CCP Maths PC 2021

Corrigé

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SESSION 2021 PCIM

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/8
EXERCICE 1

Les urnes de Pélya

On fixe un couple d'entiers (b, r) EUR N° x N°. On suppose que l'on dispose 
d'un stock illimité de boules
blanches et de boules rouges et on considère une urne contenant initialement b 
boules blanches et 7
boules rouges indiscernables au toucher. On procède à des tirages successifs 
dans cette urne en respec-
tant à chaque fois le protocole suivant :

1. si la boule tirée est de couleur blanche, on la replace dans l'urne et on 
ajoute une boule blanche
supplémentaire ;

2. si la boule tirée est de couleur rouge, on la replace dans l'urne et on 
ajoute une boule rouge
supplémentaire.

Le premier objectif de cet exercice est de calculer la probabilité de tirer une 
boule blanche lors du n-1ème
rage. Le second objectif est de déterminer la loi du nombre de boules blanches 
se trouvant dans l'urne
à l'issue du n-ième tirage dans un cas particulier.

Pour tout n EUR N°, on désigne par X, la variable aléatoire égale à 1 si la 
boule tirée au n-ième tirage
est blanche, 0 s1 la boule tirée au n-ième tirage est rouge. On considère 
également la suite de variables
aléatoires réelles (S,),ex définie par :

So=b et VneN'. S,=b+N Xe.
k=1

On rappelle que si E et F sont deux évènements avec P(F) > 0, on définit la 
probabilité conditionnelle
de E sachant F (notée P(E | F) ou PF(E)) par :

PENF)

P(ETF) = Pr(E) = PF)

Partie I - Préliminaires

Q1. Déterminer la loi de X:.
Q2. Déterminer la loi conditionnelle de X, sachant l'évènement (X, = 1). En 
déduire la loi de X2.

Q3. Soit n EUR N. Que représente la variable aléatoire S, ? Quel est l'ensemble 
des valeurs prises par la
variable aléatoire S, ?

Partie II - La loi de X,

Dans cette partie, on considère un entier n EUR N".
Q4. Pour tout k EUR [b,n + b], calculer P(X,,, = 11S, = k).
Q5. À l'aide de la formule des probabilités totales, justifier que :

E(Sh)

PGA EDS

Q6. Montrer par récurrence que X, suit la loi de Bernoulli de paramètre D pour 
tout n EUR N".

+r

2/8
Partie III - La loi de S, dans un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que b = r = 1 et on considère un 
entier n EUR N.

Q7. Exprimer l'évènement (S, = 1) avec les évènements (X; = 0) pour ke [1,n1].
1

QS. Montrer que P(S, = 1) = ----.
n +l

On admet dans la suite que l'on a de même P(S, = n + 1) = I
n

Q9. Sot(k, 2) EI1,n+2]Xxf{1,n +11]. Calculer la probabilité P(S,,, = kK]S, = 
EUR) dans chacun des
trois Cas suivants :

GLEtk-]I,Kk}, Gi)l=k- 1, Qi) Ê = K.

Q10. Montrer que pour tout k EUR [2, n + 1], on a la relation :

k--] n+2--k
PSu41 = R)= © PSa=k- D + -- PS, = à).
(Su+1 = À) 119 (Ss ) + n+9 (S )

Q11. Montrer par récurrence que S$, suit la loi uniforme sur [1,n + 1]|.

3/8
EXERCICE 2

Résolution d'une équation fonctionnelle

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les fonctions f : JO, +c[-- KR 
vérifiant les relations :

lim f(H)=0 et Vxel0,+o,[, f(x+1)+ f(x) = 5. (P)

X-- +00

Partie I - Existence et unicité de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on démontre que le problème (P) admet une unique solution et 
on détermine une
expression de celle-c1 sous la forme d'une série de fonctions.

