CCP Maths PC 2018

Thème de l'épreuve Étude des polynômes de Legendre et application à l'approximation d'intégrales
Principaux outils utilisés polynômes, produits scalaires, intégrales, séries, équations différentielles
Mots clefs polynômes de Legendre, théorème de Rolle, formule de dérivation de Leibniz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2018 ! ! ! PCMA002 ! ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" MATHÉMATIQUES Lundi 30 avril : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est constitué d'un seul problème en six parties. ! ! Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est de! mandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/7 ! PROBLÈME On rappelle que R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour n entier naturel, Rn [X] désigne le sous-espace vectoriel de R[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On précise que l'on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée. Soit P un polynôme de R[X]. On note P (n) sa dérivée n-ième. On considère l'application de R[X] dans lui-même définie par : P R[X], (P ) = (X 2 - 1)P + 2XP . Pour n N, on note Un = (X 2 -1)n et Ln = 1 2n n! Un(n) . Les polynômes Ln sont appelés polynômes de Legendre. Pour n entier naturel, an désigne le coefficient dominant de Ln . Partie I - Quelques résultats généraux Q1. Déterminer L0 , L1 et vérifier que L2 = 1 (3X 2 - 1). 2 Dans la suite de cette partie, n désigne un entier naturel. Q2. Justifier que Ln est de degré n et préciser la valeur de an . Q3. Montrer que la famille (L0 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X]. Q4. Pour n N , déterminer les racines de Un , en précisant leur ordre de multiplicité, puis justifier qu'il existe un réel ] - 1, 1[ et un réel , que l'on ne cherchera pas à déterminer, tels que : Un = (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - ). On pourra utiliser le théorème de Rolle. 2/7 Q5. Dans cette question seulement, n 2. Soit k 1, n - 1. On suppose qu'il existe des réels 1 , . . . , k deux à deux distincts dans ] - 1, 1[ et un réel µ tels que : Un(k) = µ(X - 1)n-k (X + 1)n-k (X - 1 ) · · · (X - k ). Justifier qu'il existe des réels 1 , . . . , k+1 deux à deux distincts dans ] - 1, 1[ et un réel tels que : Un(k+1) = (X - 1)n-k-1 (X + 1)n-k-1 (X - 1 ) · · · (X - k+1 ). Q6. En déduire que, pour n N , Ln admet n racines réelles simples, toutes dans [-1, 1]. On les note x1 , . . . , xn , en convenant que x1 < · · · < xn . On note An = n (X - xk ). k=1 En convenant que A0 = 1, on a donc : n N, Ln = an An . Partie II - Étude des éléments propres de l'endomorphisme Q7. Prouver que est un endomorphisme de R[X]. Dans les questions Q8 à Q13, n désigne un entier naturel. Q8. Justifier que Rn [X] est stable par . On note n l'endomorphisme de Rn [X] induit par . Cet endomorphisme n est donc défini par : P Rn [X], n (P ) = (P ). Q9. On note M = (mi, j )0i, jn la matrice de n dans la base canonique de Rn [X]. Montrer que M est triangulaire supérieure et que : k 