CCP Maths PC 2016

Thème de l'épreuve Différentes études des polynômes de Bernstein
Principaux outils utilisés arcs paramétrés, algèbre linéaire, variables aléatoires, intégration, séries de fonctions
Mots clefs polynômes de Bernstein

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2016 PCMA002 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! L'epreuve est constituee d'un probleme en cinq parties qui sont, dans une large mesure, ! independantes les unes des autres. ! ! ! Lorsqu'un raisonnement utilise le resultat d'une question precedente, il est ! demande au candidat d'indiquer precisement le numero de la question utilisee. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/6 ! PROBLEME n X k (1 - X)n-k si bien que : Pour n N et k [[0, n]], on note pk,n (X) le polynome k n k n! t (1 - t)n-k = tk (1 - t)n-k . t R, pk,n (t) = k k!(n - k)! On propose d'etudier quelques aspects geometriques, algebriques, probabilistes et analytiques de cette famille de polynomes appeles "polynomes de Bernstein". Dans la partie 1, on considere des exemples de courbes dont le parametrage fait intervenir des polynomes de Bernstein dans des cas simples. Dans la partie 2, on s'interesse a deux endomorphismes n et Bn de Rn [X] dont les proprietes sont liees au fait que la famille des polynomes de Bernstein correspond a une base de Rn [X]. La loi binomiale permet de faire le lien avec l'endomorphisme Bn dont on etudie en detail la restriction a R2 [X]. On etudie, dans la partie 3, les aspects analytiques de Bn (f ) pour une fonction f definie sur [0, 1] avec Bn defini sur le modele de la partie 2. Par l'usage des probabilites, on obtient une demonstration "naturelle" de la convergence uniforme de Bn (f ) vers f sur [0, 1] sous l'hypothese forte que f est de classe C 1 sur [0, 1]. La partie 4 complete la partie 3 par l'etude d'integrales impropres et d'integrales a parametres. La partie 5 aborde la question des series de fonctions liees aux polynomes de Bernstein. Les parties 1 et 5 sont independantes des autres parties. La partie 3 depend seulement de la partie 2 et cela uniquement par la question 5 faisant intervenir les probabilites. La partie 4 depend seulement de la partie 3 et uniquement par la question 11.d). PARTIE 1. GEOMETRIE On note A0 , A1 et A2 les trois elements de R2 definis par A0 = (0, 1), A1 = (1, 1) et A2 = (1, 0). On note T l'ensemble defini par T = {(x, y) [0, 1]2 | x + y 1}. Pour t [0, 1], on remarque que p0,1 (t) = 1 - t et p1,1 (t) = t. On note alors : A(t) = p0,1 (t)A0 + p1,1 (t)A1 , B(t) = p0,1 (t)A1 + p1,1 (t)A2 et C(t) = p0,1 (t)A(t) + p1,1 (t)B(t). 1. Soit t [0, 1]. 1.a) Determiner l'expression de p0,2 (t), p1,2 (t) et p2,2 (t) en fonction de t. 1.b) Determiner les coordonnees de A(t), B(t) et verifier que C(t) = (2t - t2 , 1 - t2 ). 2 pk,2 (t)Ak . 1.c) Montrer que C(t) = k=0 2. Montrer que T est une partie convexe de R2 . 3. Soit C l'arc parametre defini a partir de la fonction f : 3.a) Justifier que tous les points de C sont dans T . t C(t) - [0, 1] - R2 . 3.b) Pour t [0, 1], determiner un vecteur directeur de la tangente Dt a C en C(t). 3.c) Montrer que, pour tout t [0, 1], le segment [A(t), B(t)] est inclus dans Dt . 3.d) Representer dans un meme repere orthonorme la courbe C , la partie T et les segments [A(t), B(t)] pour t = 0, t = 1/2 et t = 1. 