CCP Maths PC 2020

Thème de l'épreuve Calcul de l'intégrale de Dirichlet. Extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée. Retour à l'origine d'une marche aléatoire sur Z.
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, intégrabilité, formes quadratiques, extremums, probabilités, séries entières
Mots clefs intégrale de Dirichlet, intégration par parties, boule unité fermée, matrices orthogonales, diagonalisation, marche aléatoire, retour à l'origine, loi de Bernoulli, fonction génératrice, produit de Cauchy

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 PCIM

(INP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/7
EXERCICE 1
Calcul de l'intégrale de Dirichlet

L'objectif de cet exercice est de démontrer la convergence de l'intégrale de 
Dirichlet :

1 - [ *® sin(f) di
0 t

et de calculer sa valeur. On considère la fonction f : [0,+co[X]0, +co[-- R 
définie par :

V(x, ft) EUR [0, +oco[X]0, +co[, f(x, rf) = Det.

On définit également la fonction 4 : [0,+co[X]0, +co[-- KR par :

XSIN(f) + COS(f) _,,
e.

V(x, 1) EUR [0, +oo[X]0, +co[,  u(x,t) = -- 1 + x

Dans l'exercice, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité | sin(?)| < {f| valable pour tout f EUR KR. Partie I - Préliminaires Q1. Soit x > 0. Montrer que la fonction f + f(x, f) est intégrable sur ]0, +col.

Q2. En utilisant par exemple une intégration par parties, montrer que 
l'intégrale Z est convergente si

et seulement si l'intégrale :
+00
Ï -- cos(f
[ 17 cos(),
[2
0

est convergente. En déduire que l'intégrale 7 converge.

--X{

Q3. Soit x > 0. Montrer que f H u(x, ft) est une primitive de la fonction f + 
sin(fje " sur ]0, +cof.

Dans la suite de l'exercice, on définit la fonction F : [0,+co[-- KR par :

Vx EUR [0,+oo[, F(x) = [ Cf, t)df.
0

Partie II - Calcul de F sur 10, +co[

Ï
Q4. Montrer que |[F(x)| < -- pour tout x > 0. En déduire la limite de F en +c.
X

Q5. Soit a > 0. Montrer que la fonction F est dérivable sur [a, +! et que l'on 
a :

+00
Vxela,+oo![, F'(x) = - [ sin(f)e "df.
0

Q6. En déduire que la fonction F est dérivable sur ]0, +c[ et déterminer une 
expression de F"(x)
q P
pour tout x EURÏ0, +. Conclure que :

Vx>0, F(x) = ; -- Arctan(x).

2/7
Partie III - Conclusion

On considère les fonctions F; : [0,1] -- R et F; : [0, 1] -- KR définies par :
1 +00
VxEef0,1], F;(x) -- [ f(x,t)dft et F)(x) = [ f(x, t)dr.
0 1

Q7. Montrer que la fonction F, est continue sur [0, 1].

9

[2

xsin(l) + cos(1l) k [ u(x, f)
I

Q8. Soit x EUR [0, 1]. Montrer que la fonction ft + 7 est intécrable sur [1, + 
et que :
q £ q

F35(x) = df.

1 + x? {2

Q9. Montrer que la fonction F; est continue sur [0, 1].

Q10. En déduire que la fonction F est continue en 0, puis déterminer la valeur 
de l'intégrale Z.

3/7
EXERCICE 2

Extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée

On se donne un entier n > 2. On rappelle que la norme euclidienne usuelle || - 
|| sur R" est définie par :
n
VxeR", x=(x,....,x,), [xl = > x
k=1

On note B, = {x e R"|||xl| < 1} la boule unité fermée de R". On fixe des réels a; ; pour 1 <1 < j < n et on considère l'application f : B, -- R définie par : V(xi,...,xXn) ER", f(x1,..., Xn) = Y > a) -- > Gi jXiX ;.

i=1 V j=i 1 0, déterminer le maximum et le minimum de f sur B,.

Partie IIT- Application des résultats

Dans cette partie, on suppose que n > 3 et que l'application f : B, -- KR est 
définie par :

n

V(x1,...,Xn) EUR B;, fai... x) = x > 2X;x;.

k=1 1 0.

Partie I- Calcul de p,

On fixe un entier n EUR N.
Q23. Que représente la variable aléatoire S , ?
Q24. Calculer po, p1 et po.

Q25. Justifier que si n est impair, alors on a p, = (0.

X; +!

On considère pour tout k EUR N° la variable aléatoire Y, définie par Y} = . On 
admet que (Y4 rev:

est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.

1
Q26. Soit k EUR N°. Montrer que Y, suit une loi de Bernoulli de paramètre 5

Q27. Pour n > 0, donner la loi de Z, = Y, + --- + Y, et exprimer S, en fonction 
de Z,.
Q28. On suppose que n = 2m avec m EUR N. Déduire de la question précédente que :
2m\ |
P2m --

6/7
Partie II - Fonction génératrice de la suite (p,),eN

On note À, le rayon de convergence de la série entière > phx" et f la somme de 
cette série entière sur

n>0
son intervalle de convergence.