0, n, mk,k = k(k + 1). Q10. Montrer que n est diagonalisable. On pourra utiliser la question Q9. Q11. Vérifier que : k 0, n, (X 2 - 1)Uk - 2kXUk = 0. Q12. Soit k 0, n. En dérivant (k + 1) fois la relation de la question Q11, montrer grâce à la formule de dérivation de Leibniz que : (X 2 - 1)Uk(k+2) + 2XUk(k+1) - k(k + 1)Uk(k) = 0. Q13. Montrer que, pour k 0, n, le polynôme Lk est un vecteur propre de n , en précisant la valeur propre associée. On pourra utiliser la question Q12. Q14. Déduire de ce qui précède les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de . 3/7 Dans la suite du problème, pour P et Q éléments de R[X], on définit : P, Q = 1 P (t)Q(t) dt. -1 Partie III - Distance au sous-espace vectoriel Rn [X] Q15. Justifier que ., . est un produit scalaire sur R[X]. On note . la norme associée, qui est donc définie par : f = 1 f (t)2 dt -1 Q16. Établir que : (P, Q) R[X]2 , (P ), Q = - 1 1 2 . (t 2 - 1)P (t)Q (t) dt, puis que : -1 (P, Q) R[X]2 , (P ), Q = P, (Q). Q17. Montrer que la famille (Ln )nN de polynômes de R[X] est orthogonale pour le produit scalaire ., .. On pourra utiliser la question Q13. Q18. Montrer que : n N , P Rn-1 [X], P, Ln = 0. 2n + 1 2 . Pour n N, on pose Qn = Ln . Que peut-on Q19. On admet que Ln 2 = 2n + 1 2 dire de la famille (Qn )nN de polynômes de R[X] pour le produit scalaire ., . ? Dans la suite de cette partie, P désigne un polynôme de R[X]. Pour n N, on note d (P, Rn [X]) = inf P - Q la distance de P au sous-espace Rn [X]. QRn [X] Q20. Soit n N. En utilisant un résultat de votre cours, justifier qu'il existe un unique polynôme Tn de Rn [X] tel que : d (P, Rn [X]) = P - Tn , puis justifier l'égalité : 2 2 d (P, Rn [X]) = P - n k=0 Q21. Prouver que la série ck (P ) 2 2 ck (P ) , où ck (P ) = P, Qk . converge et que : + k=0 4/7 ck (P ) 2 P 2 . Partie IV - Fonction génératrice On admet dans la suite du problème que n N , (n + 1)Ln+1 - (2n + 1)XLn + nLn-1 = 0 et on considère la série entière de la variable t : Ln (x)t n . On note r la racine positive du polynôme X 2 - 2X - 1. Q22. Montrer que : x [-1, 1], n N, |Ln (x)| r n . On pourra raisonner par récurrence et utiliser la relation admise au début de cette partie. Pour x [-1, 1], on note R(x) le rayon de convergence de la série entière 1 Montrer que : R(x) . r Q23. Ln (x)t n . + 1 1 Ln (x)t n . Montrer que Sx est , on pose Sx (t) = Q24. Pour x [-1, 1] et t - , r r n=0 1 1 de l'équation différentielle linéaire du premier ordre : solution sur - , r r (1 - 2tx + t 2 )y + (t - x)y = 0. Q25. 1 1 1 + Ln (x)t n = 2 , En déduire que : x [-1, 1], t - , . r r n=0 t - 2xt + 1 Q26. Indiquer une méthode permettant, à partir du seul résultat de la question Q25, de retrouver l'expression des polynômes L0 , L1 et L2 . Partie V - Expression intégrale des polynômes de Legendre Pour [0, ] et n N, on pose : wn () = 1 (cos + i sin cos u)n du. 2 - Q27. Soit t ] - 1, 1[. Pour n N, on considère la fonction vn de [-, ] dans C définie par : n n vn converge normalement sur [-, ]. vn (u) = t (cos + i sin cos u) . Montrer que Q28. + du 1 Justifier l'égalité : t ] - 1, 1[, wn ()t = . 