2/6 PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES Soit n N tel que n 2. On note Rn [X] l'espace vectoriel des polynomes reels de degre inferieur ou egal a n. Pour P (X) un polynome reel, on note P (X) le polynome derive. On note F la famille de Rn [X] constituee des polynomes (p0,n (X), p1,n (X), . . . , pn,n (X)). Pour tout P Rn [X], on definit les polynomes n (P ) et Bn (P ) par : n (P )(X) = nXP (X) + X(1 - X)P (X) et 4. n k pk,n (X). P Bn (P )(X) = n k=0 4.a) Montrer que n et Bn sont des endomorphismes de Rn [X]. 4.b) Verifier que, pour tout k [[0, n]], n (pk,n )(X) = k pk,n (X). 4.c) En deduire que F est une base de Rn [X] et que n est diagonalisable. 4.d) Montrer que n n'est pas bijectif et que Bn est bijectif. 5. Soit r N et t [0, 1]. On considere un espace probabilise (, A , P) et Tr une variable aleatoire sur (, A , P) qui suit la loi binomiale B(r, t). On note T r = Tr /r. Pour Y une variable aleatoire discrete sur (, A , P), on note, sous reserve d'existence, E(Y ) l'esperance de Y et V(Y ) la variance de Y . On rappelle que si Y () [[0, r]] et h est une fonction a valeurs reelles definie sur [[0, r]], alors r h(Y ) admet une esperance et E(h(Y )) = h(k)P(Y = k). k=0 5.a) Donner un exemple de situation probabiliste qui peut etre decrite par une variable aleatoire qui suit la loi binomiale B(r, t). 5.b) Donner Tr () et justifier que, pour tout k [[0, r]], on a : P(Tr = k) = pk,r (t). 5.c) Donner l'expression simplifiee des quantites suivantes : E(Tr ), E(T r ), V(Tr ), V(T r ), E(Tr2 ) et E((T r )2 ) ; t t2 verifier en particulier que E((T r )2 ) = + (r - 1). r r 5.d) En deduire que les egalites suivantes sont valables pour tout t [0, 1] : r r r 2 k 1 2 1 k t + t. pk,r (t) = t pk,r (t) = 1, et pk,r (t) = 1 - r r r r k=0 k=0 k=0 5.e) Montrer que les trois egalites precedentes sont encore valables pour tout t R. 6. Montrer que R2 [X] est un sous-espace vectoriel de Rn [X] qui est stable par Bn . On note Bn l'endomorphisme de R2 [X] induit par Bn ; on rappelle que dans ce cas, pour tout P R2 [X], Bn (P ) = Bn (P ). On note An la matrice de Bn dans la base canonique de R2 [X]. 3/6 On note M3 (R) l'espace vectoriel matrices carrees reelles d'ordre 3. des 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 . On note aussi I3 = 0 1 0, H = 0 1 1, D = 0 1 0 et Dn = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - n1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 7. Montrer que An = 0 1 = 1- I3 + H. n n n 0 0 1 - n1 8. 8.a) La matrice H est-elle diagonalisable ? 1 0 a 8.b) Soit a et b deux reels et Q = 0 1 b . Justifier que Q est inversible. 0 0 1 8.c) Determiner (sans chercher a calculer Q-1 ) deux reels a et b tels que H = QDQ-1 . 9. On suppose dans toute lafin de cette partie que les reels a et b ont ete choisis de telle sorte 1 0 a que H = QDQ-1 pour Q = 0 1 b . 0 0 1 On munit M3 (R) d'une norme quelconque. Si une suite de matrices de M3 (R), notee (M ), converge vers une matrice M , on note lim (M ) = M . On admet alors que lim (M ) = M si + + et seulement si pour tout (i, j) [[1, 3]]2 , on a : lim (M )i,j = Mi,j . + 9.a) Montrer que lim (An ) = I3 . n+ 9.b) Montrer que l'application definie sur M3 (R) par (M ) = QM Q-1 est lineaire. 9.c) En deduire que si lim (M ) = M , alors lim (QM Q-1 ) = QM Q-1 . + + 9.d) Montrer que An = QDn Q-1 . 