CCINP Maths PC 2025

SESSION 2025

PC1M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/8

EXERCICE 1
Étude d'un endomorphisme matriciel
Présentation générale
Dans tout l'exercice, on considère un entier n  N .

Pour toute matrice A  Mn (C) , on note A : Mn (C)  Mn (C) définie par A : M  AM 
. En particulier,
on remarque qu'en notant On la matrice nulle de Mn (C) et In la matrice 
d'identité de Mn (C), alors On
est l'application nulle de Mn (C) et In est l'application identité de Mn (C) .
L'objectif de cet exercice est d'étudier quelques propriétés de l'application A 
.

Partie I - Généralités
Q1.
Q2.
Q3.

Montrer pour tout A  Mn (C) que l'application A est un endomorphisme de Mn (C) .
Montrer pour tout (A, B)  Mn (C)2 que A  B = AB .

Soit A  Mn (C) . Déduire de la question précédente que A est un isomorphisme si 
et seulement
si la matrice A est inversible. Indication : si A est un isomorphisme, on 
pourra considérer un
antécédent par A de la matrice identité de Mn (C) .

Partie II - Étude d'un exemple
Dans cette partie uniquement, on suppose que n = 2 . On considère un nombre a  
C et la matrice :

1 1
A=
 M2 (C) .
0 a
Q4.
Q5.
Q6.
Q7.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le nombre a  C pour que 
la matrice A soit
diagonalisable.

1 0 0 1 0 0 0 0
Déterminer la matrice de A dans la base C =
,
,
,
de M2 (C) .
0 0 0 0 1 0 0 1

En déduire les valeurs propres de A , puis déterminer la dimension de chaque 
sous-espace
propre de A en fonction de a  C .
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a  C pour que A soit 
diagonalisable.

Partie III - Réduction de  A si A est diagonalisable

Dans cette partie, on considère une matrice A  Mn (C) . Nous allons étudier les 
propriétés liant les
éléments propres de la matrice A et ceux de l'endomorphisme A .
Q8.
Q9.

Montrer pour tout k  N que kA = Ak .

En déduire pour tout polynôme P  C[X] que P(A ) = P(A) .

Q10. Rappeler la caractérisation de la diagonalisabilité d'une matrice ou d'un 
endomorphisme à l'aide
d'un polynôme annulateur. En déduire que la matrice A est diagonalisable si et 
seulement si
l'endomorphisme A est diagonalisable.
2/8

Q11. On note A le polynôme caractéristique de A . Montrer que A (A ) est 
l'endomorphisme nul.
En déduire une inclusion entre l'ensemble des valeurs propres de A et 
l'ensemble des valeurs
propres de A , puis que la matrice A et l'endomorphisme A ont les mêmes valeurs 
propres.
Q12. Soit   C une valeur propre de A . Montrer qu'une matrice M  Mn (C) est 
dans le sous-espace
propre E (A ) de A pour la valeur propre  si et seulement si chaque colonne de 
la matrice M
est dans le sous-espace propre E (A) de la matrice A pour la valeur propre  .

On déduit directement de la question précédente que pour toute valeur propre   
C de la matrice A ,
l'application  qui à toute matrice de Mn (C) associe le n-uplet de ses colonnes 
:

m1,1 · · ·

 :  ...

mn,1 · · ·

m1,n 
m1,1 
m1,n 

..    ..  , . . . ,  .. 
 . 
 . 
. 

mn,1
mn,n
mn,n

est un isomorphisme du sous-espace propre de E (A ) sur E (A)n .

Q13. Dans le cas où la matrice A est diagonalisable, déduire des résultats de 
cette partie une expression du déterminant et de la trace de A en fonction du 
déterminant et de la trace de A .

3/8

EXERCICE 2
Les polynômes de Hermite
Présentation générale
On définit la suite des polynômes de Hermite dans R[X] par H0 = 1 et la 
relation de récurrence :
Hn+1 = 2XHn - Hn .

n  N,

L'objectif de ce problème est d'établir quelques propriétés de cette famille de 
polynômes.

Partie I - Préliminaires
Les deux sous-parties suivantes peuvent être traitées de manière indépendante.
I.1 - Un produit scalaire sur l'espace des polynômes
Dans cette sous-partie, on introduit un produit scalaire sur R[X].
2

Q14. Soit n  N. Montrer que la fonction t  tn e-t est intégrable sur [0, +[ , 
puis en déduire que cette
fonction est intégrable sur R .
2

Q15. En déduire pour tout polynôme R  R[X] que la fonction t  R(t)e-t est 
intégrable sur R .

On déduit de la question précédente que l'on peut définir l'application  : 
R[X]2  R par :
 +
2
P(t)Q(t)e-t dt .
(P, Q)  R[X]2 , (P, Q) =
-

Q16. Montrer que  est un produit scalaire sur R[X] .
I.2 - Calcul de l'intégrale de Gauss
Dans cette sous-partie, on détermine la valeur de l'intégrale
dans la sous-partie précédente.

 +
-

2

e-t dt dont on a prouvé la convergence

On considère les fonctions u : R  R et v : R  R définies pour tout x  R par :
u(x) =

 x
0

e

-t2

dt

et

v(x) =

 1
0

2

2

e-(1+t )x
dt .
1 + t2

Q17. Justifier que u est de classe C1 sur R et donner une expression de sa 
dérivée.

Q18. Justifier que v est de classe C1 sur R et donner une expression de sa 
dérivée.