Q29. Montrer que R, > 1.

Q30. Montrer que pour tout m EUR N°, on a :

Q31. Déterminer un nombre a EUR KR tel que f(x) = (1 -- ») pour toutxe]l-]I1,11.

Partie III - Loi de la variable aléatoire T

On note À, le rayon de convergence de la série entière > gx et g la somme de 
cette série entière sur

n>0
son intervalle de convergence. Pour tout n EUR N, on considère également la 
fonction g, : R -- R définie

par g,(x) = g,x" pour tout x EUR KR.
Q32. Calculer g; et q».

Q33. Montrer que la série > gh converge normalement sur [--1, 1]. En déduire 
que R, > I.

n>0
Dans la suite, on admet la relation :

Vne N', Pn -- D Piqn-t-
k=0

Q34. En utilisant un produit de Cauchy et la relation admise ci-dessus, montrer 
que :

Vxe]--1,1f  f()8@) = f@ -- 1.

Q35. En déduire que g(x) = 1 -- VI -- x? pour tout x EUR] -- 1, 1[, puis 
calculer le développement en série
entière de la fonction x + 1 -- V1 -- x° en précisant son rayon de convergence.

Q36. En déduire une expression de q, pour tout n EUR N°.
Q37. En utilisant Q33 et Q35, déterminer la valeur de P(T = +co). Interpréter 
le résultat.

Q38. La variable aléatoire T admet-elle une espérance ?

FIN

7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et 
Gilbert
Monna (professeur honoraire en CPGE).

Ce sujet de mathématiques couvre trois parties du programme (analyse, algèbre
linéaire et probabilités) dans trois exercices indépendants de difficultés 
comparables.
· L'objectif du premier exercice est le calcul de l'intégrale de Dirichlet
Z +
sin(t)
dt
I=
t
0
en exploitant en particulier la fonction F définie sur [ 0 ; + [ par
Z +
sin(t) -xt
F(x) =
e
dt
t
0
C'est un thème classique qui permet de bien revoir toutes les notions 
d'intégrabilité et d'intégrales à paramètre.
· Dans le deuxième exercice, on se place sur la boule unité fermée Bn de Rn et
on étudie les extremums de la fonction f : Bn  R définie par
P
(x1 , . . . , xn )  Bn
f (x1 , . . . , xn ) =
ai,j xi xj
16i6j6n

où les réels ai,j sont fixés pour 1 6 i 6 j 6 n.
La première partie étudie un exemple simple pour n = 2 et la deuxième traite le
cas général en diagonalisant la matrice Mf associée à f . Les résultats 
nécessaires
sur l'écriture matricielle d'une forme quadratique et la diagonalisabilité d'une
matrice symétrique réelle sont rappelés. Enfin, la troisième partie applique les
résultats de la deuxième à un exemple.
· Le troisième exercice, consacré aux probabilités et surtout aux séries 
entières,
étudie une marche aléatoire sur Z. À l'origine, un pion se trouve en 0. À chaque
étape, sa position x peut évoluer en x+1 ou x-1, avec probabilité 1/2. 
L'objectif
de l'exercice est de déterminer la loi de la variable aléatoire T mesurant le 
temps
de retour à l'origine du pion, c'est-à-dire le plus petit entier n (s'il 
existe) tel
qu'à l'étape n, la position du pion vaut x = 0. La première partie commence
par étudier la variable aléatoire Sn mesurant la position du pion à l'instant n.
La deuxième partie a pour objectif de calculer la fonction génératrice de la 
suite
pn = (P(Sn = 0))n>0 . Enfin, la troisième partie permet de déterminer la loi de
la variable T.
Les exercices de ce sujet sont bien construits. D'une longueur et d'une 
difficulté
tout à fait raisonnables, ils abordent des thèmes variés et constituent de bons 
outils
de révision.

Indications
Exercice 1
1 Utiliser l'inégalité |sin(t)| 6 |t| valable pour tout t  R.
2 Dans l'intégration par parties pour l'intégrale I, considérer t 7 1 - cos(t) 
comme
primitive de t 7 sin(t).
3 Vérifier que la dérivée de t 7 u(x, t) est bien égale à t 7 sin(t)e -xt .
4 Pour x > 0, intégrer l'inégalité
|f (x, t)| 6 e -xt

t  ] 0 ; + [

5 Utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
6 Combiner les questions 5 et 3 pour déterminer F0 , puis la question 4 pour 
calculer
la constante d'intégration.
7 Exploiter le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
8 Étudier l'intégrabilité en l'infini en majorant brutalement la fonction. 
Effectuer
ensuite une intégration par parties en dérivant t 7 1/t et en utilisant la 
primitive
de t 7 sin(t)e -xt déterminée à la question 3.
9 Appliquer à nouveau le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
10 La continuité découle des questions 7 et 9. En déduire que I = lim F(x), puis
x0

conclure à l'aide de la question 6.
Exercice 2
12 Utiliser le paramétrage
S2 = {(cos(t), sin(t)) | t  [ 0 ; 2 [}
et étudier les variations de la fonction indiquée dans l'énoncé.
13 Les points critiques de f vérifient
f
f
=0=
x1
x2
14 La question 13 donne le seul point en lequel f peut atteindre un extremum 
sur B02
et la question 12 donne les extremums de f sur S2 .
15 Calculer le polynôme caractéristique de Mf .
16 Exprimer d'abord (Mf X)i pour i  {1, . . . , n}, puis
n
P

XT Mf X =

xi (Mf X)i

i=1

Séparer les termes d'indices plus petits et plus grands que i dans les sommes.
18 Comme P est orthogonale, P-1 = PT .
19 Utiliser l'encadrement 1 6 i 6 n , valable pour tout i  {1, . . . , n}. La 
majoration de la partie droite découle de la question 18. Pour la partie 
gauche, se souvenir
que 1 < 0. Prouver enfin l'égalité YT DY = f (x) à l'aide de la question 16. 20 Considérer des vecteurs propres unitaires associés aux valeurs propres 1 et n . 21 La preuve de la question 19 s'applique en grande partie. Le minorant devient 0, atteint en 0. 22 En utilisant le théorème du rang, puis le résultat sur la somme des valeurs propres d'une matrice, les deux valeurs propres de Mf sont -n + 2 et 2. On se retrouve dans le cadre de la question 20, qui s'applique directement. Exercice 3 25 Il n'existe aucune somme d'un nombre impair de fois 1 et -1 égale à 0. 26 Montrer, pour k  N , que P(Yk = 0) = P(Yk = 1) = 1/2. 27 Une somme de n lois de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2 est une loi binomiale de paramètres n et 1/2. 29 Procéder par majoration en se rappelant que, pour tout n  N, le réel pn est une probabilité, donc pn 6 1. 30 Partir du résultat donné en mettant tout sur même dénominateur puis en multipliant haut et bas par 2 × 4 × · · · × 2m. 31 Commencer par rappeler le développement en série entière de x 7 (1 + x) pour R. P P 33 La série gn converge normalement si la série max |gn (x)| converge. n>1 x[ -1 ; 1 ]

n>1

35 Exploiter les questions 31 et 34.
37 Utiliser les questions 33 et 35 puis, pour l'interprétation, revenir à la 
définition
de l'événement (T = +).
38 La variable T admet une espérance si, et seulement si, sa fonction 
génératrice
(ici g) est bien définie et dérivable en 1. Appliquer alors les questions 33 et 
35,
puis calculer le taux d'accroissement à gauche de g en 1.

Exercice 1. Calcul de l'intégrale de Dirichlet
I. Préliminaires
1 Soit x > 0. La fonction t 7 f (x, t) est continue sur ] 0 ; + [. Pour tout t  
R,
on a |sin(t)| 6 |t| d'après l'indication de l'énoncé, donc
t  R

|f (x, t)| 6 e -xt

Comme x > 0, la fonction t 7 e -xt est intégrable sur ] 0 ; + [ donc, par 
comparaison,
Pour tout x > 0, la fonction t 7 f (x, t) est intégrable sur ] 0 ; + [.
2 Effectuons une intégration par parties sur l'intégrale I en posant u : t 7 1/t
et v 0 : t 7 sin(t). On a alors u0 : t 7 -1/t2 et l'on peut prendre v : t 7 1 - 
cos(t).
Les fonctions u et v sont bien de classe C 1 sur ] 0 ; + [.
On pense spontanément à v : t 7 - cos(t) mais après un premier calcul,
on se rend compte que cette fonction ne convient pas pour obtenir l'expression 
donnée dans l'énoncé. On peut alors considérer à la place la fonction
v : t 7 1 - cos(t) puisque sa dérivée est la même.
Pour éviter ce souci, on aurait pu partir de l'intégrale donnée dans
l'énoncé et se ramener à I, également par intégration par parties. On aurait 
alors posé u : t 7 1 - cos(t) et v 0 : t 7 1/t2 . Cela donne u0 : t 7 sin(t)
et l'on peut prendre v : t 7 -1/t. Les fonctions u et v sont bien de classe C 1
sur ] 0 ; + [ et les calculs sont similaires.
Notons que la fonction t 7 u(t)v(t) admet des limites en 0 et +. En effet, 
puisque,
pour tout t > 0,
1 - cos(t)
1 + |cos(t)|
2
6
6
t
t
t
1 - cos(t)
---- 0
t+
t

on a
En outre, pour tout t > 0,

cos(t) - 1
cos(t) - cos(0)
=
--- cos0 (0) = sin(0) = 0
t0
t
t-0
Z +
Z +
On en déduit que les intégrales
uv 0 et
u0 v ont même nature, d'où
0

0

L'intégraleZI est convergente si, et seulement si,
+
1 - cos(t)
l'intégrale
dt est convergente.
t2
0
Enfin,

t  ] 0 ; + [

1 - cos(t)
2
6 2
t2
t

qui est intégrable en l'infini d'après le critère de Riemann, et
1
1 - cos(t)

t0 2
t2
qui est intégrable en 0. Par suite, l'intégrale donnée dans l'énoncé converge, 
donc
L'intégrale I est convergente.