CCP Maths PC 2018

Thème de l'épreuve Étude des polynômes de Legendre et application à l'approximation d'intégrales
Principaux outils utilisés polynômes, produits scalaires, intégrales, séries, équations différentielles
Mots clefs polynômes de Legendre, théorème de Rolle, formule de dérivation de Leibniz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2018

!
!

!

PCMA002

!
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
/'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+
a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
!
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! Le sujet est constitué d'un seul problème en six parties.
!
! Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est 
de! mandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.
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1/7

!

PROBLÈME

On rappelle que R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients 
réels. Pour n
entier naturel, Rn [X] désigne le sous-espace vectoriel de R[X] des polynômes 
de degré inférieur
ou égal à n. On précise que l'on pourra confondre polynôme et fonction 
polynomiale associée.
Soit P un polynôme de R[X]. On note P (n) sa dérivée n-ième.
On considère l'application  de R[X] dans lui-même définie par :
P  R[X], (P ) = (X 2 - 1)P  + 2XP  .
Pour n  N, on note Un = (X 2 -1)n et Ln =

1
2n n!

Un(n) . Les polynômes Ln sont appelés polynômes

de Legendre. Pour n entier naturel, an désigne le coefficient dominant de Ln .

Partie I - Quelques résultats généraux
Q1.

Déterminer L0 , L1 et vérifier que L2 =

1
(3X 2 - 1).
2

Dans la suite de cette partie, n désigne un entier naturel.
Q2.

Justifier que Ln est de degré n et préciser la valeur de an .

Q3.

Montrer que la famille (L0 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X].

Q4. Pour n  N , déterminer les racines de Un , en précisant leur ordre de 
multiplicité, puis
justifier qu'il existe un réel  ] - 1, 1[ et un réel , que l'on ne cherchera 
pas à déterminer,
tels que :
Un = (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - ).
On pourra utiliser le théorème de Rolle.

2/7

Q5. Dans cette question seulement, n  2. Soit k  1, n - 1. On suppose qu'il 
existe des
réels 1 , . . . , k deux à deux distincts dans ] - 1, 1[ et un réel µ tels que :
Un(k) = µ(X - 1)n-k (X + 1)n-k (X - 1 ) · · · (X - k ).
Justifier qu'il existe des réels 1 , . . . , k+1 deux à deux distincts dans ] - 
1, 1[ et un réel  tels
que :
Un(k+1) = (X - 1)n-k-1 (X + 1)n-k-1 (X - 1 ) · · · (X - k+1 ).
Q6. En déduire que, pour n  N , Ln admet n racines réelles simples, toutes dans 
[-1, 1].
On les note x1 , . . . , xn , en convenant que x1 < · · · < xn .
On note An =

n

(X - xk ).

k=1

En convenant que A0 = 1, on a donc : n  N, Ln = an An .

Partie II - Étude des éléments propres de l'endomorphisme 
Q7.

Prouver que  est un endomorphisme de R[X].

Dans les questions Q8 à Q13, n désigne un entier naturel.
Q8.

Justifier que Rn [X] est stable par .

On note n l'endomorphisme de Rn [X] induit par . Cet endomorphisme n est donc 
défini
par : P  Rn [X], n (P ) = (P ).
Q9. On note M = (mi, j )0i, jn la matrice de n dans la base canonique de Rn 
[X]. Montrer
que M est triangulaire supérieure et que : k  0, n, mk,k = k(k + 1).
Q10.

Montrer que n est diagonalisable. On pourra utiliser la question Q9.

Q11.

Vérifier que : k  0, n, (X 2 - 1)Uk - 2kXUk = 0.

Q12. Soit k  0, n. En dérivant (k + 1) fois la relation de la question Q11, 
montrer grâce
à la formule de dérivation de Leibniz que : (X 2 - 1)Uk(k+2) + 2XUk(k+1) - k(k 
+ 1)Uk(k) = 0.
Q13. Montrer que, pour k  0, n, le polynôme Lk est un vecteur propre de n , en 
précisant
la valeur propre associée. On pourra utiliser la question Q12.
Q14.

Déduire de ce qui précède les valeurs propres et les sous-espaces propres 
associés de .

