CCP Maths PC 2019

Thème de l'épreuve Polynômes de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss. Étude d'une équation différentielle d'ordre 2. Étude d'une marche aléatoire.
Principaux outils utilisés intégration sur un intervalle quelconque, endomorphismes symétriques, séries entières, variables discrètes
Mots clefs polynômes de Laguerre, temps d'attente, quadrature de Gauss, marche aléatoire, pion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2019 PCMA002

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril: 14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur dénoncé, il le

signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/7
EXERCICE 1
Polynôme de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss

Dans tout l'exercice, on considère un entier n EUR N°.

Partie I - Produit scalaire sur R, [X]

I.1 - Généralités

Pour tout couple (P,O) ER, [X}, on note :

(P | Q) = [ PHQ(r)e 'dt.

QI. Justifier que l'intégrale définissant (P | Q) est convergente.

Q2. Montrer que l'application (:- | +) : R,[X] XR,[X] -- R est un produit 
scalaire.
1.2 - Calcul d'un produit scalaire

Q3. Soitke [1,7]. À l'aide d'une intégration par parties, établir que :

+00 +00
[ Fe 'dt=k [ le dt.
0 0

Q4. Conclure que (X|1)=Kk! pour tout entier k EUR [0, n]|.

Partie II - Construction d'une base orthogonale

On considère l'application « définie sur R,[XT] par :

VPER,IXL a(P)=XP'+(1-X)P"'.

IL.1 - Propriétés de l'application «

Q5. Montrer que « est un endomorphisme de R,[X|.
Q6. Écrire la matrice de & dans la base (1,X,...,X7).

Q7. En déduire que a est diagonalisable et que Sp(a) = {---k]k EUR [0, nr}.

2/7
IL.2 - Vecteurs propres de l'application «

On fixe un entier k EUR [[0, n]|.
Q8. Quelle est la dimension de ker(a + kldp, 1x1) ?

Q9. En déduire qu'il existe un unique polynôme P} EUR R,[X], de coefficient 
dominant égal à 1,
vérifiant a(P}) = -- kP.+.
Q10. Justifier que P, est de degré k.

Q11. Déterminer P, et P,. Vérifier que P; = X° -- 4X + 2.
IL3 - Orthogonalité de la famille (P0, . .. , P,)
On fixe un couple (P,O) ER, [X}.

Q12. Montrer que (a(P) | QO) = -- [ | tP'(1Q'(t)e 'dt.
0

Q13. En déduire que (a(P) | O) = (P | a(O)).
Q14. Montrer que (Po,..., P,) est une base orthogonale de R,[X]. On pourra 
utiliser Q9 et Q13.

Partie IIT - Méthode de quadrature de Gauss

On admet que le polynôme P, admet n racines réelles distinctes que l'on note 
x1,...,x,.

On souhaite montrer qu'il existe (A1,...,1,) EUR R" tel que :

VP R;,,- X |, P(t dt = À; P i). *
ER,_1[X] [ (de 2 (x). (&)

Q15. Montrer qu'un n-uplet (4:,...,1,) EUR R" vérifie (+) si et seulement si
1 1  -.. I \fA 0!
X] X2 + Xn À 1!
at xl ee. x]U, (n-- 1)!

Q16. En déduire qu'il existe un unique n-uplet (41,...,1,) EUR R" vérifiant (+).
Q17. Déterminer un polynôme P EUR R;,[X] tel que

P(ie 'dt 4 >» A;P(x;).
[ (De dr > AP(x)

i=]

3/7
EXERCICE 2
Étude d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle suivante :

x (1 -- x)y"-- x(1 + x)y +y =2x*.  (E)

Partie I - Solution particulière de l'équation homogène

Dans cette première partie, on souhaite déterminer les solutions développables 
en série entière de
l'équation différentielle homogène associée à (E) :

x2(1 -- x)y" -- x(1 + x) + y = 0. (H)

On fixe une suite de nombres réels (a,),en telle que la série entière > a, X° 
ait un rayon de conver-
gence r > 0. On définit la fonction f :]--r,r[-- KR par :

+00

Vxel-r,r[, f(x) = > AnX".

n=0

Q18. Justifier que la fonction f est de classe #° et que les fonctions f" et 
f"' sont développables
en série entière. Exprimer avec la suite (a,),en les développements en série 
entière respectifs
des fonctions f" et f" en précisant leur rayon de convergence.

