CCP Maths PC 2015

Thème de l'épreuve Étude analytique et probabiliste d'une suite de fonctions. Matrices binaires.
Principaux outils utilisés loi de Poisson, séries génératrices, réduction de matrice
Mots clefs loi de Poisson, formule de Bernstein, matrice binaire, matrice d'Hadamard

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2015 PCMA002 .i- CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Durée : 4 heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. 'Les calculatrices sont interditesi L'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. Lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée. 1/7 PROBLEME 1 : ANALYSE ET PROBABILITE On propose d'étudier dans ce premier problème le comportement d'une certaine suite de fonctions ( fn)nEUR]N sous différents points de vue. Dans la partie 1, on étudie les aspects analytiques de ( fn)nEUR]N : convergence uniforme de la suite ( fn)nEUR]N, propriétés d'intégrales associées a fn et modes de convergence de la serie 2 fn. % n n'" _ 1 EUR î_% ? _ ? Cette formule, en lien avec la suite de fonctions introduites dans la partie 1, peut être avan-- tageusement interprétée en terme de suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson. Le point de vue probabiliste permet alors d'éclairer le lien avec une intégrale in-- k " n tervenant en partie 1 et l'existence d'une limite EUR pour e_" 2 Ü. Cela permet aussi d'approcher La partie 2 correspond a l'étude de la formule de Bernstein : lim TI,--) 00 la valeur de EUR par différentes méthodes. k=0 Les parties 1 et 2 peuvent être traitées, en grande partie, indépendamment l'une de l'autre. PARTIE 1 : ANALYSE On considère la fonction f et, pour 71 E ]N, la fonction f... définies sur lR+ par : e_ttn pour tout t E R+, f(t) = 0 et fn(t) : | n. &; |Figure 1 : famille de courbes| 0.38-- (ga, 0.37--' 0.36--' 0.35--' 0.34--' 0.33--' 0.32--' 0.31--' 0.3--' 0.29--' 028--- 0.27--' 026--- 0.25--' 0.24--' 0.23--' 0.22--' o.21-' 0.2--' 0.19--' 0.18--' % % o.17-' 0.16% (gd 0.15-- 0.14--' 0.13--' o.12-' o.11-' 0.1--' 0.09--' 0.08--' fie 0.07--' 0.06--' 0.05--' 0.04--' 0.03--' 0.02--' 0.01% n n 1. On rappelle qu'un équivalent de n! est \/ 27m (--) quand n tend vers +00. EUR La. Etudier, pour tout 71 E ]N*, les variations de la fonction fn sur lR+ et en déduire son maximum. 1 l 1.b. Montrer que fn(n) ... ---- quand n tend vers +00. Æn1/2 1.C. Etablir que la suite de fonctions ( fn)nEUR]N converge uniformément vers f sur lR+. 2. +00 2.21. Déterminer l'ensemble D des valeurs de a: E R pour lesquelles l'intégrale / e_ttoe dt 0 est convergente et vérifier que lR+ C D. +00 2.b. Montrer que, pour a: E lR+, l'intégrale / (ln t)e_ttoe dt est convergente. 0 +00 2.0. Montrer que la fonction a: |--> / e_ttoe dt est de classe 'Ë' sur lR+. 0 +00 2.d. Montrer que, pour tout 71 E ]N, l'intégrale fn(t) dt est convergente. 0 +00 2.e. Montrer que, pour tout 71 E ]N, fn(t) dt : 1. 0 1 +00 3. Pour a: E lR+ et 71 E ]N, on pose Hn(a:) : --'/ e_ttn dt. n. 33 3.21. Montrer que, pour tout a: E lR+ et tout 71 E ]N, Hn(a:) : 1 -- / fn(t) dt. 0 3.b. Etablir que, pour tout 71 E ]N, Hn est de classe fil sur lR+ et donner l'expression de Hg. 3.0. Calculer, pour tout 71 E ]N, lim (Hn(a:)) et lim (Hn(a:)). oe-->O oe-->+00 3.d. Calculer, pour tout a: E R+, lim (Hn(a:)). n-->+00 4. Dans la figure 1 de la page 2, on peut visualiser certaines des représentations graphiques des fonctions de la suite ( fn)nEUR]N dont celle de f1 et 1%. 4.21. Lesquelles des courbes %... (Æ), %... 