3/7

Dans la suite du problème, pour P et Q éléments de R[X], on définit :
P, Q =

 1

P (t)Q(t) dt.

-1

Partie III - Distance au sous-espace vectoriel Rn [X]
Q15.

Justifier que ., . est un produit scalaire sur R[X].

On note . la norme associée, qui est donc définie par : f  =

1

f (t)2 dt

-1

Q16.

Établir que : (P, Q)  R[X]2 , (P ), Q = -

 1

1

2

.

(t 2 - 1)P  (t)Q (t) dt, puis que :

-1

(P, Q)  R[X]2 , (P ), Q = P, (Q).
Q17. Montrer que la famille (Ln )nN de polynômes de R[X] est orthogonale pour 
le produit
scalaire ., .. On pourra utiliser la question Q13.
Q18.

Montrer que : n  N , P  Rn-1 [X], P, Ln  = 0.

2n + 1
2
. Pour n  N, on pose Qn =
Ln . Que peut-on
Q19. On admet que Ln 2 =
2n + 1
2
dire de la famille (Qn )nN de polynômes de R[X] pour le produit scalaire ., . ?
Dans la suite de cette partie, P désigne un polynôme de R[X].
Pour n  N, on note d (P, Rn [X]) =

inf P - Q la distance de P au sous-espace Rn [X].

QRn [X]

Q20. Soit n  N. En utilisant un résultat de votre cours, justifier qu'il existe 
un unique
polynôme Tn de Rn [X] tel que : d (P, Rn [X]) = P - Tn , puis justifier 
l'égalité :
2

2

d (P, Rn [X]) = P  -

n 

k=0

Q21.

Prouver que la série

ck (P )

2

2

ck (P ) , où ck (P ) = P, Qk .

converge et que :

+

k=0

4/7

ck (P )

2

 P 2 .

Partie IV - Fonction génératrice

On admet dans la suite du problème que n  N
, (n + 1)Ln+1 - (2n + 1)XLn + nLn-1 = 0
et on considère la série entière de la variable t :
Ln (x)t n . On note r la racine positive du
polynôme X 2 - 2X - 1.

Q22. Montrer que : x  [-1, 1], n  N, |Ln (x)|  r n . On pourra raisonner par 
récurrence
et utiliser la relation admise au début de cette partie.
Pour x  [-1, 1], on note R(x) le rayon de convergence de la série entière
1
Montrer que : R(x)  .
r

Q23.

Ln (x)t n .

+

1 1
Ln (x)t n . Montrer que Sx est
, on pose Sx (t) =
Q24. Pour x  [-1, 1] et t  - ,
r r
n=0

1 1
de l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
solution sur - ,
r r
(1 - 2tx + t 2 )y  + (t - x)y = 0.

Q25.

1
1 1 +
Ln (x)t n =  2
,
En déduire que : x  [-1, 1], t  - ,
.
r r n=0
t - 2xt + 1

Q26. Indiquer une méthode permettant, à partir du seul résultat de la question 
Q25, de
retrouver l'expression des polynômes L0 , L1 et L2 .

Partie V - Expression intégrale des polynômes de Legendre
Pour   [0, ] et n  N, on pose : wn () =

1 
(cos  + i sin  cos u)n du.
2 -

Q27. Soit t ] - 1, 1[. Pour n  N, on considère
 la fonction vn de [-, ] dans C définie par :
n
n
vn converge normalement sur [-, ].
vn (u) = t (cos  + i sin  cos u) . Montrer que
Q28.

+

du
1 
Justifier l'égalité : t ] - 1, 1[,
wn ()t =
.
2 - 1 - t cos  - i t sin  cos u
n=0
n

Dans les questions Q29 et Q30, a désigne un réel strictement positif.
Q29.

Montrer que

défini par v =  - u.

0

cos u
du = 0. On pourra utiliser le changement de variable
1 + a2 cos2 u

5/7

2

du
1

. On pourra utiliser le changement de
=
2
2
2 1 + a2
0 1 + a cos u
variable défini par u = arctan v .

Q30.

Montrer que :

Q31.

En déduire que :
t ] - 1, 1[,   [0, ],

-

du
2
=  2
.
1 - t cos  - i t sin  cos u
t - 2t cos  + 1

Q32.