I.1 - Existence de la solution

Pour tout k EUR N, on définit la fonction @4 : 0, +co[-- KR par :

(---1)
(x + k)2

VxEe]0,+co[,  oe(x) =

Q12. Montrer que la série de fonctions > w, converge simplement sur [0, +col.
k>0

Dans tout le reste de cet exercice, on note & : JO, +co[-- KR la somme de la 
série > Ok.
k>0

1
Q13. Montrer que pour tout x EUR ]0, +co[, on a @(x + 1) + @(x) = --
x

Q14. En utilisant le théorème spécial des séries alternées, montrer que :

+00
1
Vxel0,+oo[, VnenN, L'------.
xEJ0, +00,  Vn À ac) Rs

Q15. Montrer que la fonction 4 est une solution de (P).
1.2 - Unicité de la solution

Q16. Montrer que s1 f : J0,+co[-- R est une solution de (P), alors pour tout n 
EUR N, on a :

(---1)
(x + k)2

Vxe]0,+o0o[, f(x) = (--1)"*! f(x + n + 1) + >
k=0

Q17. En déduire que la fonction 4 est l'unique solution de (P).

4/8
Partie II - Étude de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on étudie quelques propriétés de l'unique solution 4 : ]0, 
+[-- R du problème (P).

Q18.
Q19.

Q20.

Q21.
Q22.

Soit £ > 0. Montrer que la série de fonctions > w, converge uniformément sur 
[£, +cof.
k>0

Montrer que la fonction 4 est continue sur ]0, +co[. En utilisant le fait que & 
est une solution du
problème (P), en déduire un équivalent simple de w au voisinage de 0°.

Justifier que la fonction 4 est dérivable sur ]0, +col{ et que l'on a :

+00 D(--1 +1
Vx EUR]0,+oo[,  w/(x) = > Es |

k=0

En déduire que la fonction 4 est décroissante sur ]0, +.

En utilisant le résultat de la question précédente et la relation (P), montrer 
que :

Ï
x 1)

1
VxEe]l1,+oof, -- < 2U(x) < X En déduire un équivalent de w en +co. Partie IIT - Expression intégrale de la solution du problème (P) Dans cette partie, on détermine une expression de & sous la forme d'une intégrale. On considère un élément x EUR ]0, +co!. Q23. Q24. Pour tout 4 EUR N, montrer que la fonction { + 1"! In(f est intégrable sur ]0, 1] et que l'on a : 1 I pk 1] {dt = -- --------, Î nu) (x +) fl In(#) est intégrable sur ]0, 1] et que : 1 --] t"-- In(r) = -- dt p(x) Î --. En déduire que la fonction f 5/8 EXERCICE 3 Approximation d'une racine carrée par la méthode de Héron Dans tout l'exercice, on considère un entier n EUR N° et on note J, la matrice identité de M,(R). De plus, si M EUR M,(R), on désigne par M" la transposée de la matrice M et par Tr(M) la trace de la matrice M. Partie I- Approximation de la racine carrée d'un réel positif On considère la suite de fonctions (fx)xen définie par : Jo:R--R et VxenR,, fo(x) = 1 et la relation de récurrence : Vk e N", Jk :R --kR et Vxenk. fk(X) 10 + f -- . On admet que la suite (fL)Lex est correctement définie par les relations ci-dessus. Dans la suite, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité : VkEN, VxekR,, f(x) > 0.

L.1 - Convergence de la suite (f;)£en

Q25. Soit x EURe R.. En calculant ( f(x) -- x, montrer que f;(x) > Vx pour tout 
& EUR N°.
Q26. Soit x e R.,. Montrer que la suite (f,(x))xaw: est décroissante.

Q27. Déduire des deux questions précédentes que la suite de fonctions (fz)xen 
converge simplement
vers la fonction f : R; -- R définie par f(x) = Vx pour tout x EUR R..

1.2 - Majoration de l'erreur

Q28. Soit x e R.,. Montrer que pour tout k EUR N, on a :

fkCx) -- "(1 =)
2 feQ@) }

Jkx1(X) -- Vx --

Q29. Soit x e R.. En déduire que pour tout k EUR N°, on a :

1 + x
2k

AC -- Va < 6/8 Partie II - Généralités sur les racines carrées d'une matrice On dit qu'une matrice À EUR M,(R) admet une racine carrée s'il existe B EUR M,(R) telle que À = B°. Dans ce cas, on dit que B est une racine carrée de À. Q30. Soit À EUR M,(R). Montrer que si À admet une racine carrée, alors det(A) > 
0.

