CCP Maths 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Polynômes de Legendre
Principaux outils utilisés séries entières, séries de Fourier, équations différentielles linéaires, dérivation, théorème de Rolle

Corrigé

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 SESSION 2002 A PCMZOO7 CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures "___--___" Les calculatrices sont interdites * * * * N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** La partie I V peut être traitée indépendamment des autres. W Pour tout n e [N, on note P,. la fonction polynôme de la variable réelle x définie par : P"... : 2"lnl £» l< lR ? Tournez la page SVP 111.2 Déduire de la question précédente le développement en série de Fourier F (x,9) : Zun(x)cosn6 de F (x,9) considérée comme fonction de la variable 9 , ainsi que le n=0 +oo développement en série entière F (x,9) : Zvn (6)x" de F (x,9) considérée comme fonction de la n=0 variable x . sin(n + 1)9 , cette dernière sm 9 111.3 Montrer que pour tout 9 & IR on a Z_Pk(cosâ)Pn_k(cosû)= k=0 fonction de 9 étant supposée prolongée par continuité lorsque 9 est multiple entier de 7r. PARTIE 1 Soit /'L un nombre réel non entier relatif. On considère l'équation différentielle linéaire en la fonction inconnue 2 de la variable réelle x , à valeurs réelles : (La) (1 -- x2)z"(x) -- 2xz'(x) + 11(1 + 1)z(x) : 0 . On se propose de déterminer les solutions de (L1) développables en série entière au voisinage de 0 . +oo IV.1 Soit z(x)= Eaux" la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul. n=0 Déterminer la relation qui doit lier an+2 et oc,l pour que 2 soit solution de (La). IV.2 En déduire l'expression de au pour tout n EUR IN. IV.3 Quel est le rayon de convergence des séries entières ainsi obtenues ? Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) ; il a été relu par Walter Appel (professeur en CPGE) et David Lecomte (ENS Cachan). Ce sujet porte sur l'étude des polynômes de Legendre ; il se compose de quatre parties. · Dans la première partie, on définit la suite des polynômes de Legendre pour s'intéresser notamment à la parité des différentes fonctions, ainsi qu'à leurs racines. On en déduit une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre, dont la résolution fait l'objet de la dernière partie. · La deuxième partie se consacre à l'étude d'une fonction réelle de deux variables. Après avoir étudié l'ensemble de définition, on admet un développement en série sur un sous-ensemble, pour ensuite obtenir diverses relations de récurrence entre les coefficients, et ainsi retrouver la même équation différentielle que précédemment. Cette partie se termine en établissant le lien qui existe entre les coefficients du développement en série et les fonctions polynomiales du début. · On s'intéresse dans la troisième partie au développement en série de Fourier de fonctions réelles de deux variables. On s'interroge notamment sur l'égalité entre la fonction et la série de Fourier associée pour, dans un dernier temps, en déduire une égalité remarquable sur les polynômes de Legendre. · Enfin, on cherche dans la dernière partie, qui pourra être traitée indépendamment des autres, des solutions développables en série entière au voisinage de 0 pour l'équation différentielle vérifiée par les polynômes de Legendre. Ce problème aborde une grande partie des notions d'analyse développées au cours de l'année. Il ne présente pas de difficulté théorique majeure, mais demande d'effectuer un certain nombre de calculs avec soin. Indications Partie I I.2 Utiliser la dérivation des fonctions composées (ici x 7- -x). I.3 S'intéresser à la parité. I.4 On pourra dériver directement dans un premier temps puis dériver en considén+1 n rant x2 - 1 comme produit de x2 - 1 par x2 - 1 . Utiliser également le théorème de Leibniz sur la dérivée ne d'un produit de fonctions. I.5 Penser à l'identité remarquable x2 - 1 = (x - 1) (x + 1). Partie II II.1 II.2 II.3 II.4.1 II.4.2 II.4.3 II.4.4 1 1 On pourra étudier la courbe frontière d'équation y = +x . 