Déduire de ce qui précède que : n  N,   [0, ], Ln (cos ) = wn ().

Q33.

Justifier que : x  [-1, 1], t ] - 1, 1[,

Q34.

+

n=0

Ln (x)t n = 

t2

1
.
- 2xt + 1

Prouver que : x  [-1, 1], R(x) = 1. On pourra raisonner par l'absurde et montrer

qu'alors, pour tout z de C tel que |z| < R(x), on a : (z 2 - 2xz + 1)

+

Ln (x)z n

n=0

2

= 1.

Partie VI - Application à l'approximation d'intégrales
Dans les questions Q35 à Q43, n désigne un entier naturel non nul.
Q35. Soit h une application de R dans R de classe C 2n-1 sur R telle qu'il 
existe 2n réels
t1 < · · · < t2n vérifiant : i  1, 2n, h(ti ) = 0. Montrer qu'il existe un réel 
c tel que :
h(2n-1) (c) = 0.
Q36. Pour i  1, n, on note i l'application linéaire définie sur Rn-1 [X], à 
valeurs dans R,
par : P  Rn-1 [X], i (P ) = P (xi ) (on rappelle que x1 , . . . , xn désignent 
les racines de Ln et
qu'elles sont deux à deux distinctes). Montrer que (1 , . . . , n ) est libre 
dans L(Rn-1 [X], R).
Q37.

En déduire que pour toute application linéaire  de Rn-1 [X] dans R, il existe 
un unique

n-uplet (1 , . . . , n ) de réels tel que :  =

n

k k .

k=1

Q38.

Montrer qu'il existe un unique n-uplet (1 , . . . , n ) de réels tel que :
P  Rn-1 [X],

 1

-1

P (t) dt = 1 P (x1 ) + · · · + n P (xn ).

Q39. Montrer que la relation de la question Q38 reste vérifiée pour tout P de 
R2n-1 [X]. On
pourra, pour P  R2n-1 [X], utiliser la division euclidienne de P par Ln et la 
question Q18.

6/7

Dans la suite du problème, f désigne une application de [-1, 1] dans R, de 
classe C 2n sur [-1, 1].

H

n (xi ) = f (xi )
. On pourra commenMontrer que : !Hn  R2n-1 [X], i  1, n,  
Hn (xi ) = f  (xi )
cer
linéaire de R2n-1 [X] dans R2n qui à P associe :

 par déterminer le noyau de l'application
P (x1 ), . . . , P (xn ), P  (x1 ), . . . , P  (xn ) .

Q40.

On rappelle que An a été défini à la question Q6.
Soit x  [-1, 1] tel que : i  1, n, x  xi .
An (x)2 (2n)
f
(c). On pourra considérer l'application
Montrer que : c  [-1, 1], f (x) - Hn (x) =
(2n)!
An (t)2
g définie sur [-1, 1] par g(t) = f (t) - Hn (t) -
K, où K est un réel dépendant de x à
(2n)!
préciser, et appliquer le résultat de la question Q35 à la fonction g  .

Q41.

An (y )2 (2n)
(c).
f
(2n)!

Q42.

Montrer que : y  [-1, 1], c  [-1, 1], f (y ) - Hn (y ) =

Q43.

Justifier l'existence de M2n (f ) = max |f (2n) (t)|, puis prouver que :
t[-1,1]

 1

-1

Q44.

f (t) dt -

1 f (x1 ) + · · · + n f (xn ) 

M2n (f )  1
An (t)2 dt.

(2n)! -1

Déterminer un équivalent simple au voisinage de + de

 1

-1

FIN

7/7

An (t)2 dt.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Romain Panis (ENS Ulm) et Guillaume Batog (professeur en 
CPGE).

Ce long problème est consacré à une étude assez extensive des polynômes de
Legendre. Il commence par des résultats généraux et aboutit en dernière partie 
à une
application, dite méthode de Gauss-Legendre, à l'approximation d'intégrales.
· Des généralités sur les polynômes de Legendre, notés Ln (n  N), font l'objet
de la première partie, plutôt facile.
· La deuxième partie étudie un endomorphisme sur les polynômes et montre
que les polynômes de Legendre sont justement des vecteurs propres de cet
endomorphisme.
· Dans la troisième partie, le sujet exploite des propriétés des polynômes de
Legendre afin de déterminer la distance d'un polynôme quelconque à Rn [X],
pour n  N.