2 - 1 - t cos - i t sin cos u n=0 n Dans les questions Q29 et Q30, a désigne un réel strictement positif. Q29. Montrer que défini par v = - u. 0 cos u du = 0. On pourra utiliser le changement de variable 1 + a2 cos2 u 5/7 2 du 1 . On pourra utiliser le changement de = 2 2 2 1 + a2 0 1 + a cos u variable défini par u = arctan v . Q30. Montrer que : Q31. En déduire que : t ] - 1, 1[, [0, ], - du 2 = 2 . 1 - t cos - i t sin cos u t - 2t cos + 1 Q32. Déduire de ce qui précède que : n N, [0, ], Ln (cos ) = wn (). Q33. Justifier que : x [-1, 1], t ] - 1, 1[, Q34. + n=0 Ln (x)t n = t2 1 . - 2xt + 1 Prouver que : x [-1, 1], R(x) = 1. On pourra raisonner par l'absurde et montrer qu'alors, pour tout z de C tel que |z| < R(x), on a : (z 2 - 2xz + 1) + Ln (x)z n n=0 2 = 1. Partie VI - Application à l'approximation d'intégrales Dans les questions Q35 à Q43, n désigne un entier naturel non nul. Q35. Soit h une application de R dans R de classe C 2n-1 sur R telle qu'il existe 2n réels t1 < · · · < t2n vérifiant : i 1, 2n, h(ti ) = 0. Montrer qu'il existe un réel c tel que : h(2n-1) (c) = 0. Q36. Pour i 1, n, on note i l'application linéaire définie sur Rn-1 [X], à valeurs dans R, par : P Rn-1 [X], i (P ) = P (xi ) (on rappelle que x1 , . . . , xn désignent les racines de Ln et qu'elles sont deux à deux distinctes). Montrer que (1 , . . . , n ) est libre dans L(Rn-1 [X], R). Q37. En déduire que pour toute application linéaire de Rn-1 [X] dans R, il existe un unique n-uplet (1 , . . . , n ) de réels tel que : = n k k . k=1 Q38. Montrer qu'il existe un unique n-uplet (1 , . . . , n ) de réels tel que : P Rn-1 [X], 1 -1 P (t) dt = 1 P (x1 ) + · · · + n P (xn ). Q39. Montrer que la relation de la question Q38 reste vérifiée pour tout P de R2n-1 [X]. On pourra, pour P R2n-1 [X], utiliser la division euclidienne de P par Ln et la question Q18. 6/7 Dans la suite du problème, f désigne une application de [-1, 1] dans R, de classe C 2n sur [-1, 1]. H n (xi ) = f (xi ) . On pourra commenMontrer que : !Hn R2n-1 [X], i 1, n, Hn (xi ) = f (xi ) cer linéaire de R2n-1 [X] dans R2n qui à P associe : par déterminer le noyau de l'application P (x1 ), . . . , P (xn ), P (x1 ), . . . , P (xn ) . Q40. On rappelle que An a été défini à la question Q6. Soit x [-1, 1] tel que : i 1, n, x xi . An (x)2 (2n) f (c). On pourra considérer l'application Montrer que : c [-1, 1], f (x) - Hn (x) = (2n)! An (t)2 g définie sur [-1, 1] par g(t) = f (t) - Hn (t) - K, où K est un réel dépendant de x à (2n)! préciser, et appliquer le résultat de la question Q35 à la fonction g . Q41. An (y )2 (2n) (c). f (2n)! Q42. Montrer que : y [-1, 1], c [-1, 1], f (y ) - Hn (y ) = Q43. Justifier l'existence de M2n (f ) = max |f (2n) (t)|, puis prouver que : t[-1,1] 1 -1 Q44. f (t) dt - 1 f (x1 ) + · · · + n f (xn ) M2n (f ) 1 An (t)2 dt. (2n)! -1 Déterminer un équivalent simple au voisinage de + de 1 -1 FIN 7/7 An (t)2 dt.