9.e) Determiner explicitement, pour n 2, lim (An ). + 9.f ) Determiner explicitement lim (Ann ). n+ PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES Soit n N . Pour f une fonction definie sur [0, 1] a valeurs dans R, pour tout x R, on note : n k Bn (f )(x) = f pk,n (x). n k=0 On reprend les notations de la question 5 avec r = n. On remarque que dans ce cas, pour tout t [0, 1], on a : f (t) - Bn (f )(t) = E(f (t) - f (T n )) = n (f (t) - f (k/n))pk,n (t). k=0 On pourra utiliser sans demonstration les resultats de cette question 5. 4/6 10. 10.a) Montrer que pour toute variable aleatoire discrete Y admettant une variance, on a l'inegalite suivante : E(Y ) E(Y 2 ). t(1 - t) . 10.b) En deduire que, pour tout t [0, 1], E(|t - T n |) n 11. On suppose dans toute cette question que f est une fonction de classe C 1 sur [0, 1]. 11.a) Justifier l'existence d'un reel Mf tel que : (a, b) [0, 1]2 , |f (a) - f (b)| Mf |a - b|. Dans toute la suite de cette question, on suppose que Mf est un reel choisi de telle sorte que : (a, b) [0, 1]2 , |f (a) - f (b)| Mf |a - b|. t(1 - t) 11.b) Montrer que, pour tout t [0, 1], E(|f (t) - f (T n )|) Mf . n Mf 11.c) En deduire que, pour tout t [0, 1], |f (t) - Bn (f )(t)| . 2 n 11.d) Montrer que (Bn (f ))nN converge uniformement vers f sur [0, 1]. PARTIE 4. INTEGRALES Soit f une fonction de classe C 1 sur [0, 1]. On reprend les notations de la partie 3 pour Bn (f ). On pourra utiliser sans demonstration le resultat de la question 11.d). 12. Montrer que lim n+ 1 0 Bn (f )(x) dx = n 1 f 13. On note Sn (f ) = n + 1 k=0 1 f (x) dx. 0 k . n 1 a x (1-x) dx = xa-1 (1-x)b+1 dx. 13.a) Montrer que, pour tout a N et b N, b+1 0 0 1 pk,n (x) dx est independant 13.b) En deduire que, pour tout n N et tout k [[0, n]], le reel 0 1 1 . pk,n (x) dx = de l'entier k et que (n + 1) 0 1 f (x) dx. 13.c) En deduire que lim Sn (f ) = n+ 0 5/6 1 a b 14. Montrer que le resultat de la question 13.c) reste vrai pour la seule hypothese que f est continue sur [0, 1]. 15. Soit (a, b, c) N3 tels que a + b c - 2. 15.a) Montrer que, pour tout x [0, 1], l'integrale 15.b) Montrer que, pour b 1, la fonction F : x + 0 0 [0, 1]. 15.c) Montrer que la fonction h : ua (1 + xu)b du est convergente. (1 + u)c + ua (1 + xu)b du est de classe C 1 sur (1 + u)c t est une fonction de classe C 1 qui est 1-t [0, 1[ - [0, +[ t - strictement croissante et bijective. 15.d) En utilisant le changement de variable u = F (1). t , calculer F (0); en deduire la valeur de 1-t PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS Soit k N . Pour n N et t [0, 1], on note : fn (t) = pk,n (t) si n k, 0 si n < k, si bien que n tk (1 - t)n-k k fn (t) = 0 si n k, si n < k. nk n 16. Montrer que quand n tend vers + et en deduire, pour tout t ]0, 1[, un k k! equivalent de fn (t) quand n tend vers +. 17. Etablir que fn converge simplement sur [0, 1]. Pour t [0, 1], on note S(t) = + fn (t). n=0 18. Determiner S(t) pour t = 0 et pour t = 1. 19. 19.a) Donner le developpement en serie entiere au voisinage de 0 de la fonction u 19.b) En deduire que, pour tout u [0, 1[, + n(n - 1) · · · (n - k + 1)un-k = n=k 1 19.c) Montrer que, pour tout t ]0, 1], S(t) = . t 19.d) La serie fn converge-t-elle normalement sur [0, 1] ? Fin de l'enonce 6/6 1 . 1-u k! . (1 - u)k+1

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 CCP Maths PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Matthias Moreno Ray (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce problème met à l'honneur les polynômes de Bernstein, définis, pour n N et k [[ 0 ; n ]], par n pk,n (X) = Xk (1 - X)n-k k Un de ses objectifs est de démontrer, dans le cas particulier des fonctions de classe C 1 , un résultat très classique en analyse : le théorème de Weierstrass, qui affirme que toute fonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par des polynômes. La démonstration proposée ici s'inspire de la célèbre preuve constructive faite par Bernstein, à l'aide des polynômes qui portent maintenant son nom. D'autres aspects de cette famille sont étudiés dans le sujet : en géométrie, on construit une courbe qui permet de relier deux points avec des tangentes prescrites (cas particulier des courbes de Bézier). En algèbre, on montre que les polynômes de Bernstein forment une base de l'espace des polynômes et on étudie l'opérateur Bn d'approximation par cette famille. En probabilités, ces polynômes permettent d'étudier divers processus liés à la loi binomiale B(n, t), quand les paramètres n et t varient. Cette épreuve est découpée en cinq parties qui balayent l'essentiel du programme. · La première partie étudie un arc paramétré défini à partir des premiers polynômes de Bernstein. Les questions posées restent proches du cours et font appel à des raisonnements basiques mais qui peuvent s'avérer difficiles pour les étudiants qui ne sont pas à l'aise en géométrie. · Certaines questions de la deuxième partie consistent en des exercices classiques d'algèbre linéaire. La fin de cette partie fait appel à des notions de limite et de continuité dans les espaces vectoriels normés tandis que la question 5 utilise le cours sur les variables aléatoires, notamment la loi binomiale. · La troisième partie utilise des résultats sur les espérances ainsi que des études de fonctions pour montrer la convergence uniforme d'une suite de fonctions. · Dans la quatrième partie, on travaille sur des intégrales. Les méthodes classiques de calcul (intégration par parties, changement de variable, calcul de primitives...) sont mises en oeuvre ainsi que des études de convergence et de fonctions définies par une intégrale. · Les différents modes de convergence des séries de fonctions sont invoqués dans la dernière partie, à l'aide notamment d'une série entière usuelle. Ce sujet très varié représente un excellent entraînement aux concours, avec des parties relativement indépendantes. Il apprend aussi à être efficace car il est plutôt long et toutes les parties sont accessibles à un étudiant qui maîtrise son cours ; il s'agit donc de traiter autant de questions que possible, tout en restant rigoureux. De plus, certaines questions plus poussées, comme la 5.e et la 14, favorisent les prises d'initiative. Indications Partie 1 1.c Expliciter l'expression de droite pour retrouver la formule de la question 1.b. 2 Revenir à la définition d'une partie convexe. 3.b Utiliser la définition de la tangente à un arc paramétré en un point régulier. ----- ----- 3.c Montrer que les vecteurs A(t)C(t) et B(t)C(t) sont colinéaires au vecteur directeur de Dt trouvé à la question 3.b. 3.d Étudier les variations des fonctions coordonnées de f pour tracer C . Partie 2 4.a Après avoir montré que n est linéaire, traiter séparément les cas P Rn-1 [X] et P = Xn . Pour Bn , calculer le degré des polynômes pk,n . 4.c Décrire le spectre de n . 4.d Regarder le spectre de n . Pour Bn , décrire son noyau. 5.c Utiliser la linéarité de l'espérance, la formule du cours pour V(aX + b), ainsi que la formule de Koenig-Huygens. 5.d Remplacer pk,r (t) par P(Tr = k) et reconnaître les expressions de la question précédente. Utiliser le théorème du transfert rappelé dans l'énoncé. 5.e Traduire ces égalités en termes de polynômes. 6 Calculer Bn (1), Bn (X) et Bn (X2 ). 7 Pour la première égalité, utiliser la définition de An comme la matrice canonie n. quement associée à B 8.c Voir les colonnes de Q comme des vecteurs propres de H. 9.c Justifier que est continue puis utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité. 9.d Utiliser les questions 7 et 8.c. 9.e Utiliser les questions 9.d et 9.c. 1 n à l'aide d'un développement limité ou 9.f Déterminer proprement lim 1 - n+ n d'équivalents. Partie 3 10.a Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 10.b Remplacer Y par |t - Tn | dans 10.a puis calculer E((t - Tn )2 ). 11.a Invoquer l'inégalité des accroissements finis. 11.b Utiliser les questions 10.b et 11.a. 11.c Faire appel à la première égalité de la formule donnée en bas de la page 4 de l'énoncé et étudier la fonction t 7- t(1 - t) sur [ 0 ; 1 ]. Partie 4 12 Invoquer un théorème d'interversion limite et intégrale sur un segment. 13.a Faire une intégration par parties. Z 1 Z 1 13.b Exprimer pk,n (x) dx en fonction de pk-1,n (x) dx à l'aide de la question 13.a. 0 0 13.c Utiliser les questions 13.b et 12. 14 Penser aux sommes de Riemann. 15.a Comparer la fonction qu'on intègre à une fonction intégrable. 15.b Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale. 15.c Invoquer le théorème de la bijection. 15.d Utiliser la question 13.b pour justifier le changement de variable dans l'intégrale généralisée, puis reconnaître l'intégrale calculée à la question 13.b. Pour le calcul de F(1), se ramener à une intégrale de la forme de F(0). Partie 5 n! comme un produit. (n - k) ! 17 Pour t ] 0 ; 1 [, comparer fn (t) au terme d'une série convergente à l'aide de la question 16. 16 Écrire 18 Calculer fk (1). 19.b Dériver k fois chaque membre de l'égalité obtenue à la question 19.a. 19.d Raisonner par contraposée, en regardant la régularité de S sur [ 0 ; 1 ]. 1. Géométrie 1.a À partir de la formule donnée dans l'énoncé, on obtient p0,2 (t) = (1 - t)2 , p1,2 (t) = 2t(1 - t) et p2,2 (t) = t2 1.b Les expressions de p0,1 (t) et p1,1 (t) fournies par l'énoncé entraînent : A(t) = (1 - t)(0, 1) + t(1, 1) et B(t) = (1 - t)(1, 1) + t(1, 0) soit A(t) = (t, 1) et B(t) = (1, 1 - t) Ainsi, C(t) = (1 - t)(t, 1) + t(1, 1 - t) donc C(t) = (2t - t2 , 1 - t2 ) 1.c Les formules obtenues à la question 1.a donnent 2 P pk,2 (t)Ak = (1 - t)2 (0, 1) + 2t(1 - t)(1, 1) + t2 (1, 0) = (2t - t2 , 1 - t2 ) k=0 2 P soit pk,2 (t)Ak = C(t) k=0 2 Soient (u, v) T 2 et [ 0 ; 1 ]. Posons u = (x, y), v = (x , y ) et montrons que u + (1 - )v T . Par définition, u et v appartiennent à [ 0 ; 1 ] 2 qui est une partie convexe, ainsi u + (1 - )v [ 0 ; 1 ] 2 . De plus, on a u + (1 - )v = (x + (1 - )x , y + (1 - )y ) avec x + (1 - )x + y + (1 - )y = (x + y) + (1 - )(x + y ) > + (1 - ) car x + y > 1, x + y > 1 et [ 0 ; 1 ]. Ainsi, x + (1 - )x + y + (1 - )y > 1 et u + (1 - )v T On a donc montré que T est une partie convexe de R2 . 3.a Soit t [ 0 ; 1 ]. Montrons que C(t) T . On sait d'après la question 1.b que C(t) = (x(t), y(t)) avec x(t) = 2t - t2 et y(t) = 1 - t2 qui vérifient x(t) + y(t) = 1 + 2t - 2t2 = 1 + 2t(1 - t) Or, pour t [ 0 ; 1 ], t(1 - t) > 0 donc x(t) + y(t) > 1 et C(t) T , par conséquent Tous les points de C sont dans T . Si l'on ne pense pas à factoriser l'expression x(t) + y(t) - 1 pour montrer qu'elle est positive quand t [ 0 ; 1 ], on peut faire une étude de la fonction t 7- 1 + 2t - 2t2 sur [ 0 ; 1 ].