2 x Penser à découper le plan en quatre parties pour étudier l'ensemble E. Chercher un autre développement en série de f (x, 0) pour calculer An (0). f (x, 0). Pour An (0), on pourra faire de même avec y Après avoir calculé la quantité proposée à partir de la définition de f , refaire le calcul à partir de son développement en série. On effectue la même démarche que précédemment. On pourra également utiliser l'équation (1) obtenue à la question II.4.1. Combiner les relations de récurrence (1) et (3) pour éliminer les termes indexés par n-1. Montrer l'égalité des coefficients An et Pn qui vérifient la même équation différentielle, en évoquant le théorème (d'existence) et d'unicité de Cauchy-Lipschitz. Partie III III.1 Faire un développement en série entière du membre de droite de l'égalité proposée puis évoquer le théorème de convergence normale pour en déduire les coefficients du développement en série de Fourier des fonctions C et S. III.2 Exprimer F sous forme d'une fraction rationnelle en ei que l'on décomposera en éléments simples afin de faire apparaître la quantité C + i S. Remarquer que F = C2 + S2 et utiliser le produit de Cauchy. III.3 Chercher le lien existant entre f (définie dans la partie II) et F, pour en déduire un deuxième développement en série entière de F. En utilisant le résultat final de la partie II, conclure à l'égalité demandée grâce à la question précédente. Partie IV IV.1 Dériver terme à terme la série entière sur le disque ouvert de convergence (à préciser par la suite) et écrire que z vérifie (L ), pour obtenir la relation demandée. IV.2 Distinguer le cas où n est pair du cas impair. On obtient alors des expressions de n en fonction de 0 et 1 selon la parité. IV.3 Vérifier a posteriori que les rayons de convergence des deux séries entières obtenues sont non nuls en utilisant le théorème de d'Alembert. Partie I I.1 Donnons une expression explicite des fonctions polynomiales P0 , P1 , P2 , P3 . Un calcul simple montre que : P0 (x) = 1 De même P1 (x) = x P2 (x) = et donc 1 d 1 d2 x4 - 2x2 + 1 = 4x3 - 4x 8 dx2 8 dx P2 (x) = P3 (x) = 1 3x2 - 1 2 2 i 1 d 1 d2 h 3 × 2x x2 - 1 = 5x4 - 6x2 + 1 2 8 × 6 dx 8 dx d'où finalement 1 5x3 - 3x 2 P3 (x) = n Lorsqu'on doit dériver une expression de la forme x2 - 1 , si l'entier n n'est pas trop grand, il est tout aussi commode de développer l'expression dans un premier temps, puis de dériver. En revanche, dès que n > 3, il est préférable n-1 de dériver directement l'expression en n × 2x x2 - 1 (dérivation des fonctions composées). I.2 On remarque, en utilisant la question précédente, que les fonctions polynomiales P0 et P2 sont paires, alors que P1 et P3 sont impaires. La dérivée d'une fonction paire p (respectivement impaire q) est une fonction impaire (respectivement paire). En effet : x R p (x) = -p (-x) et donc après dérivation On a de même p (x) = p (-x) x R q (x) = -q (-x) q (x) = - (-q (-x)) = q (-x) et donc On en déduit donc immédiatement par récurrence que la dérivée ne d'une fonction paire est une fonction paire (resp. impaire) si n est un entier pair (resp. impair). n Or x 7- x2 - 1 est une fonction paire, et Pn en est la dérivée ne , à une constante multiplicative près. Ainsi : n N x R n Pn (-x) = (-1) Pn (x) I.3 D'après la question précédente, on a : n Pn (-x) = (-1) Pn (x) donc en particulier n n N Pn (0) = (-1) Pn (0) Ainsi si n est impair, alors Pn (0) = 0. On retrouve bien le fait qu'une fonction impaire s'annule en 0. n La fonction x 7- x2 - 1 est polynomiale de degré 2n, et sa dérivée ne est donc une fonction polynomiale de degré n. Or, on s'intéresse au terme constant (de degré 0) de ce polynôme (puisqu'on cherche à calculer la valeur prise par Pn (x) en 0). Le n coefficient cherché provient précisément du terme de degré n du polynôme x2 - 1 . D'après la formule du binôme de Newton, on a : n n P n! n n n-k 2k 2 x -1 = (-1) x où = k k k! (n - k)! k=0 n Dans le cas où n est pair, le coefficient de degré n est obtenu pour k = et vaut 2 n n e n 2 donc (-1) . Or, la dérivée n de x 7- x est constante et vaut n !. On en n/2 déduit donc : n 1 n Pn (0) = n (-1) 2 × n! 2 n! n/2 n (-1) 2 Pn (0) = 2n c'est-à-dire n dans le cas n pair. n/2 Intéressons-nous désormais à Pn (0). Dans le cas où n est pair, Pn est une fonction paire, et par conséquent Pn est une fonction impaire. Ainsi Pn (0) = 0 si n est pair. Dans le cas où n est impair, on raisonne comme précédemment. L'évaluation en 0 nous donne le terme constant du polynôme Pn : il faut donc s'intéresser au termede n degré 1 du polynôme Pn , c'est-à-dire au terme de degré n+1 du polynôme x2 - 1 . n-1 n+1 n Le coefficient cherché est obtenu pour k = et vaut (-1) 2 . On (n + 1) /2 2 en déduit donc que n-1 1 n Pn (0) = n (-1) 2 × (n + 1)! (n + 1) /2 2 n! n-1 2 (-1) Pn (0) = 2n n (n + 1) dans le cas n impair. (n + 1) /2 On vérifie bien, grâce à la question I.1, que P0 (0) = 1 P2 (0) = -1 2 et d'après un calcul immédiat que P1 (0) = 1 et P3 (0) = -3 . 2