Q19. Montrer qu'il existe une suite (b,),-2 de nombres réels non nuls telle que 
pour tout x EUR]-r, r{,
ON à :

(LPC -- x + DPI + FO = 40 + D bi(an -- an DX"
n=2

Q20. Montrer que f est solution de (41) sur l'intervalle ]--7, r{ si et 
seulement si ap = Oeta,:1 = a,
pour tout n EUR N°.

Q21. En déduire que si f est solution de (4) sur | -- 7, r{, alors r > 1 et 1l 
existe 1 EUR K tel que :
AX

Vxel-LIL fo =

Q22. Réciproquement, montrer que si À EUR KR, alors la fonction

ÀX
(1 -- x)

g:]-1,I[---R, xr

est une solution de (7) sur ] -- 1, 1[ développable en série entière.

4/7
Partie II - Solutions de (E) sur 10, 1[ ou ]1,+cof

On désigne par J l'un des intervalles ]0, If ou ]1, +. Soit y : Z -- R une 
fonction de classe G?. On
définit la fonction z : Z -- KR par la relation :

Q23.
Q24.

Q25.

Q26.

Q27.

Vxel, Zz(x) = F -- 1)60

Justifier que z est de classe EUR" sur l'intervalle Z, puis exprimer z' et z/' 
avec y, y' et y".

Montrer que y est solution de (E) sur J si et seulement si z est solution sur 7 
de l'équation
différentielle :
XZ +7 = 2x. (E,)

Montrer que si z est solution de (Æ;) sur Z, alors 1l existe 1 EUR KR tel que :

À
Vxel, Zz(xX)=-+x.
x

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (Æ) sur J.

Partie III - Solutions de (£) sur ]0, +co

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) sur ]0, 
+co.

5/7
EXERCICE 3
Étude d'une marche aléatoire

On considère trois points distincts du plan nommés À, B et C. Nous allons 
étudier le déplacement
aléatoire d'un pion se déplaçant sur ces trois points.

À l'étape n = 0, on suppose que le pion se trouve sur le point À. Ensuite, le 
mouvement aléatoire du

pion respecte les deux règles suivantes :

1. le mouvement du pion de l'étape n à l'étape n + 1 ne dépend que de la 
position du pion à
l'étape n, plus précisément 1l ne dépend pas des positions occupées aux autres 
étapes précé-
dentes ;

2. pour passer de l'étape n à l'étape n + 1, on suppose que le pion a une 
chance sur deux de rester
sur place, sinon 1l se déplace de manière équiprobable vers l'un des deux 
autres points.

Pour tout n EUR N, on note À, l'évènement "le pion se trouve en À à l'étape n", 
B, l'évènement "le pion
se trouve en B à l'étape n" et C, l'évènement "le pion se trouve en C à l'étape 
n". On note également :

Pn
Vn EUR N, Pn -- P(A,), Qn -- P(B;), Vn -- P(C) et Vh -- | Qn |;
Vn

et on considère la matrice :

2 1 1
mM=-|1 2 1le.#(R).
1 1 2

NE

Dans l'exercice, on pourra utiliser sans le démontrer le résultat suivant :

442 42] 42]
VnEN, M'= 4-1 442 4-1]
Sn y 421 442

On rappelle que si E et F sont deux évènements avec P(F) > 0, on définit la 
probabilité conditionnelle
de E sachant F (notée P(E | F) ou PF(E)) par :

PENF)

PCETF) = Pr(E) = PF)

Partie I - Calcul des probabilités

Q28. Calculer les nombres p,, g, et r, pourn =0etn=l.
Q29. Démontrer que pour tout n EUR N, on a la relation V,,, = MV,;.
Q30. En déduire que V, = M"Vo, puis une expression de p,, q, et r, pour tout n 
EUR N.

