CCP Maths PC 2019

Thème de l'épreuve Polynômes de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss. Étude d'une équation différentielle d'ordre 2. Étude d'une marche aléatoire.
Principaux outils utilisés intégration sur un intervalle quelconque, endomorphismes symétriques, séries entières, variables discrètes
Mots clefs polynômes de Laguerre, temps d'attente, quadrature de Gauss, marche aléatoire, pion

Corrigé

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 CCINP Maths PC 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hugues Zuber (professeur en CPGE) ; il a été relu par Théo Lenoir (ENS Ulm) et Gilbert Monna (professeur honoraire de mathématiques en CPGE). Ce sujet est composé de trois exercices indépendants. · Le premier exercice décrit un produit scalaire sur Rn [X] construit à l'aide d'une intégrale sur [ 0 ; + [, avant de proposer une famille de polynômes orthogonaux pour ce produit scalaire, vus comme vecteurs propres d'un endomorphisme de Rn [X]. L'exercice se conclut par quelques conséquences sur le calcul d'intégrales liées à ces polynômes. · Le deuxième exercice propose de résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants. En première partie, on détermine les solutions de l'équation homogène qui sont développables en série entière. En deuxième partie, on résout l'équation sur deux sous-intervalles de l'intervalle d'étude pour enfin, en troisième partie, étudier les raccords entre les solutions trouvées et achever la résolution de l'équation. · Le troisième exercice permet d'étudier la marche aléatoire d'un pion qui se déplace sur trois positions possibles. On évalue le nombre (aléatoire) de passages en un point donné, puis le temps d'attente avant d'atteindre l'une des positions. Cet exercice met en jeu la capacité à travailler avec des évènements et le calcul ensembliste, la manipulation des variables aléatoires discrètes, et l'usage des formules des probabilités totales et des probabilités composées. Le sujet est dans son ensemble très classique : les questions posées restent, dans chaque thématique, proches de ce qui a été vu en cours ou en travaux dirigés, et constituent donc un bon outil de révision. Seule la question 27 de l'exercice 2 demande une plus grande prise d'initiative, avec l'étude du raccord entre les solutions trouvées précédemment, mais là encore, les étapes à suivre sont décrites dans le cours. Indications Exercice 1 1 La fonction exp domine toute fonction polynomiale en +. Utiliser une comparaison avec une fonction de la forme t 7 1/ta , puis une intégrale de référence associée. 4 Écrire (Xk | 1) sous forme d'une intégrale pour voir le lien avec la question 3. Raisonner par récurrence. 7 La matrice de la question 6 est triangulaire, on connaît donc ses valeurs propres. 8 Avec la question 7, que vaut Card (Sp()) ? Que vaut dim (Rn [X]) ? 9 L'espace Ker ( + k Id Rn [X] ) étant une droite, deux vecteurs quelconques de cette droite sont forcément colinéaires. Quand on multiplie un polynôme non nul par un scalaire, on multiplie son coefficient dominant par ce même scalaire. 10 Noter d le degré de Pk et chercher son lien avec le coefficient dominant de (Pk ). Déterminer le coefficient dominant de -kPk , et se rappeler que (Pk ) = -kPk . 12 Effectuer une intégration par parties ; pour cela, il reste à trouver les deux fonctions auxquelles on l'applique : l'une des deux est la fonction polynomiale Q. 14 Pour démarrer, utiliser la question 13 avec Pk et P , où k 6= . 15 Le système linéaire proposé donne () dans le cas particulier des monômes. Pour la réciproque, se rappeler que tout polynôme est combinaison linéaire de monômes. 16 La matrice du système linéaire est une matrice de Vandermonde. 17 Trouver un polynôme qui admet x1 , . . . , xn comme racines, pour lequel l'intégrale est non nulle (par exemple en choisissant un polynôme à valeurs dans R+ ). Exercice 2 18 Le travail consiste à rassembler toutes les sommes trouvées à la question 17, via des changements d'indices, pour obtenir une seule série entière. 24 Calculer, pour x I, xz (x) + z (x) en fonction de y(x), y (x) et y (x). 25 L'équation (E1 ) peut être vue comme une équation sur z : elle devient alors une équation linéaire d'ordre 1 sur z , que l'on sait résoudre. 