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 CCP Maths PC 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Romain Panis (ENS Ulm) et Guillaume Batog (professeur en CPGE). Ce long problème est consacré à une étude assez extensive des polynômes de Legendre. Il commence par des résultats généraux et aboutit en dernière partie à une application, dite méthode de Gauss-Legendre, à l'approximation d'intégrales. · Des généralités sur les polynômes de Legendre, notés Ln (n N), font l'objet de la première partie, plutôt facile. · La deuxième partie étudie un endomorphisme sur les polynômes et montre que les polynômes de Legendre sont justement des vecteurs propres de cet endomorphisme. · Dans la troisième partie, le sujet exploite des propriétés des polynômes de Legendre afin de déterminer la distance d'un polynôme quelconque à Rn [X], pour n N. · La quatrième partie donne l'expression explicite de la série génératrice de la suite (Ln (x))nN et conclut sur une méthode pour en déduire les valeurs des Ln (x) pour n N et x [ -1 ; 1 ]. · La cinquième partie passe par des expressions intégrales pour déterminer exactement le rayon de convergence de la série génératrice de la partie IV. · La sixième partie montre une application des polynômes de Legendre à l'approximation d'intégrales. Finalement, c'est un sujet long qui alterne des questions faciles et d'autres un peu plus techniques. Les thèmes abordés relèvent principalement du programme d'analyse (avec une emphase particulière sur les polynômes), même si l'on rencontre quelques questions d'algèbre linéaire, de diagonalisation et de produits scalaires. Les parties étant liées, c'est une bonne occasion d'apprendre à se repérer dans un problème et à réutiliser les bonnes questions au bon moment. Indications Partie I 2 Commencer par le degré et le coefficient dominant de Un . 4 Les racines multiples de Un sont également des racines de Un . Penser ensuite au théorème de Rolle pour prouver l'existence de . 5 Utiliser également le théorème de Rolle afin de trouver des racines entre deux i consécutifs, puis exploiter le degré de Un (k+1) afin de prouver qu'il n'y a pas d'autres racines. 6 Pour n > 2 fixé, raisonner par récurrence finie sur k [[ 1 ; n ]] et appliquer les questions 4 et 5. Partie II 10 À l'aide de la question 9, déterminer le polynôme caractéristique de M. 12 Soit k [[ 0 ; n ]]. Si f et g sont deux fonctions dérivables, la formule de Leibniz assure que : k+1 P k+1 (f g)(k+1) = f (i) g (k+1-i) i i=0 13 Remplacer Uk (k) par Lk dans la formule de la question 12. 14 Commencer par déterminer les éléments propres de n . Chercher ensuite ceux de en se ramenant à n , où n est le degré du vecteur propre considéré. Partie III 15 Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. 16 Partir de l'intégrale de droite et effectuer une intégration par parties en dérivant t 7- (t2 - 1)P (t) et en intégrant t 7- Q (t). 17 Utiliser le résultat de la question 16 en injectant celui de la question 13. 20 Penser au projeté orthogonal. Exprimer kP - Tn k2 en fonction de kPk2 et kTn k2 grâce au fait que Tn et P - Tn sont orthogonaux. Enfin, décomposer Tn dans la base orthonormale (Q0 , . . . , Qn ). Partie IV 22 Commencer par déterminer la valeur de r avant de suivre l'indication de l'énoncé. 23 Majorer le terme général de la série pour |t| < 1/r. 24 Une fois les changements d'indice effectués, penser à utiliser la relation donnée dans l'énoncé au début de la partie. 25 Vérifier que la fonction t 7- 1 - 2tx + t2 ne s'annule pas sur ] -1/r ; 1/r [, diviser l'équation par cette valeur et exprimer sa solution générale. Partie V 27 Majorer |vn (u)| indépendamment de u. 28 Reconnaître vn (u) dans le terme général de la somme, puis échanger somme et intégrale grâce à la convergence normale. 29 Se souvenir de la formule 1/ cos2 (x) = 1 + tan2 (x) pour tout x dans l'intervalle de définition de la fonction tangente. Conclure à l'aide du changement de variable u = v/ 1 + a2 . 31 Séparer parties réelle et imaginaire. Pour la première, utiliser la question 30 en prenant garde aux bornes de l'intégrale. La seconde est nulle grâce à la question 29. 32 Utiliser les questions 25, 28 et 31. 33 Pour tout x [ -1 ; 1 ], il existe R tel que x = cos . Conclure à l'aide de la question 32. 34 D'après la question 33, la relation est vraie si z ] -1 ; 1 [. L'étendre à P z C vérifiant |z| < R(x) en considérant la série entière de la variable complexe Ln (x)z n et l'unicité du développement en série entière. Aboutir à une contradiction en calculant le module des racines complexes de z 2 - 2xz + 1. Partie VI 35 Montrer par récurrence que, pour tout k [[ 0 ; 2n - 1 ]], la fonction h(k) s'annule au moins 2n - k fois sur R. Pour cela, appliquer le théorème de Rolle sur chaque intervalle entre les racines de h(k) . 36 Pour tout i [[ 1 ; n ]], considérer le polynôme n Pi (X) = (X - xk ) Rn-1 [X] k=1 k6=i 40 Montrer que l'application linéaire suggérée par l'énoncé est bijective. 41 Déterminer K pour que g s'annule en x. Montrer que g s'annule en x1 , . . . , xn et trouver n autres racines en appliquant le théorème de Rolle sur tous les intervalles entre deux racines consécutives de g. Appliquer alors la question 35 et simplifier le résultat obtenu en remarquant que Hn et An 2 sont des fonctions polynomiales de degrés 2n - 1 et 2n. 42 Il reste à montrer cette propriété pour y = xi avec i [[ 1 ; n ]]. 43 Utiliser successivement les questions 40, 38 et 42, puis majorer l'intégrande obtenu à l'aide de M2n (f ). 44 Exprimer An en fonction de Ln d'après les questions 2 et 6, puis exploiter l'égalité admise dans la question 19. Conclure à l'aide de la formule de Stirling : p p 2p p! p+ e I. Quelques résultats généraux 1 On a U0 = 1, d'où U0 (0) = 1, puis L0 = 1 De même, U1 = X2 - 1, d'où U1 (1) = 2X. Puisque 21 1! = 2, il vient L1 = X Enfin, U2 = (X2 - 1)2 = X4 - 2X2 + 1, U2 (1) = 4X3 - 4X et U2 (2) = 12X2 - 4. Comme 22 2! = 8, on en déduit que L2 = 1 (3X2 - 1) 2 2 Le polynôme Un est de degré 2n. Comme il est dérivé n fois, avec n 6 2n, Le polynôme Ln est de degré n. De plus, le monôme dominant de Un est égal à X2n , donc le coefficient dominant de Ln vaut 1 1 (2n)(2n - 1) · · · (2n - (n - 1)) = n (2n)(2n - 1) · · · (n + 1) 2n n! 2 n! (2n)! 1 2n c'est-à-dire an = n = n 2 (n!)2 2 n 3 D'après la question 2, la famille (L0 , . . . , Ln ) est une famille de Rn [X] de degrés étagés, elle est donc libre. En outre, son cardinal vaut n+1, qui est aussi la dimension de Rn [X], d'où La famille (L0 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X]. 4 Soit n N . Par définition, Un = (X - 1)n (X + 1)n . Ainsi, Pour n N , les racines de Un sont 1 et -1 et elles sont toutes les deux de multiplicité n. D'après les propriétés sur les multiplicités des racines, on sait que 1 et -1 sont alors racines de Un de multiplicité n - 1. Comme 2(n - 1) = 2n - 2 et que Un est de degré 2n - 1, on en déduit l'existence de R et R tels que Un = (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - ) Il reste à prouver que ] -1 ; 1 [. On sait que · Un est à valeurs réelles ; · Un est de classe C 1 sur R, donc continue sur [ -1 ; 1 ] et dérivable sur ] -1 ; 1 [ ; · Un (1) = Un (-1) = 0. Par suite, le théorème de Rolle assure l'existence de c ] -1 ; 1 [ tel que Un (c) = 0. On en déduit que c = , puis que ] -1 ; 1 [. Ainsi, Il existe ] -1 ; 1 [ et R tels que Un = (X - 1)n-1 (X + 1)n-1 (X - ).