'Ëd ou %e de la figure 1 correspondent respectivement aux représentations graphiques de f1 et de 1%, ? 4.b. Pouvez--vous faire le lien entre cette figure et certaines propriétés analysées dans les questions précédentes ? 5. 5.51. Montrer que la série de fonctions 2 fn converge simplement sur lR+. 5.b. Montrer que, pour tout a E lRï, la série de fonctions 2 fn converge normalement sur le segment [D, a]. 5.0. Montrer que la série de fonctions Ë fn ne converge pas normalement sur lR+. 3/7 PARTIE 2 : PROBABILITE Soit (Xn)nEUR]N* une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Q, %, P) et mutuellement indépendantes. On admet que dans ce cas, pour tout n > 2, X1 + - - - + Xn et Xn+1 sont indépendantes. On suppose de plus que, pour tout 71 E ]N*, Xn suit la loi de Poisson de paramètre 1. On rappelle que si X est une variable aléatoire définie sur (Q, %, P) et qui suit une loi de Poisson Àk --À de paramètre À, alors X(Q) : ]N et pour tout entier k E ]N, P(Xn : k) : Ü' " Sn --n On pose, pour tout 71 E ]N*, Sn : ZXk et S* = . n 1... \Æ La. Montrer que Sn suit une loi de Poisson de paramètre n et en déduire son espérance et sa variance. 1.b. Déterminer l'espérance et la variance de S.,Îî. " n 1.c. Montrer que, pour tout 71 E ]N*, P(SË { O) = e_" 2 Ü' 2. Soit 7° E ]N, ] un intervalle de R et (a, 19) EUR 12. On rappelle que si f est une fonction de classe 'ËT+1 sur ], alors on a : =ZfW --a)k+/f<(bffl> --),"td. Montrer que, pour tout 71 E ]N*, on a : n R n n--t n n n e -t n! :o 0 ?? 1 +00 3.21. Montrer que : P(Sä { O) = --' / e_ttn dt : Hn(n) où Hn est définie dans la partie 1. n. " 3.b. Etablir que, pour tout 71 E ]N*, n--l--1 t tn--l--l nn--l--1 P(S*--l--oo PROBLEME 2 : ALGEBRE On propose d'étudier, dans ce second problême, différents aspects des matrices a coefficients dans {--1,1} (matrices binaires) : inversibilité, orthogonalité des colonnes (matrices de Hadamard) et propriétés du spectre. Dans tout le problème, 71 désigne un entier naturel tel que n > 2. On débute l'étude par des exemples en petite dimension. En dimension n, on aboutit notamment a trois résultats sur de telles matrices : o une matrice de Hadamard ne peut exister que si n = 2 ou si n est un multiple de 4 ; 0 on peut construire une matrice binaire 1nvers1ble a n importe quel ordre n , o les valeurs propres des matrices binaires sont de module inférieur ou égal a n. Notons %,,(IR) l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre n, Æn,1(lR) l'espace vectoriel des matrices réelles a 71 lignes et 1 colonne, AT la matrice transposée d'une matrice A, I,, la matrice identité d'ordre n, Sp(A) l'ensemble des valeurs propres d'une matrice carrée A. Dans tout le problème, on munit Æn,1(lR) du produit scalaire canonique défini de la façon suivante : v< Æ...(IR),  3. Montrer que \ det(A)l : nn/2 et en déduire que n est un multiple de 4. 7. Soient 71 E ]N tel que n > 4 et 7° : n -- 1. On définit la fonction T.,. : lR" % lR"° par : pour tout (331, . . . ,a:.) E R', 7}(OE1, . . . ,a:.) = (332, 331, 333, . . . ,a:.). 7 .a. Montrer que T.,. définit un automorphisme de R'. 7 .b. Déterminer la matrice, notée T ... associée a T.,. dans la base canonique de R'. On pose alors A : ZT. On transforme A en A' par les opérations sur les lignes de A suivantes : W EUR [[2, n], L.- + L1 -- L.- Sl bien que Li (A') : L1(A) -- Li(A). 7 .c. Montrer que A' est un élément de %... 8. Donner un exemple explicite de matrice A qui soit dans {% mais pas dans 33%. 9. Soit A E .%'n et soit À EUR @ tel que A soit une valeur propre de A. 9.21. Montrer qu'il existe (331, . . . ,a:n) EUR @" tel que : i) pour tout @ EUR [[1, n], ZAi,jæj = ÀfL'.-, j=1 ii) il existe [EUR EUR [[l,nfl tel que : a:k # 0 et pour tout j EUR [[l,nfl, lag--l { l33kl- 9.b. Montrer que ... { n. 9.0. Montrer que : sup {... tel que À EUR Sp(A) et A E 95'n}) : n. Fin de l'énoncé 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Damien Garreau (ENS Ulm) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet est composé de deux problèmes indépendants, le premier traitant d'analyse et de probabilités, le second d'algèbre. Le premier problème est consacré à une suite de fonctions (fn )nN . · La partie I étudie la convergence uniforme de la suite, les propriétés P de certaines intégrales associées à fn et les modes de convergence de la série fn . On trouve au début de cette partie les représentations graphiques de quelques fonctions fn qui mettent en évidence une bosse glissante dont la hauteur tend vers 0, ce qui donne une illustration géométrique intéressante d'une situation classique de convergence uniforme. · La partie II porte sur la formule de Bernstein, qui peut être interprétée comme une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson. Le second problème s'intéresse aux matrices binaires (à coefficients dans {-1, 1}) : inversibilité des matrices, orthogonalité des colonnes, propriétés du spectre. On considère en particulier les matrices d'Hadamard (vérifiant AT A = n In ) et on donne une condition nécessaire portant sur n pour qu'il existe une matrice d'Hadamard de taille n. Le sujet couvre une large partie du programme de PC : toute l'analyse est sollicitée hormis les équations différentielles ; en probabilités, l'utilisation d'une série génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson suppose que tout le chapitre ait été traité ; en algèbre, il faut être au point sur les matrices symétriques et la notion d'orthogonalité. Le découpage du sujet en parties cohérentes permet de choisir le morceau de programme que l'on veut travailler. Indications Analyse I.1.b Appliquer la formule de Stirling, rappelée dans l'énoncé. I.1.c Utiliser le résultat de la question I.1.b. I.2.c On est dans le cas d'application du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre. Vérifier toutes les hypothèses du théorème à l'aide des questions I.2.a et I.2b et conclure. I.2.d Exploiter le résultat de la question I.2.a. I.2.e Intégrer par parties. I.3.a Utiliser la relation de Chasles dans l'expression de la fonction Hn , et conclure à l'aide de la question I.2.e. I.3.c Appliquer la propriété de Hn démontrée à la question I.3.b. I.3.d Inverser la limite et l'intégrale en appliquant le théorème correspondant, ainsi que le résultat de la question I.1.c. I.4.b Regarder les résultats des questions I.1.a, I.1.b et I.2.e. I.5.b Utiliser les questions I.1.a et I.5.a. Probabilités II.2 Appliquer la formule de Taylor rappelée dans l'énoncé à la fonction f : x 7 ex sur R, avec a = 0, b = n. II.3.a Utiliser le résultat de la question précédente. II.3.b Intégrer par parties. II.3.c Exploiter les questions I.1.a et II.3.b, ainsi que le théorème de la limite monotone. II.4.c Utiliser les résultats des questions II.4.a et II.4.b. Algèbre 2 Développer le déterminant de A3 par rapport à la première colonne. 5 Démontrer que i) implique ii), puis que ii) implique i) et terminer en montrant que i) est équivalente à iii). 6.b Utiliser le résultat de la question 6.a. 6.d Appliquer les résultats des questions 4 et 6.c. 8 Penser à exploiter la question 7.c. Analyse I.1.a Soit n N . La fonction fn est dérivable sur R+ par produit d'une exponentielle et d'un polynôme, et t R+ fn (t) = tn-1 e-t (n - t) n! Par ailleurs, e-t tn tend vers 0 quand t tend vers 0 et quand t tend vers l'infini, par croissances comparées. On en déduit le tableau de variations cicontre. Ainsi, fn admet un unique maximum sur [ n ; + [, atteint en n, qui vaut fn (n) = t f 0 + fn 0 n 0 fn (n) + - 0 e-n nn n! I.1.b On peut réaliser le quotient de deux équivalents tant que le dénominateur ne s'annule pas. Puisque 2nnn e-n ne s'annule pas, e-n nn fn (n) 2nnn e-n 1 1 1 = fn (n) n 2n 2 soit I.1.c Le tableau de variation de f permet d'établir que la fonction fn est positive sur R+ , si bien que |fn | = fn . D'après la question 1.a, on en déduit kfn - f k,R+ = kfn k,R+ = maxtR+ |fn (t)| = fn (n) Or, d'après la question 1.b, fn (n) ---- 0, ce qui permet de conclure que n La suite de fonctions (fn )nN converge uniformément vers f sur R+ . I.2.a L'intégrale I(x) = + Z 0 e-t tx dt est impropre en + et en 0 seulement. · Lorsque t +, e-t tx = o(1/t2 ) et, par comparaison d'intégrales de fonctions positives, l'intégrale I(x) est convergente quel que soit x R. · En 0, e-t tx 1/t-x , et, à nouveau par comparaison d'intégrales de fonctions positives, l'intégrale I(x) est convergente si et seulement si -x < 1. Z + e-t tx dt est convergente si et seulement si x > -1 : Finalement, 0 D = ] -1 ; + [ I.2.b L'intégrale J(x) = Z 0 et R+ D + (ln t)e-t tx dt est impropre en + et 0 seulement. Quand t tend vers l'infini, (ln t)e-t tx = o(1/t2 ) et, par comparaison d'intégrales de fonctions positives, l'intégrale J(x) est convergente quel que soit x R. En 0, distinguons deux cas : · Si x = 0, ln(t)e -t ln(t) et on sait que l'intégrale Z 1 ln(t) dt est convergente. 0 · Si x > 0, (ln t)e-t tx tend vers 0 quand t tend vers 0, par croissances comparées, donc la fonction intégrée admet un prolongement par continuité en 0. On conclut alors que Pour tout x R+ , l'intégrale Z + (ln t)e-t tx dt est convergente. 0 I.2.c On cherche à se placer dans le cas d'application du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre. On pose pour cela I = R+ , J = ] 0 ; + [, ainsi que Z -t x g(x, t) = e t sur I × J et G(x) = g(x, t) dt sur J J Le but est alors de montrer que la fonction G est de classe C 1 sur I. Vérifions successivement les hypothèses du théorème. · On peut écrire |g(x, t)| = g(x, t) et le résultat de la question 2.a permet de conclure que pour tout x I, la fonction t 7 g(x, t) = e-t tx est continue par morceaux et intégrable sur J. · Pour tout t J, la fonction x 7 g(x, t) est de classe C 1 sur I et g (x, t) = e-t (ln t)ex ln t = e-t (ln t)tx x g · Pour x I, t 7 (x, t) = e-t (ln t)tx est continue par morceaux sur J. x · Reste l'hypothèse de domination sur tout segment [ 0 ; b ] de I. Soit 0 < b et notons K = [ 0 ; b ]. On peut écrire g (x, t) 6 (t) x x K t J en posant (t) = ( e-t |ln t| t0 e-t (ln t)tb sur ] 0 ; 1 ] sur [ 1 ; + [ On constate que est une fonction positive, continue par morceaux sur J. De plus, la fonction est intégrable sur l'intervalle J d'après la question 2.b. Les hypothèses du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre étant toutes vérifiées, on en déduit que G est de classe C 1 sur I et Z + x I G (x) = e-t (ln t)tx dt 0 d'où La fonction x 7 Z + e-t tx dt est de classe C 1 sur R+ . 0 I.2.d Le résultat de la question 2.a permet d'écrire n D pour tout n N, donc Z + Z + -t n e t l'intégrale e-t tn dt converge, tout comme l'intégrale dt. Par suite, n! 0 0 Z + L'intégrale fn (t) dt est convergente. 0