· La quatrième partie donne l'expression explicite de la série génératrice de
la suite (Ln (x))nN et conclut sur une méthode pour en déduire les valeurs
des Ln (x) pour n  N et x  [ -1 ; 1 ].

· La cinquième partie passe par des expressions intégrales pour déterminer 
exactement le rayon de convergence de la série génératrice de la partie IV.
· La sixième partie montre une application des polynômes de Legendre à 
l'approximation d'intégrales.

Finalement, c'est un sujet long qui alterne des questions faciles et d'autres 
un peu
plus techniques. Les thèmes abordés relèvent principalement du programme 
d'analyse
(avec une emphase particulière sur les polynômes), même si l'on rencontre 
quelques
questions d'algèbre linéaire, de diagonalisation et de produits scalaires. Les 
parties
étant liées, c'est une bonne occasion d'apprendre à se repérer dans un problème 
et à
réutiliser les bonnes questions au bon moment.

Indications
Partie I
2 Commencer par le degré et le coefficient dominant de Un .
4 Les racines multiples de Un sont également des racines de Un  . Penser 
ensuite au
théorème de Rolle pour prouver l'existence de .
5 Utiliser également le théorème de Rolle afin de trouver des racines entre 
deux i
consécutifs, puis exploiter le degré de Un (k+1) afin de prouver qu'il n'y a pas
d'autres racines.
6 Pour n > 2 fixé, raisonner par récurrence finie sur k  [[ 1 ; n ]] et 
appliquer les
questions 4 et 5.
Partie II
10 À l'aide de la question 9, déterminer le polynôme caractéristique de M.
12 Soit k  [[ 0 ; n ]]. Si f et g sont deux fonctions dérivables, la formule de 
Leibniz
assure que :

k+1
P k+1
(f g)(k+1) =
f (i) g (k+1-i)
i
i=0
13 Remplacer Uk (k) par Lk dans la formule de la question 12.
14 Commencer par déterminer les éléments propres de n . Chercher ensuite ceux
de  en se ramenant à n , où n est le degré du vecteur propre considéré.
Partie III
15 Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
16 Partir de l'intégrale de droite et effectuer une intégration par parties en 
dérivant t 7- (t2 - 1)P (t) et en intégrant t 7- Q (t).
17 Utiliser le résultat de la question 16 en injectant celui de la question 13.

20 Penser au projeté orthogonal. Exprimer kP - Tn k2 en fonction de kPk2 et kTn 
k2
grâce au fait que Tn et P - Tn sont orthogonaux. Enfin, décomposer Tn dans la
base orthonormale (Q0 , . . . , Qn ).
Partie IV
22 Commencer par déterminer la valeur de r avant de suivre l'indication de 
l'énoncé.
23 Majorer le terme général de la série pour |t| < 1/r.

24 Une fois les changements d'indice effectués, penser à utiliser la relation 
donnée
dans l'énoncé au début de la partie.
25 Vérifier que la fonction t 7- 1 - 2tx + t2 ne s'annule pas sur ] -1/r ; 1/r 
[, diviser
l'équation par cette valeur et exprimer sa solution générale.
Partie V
27 Majorer |vn (u)| indépendamment de u.

28 Reconnaître vn (u) dans le terme général de la somme, puis échanger somme et
intégrale grâce à la convergence normale.