Q19. Montrer que la fonction x  u(x)2 + v(x) est constante sur R, puis que sa 
valeur est
Q20. En déduire que la valeur de l'intégrale

 +
-

2

e-t dt est

4/8

.

.
4

Partie II - Quelques propriétés des polynômes de Hermite

Dans cette partie, on établit quelques propriétés sur la famille des polynômes 
de Hermite. On rappelle
que la suite (Hn )nN est définie dans la présentation générale de l'exercice.
2

On considère la fonction f : x  e-x .

Q21. Pour tout n  N , montrer que Hn est de degré n et que son coefficient 
dominant est 2n .
Q22. Montrer pour tout n  N et tout x  R qu'on a f (n) (x) = (-1)n Hn (x) f (x) 
.

On rappelle que le produit scalaire  sur R[X] est défini dans la sous-partie 
I.1.
Q23. Soit (p, q)  N2 avec p  q . Montrer pour tout entier k  0, q que :
 +
q-k
(q-k)
H (k)
(t) dt .
(H p , Hq ) = (-1)
p (t) f
-

Q24. Soit d  N. Montrer que la famille (H0 , . . . , Hd ) est une base 
orthogonale de Rd [X].

Q25. Pour tout entier p  N , calculer la norme du polynôme H p .

Partie III - Série génératrice exponentielle des polynômes de Hermite
Dans cette partie, on considère un nombre x  R .
III.1 - Expression de la série génératrice
L'objectif de cette première sous-partie est de démontrer que la série entière
complexe z admet un rayon de convergence infini et on calcule sa somme.

 Hn (x)
n0

n!

zn de la variable

Q26. Donner les développements en série entière des fonctions z  exp(2xz) et z  
exp -z2 sur C
en précisant leur rayon de convergence respectif.

Q27. Montrer qu'il existe une suite de nombres complexes
(cn )nN , qu'on ne cherchera pas à détermi
n
cn z ait un rayon de convergence infini et que :
ner explicitement, telle que la série entière
n0

z  C,

2

exp -(x - z)

=

+

cn zn .

n=0

2

En considérant la fonction f : t  e-t introduite dans la partie II, on déduit 
du résultat de la question
ci-dessus que l'on a l'égalité :
+

t  R, f (x - t) =
cn t n .
n=0

Q28. En utilisant la relation ci-dessus et la question Q22, en déduire que la 
série entière
admet un rayon de convergence infini et que :
z  C,

+

Hn (x) n
z .
exp 2xz - z2 =
n!
n=0

5/8

 Hn (x)
n0

n!

zn

III.2 - Expression intégrale des polynômes de Hermite
Dans cette seconde sous-partie, on exploite les résultats de la sous-partie 
précédente afin d'établir une
expression intégrale pour les polynômes de Hermite.

On considère un entier p  N et la fonction G x : z  exp 2xz - z2 . On définit 
également pour tout n  N
Hn (x) i(n-p)
la fonction gn :  
.
e
n!

gn converge normalement sur l'intervalle [0, 2] .
Q29. Montrer que la série
n0

Q30. Montrer que :

H p (x) =

p!
2

 2
0

6/8

G x ei e-ip d .

EXERCICE 3
Succession de tirages dans une urne
Présentation générale
On fixe une suite (un )nN d'entiers naturels non nuls. On suppose que l'on 
dispose d'un stock illimité de
boules blanches et on considère une urne contenant initialement une boule 
blanche et une boule rouge
indiscernables au toucher. On procède à des tirages successifs dans cette urne 
en respectant à chaque
fois le protocole suivant pour tout k  N :
1. si la boule tirée est de couleur blanche lors du k-ème tirage, on la replace 
dans l'urne et on ajoute uk
boules blanches supplémentaires 
2. si la boule tirée est de couleur rouge lors du k-ème tirage, on la replace 
dans l'urne.

Pour tout n  N , on désigne par Bn l'évènement « la boule tirée lors du n-ième 
tirage est blanche » et
on note :

Bn .
E=
nN

L'objectif principal de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire 
et suffisante sur (un )nN
pour que la probabilité de l'évènement E soit nulle.
On considère également la suite (Sn )nN définie par :
S0 = 1

et

n  N ,

Sn = 1 +

n

uk .

k=1

On rappelle que si A et C sont deux évènements avec P(C) > 0, on note P(A | C) 
ou PC (A) la probabilité
conditionnelle de A sachant C.

Partie I - Probabilité de l'évènement E

 n
 
Dans cette partie, on considère la suite (pn )nN définie par pn = P  Bk  pour 
tout n  N .
k=1

Q31. Montrer que la suite (pn )nN est décroissante. En déduire que cette suite 
est convergente, puis
justifier que P(E) = lim pn .
n+

Q32. Soit k  N . Si l'évènement

k

Bi est réalisé, décrire la composition de l'urne en fonction de S k

k

juste avant d'effectuer le (k + 1)-ième tirage. En déduire la probabilité P  
Bk+1 
Bi  .
i=1

i=1

Q33. Montrer pour tout n  N que :

pn =

n-1

Sk
.
S +1
k=0 k

7/8

Partie II - Caractérisation de la propriété P(E) = 0
Q34. Montrer que la suite (S n )nN diverge vers + .
  Sk   1
Q35. Montrer que les séries
ln
sont de même nature.
et
Sk + 1
Sk
 1
est divergente.
Q36. Montrer que P(E) = 0 si et seulement si la série
Sk

Q37. Dans cette question, on suppose que un = 1 pour tout n  N . Déterminer 
P(E) .

Q38. Proposer une suite (un )nN telle que P(E)  0 en justifiant votre réponse.

FIN

8/8