en déduire f(n) pour tout n EUR IN'". sin 7roe II.3 Montrer que pour tout x EUR IR on a f(oe)f(l --- ;p) : 7r fn(oe)fn(l _ il?) On pourra étudier, pour n EUR N'" le rapport ( ) sn x 11.4 On se propose dans cette question de montrer que pour tout :1: EUR IR et tout ]) EUR IN'" on a la relation : II.4.1 Montrer que la relation (1) est vérifiée lorsque pac est entier négatif ou nul. II.4.2 On suppose que px n'est pas entier négatif, et soit n un élément quelconque Ppæ_lfpn(pæ) p--1 le de N'". Montrer que ne dépend pas de a:. En déduire que f vérifie une relation du type : où A,, est un nombre réel positif ou nul dépendant de p. . 1 . . 11.4.3 En écr1vant pour :1: = -- la relation c1--dessus, montrer que : En déduire une expression de A; en fonction de p et de H sin Î' k=1 11.4.4 Montrer l'identité suivante entre fonctions polynômes de la variable réelle oe : p--1 --2 2 p--1 2 2k7T (3: +3? ---+oe+1) ==H cc --2:ccos--+l . le:] p p--1 . , . . k7r . . En donnant a ac la valeur 1, en déduire les valeurs de Hs1n ----- et de A... a1n81 que la P k=1 relation (1). PARTIE III +oo Soit I' la fonction de la variable réelle a: définie par P(oe) : / e"ttOE--ldt. 0 111.1 Déterminer le domaine de définition D de l' et montrer que I' est indéfiniment dérivable sur D. . n t n III.2 Pour tout :c EUR]0, +00[ et tout n EUR N'" on pose Gn(oe) : / (l -- --) tx"1dt. 0 n 1 III.2.1 On pose gn(oe) : ] (l -- u)"uæ_ldu. Déterminer une relation entre gn(oe) et 0 gn_1(æ + 1) et en déduire l'expression de gn(æ) enfonction de a: et n. n En dédllil'EUR que Gn(oe) : .... t '" III.2.2 Montrer que pour tout t E [O,n] on a les inégalités e"t 2 (1-- --) et . t " t " t2 " et 2 (1 + --) . En déduire que l'on a 0 S e_t-- (l -- --) S @"lt [1 --- (1-- --) ] pour n n tout t EUR [0,72] . III.2.3 Montrer, par récurrence sur n, que l'on a (1 -- a)" Z 1 --- na pour tout a EUR [O, 1] et tout n E N'". En déduire que pour tout t E [O, n] on a les inégalités : n 2--t O 

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 CCP Maths 2 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l'Université) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet comporte trois parties distinctes qui, bien que liées, peuvent être traitées indépendamment les unes des autres : les résultats utiles de chaque partie sont en effet mentionnés dans l'énoncé. On y étudie la convergence de différentes suites et séries de fonctions. Dans la partie I, on étudie une série et une suite de fonctions, et l'on établit des expressions de leurs limites respectives. Dans la partie II, on commence l'étude d'une suite de fonctions et de sa limite simple f , qui constitue en fait le but du sujet. On établira diverses propriétés de cette fonction, ainsi qu'une équation fonctionnelle dont elle est solution. Enfin dans la partie III, on introduit deux nouvelles suites de fonctions, définies par des intégrales et liées à la suite étudiée dans la partie précédente. On finit par établir que f est l'inverse de la célèbre fonction ; on se rend compte a posteriori que la partie II présente en fait une autre définition de la fonction (ou plutôt de son inverse). Ce sujet ne présente pas de grosse difficulté : on y utilise des développements limités pour montrer les sommabilités des séries étudiées, et on établit facilement des relations de récurrences qui fournissent les équations fonctionnelles recherchées par passage à la limite. Notons toutefois que l'énoncé est assez mal rédigé et comporte une ou deux erreurs problématiques, comme la division par une fonction qui s'annule aux questions I.4.2 et III.2.1 ! Indications Partie I Z 1 (t) cos(nt) dt pour le développement de I.1 Utiliser la formule an () = - Fourier de en cosinus. Noter que u est de classe C 1 par morceaux. I.2 Calculer u (). I.3 Majorer un sur [ 0 ; a ]. Utiliser ensuite l'intégrabilité terme à terme des séries normalement convergentes et la question