Q31. Étudier la réciproque de la propriété établie dans la question précédente 
dans le cas où n = 2. On
prod Prop q P
pourra considérer la matrice :

0 I
A = Lo ) EUR MGR)

et écrire B = ( 1 avec (a, b,c,d) EUR R*.

d

Dans tout le reste de l'exercice, on considère une matrice symétrique S EUR 
M,(R) dont toutes les valeurs
propres sont positives.

Q32. Justifier que la matrice S est diagonalisable dans M,(R).

Dans la suite de l'exercice, on note 41,...,1, EUR R, les valeurs propres de S 
comptées avec leur multi-
plicité. On fixe une matrice orthogonale P EUR GL,(R) telle que S = PDP"! où :

À (0)
D = .. EUR M,(R).
(0) À

On considère également la matrice R = PAP"! avec :

Va (0)
(0) Va;

Q33. Vérifier que R est une matrice symétrique et une racine carrée de S.

À =

Partie III - Approximation d'une racine carrée d'une matrice symétrique

On note D° l'ensemble des matrices diagonales de M,(R) dont les coefficients 
diagonaux sont stricte-
ment positifs. On considère également la partie C? de M,(R) définie par :

Cp={ME M,(R)| PMP E Dj}.
Q34. Vérifier que 1, EUR CP. Montrer que si M EUR CP, alors M est une matrice 
inversible et on a :

(M + SM"! E Cp.

7/3
La question précédente implique que l'on peut définir la suite (U})zen 
d'éléments de CP par :

* I --]
Uo=l, et VkeN", Ur = > (Ur + SU).

On considère également la suite (V,);\ définie par V4 = P''U,P pour tout k e N.

Q35. Soit k e N°. Exprimer V, en fonction de D et V,_;. En déduire par 
récurrence sur k EUR N que :

Jk(d) (0)
Vx = e,
(0) fx)

où j4 est la fonction définie dans la partie I de cet exercice.

On considère l'application N : M,(R) -- R définie par :

VBEM,(R), N(B)= 4/Tr(BBT).

On admet que l'application N est une norme sur M,(R).

Q36. Soit k EUR N. Montrer que N(R -- U,) = N(A -- V;).
Q37. En déduire à l'aide de la question Q29 que pour tout k EUR N°", on a 
l'inégalité :

TrS)+n

NR -- Un) < --; Q38. Conclure que la suite (U;),eN converge vers R. FIN 8/8 IMPRIMERIE NATIONALE - 211161 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (professeur en CPGE). Il a été relu par
David Michel (professeur agrégé) et William Aufort (professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de trois exercices indépendants abordant des thématiques
variées en algèbre, analyse et probabilités.
· Le premier exercice porte principalement sur les probabilités conditionnelles.
On y étudie l'expérience des urnes de Pólya, qui consiste à effectuer plusieurs
tirages successifs dans une urne pouvant contenir deux types de boules. La 
composition de l'urne évolue en fonction des résultats obtenus au fil des 
tirages.
On démontre notamment que malgré cette évolution, la probabilité de tirer
une boule de chaque type reste la même.
· Le deuxième exercice est consacré à la résolution d'une équation fonctionnelle
avec une condition aux limites. On exhibe d'abord une solution sous la forme
d'une série de fonctions, puis on prouve son unicité. On étudie ensuite la 
régularité, les variations et le comportement asymptotique de cette solution, 
avant
d'en donner une expression sous la forme d'une intégrale.
· Le dernier exercice porte sur la méthode de Héron qui permet la construction
de suites récurrentes approchant des racines carrées. On traite d'abord le cas
réel : on établit la convergence et on obtient une majoration de l'erreur. On 
généralise ensuite la méthode au calcul approché de la racine carrée d'une 
matrice
symétrique à valeurs propres positives.
La longueur et la difficulté des exercices étant croissantes, il était 
judicieux de
les traiter dans l'ordre pendant l'épreuve. Le dernier exercice nécessite une 
bonne
aisance dans les calculs. De nombreux outils usuels sont mobilisés, notamment le
principe de récurrence. Ce sujet permet à la fois de s'entraîner sur une partie 
précise
du programme si on ne traite qu'un seul exercice, et de réviser de nombreux 
chapitres
d'un coup si on le traite en entier.