26 Déduire z de z , puis y de z. Penser à la réciproque. 27 Si y est solution de (E) sur R+ , alors y est solution sur ] 0 ; 1 [ et ] 1 ; + [. Appliquer la question 26 sur ces intervalles, puis étudier le raccord en 1. Exercice 3 29 Utiliser la formule des probabilités totales avec (An , Bn , Cn ), un système complet d'évènements, sur chacun des évènements demandés : An+1 , puis Bn+1 et Cn+1 . 32 Trouver le lien avec le titre de la partie II. 34 Comme an = E(X1 + · · · + Xn ), on peut utiliser la linéarité de l'espérance. 35 Remarquer que [TB = 1] = B1 . Pour P (TB = 2), on peut utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'évènements (A1 , B1 , C1 ). 37 Utiliser la question 36 sur B2 et B1 , puis développer B2 B1 afin d'avancer dans le calcul de probabilité. Faire un travail similaire avec B3 B2 B1 et comparer les résultats. 38 Remarquer que [TB = k] = B1 · · · Bk-1 Bk , puis utiliser la formule des probabilités composées. 39 Le plus rapide est de s'apercevoir que TB suit une loi usuelle. Exercice 1. Polynôme de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss 1 Soient P, Q Rn [X]. L'application t 7 P(t)Q(t)e -t est continue sur [ 0 ; + [, donc l'intégrale Z + P(t)Q(t)e -t dt 0 n'est impropre qu'en +. L'application t 7 t2 P(t)Q(t) est polynomiale, donc négligeable devant l'exponentielle en +. On en déduit que t2 P(t)Q(t)e -t ---- 0, t+ c'est-à-dire 1 |P(t)Q(t)e -t | = o + t t2 1 Comme l'application t 7 2 est positive sur [ 1 ; + [ et que l'intégrale de référence t Z + 1 dt 2 t 1 converge, on peut affirmer par comparaison des fonctions positives que l'intégrale Z + P(t)Q(t)e -t dt 1 est absolument convergente, donc convergente. La fonction intégrée étant continue sur [ 0 ; 1 ], on conclut que L'intégrale Z + P(t)Q(t)e -t dt est convergente. 0 Rappelons que, pour a R, l'intégrale de référence Z + 1 dt ta 1 converge si et seulement si a > 1. La borne 1 de l'intervalle d'intégration peut être remplacée par n'importe quel réel strictement positif (mais surtout pas par 0). La question 1 peut aussi être traitée en commençant par étudier le cas des monômes, autrement dit, en montrant que pour tout k N, l'intégrale Z + tk e -t dt 0 est convergente. Il reste ensuite à préciser que tout polynôme est combinaison linéaire de monômes. Plus généralement, on peut montrer que l'application Z + : x 7 tx-1 e -t dt 0 est définie sur R+ . La question 4 montre que cette fonction permet de prolonger la fonction « factorielle » qui, elle, n'est définie que sur N. 2 D'après la question 1, pour tout (P, Q) (Rn [X])2 , (P | Q) est un nombre réel correctement défini ; l'application (· | ·) est bien une application de (Rn [X])2 dans R. Soient P1 , P2 , Q des polynômes de Rn [X]. Soit R. On calcule : Z + (P1 + P2 | Q) = (P1 + P2 )(t)Q(t)e -t dt 0 = Z + Z + (P1 (t)Q(t)e -t + P2 (t)Q(t)e -t ) dt 0 = P1 (t)Q(t)e -t 0 Z dt + + P2 (t)Q(t)e -t dt 0 (par linéarité de l'intégrale) (P1 + P2 | Q) = (P1 | Q) + (P2 | Q) Ainsi, l'application (· | ·) est linéaire à gauche. Soit (P, Q) (Rn [X])2 . On a Z + Z + -t Q(t)P(t)e -t dt = (Q | P) (P | Q) = P(t)Q(t)e dt = 0 0 Ainsi, l'application (· | ·) est symétrique. Par conséquent, l'application (· | ·) est bilinéaire symétrique. Soit P Rn [X]. Comme l'application t 7 P(t)2 e -t est positive sur R+ (notamment car exp est à valeurs dans R+ ), on a, par positivité de l'intégrale, Z + (P | P) = P(t)2 e -t dt > 0 0 Supposons maintenant que (P | P) = 0. Alors Z + P(t)2 e -t dt = 0 0 L'application t 7 P(t)2 e -t est positive et continue sur R+ , donc le fait que l'intégrale soit nulle entraîne que pour tout t R+ , P(t)2 e -t d'où P(t) = 0 (car e -t 6= 0) Le polynôme P admet donc une infinité de racines ; on en déduit que P = 0. On vient de montrer que l'application (· | ·) est définie positive. Finalement, L'application (· | ·) est un produit scalaire. 3 Soit k [[ 1 ; n ]]. Réalisons une intégration par parties avec les deux applications u : t 7 tk et v : t 7 -e -t , qui sont de classe C 1 sur R+ . Par croissances comparées, pour tout A R+ , k -A [u(t)v(t)]A ----- 0 0 = -A e A+ + Ainsi le crochet [u(t)v(t)]0 est bien défini. Avec ceci et le résultat de la question 1, on peut écrire : Z + Z + k -t + k -t t e dt = -t e - ktk-1 (-e -t ) dt 0 0 0 On a vu que le crochet est nul, il reste Z + Z k -t t e dt = k 0 + tk-1 e -t dt 0