Q31. Déterminer les limites respectives des suites (Ph 1en, (Qn)nen et (he. 
Interpréter le résultat.

6/7
Partie II - Nombre moyen de passages en À

Pour n EUR N°", on note a, le nombre moyen de passages du pion en À entre 
l'étape 1 et l'étape n et on

définit la variable aléatoire :
_ f 1 si À, est réalisé,

X -- . pt ' y
É Uo si À,est réalisé.

Q32. Interpréter la variable aléatoire X, + : -- + X, et le nombre E(X; + ::- + 
X,).
Q33. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X, pour n EUR N°.

Q34. En déduire une expression de a,.

Partie III - Temps d'attente avant le premier passage en B

On définit la variable aléatoire T} de la façon suivante :
1. si le pion ne passe jamais en B, on pose Tz = 0;
2. sinon, 73 est le numéro de l'étape à laquelle le pion passe pour la première 
fois en B.

Nous allons déterminer la loi de 7% et son espérance.
Q35. Calculer P(Tz = 1) et P(Tz = 2).
Q36. Soit n EUR N. Exprimer B, en fonction de À, et C,.

è -- 1_--  -- _ -- 1
Q37. Etablir que P(B; N B; N B;) = 37 B2 N B;), puis en déduire que P(B; | B; N 
B;) = r
Dans la suite, on admet la relation :

= 1
Vn EUR N', P[a. D = --.
: +

Q38. Pour k EUR N°, calculer P(Tzg = k). Que vaut P(Tz = 0)?

Q39. Justifier que la variable aléatoire T} admet une espérance. Quelle est 
l'espérance de T3 ?

FIN

7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hugues Zuber (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Théo Lenoir (ENS Ulm) et Gilbert Monna (professeur honoraire de mathématiques
en CPGE).
Ce sujet est composé de trois exercices indépendants.
· Le premier exercice décrit un produit scalaire sur Rn [X] construit à l'aide 
d'une
intégrale sur [ 0 ; + [, avant de proposer une famille de polynômes orthogonaux
pour ce produit scalaire, vus comme vecteurs propres d'un endomorphisme
de Rn [X]. L'exercice se conclut par quelques conséquences sur le calcul 
d'intégrales liées à ces polynômes.
· Le deuxième exercice propose de résoudre une équation différentielle linéaire
d'ordre 2 à coefficients non constants. En première partie, on détermine les
solutions de l'équation homogène qui sont développables en série entière. En
deuxième partie, on résout l'équation sur deux sous-intervalles de l'intervalle
d'étude pour enfin, en troisième partie, étudier les raccords entre les 
solutions
trouvées et achever la résolution de l'équation.
· Le troisième exercice permet d'étudier la marche aléatoire d'un pion qui se
déplace sur trois positions possibles. On évalue le nombre (aléatoire) de 
passages
en un point donné, puis le temps d'attente avant d'atteindre l'une des 
positions.
Cet exercice met en jeu la capacité à travailler avec des évènements et le 
calcul
ensembliste, la manipulation des variables aléatoires discrètes, et l'usage des
formules des probabilités totales et des probabilités composées.
Le sujet est dans son ensemble très classique : les questions posées restent, 
dans
chaque thématique, proches de ce qui a été vu en cours ou en travaux dirigés, et
constituent donc un bon outil de révision. Seule la question 27 de l'exercice 2 
demande
une plus grande prise d'initiative, avec l'étude du raccord entre les solutions 
trouvées
précédemment, mais là encore, les étapes à suivre sont décrites dans le cours.