29 Se souvenir de la formule 1/ cos2 (x) = 1 + tan2 (x) pour tout x dans 
l'intervalle
de définition 
de la fonction tangente. Conclure à l'aide du changement de variable u = v/ 1 + 
a2 .
31 Séparer parties réelle et imaginaire. Pour la première, utiliser la question 
30 en
prenant garde aux bornes de l'intégrale. La seconde est nulle grâce à la 
question 29.
32 Utiliser les questions 25, 28 et 31.
33 Pour tout x  [ -1 ; 1 ], il existe   R tel que x = cos . Conclure à l'aide 
de la
question 32.
34 D'après la question 33, la relation est vraie si z  ] -1 ; 1 [. L'étendre à P
z  C vérifiant |z| < R(x) en considérant la série entière de la variable 
complexe Ln (x)z n
et l'unicité du développement en série entière. Aboutir à une contradiction en
calculant le module des racines complexes de z 2 - 2xz + 1.
Partie VI
35 Montrer par récurrence que, pour tout k  [[ 0 ; 2n - 1 ]], la fonction h(k) 
s'annule
au moins 2n - k fois sur R. Pour cela, appliquer le théorème de Rolle sur chaque
intervalle entre les racines de h(k) .
36 Pour tout i  [[ 1 ; n ]], considérer le polynôme
n

Pi (X) =

 (X - xk )  Rn-1 [X]
k=1
k6=i

40 Montrer que l'application linéaire suggérée par l'énoncé est bijective.
41 Déterminer K pour que g s'annule en x. Montrer que g  s'annule en x1 , . . . 
, xn et
trouver n autres racines en appliquant le théorème de Rolle sur tous les 
intervalles
entre deux racines consécutives de g. Appliquer alors la question 35 et 
simplifier
le résultat obtenu en remarquant que Hn et An 2 sont des fonctions polynomiales
de degrés 2n - 1 et 2n.

42 Il reste à montrer cette propriété pour y = xi avec i  [[ 1 ; n ]].

43 Utiliser successivement les questions 40, 38 et 42, puis majorer 
l'intégrande obtenu
à l'aide de M2n (f ).
44 Exprimer An en fonction de Ln d'après les questions 2 et 6, puis exploiter 
l'égalité
admise dans la question 19. Conclure à l'aide de la formule de Stirling :
 p p

2p
p! 
p+
e

I. Quelques résultats généraux
1 On a U0 = 1, d'où U0 (0) = 1, puis
L0 = 1
De même, U1 = X2 - 1, d'où U1 (1) = 2X. Puisque 21 1! = 2, il vient
L1 = X
Enfin, U2 = (X2 - 1)2 = X4 - 2X2 + 1, U2 (1) = 4X3 - 4X et U2 (2) = 12X2 - 4.
Comme 22 2! = 8, on en déduit que
L2 =

1
(3X2 - 1)
2

2 Le polynôme Un est de degré 2n. Comme il est dérivé n fois, avec n 6 2n,
Le polynôme Ln est de degré n.
De plus, le monôme dominant de Un est égal à X2n , donc le coefficient dominant
de Ln vaut
1
1
(2n)(2n - 1) · · · (2n - (n - 1)) = n (2n)(2n - 1) · · · (n + 1)
2n n!
2 n!
 
(2n)!
1 2n
c'est-à-dire
an = n
= n
2 (n!)2
2
n
3 D'après la question 2, la famille (L0 , . . . , Ln ) est une famille de Rn 
[X] de degrés
étagés, elle est donc libre. En outre, son cardinal vaut n+1, qui est aussi la 
dimension
de Rn [X], d'où
La famille (L0 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X].
4 Soit n  N . Par définition, Un = (X - 1)n (X + 1)n . Ainsi,
Pour n  N , les racines de Un sont 1 et -1
et elles sont toutes les deux de multiplicité n.
D'après les propriétés sur les multiplicités des racines, on sait que 1 et -1 
sont
alors racines de Un  de multiplicité n - 1. Comme 2(n - 1) = 2n - 2 et que Un  
est
de degré 2n - 1, on en déduit l'existence de   R et   R tels que
Un  =  (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - )

Il reste à prouver que   ] -1 ; 1 [. On sait que
· Un est à valeurs réelles ;

· Un est de classe C 1 sur R, donc continue sur [ -1 ; 1 ] et dérivable sur ] 
-1 ; 1 [ ;
· Un (1) = Un (-1) = 0.

Par suite, le théorème de Rolle assure l'existence de c  ] -1 ; 1 [ tel que Un  
(c) = 0.
On en déduit que c = , puis que   ] -1 ; 1 [. Ainsi,
Il existe   ] -1 ; 1 [ et   R tels que Un  =  (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - ).