CCP Maths 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Utilisation de techniques d'analyse pour établir des résultats combinatoires
Principaux outils utilisés séries entières, séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre

Corrigé

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SESSION 2000 PC007 A CONCOURS COMMUNS POlY'I'ECIINIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC MATHÉMATIQUES 2 DURÉE : 4 heures L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée. Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante. EARÉÜEJ Z +.» 1.1 On considère la série entière 2 de la variable complexe z . ":o (n + 1)! 1.1.1 Déterminer son rayon de convergence. 1.1.2 Calculer sa somme S(z) . On distinguera les cas 2 = 0 et z # 0 . 1.2 Soit la fonction f de la variable complexe z définie sur C -- {2ki7r / k & Z*} par: Z f(z) = pour 2 e 2i7rZ , e'--1 f(Û)=1- 4-- Nous admettrons qu'il existe une série entière ZBnZ--' de rayon de convergence R > 0 dont la n=0 "' somme sur son disque ouvert de convergence est égale à f(z) . 1.2.1 Montrer que R S 27: . Nous admettrons que R = 27r. 1.2.2 Calculer B0 . 1.2.3 Donner pour tout n 2 1 l'expression de B_ en fonction de B0 , ..., B,__ 1 (on pourra remarquer que pour Izl < 27: , on a l'égalité S(z)f(z) = 1 ). En déduire que B,_ est un nombre rationnel pour tout n e [N . 1.2.4 Calculer B1 , BZ, B3 , 84. 1.2.5 Calculer f(z) - f(-z) . En déduire que Bu+1 : 0 pour tout k 2 1 . Tournez la page SVP ] . 0996 1.3 f (42) -- f (22) Z 1.3.1 Exprimer 1+ en fonction de e". 1.3.2 En déduire l'expression en fonction des B,_ des développements en série entière des fonctions thx et taux de la variable réelle x . Quel est le rayon de convergence des séries entières obtenues ? 1.4 On considère la fonction h des deux variables complexes x et z définie par: h(x, 2) =f(Z) 8" - 1.4.1 Montrer qu'il existe une suite ( B,, (x))»EN de polynômes à coefficients rationnels telle que, pour tout couple (x, z) de nombres complexes tel que Izl < 27: , on ait : +... Z" (1) h(x.z) = Zfl.(x)î . n=0 ' Déterminer le degré de Bn(x) , n e [N . Exprimer B,,(O) en fonction de B". 1.4.2 Calculer fl," 1(x + 1) - Bh1(x) pour k 2 0 . En déduire une expression de la somme 1" + 2" + 3" + +N" en fonction de ,Bhl(N + 1) , ,BkH(O) et k. 1.4.3 Comparer h(1--x,--z) à h(x, z) . En déduire que l'on a B,.(1--x) : (--1)"B,(x) pour tout n e [N . Exprimer B,_(l) en fonction de B,, . 1.4.4 On suppose dorénavant que x est réel. On admettra que l'on peut alors dériver terme à terme le deuxième membre de l'égalité (1) par rapport à x . Montrer que pour tout n & N on a B:... (x) = (n + 1)fl,(x) . En déduire que J; B,.(x)dx = 0 pour tout n 2 1 . PARTI 11 Les résultats de la question 1.4 permettent de définir la suite de polynômes ([3,.),£eN introduite àla question 1.4.1 par la récurrence suivante : @) 5006) = 1 , (ii) VkelN , B,Ç+,(x)= (k+1)fl.(x) et J;Bk+l(x)dx = o. Pour tout nombre entier k 2 0 , on note $.(x) la fonction 27c--périodique de la variable réelle x qui coïncide avec fik(-2£) sur l'intervalle [O, 27r[. 75 11.1 Calculer Bl(x) , Bz(x) et flg(x) . On vérifiera en particulier que B2(x) = x2 -- x +% . 11.2 II.2.1 Vérifier que % est paire et continue sur IR . 11.2.2 Développer % en série de Fourier réelle. 11.3 11.3.1 Montrer que pour tout k 2 3 la fonction d>k est de classe C'" sur IR , et que : , k $k : Ë$k-l ' ki (lc--2) _ - k _ 2k--1flk--2 % 11.3.2 En déduire le développement en série de Fourier réelle de «pb pour p entier supérieur ou égal à l . 11.3.3 Exprimer, pour p entier supérieur ou égal à 1 , la somme 2% en fonction de n=1 " sz(O) et p . ARTIE 111 +°° z--l .. ,. , [ Oncon51dere11ntegrale J ' 1 0 EUR _ dt , où x est un nombre réel. x--1 111.1 Montrer que la fonction n--> est intégrable sur 10, +°°[ pour tout x > 1 . ! e--1 "" x--l 111.2 Montrer que la fonction F(x)= J EUR 1 0 EUR _ dt est de classe EUR" sur ]1, +oo[. Tournez la page SVP 111.3 On suppose x fixé, strictement supérieurà 1 . III.3.1 Vérifier que pour tout t > 0 on peut écrire 1 = Et e --M III.3.2 Montrer que la fonction t l--> t"'e est intégrable sur [O, +°°[ pour tout n 2 1 . On pose F(x) = ...t"'e"dt et, pour tout n22 , 1300 = +"t""e""dt . ° 0 111.3.3 Calculer, pour tout n 2 2 , I'n(x) en fonction de n , x et F(x) . , . +" 1 F (X) III.3.4 En dedu1re que pour tout x > 1 on a Z-- = ------- . ..