Indications
Exercice 1
1 La fonction exp domine toute fonction polynomiale en +. Utiliser une 
comparaison avec une fonction de la forme t 7 1/ta , puis une intégrale de 
référence
associée.
4 Écrire (Xk | 1) sous forme d'une intégrale pour voir le lien avec la question 
3.
Raisonner par récurrence.
7 La matrice de la question 6 est triangulaire, on connaît donc ses valeurs 
propres.
8 Avec la question 7, que vaut Card (Sp()) ? Que vaut dim (Rn [X]) ?
9 L'espace Ker ( + k Id Rn [X] ) étant une droite, deux vecteurs quelconques de 
cette
droite sont forcément colinéaires. Quand on multiplie un polynôme non nul par
un scalaire, on multiplie son coefficient dominant par ce même scalaire.
10 Noter d le degré de Pk et chercher son lien avec le coefficient dominant de 
(Pk ).
Déterminer le coefficient dominant de -kPk , et se rappeler que (Pk ) = -kPk .
12 Effectuer une intégration par parties ; pour cela, il reste à trouver les 
deux fonctions auxquelles on l'applique : l'une des deux est la fonction 
polynomiale Q.
14 Pour démarrer, utiliser la question 13 avec Pk et P , où k 6= .
15 Le système linéaire proposé donne () dans le cas particulier des monômes. 
Pour la
réciproque, se rappeler que tout polynôme est combinaison linéaire de monômes.
16 La matrice du système linéaire est une matrice de Vandermonde.
17 Trouver un polynôme qui admet x1 , . . . , xn comme racines, pour lequel 
l'intégrale
est non nulle (par exemple en choisissant un polynôme à valeurs dans R+ ).
Exercice 2
18 Le travail consiste à rassembler toutes les sommes trouvées à la question 
17, via
des changements d'indices, pour obtenir une seule série entière.
24 Calculer, pour x  I, xz  (x) + z  (x) en fonction de y(x), y  (x) et y  (x).
25 L'équation (E1 ) peut être vue comme une équation sur z  : elle devient 
alors une
équation linéaire d'ordre 1 sur z  , que l'on sait résoudre.
26 Déduire z de z  , puis y de z. Penser à la réciproque.
27 Si y est solution de (E) sur R+ , alors y est solution sur ] 0 ; 1 [ et ] 1 
; + [. Appliquer la question 26 sur ces intervalles, puis étudier le raccord en 
1.
Exercice 3
29 Utiliser la formule des probabilités totales avec (An , Bn , Cn ), un 
système complet
d'évènements, sur chacun des évènements demandés : An+1 , puis Bn+1 et Cn+1 .
32 Trouver le lien avec le titre de la partie II.
34 Comme an = E(X1 + · · · + Xn ), on peut utiliser la linéarité de l'espérance.
35 Remarquer que [TB = 1] = B1 . Pour P (TB = 2), on peut utiliser la formule 
des
probabilités totales avec le système complet d'évènements (A1 , B1 , C1 ).
37 Utiliser la question 36 sur B2 et B1 , puis développer B2  B1 afin d'avancer 
dans
le calcul de probabilité. Faire un travail similaire avec B3  B2  B1 et comparer
les résultats.
38 Remarquer que [TB = k] = B1  · · ·  Bk-1  Bk , puis utiliser la formule des
probabilités composées.
39 Le plus rapide est de s'apercevoir que TB suit une loi usuelle.

Exercice 1. Polynôme de Laguerre et
méthode de quadrature de Gauss
1 Soient P, Q  Rn [X]. L'application t 7 P(t)Q(t)e -t est continue sur [ 0 ; + 
[,
donc l'intégrale
Z +
P(t)Q(t)e -t dt
0

n'est impropre qu'en +. L'application t 7 t2 P(t)Q(t) est polynomiale, donc 
négligeable devant l'exponentielle en +. On en déduit que t2 P(t)Q(t)e -t ---- 
0,
t+
c'est-à-dire
 
1
|P(t)Q(t)e -t | = o
+
t  t2
1
Comme l'application t 7 2 est positive sur [ 1 ; + [ et que l'intégrale de 
référence
t
Z +
1
dt
2
t
1
converge, on peut affirmer par comparaison des fonctions positives que 
l'intégrale
Z +
P(t)Q(t)e -t dt
1

est absolument convergente, donc convergente. La fonction intégrée étant 
continue
sur [ 0 ; 1 ], on conclut que
L'intégrale

Z

+

P(t)Q(t)e -t dt est convergente.

0

Rappelons que, pour a  R, l'intégrale de référence
Z +
1
dt
ta
1
converge si et seulement si a > 1. La borne 1 de l'intervalle d'intégration
peut être remplacée par n'importe quel réel strictement positif (mais surtout
pas par 0).
La question 1 peut aussi être traitée en commençant par étudier le cas
des monômes, autrement dit, en montrant que pour tout k  N, l'intégrale
Z +
tk e -t dt
0

est convergente. Il reste ensuite à préciser que tout polynôme est combinaison
linéaire de monômes. Plus généralement, on peut montrer que l'application
Z +
 : x 7
tx-1 e -t dt
0

est définie sur R+ . La question 4 montre que cette fonction  permet de
prolonger la fonction « factorielle » qui, elle, n'est définie que sur N.

2 D'après la question 1, pour tout (P, Q)  (Rn [X])2 , (P | Q) est un nombre 
réel
correctement défini ; l'application (· | ·) est bien une application de (Rn 
[X])2 dans R.
Soient P1 , P2 , Q des polynômes de Rn [X]. Soit   R. On calcule :
Z +
(P1 + P2 | Q) =
(P1 + P2 )(t)Q(t)e -t dt
0

=

Z

+

Z

+

(P1 (t)Q(t)e -t + P2 (t)Q(t)e -t ) dt

0

=

P1 (t)Q(t)e

-t

0

Z
dt + 

+

P2 (t)Q(t)e -t dt
0

(par linéarité de l'intégrale)

(P1 + P2 | Q) = (P1 | Q) + (P2 | Q)
Ainsi, l'application (· | ·) est linéaire à gauche.
Soit (P, Q)  (Rn [X])2 . On a
Z +
Z +
-t
Q(t)P(t)e -t dt = (Q | P)
(P | Q) =
P(t)Q(t)e dt =
0

0

Ainsi, l'application (· | ·) est symétrique. Par conséquent, l'application (· | 
·) est bilinéaire symétrique.
Soit P  Rn [X]. Comme l'application t 7 P(t)2 e -t est positive sur R+ 
(notamment car exp est à valeurs dans R+ ), on a, par positivité de l'intégrale,
Z +
(P | P) =
P(t)2 e -t dt > 0
0

Supposons maintenant que (P | P) = 0. Alors
Z +
P(t)2 e -t dt = 0
0

L'application t 7 P(t)2 e -t est positive et continue sur R+ , donc le fait que 
l'intégrale
soit nulle entraîne que pour tout t  R+ ,
P(t)2 e -t

d'où

P(t) = 0 (car e -t 6= 0)

Le polynôme P admet donc une infinité de racines ; on en déduit que P = 0. On 
vient
de montrer que l'application (· | ·) est définie positive. Finalement,
L'application (· | ·) est un produit scalaire.
3 Soit k  [[ 1 ; n ]]. Réalisons une intégration par parties avec les deux 
applications u : t 7 tk et v : t 7 -e -t , qui sont de classe C 1 sur R+ . Par 
croissances
comparées, pour tout A  R+ ,
k -A
[u(t)v(t)]A
----- 0
0 = -A e
A+

+

Ainsi le crochet [u(t)v(t)]0 est bien défini. Avec ceci et le résultat de la 
question 1,
on peut écrire :
Z +
Z +
 k -t +
k -t
t e dt = -t e
-
ktk-1 (-e -t ) dt
0
0

0

On a vu que le crochet est nul, il reste
Z +
Z
k -t
t e dt = k
0

+

tk-1 e -t dt

0