Indications
2 Appliquer la formule des probabilités totales pour déterminer la loi de X2 .
5 Considérer le système complet d'événements {[Sn = k], k  [[ b ; b + n ]]}.
6 Mettre en oeuvre un raisonnement par récurrence forte. Faire appel à la 
définition
de Sn donnée dans l'énoncé et au résultat des questions 1 et 5.
8 Raisonner par récurrence, en utilisant le résultat précédent.
9 Raisonner en supposant l'événement [Sn = `] réalisé et déterminer quels sont 
les
résultats du (n + 1)-ième tirage qui réalisent l'événement [Sn+1 = k].
10 Appliquer la formule des probabilités totales, et utiliser le résultat 
précédent.
11 Suivre l'indication de l'énoncé et procéder par récurrence. Pour l'étape 
d'hérédité,
faire appel aux résultats des questions 8 et 10.
12 Utiliser une comparaison avec une série de Riemann, en prenant soin de 
comparer
des séries à termes positifs.
13 Écrire (x) + (x + 1) à l'aide des sommes partielles de deux séries, puis 
procéder
à un changement d'indice.
15 Revenir à la définition de la limite, et utiliser le résultat précédent.
16 Démontrer ce résultat par récurrence.
17 Faire tendre n vers l'infini dans le résultat précédent.
18 Montrer que la série de fonctions converge normalement ou utiliser le 
résultat de
la question 14.
19 Pour obtenir un équivalent de (x) lorsque x tend vers 0+ , calculer la limite
de x2 (x) en utilisant l'indication de l'énoncé et la continuité précédemment
démontrée.
20 Appliquer le théorème de dérivation terme à terme des séries de fonctions 
sur tout
intervalle de la forme [  ; + [ avec  > 0.
21 Utiliser le théorème spécial des séries alternées.
23 Intégrer par parties sur un intervalle de la forme [ a ; 1 ] avec a  ] 0 ; 1 
[.
24 Appliquer le théorème d'interversion série-intégrale, à l'aide du résultat 
précédent.
25 Montrer que fk (x)2 - x > 0 en reconnaissant une identité remarquable.
26 Calculer la différence de deux termes successifs.
27 Établir la convergence à l'aide du théorème de la limite monotone. 
Déterminer alors la valeur de la limite en remarquant qu'elle est commune aux 
suites
(fk (x))kN et (fk+1 (x))kN .
29 Raisonner par récurrence, en utilisant le résultat précédent et la question 
25.
30 On rappelle que pour tous B, C  Mn (R), det(BC) = det(B) det(C).
31 Traduire la relation A = B2 en équations sur les coefficients de B. On pourra
distinguer les cas c = 0 et c 6= 0.
34 Il pourra être utile d'expliciter la matrice P-1 MP.
36 Prouver que, pour tout B  Mn (R), N(PBP-1 ) = N(B) en utilisant les 
propriétés
de la trace.
37 Utiliser dans l'ordre : les questions 35 et 36, puis la question 29, et 
enfin l'inégalité
suivante (que l'on prendra soin de justifier) :
s
n
n
P
P
aj 2 6
|aj |
(a1 , . . . , an )  Rn
j=1

j=1

Publié dans les Annales des Concours

I. Les urnes de Pólya
1 Avant le premier tirage, l'urne contient b boules blanches et r boules rouges.
La probabilité de tirer une boule blanche est donc égale à b/(b + r). La 
variable
aléatoire X1 vérifie par conséquent X1 () = {0, 1} avec
P(X1 = 1) =

b
b+r

et

P(X1 = 0) =

r
b+r

Autrement dit,
La variable aléatoire X1 suit la loi de Bernoulli de paramètre

b
.
b+r

2 Si X1 = 1, alors la première boule tirée est une boule blanche. Avant le 
deuxième
tirage, l'urne contient donc b + 1 boules blanches et r boules rouges. On en 
déduit
b+1
r
P(X2 = 1 | X1 = 1) =
et P(X2 = 0 | X1 = 1) =
b+r+1
b+r+1
La loi conditionnelle de X2 sachant [X1 = 1]
b+1
est la loi de Bernoulli de paramètre
.
b+r+1