I.2. I.4.2 Procéder par récurrence sur n en utilisant la définition de sn . Il est plus simple de considérer des polynômes. Passer ensuite à la limite. I.4.3 Passer au logarithme et utiliser la question I.3. Partie II II.1.1 Faire apparaître un facteur (X + p) dans l'expression de fn (X) pour n assez grand. II.2 Calculer xfn (x + 1) pour n N . II.3 Faire apparaître le facteur sn-1 (x) dans l'expression de fn (x)fn (1 - x). II.4.1 Effectuer la division euclidienne de -px par p pour montrer l'annulation du membre de droite de (1). II.4.2 Calculer fpn (px) et faire apparaître des doubles produits au moyen de p-1 k divisions euclidiennes des indices par p. Calculer ensuite fn x + . k=0 p Appliquer la relation obtenue entre ces deux quantités à x = 1/p et passer à la limite quand n tend vers l'infini. II.4.4 Décomposer sur C le membre de gauche. Partie III III.1 Étudier l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [. Pour la dérivabilité de , faire apparaître une convergence dominée sur tout compact. III.2.1 Intégrer par parties. Pour le calcul de Gn , effectuer le changement de variable t = un. III.2.2 Montrer que pour tout réel x, on a 1 + x 6 ex . III.3 Montrer d'abord le résultat sur D, puis sur R, en établissant une relation entre f (x) et f (x + n) pour n N. Partie I I.1 Les coefficients de Fourier de la fonction paire u sont définis par Z Z 1 1 n N an (u) = u (t) cos(nt) dt = cos(ut) cos(nt) dt - - cos ((u + n)t) + cos ((u - n)t) 2 Comme u ] 0 ; 1 [, on a u + n 6= 0 et u - n 6= 0. En outre, Z 2 sin() sin(t) 6= 0 cos(t) dt = = - - Or, t R si bien que cos(ut) cos(nt) = sin ((u + n)) sin ((u - n)) + (u + n) (u - n) n (-1) sin(u) 1 1 = + u+n u-n n N Par conséquent, an (u) = an (u) = (-1)n n N 2u sin(u) (u2 - n2 ) La fonction u étant paire, son développement en série de Fourier ne comporte que des termes en cosinus : c'est pour cela qu'on ne calcule que les coefficients an (u). Comme u est de classe C 1 sur [ - ; [, elle est par périodicité de classe C 1 par morceaux sur R : elle coïncide alors avec la somme de sa série de Fourier (qui converge simplement) en tout point de R, soit x R u (x) = a0 (u) +P + an (u) cos(nx) 2 n=1 I.2 En particulier, pour x = , il vient u () = soit cos(u) = a0 (u) +P + (-1)n an (u) 2 n=1 2u sin(u) sin(u) +P + 2 2 u n=1 (u - n ) Or, sin(u) 6= 0 pour tout u ] 0 ; 1 [, donc u ]0;1[ + P cos(u) 1 2u - = 2 sin(u) u n=1 (u - n2 ) Cette égalité montre que le membre de gauche tend vers 0 quand u tend vers 0, ce qui permet ainsi de le prolonger par continuité en 0 et de l'intégrer sur tout segment [ 0 ; a ] [ 0 ; 1 [. I.3 Pour tout n N , un (0) = 0 donc la série de terme général un (0) converge. De plus, à x ] 0 ; 1 [ fixé, x2 x2 un (x) = ln 1 - 2 - 2 n n+ n Deux séries à termes positifs équivalents en l'infini sont de même nature : comme P P 1/n2 converge, il en découle que un (x) converge. Par conséquent, n>1 n>1 La série de fonctions P un converge simplement sur [ 0 ; 1 [. n>1 Soit un segment [ 0 ; a ] [ 0 ; 1 [ ; on a n N d'où un (x) = x [0;a] n N |un (x)| 6 x [0;a] 2a n2 - a2 Or, -2x/n2 2x = 2 1 - x2 /n2 x - n2 n+ n2 2a - a2 2a n2 qui est le terme général d'une série convergente : de ce fait, La série de fonctions P 2a converge. 2 - a2 n n>1 P un converge alors normalement sur [ 0 ; a ] et d'après la n>1 question I.2, + x ]0;a] P n=1 un (x) = cos(x) 1 - sin(x) x La convergence normale de permet alors d'intégrer cette série P terme à terme sur le segment [ 0 ; a ] et d'écrire, grâce à la convergence simple de un sur ce même segment, + Z a + + X P P a ]0;1[ un (a) = un (0) + un (t) dt P un n=1 n=1 + = P 0+ n=1 Or, x ]0;a] Comme a Z a 0 n=1 0 + P un (t) n=1 dt a Z a cos(t) dt dt - sin(t) n=1 x x x t h ia h ia = ln sin(t) - ln t x x Z a + P sin(a) sin(x) un (t) dt = ln - ln a x n=1 x Z + P Z un (t) dt = sin(x) ---- , on déduit des deux égalités précédentes que x x0+ + P sin(a) a ]0;1[ un (a) = ln a n=1