=1 n' F(X) III.4 Soit k un nombre entier supérieur ou égal à 2 . III.4.1 Exprimer F(k) en fonction de k et F(k - 1). '°°1 III.4.2 En déduire la valeur de F(k) et l'expression de 2-- en fonction de k et F(k). k n=1 "' Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Théo Seffusatti (Mines Paris) et Sébastien Desreux (ENS Ulm) ; il a été relu par Bruno Reyssat (ENS Lyon) et David Hernandez (ENS Ulm). L'épreuve propose d'établir certains résultats de combinatoire au moyen de techniques d'analyse ; le problème est intéressant et très classique. La première partie est centrée sur une étude, au moyen de séries entières, autour de la fonction z f : z 7- z e -1 On établit des résultats qui seront utiles dans les parties suivantes, et on obtient au passage les développements en série entière des fonctions tan et th, ainsi qu'une expression de la somme 1k + · · · + Nk . La deuxième partie donne, au moyen de techniques liées aux séries de Fourier, une expression de (2p), où est la fonction P 1 z n=1 n + : z 7- en fonction de coefficients définis dans la partie précédente. (La fonction joue un rôle très important en arithmétique ; la localisation de ses zéros non-triviaux fait l'objet de la célèbre conjecture de Riemann, ouverte depuis un siècle.) La dernière partie aboutit à une expression de la fonction pour une variable entière, paire ou impaire. On utilise pour cela la fonction d'Euler : Z + tx-1 e-t dt : x 7- 0 L'étude fait appel à des techniques relatives aux intégrales généralisées. Indications Première partie I.1.1 I.1.2 I.2.1 I.2.2 I.2.3 I.2.4 I.2.5 I.3.2 I.4.1 I.4.2 I.4.3 I.4.4 Utiliser le critère de d'Alembert. Il faut se servir du développement en série entière de ez . f n'est pas définie en 2 i . Choisir z = 0 dans le développement de f . Exprimer le terme général de la série produit S(z)f (z) . Une fois trouvée l'expression de Bn en fonction de Bn-1 , . . . , B0 , procéder par récurrence sur n . Utiliser la question précédente. Calculer f (z) - f (-z) de deux manières différentes et identifier les expressions obtenues. Utiliser l'expression de th x et tan x en fonction de l'exponentielle. Montrer que th est développable en série entière sur R . Utiliser le développement en série entière de exz pour exhiber la suite de polynômes n (x) explicitement. Bien que le calcul précis ne soit pas exigé, il pourra être réutilisé à la question II.1 . Calculer h(x + 1, z) - h(x, z) en utilisant les deux expressions de f . Une fois effectué le calcul de k+1 (x + 1) - k+1 (x) , sommer les égalités obtenues pour x = 0, 1, . . . , N . Utiliser la définition de h. Choisir x = 0 dans la relation obtenue pour trouver n (1) et se servir de la question I.4.1 . Dériver par rapport à x les deux expressions de h, puis identifier les deux développements obtenus. Intégrer alors l'égalité obtenue sur [ 0 ; 1 ] .. Deuxième partie II.1 Utiliser la question I.4.1 si vous avez calculé explicitement les polynômes n (x) , la relation (ii) sinon. II.2.1 Montrer que la restriction de 2 à ] 0 ; 2 [ admet la droite d'équation x = comme axe de symétrie. II.2.2 Utiliser la parité de 2 pour les bn . II.3.1 Procéder par récurrence (et ne pas se décourager !). II.3.2 Intégrer la relation obtenue à la question précédente et utiliser le développement de 2 en série de Fourier pour deviner une formule, puis la démontrer par récurrence. II.3.3 Choisir x = 0 dans le développement de 2p . Troisième partie III.1 Montrer l'intégrabilité successivement sur trois intervalles de la forme ] 0 ; a ] , [ a ; b ] , [ b ; + [ où b > a > 0 . III.2 Justifier la possibilité de dériver k fois sous le signe somme et déterminer une fonction de domination. III.3.1 Reconnaître une série géométrique de raison e-t . III.3.2 Procéder comme à la question III.1. III.3.3 Effectuer le changement de variable u = nt . III.3.4 Utiliser le théorème de convergence dominée et la question précédente. III.4.1 Intégrer par parties. III.4.2 Reporter l'expression de (k) dans la relation obtenue à la question III.3.4 . Première partie I.1.1 Posons pour n N an = 1 (n + 1) ! + et notons R le rayon de convergence de P an z n . n=0 an+1 1 = ---- 0 an n + 1 n On a Par conséquent, d'après le critère de d'Alembert, R = + Le critère de d'Alembert est un moyen très simple de trouver le rayon an+1 de convergence d'une série entière : si la suite de terme général est an convergente de limite R+ {+}, alors + si = 0 0 si = + R= 1 si R+ Mais attention, en cas de non-convergence, on ne peut rien en déduire ; le critère de d'Alembert n'a pas de réciproque. I.1.2 L'idée est bien sûr de se ramener à la série de l'exponentielle. zn n=0 (n + 1) ! + z C z S(z) = z P = z n+1 n=0 (n + 1) ! = P zn n=1 n ! + P + P zn -1 n=0 n ! + = z S(z) = ez - 1