Ainsi,

De même, si X1 = 0, alors l'urne contient b boules blanches et r + 1 boules 
rouges
avant le deuxième tirage, et par conséquent
b
r+1
P(X2 = 1 | X1 = 0) =
et P(X2 = 0 | X1 = 0) =
b+r+1
b+r+1
D'après la question précédente, {[X1 = 1], [X1 = 0]} forme un système complet
d'événements qui sont de probabilité non nulle. Il s'ensuit, en appliquant la 
formule
des probabilités totales,
P(X2 = 1) = P(X2 = 1 | X1 = 1)P(X1 = 1) + P(X2 = 1 | X1 = 0)P(X1 = 0)
=
P(X2 = 1) =

b
b
r
b+1
+
b+r+1 b+r b+r+1 b+r
b(b + r + 1)
b
=
(b + r + 1)(b + r)
b+r

Comme X2 () = {0, 1}, en passant au complémentaire, on en déduit
P(X2 = 0) = 1 - P(X2 = 1) = 1 -

b
r
=
b+r
b+r

On a donc montré que
La variable aléatoire X2 suit la loi de Bernoulli de paramètre

b
.
b+r

3 Pour tout k  N , la variable aléatoire Xk représente le nombre de boules 
blanches
ajoutées lors du k-ième tirage (qui peut être égal à 0 ou 1). Par conséquent, 
comme
le nombre initial de boules blanches dans l'urne est égal à b,
La variable aléatoire Sn représente le nombre de
boules blanches dans l'urne après le n-ième tirage.
Comme pour tout k  N , Xk () = {0, 1},
L'ensemble des valeurs prises par Sn est Sn () = [[ b ; b + n ]].

Publié dans les Annales des Concours

4 Si l'événement [Sn = k] est réalisé, l'urne contient k boules blanches sur un 
total
de b + r + n boules avant le (n + 1)-ième tirage. Par conséquent,
P(Xn+1 = 1 | Sn = k) =

k
b+r+n

5 Remarquons que d'après la question 3, l'ensemble {[Sn = k], k  [[ b ; b + n 
]]}
forme un système complet d'événements, qui sont tous de probabilité non nulle.
Ainsi, d'après la formule des probabilités totales et le résultat de la 
question 4,
P(Xn+1 = 1) =

b+n
X

b+n

P(Xn+1 = 1 | Sn = k)P(Sn = k) =

X
1
k P(Sn = k)
b+r+n
k=b

k=b

Or la dernière somme est égale à l'espérance de Sn , d'où
P(Xn+1 = 1) =

E(Sn )
b+r+n

6 Suivons l'indication de l'énoncé et montrons par récurrence forte que, pour 
tout
n  N , la propriété
b
P(n) : La variable aléatoire Xn suit la loi de Bernoulli de paramètre
b+r
est vraie.
On pourrait être tenté à cette question de raisonner par récurrence simple
en reproduisant la démarche mise en oeuvre à la question 2. Cependant,
la présence dans l'énoncé des questions intermédiaires 3, 4 et 5 doit nous
en dissuader. En effet, appliquer la formule des probabilités totales au 
système complet d'événements {[Xn = 1], [Xn = 0]} nécessiterait de calculer
P(Xn+1 = 1 | Xn = 1), ce qui s'avère difficile pour n > 2 sans connaître aussi
les valeurs de X1 , . . . , Xn-1 .
· P(1) est vraie : en effet, nous l'avons montré à la question 1.
· [P(1)  · · ·  P(n)] = P(n + 1) : soit n  N tel que P(k) soit vraie pour
tout k  [[ 1 ; n ]]. Montrons P(n + 1). D'après la question précédente,
E(Sn )
b+r+n
Or par définition de Sn et linéarité de l'espérance,
P(Xn+1 = 1) =

E(Sn ) = b +

n
X

E(Xk )

k=1

Mais par hypothèse de récurrence, pour tout k  [[ 1 ; n ]], la variable 
aléatoire Xk
suit la loi de Bernoulli de paramètre b/(b+r), d'où E(Xk ) = b/(b+r). Il 
s'ensuit
E(Sn ) = b +

n
X
k=1

puis

b
b
b(b + r + n)
=b+n
=
b+r
b+r
b+r

P(Xn+1 = 1) =

1
b(b + r + n)
b
=
b+r+n
b+r
b+r

Comme la variable aléatoire Xn+1 est à valeurs dans {0, 1}, on conclut qu'elle
suit la loi de Bernoulli de paramètre b/(b + r) et P(n + 1) est démontrée.
· Conclusion : P(n) est vraie pour tout n  N .