CCP Maths 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Stabilité de polynômes et de matrices
Principaux outils utilisés polynômes, matrices, systèmes différentiels
Mots clefs polynômes, normes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PCM1002 .:==_ CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. Les calculatrices sont interdites 1/7 L'objectif du problème est de définir et d'étudier les notions de polynôme, de matrice et de système différentiel stable. La partie I traite le cas particulier de la dimension 2 et aborde un contre-exemple en dimension 3. La partie Il introduit les outils théoriques qui se spécialisent dans la partie III pour montrer en partie IV le critère de Routh--Hurwitz pour la stabilité des polynômes unitaires de degré 3. La partie V est une application de la partie IV a un systéme différentiel d'ordre 3 particulier. La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties II, III, IV et V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres. Le résultat principal de la partie II et celui de la partie IV sont résumés clairement en fin de partie. Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée. Notations et définitions Notations : Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou (C. Notons K[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K, M...,,(K) l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes à coefficients dans K, M,,(K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K, I,, la matrice identité d'ordre n. Pour P E K[X], on note ZK(P) l'ensemble des racines de P qui sont dans K, c'est--à--dire l'ensemble des éléments À E K qui sont tels que : P(À) = 0. On dit que P est unitaire si P est non nul et si son coefficient dominant est égal à 1. Pour A E M,,(K), on note Tr(A) la trace de A, 'A la matrice transposée de A, det(A) le déterminant de A et XA le polynôme caractéristique de A, c'est--à--dire XA EUR K[X] tel que : pour tout À E K, x (À) = det(A -- AL,). A L'ensemble ZK(XA) est noté SpK(A) et l'ensemble des matrices M EUR MAK) telles que : MM = I,, est noté O,,(K). Pour oe = (æ1, . . . ,æn) dans K", on définit Aæ comme étant l'élément y = (w, . . . ,yn) E K" y1 OE1 tel que : 3 = A yn 3777. Pour tout 2 EUR (C, on note ÊRe(z) la partie réelle de z, |z| le module de z et ? le complexe conjugué de 2. Définitions : Pour P E K[X], on dit que P est stable si : pour tout À EUR Z@(P), ÊRe(À) < 0. Pour A E M,,(K), on dit que A est stable si XA est stable. 2/7 Partie 1 : STABILITE DANS DES CAS PARTICULIERS Soient & et 19 deux réels. On note P(X) = X2 + aX + b et A = a2 -- 419. On note 21 et 22 deux nombres complexes tels que : P(X) = (X -- 21)(X -- 22). O 1 O SoitQ(X)=X3+XZ+X+1etB= --1 0 1 O O --1 1.1. Montrer que a = --(21 + 22) et b = 2122. 1.2. On suppose dans cette question que A > O. 1.2.a. Vérifier que si P est stable, alors a > 0 et 19 > O. 1.2.b. Montrer réciproquement que si a > 0 et 19 > 0, alors P est stable. 1.3. On suppose dans cette question que A = 0. Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et 19 > 0. 1.4. On suppose dans cette question que A < 0. 1.4.a. Justifier que 22 = %. 1.4.b. Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et 19 > 0. 1.5. On suppose dans cette question que n = 2 et que A E M2(R). 1.5.a. Exprimer XA en fonction de Tr(A) et det(A). 1.5.b. Etablir que A est stable si et seulement si Tr(A) < 0 et (--1)"det(A) > 0. 1.6. On suppose dans cette question que n = 3. 1.6.a. Trouver les racines complexes de Q. 1.6.b. Vérifier que Tr(B) < 0 et que (--1)"det(B) > O. 1.6.c. Montrer que ni Q ni B ne sont stables. Partie 11 : NORME SUBORDONNEE ET MESURE DE LOZINSKII Soit n un entier naturel non nul. Dans toute cette partie, on note H - H une certaine norme sur le K--espace vectoriel K". On définit l'ensemble : B = {oe E K" tel que HoeH = 1}. Pour A E M.,,(K), on définit : H|AH\ = sup (HAOEH) (l'existence de cette borne supérieure sera oeEB établie dans la question 11.1.c.). On admet que l'application A l--> H|AH| définit ainsi une norme Hl - ... sur l'espace vectoriel MAK) qui s'appelle la norme subordonnée a H - H : en effet, elle dépend du choix de la norme H ' H- 11.1. 11.1.a. Rappeler la définition d'une norme sur K". 11.1.b. Vérifier que l'application oe l--> HAæH est continue sur K". 11.1.c. Montrer l'existence de % E 13 tel que : Væ E B, HAæH S HAOEQH. Cela justifie donc la définition de H|AH| = sup (HAOEH) et on a alors H|AH\ = HAOEQH. 30613 3/7 II.1.d. Montrer que ...]"... = 1. II.1.e. Etablir que pour tout oe E K" et A E M.,/(K), on a : HAoeH $ ...AH| - HoeH. II.1.f. Montrer que, pour tout A E M.,,(K) et B E M.,,(K), on a : ...ÆH -- HIBHI S HIA -- B... et H|ABHI S HM... - MB...- II.2. Montrer que, pour tout À EUR (C, on a : ÊRe(À) = lim ( u-->O+ |1+uÀ| --1) u II.3. Soit A E M.,,(K). On se propose dans cette question de montrer l'existence du réel : M(A) = lim ( u-->O+ wn+w4--a)_ u Ce réel est appelé mesure de Lozinskiî de A (il dépend du choix de la norme initiale). In A -- 1 Pour u > 0, on note u(A,u) = ... + u ... . u II.3.a. Montrer que pour tout u et ?) éléments de Kî : #(A» u) -- #(Aa @) = H|u_lfn + A... -- ...U_1In + A... -- (TF1 -- 0--1)- II.3.b. En déduire que si 0 < u S @, alors : u(A, u) -- u(A, @) S O. II.3.C. Vérifier que pour tout u > 0, on a : --H|AH| $ u(A,u) EUR ...A.... II.3.d. En déduire l'existence du réel u(A) = lim+ (u(A, u)) . u-->O II.4. On suppose dans cette question que K = (C. Soit À EUR SpC(A). II.4.a. Montrer qu'il existe oe E (C" tel que Aæ = Àæ, HæH = 1 et puis que, pour tout réel u strictement positif, on a : H(In + uA)oeH = |1 + uÀ|. II.4.b. En déduire que : ÊRe(À) S u(A). II.4.c. Donner une condition suffisante sur u(A) pour que A soit stable. Le résultat principal de cette partie II est que : pour tout À EUR SpC(A), ÊRe(À) EUR u(A) où M(A) = lim ( u-->O+ wn+w4--4)_ u 4/7 Partie III : NORMES ET MESURES DE LOZINSKII ASSOCIEES Dans cette partie, a tout élément oe = (æ1, . . . ,æn) de (C", on associe la matrice--colonne OE1 OE1 OE_1 X = 3 EUR Mn,1(CC). De plus, si X = 3 EUR Mn,1(CC), on note X = ; EUR Mn,1(CC) OEn OEn @ et ÊXV = (5171, . . . ,Çlîn) EUR M1...(C). On munit (C" du produit scalaire canonique et de sa norme associée définis par les formules : V(OEay) EUR (cn)  : tÎY : Z Î?Âyi et HoeH2 : \/ <ÇIÎ,ÇC> : 73=1 On remarque que ce produit scalaire et cette norme sur (C" donnent par restriction le produit scalaire canonique et sa norme associée sur R" définis par : n n V(oe,y) E R",  = ÉXY = 2 oe,y, et HoeH2 = VO+ u Dans toute cette partie, on désigne par A un élément de M,,(R). III.1. Montrer que pour tout oe E R" et pour tout u > 0 : ...%+uÆMË=WX+uOEOEÆ+ÆX+uÆWÆMZ III.2. Montrer qu'il existe M EUR O,,(R) et des réels 041, . . . ,ozn tels que ozl ? - - - 2 o... et % ...) %+A=M 2_ m1 (0) o... y1 III.3. On suppose dans toute cette question que oe E R" et HoeH2 = 1. On pose ; = ÊMX. " % III.3.a. Montrer que 2 y,? = 1. z"=1 n III.3.b. Vérifier que H(In + uA)æHâ = 1 + u 2 oz,y,--2 + u2'ÎXË4AX. z"=1 III.3.C. Montrer l'existence de deux réels v et 5 tels que, pour tout X EUR Mn,1(R) vérifiant tXX = 1, on ait : v S 7ÎXË4AX $ 5. III.3.d. Montrer que pour y et 5 choisis comme en III.3.c, on a, pour tout u > 0 : \/1 + oz1u + vu2 «un. + uA)...2 < \/1 + a... + 5u2. % A III.3.e. En déduire que u2(A) = % = max {À E R tel que À EUR SpR ( ; )} . 5/7 III.4. Soit H une matrice de M,,(R) inversible. Pour oe E (C", on pose HæHH = HHæH2. On admet que l'on définit ainsi des normes sur (C" comme sur K" qui donnent sur M,,(R) une même norme subordonnée notée ... - ... H et une même mesure de Lozinskii notée MH- III.4.a. Montrer que, pour tout A E M,,(R), ...A...H = ...HAH_1...2. III.4.b. En déduire que, pour tout A E M,,(R), on a : uH(A) = u2(HAH_1). Partie IV : UN CRITERE DE STABILITE EN DEGRE 3 Soient &, b et 0 trois réels. On considère le polynôme réel P unitaire de degré 3 écrit sous la forme : P(X) = X3 + aX2 + bX + 0. On dit que P vérifie la propriété % si : a>O, b>O, c>O et ab--c>O. Par le théorème de D'Alembert--Gauss, on note 21, 22 et 23 trois nombres complexes tels que : P(X) = (X _ Zl)(X _ ZZ)(X _ 23). IV.1. Montrer que: a = --(21 + 22 + 23), b = 2122 + 2223 + 2123, c = --212223 et ab -- C = --2Î22 -- 2Î23 -- 2321 -- 2â23 -- 2â21 -- 2â22 -- 2212223. IV.2. Montrer que l'une des racines de P est un nombre réel. On suppose dans toute la suite de cette partie que 21 est un réel qui sera noté oz1 et que 22 et 23 s'écrivent sous la forme 22 = dg + 7552 et 23 = 043 + 7553 avec des réels dg, 043, 52 et 53. IV.3. On suppose dans cette question que fig = O. IV.3.a. Montrer que 53 = O. IV.3.b. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété %. IV.4. On suppose dans cette question que 52 = O. IV.4.a. Justifier que dg = 042 et que 53 = --52. IV.4.b. Vérifier que : a = --(d1 + 2042), b = 2041on + 04% +fiâ, c = --ozl(ozâ +fiâ) et ab -- c = --2042(04Î + ozâ + 5%) -- 4ozlozâ. IV.4.C. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété %. IV.5. Montrer que si P vérifie la propriété 7--[, alors ÊRe(zl), ÊRe(22) et ÊRe(z;,) sont non nuls. IV.6. On suppose dans cette question que P vérifie la pr0priété 7--L O 1 O ab -- c 0 On pose alors A' = --c' 0 1 avec a' = a, b' = et c' = -- si bien que a' , b' et 0 --b' --a' a a c' sont trois réels strictement positifs. \/d'b'0' 0 0 0 a'b' 0 0 0 @ On note H la matrice diagonale inversible suivante : H = On pose B' = HA'H_1. 6/7 IV.6.a. Montrer que XA' (X) = --P(X). 'ÏB' _|_ B' O O O IV.6.b. Calculer explicitement B' et vérifier que : ? = 0 0 0 0 0 --a IV.6.C. En déduire que ,uH(A') = O. IV.6.d. En conclure que P est stable. Le résultat principal de cette partie IV est que : un polynôme a coefficients réels, unitaire de degré 3 est stable si et seulement si ce polynôme vérifie la propriété 7--[. Partie V : EXEMPLE DE SYSTEME DIFFERENTIEL STABLE --2 O --1 Soit C' = 2 1 --1 2 2 --1 On considère le système différentiel (8) suivant, d'inconnue t l--> X (t), une fonction de classe C1 de R+ dans M3)...R) : Vt EUR R+, X'(t) = CX(t). On dit que ce système différentiel (S) est stable si, quelle que soit la solution X de (S), on a : lim (X(t)) = O. t-->+oo V.1. Vérifier que, pour tout À E R, --XC(À) = À3 + 2)\2 + 3À + 4. V.2. En déduire que C est stable. V.3. Montrer l'existence d'une matrice U E Mg(CC) inversible et de trois réels oz1 < 0, 042 < 0 CY1 O O et 52 # 0, tels que : C = UDU_1 avec D = 0 042 + fig 0 O O CY2 -- 252 On ne cherchera pas à trouver explicitement U ni les réels ozl, dg et 52. VA. On note, pour tout t E R+, Y(t) = U_1X(t). V.4.a. Montrer que X est solution de (8) si et seulement si Y est de classe C1 sur R+ et pour tout t E R+, on a : Y'(t) = DY(t). V.4.b. En déduire l'expression de Y(t) en fonction de t E R+ dans ce cas. V.4.c. Montrer qu'il existe X1, X2 et X3 dans M371(R) tels que, pour tout t E R+ : X(t) = e°'"'X1 + 6%" cos(figt)Xg + 6%" sin(figt)Xg. On ne cherchera pas à trouver explicitement les matrices X1, X2 et X3. V.4.d. Vérifier que le système différentiel (S) est stable. Fin de l'énoncé 7/7

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 CCP Maths 1 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante en mathématiques) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur la notion de stabilité d'un polynôme, d'une matrice et d'un système différentiel, en prenant le cheminement inverse de celui habituellement utilisé dans ce domaine. La définition est en premier lieu introduite pour les polynômes et les matrices, pour lesquels elle n'est pas franchement intuitive : un polynôme P (respectivement une matrice A) est stable lorsque toutes ses racines (respectivement celles de A ) sont de partie réelle strictement négative. Le cas des systèmes linéaires, à l'origine en réalité du vocabulaire, est abordé en fin de sujet. · La partie I traite le cas de la dimension 2 : des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité d'un polynôme et d'une matrice sont établies dans ce cas particulier. On étudie ensuite un exemple qui montre que les conditions précédentes ne sont pas suffisantes en dimension 3. · La partie II introduit les outils théoriques de norme subordonnée et de mesure de Lozinskii en dimension finie quelconque. On y établit une relation entre les valeurs propres complexes d'une matrice et la mesure de Lozinskii de cette matrice ainsi qu'une condition suffisante pour qu'une matrice soit stable. · La partie III reprend les outils de la partie II, qui se spécialisent, et les notions de norme et mesure associées à des matrices sont introduites. · La partie IV s'appuie sur les résultats des parties II et III pour établir le critère de Routh-Hurwitz qui concerne la stabilité des polynômes unitaires de degré 3. · La partie V est une application de la partie IV. On y introduit pour la première fois la notion de stabilité d'un système différentiel linéaire avant de l'étudier sur un exemple de taille 3. Les systèmes de ce type servent par exemple à l'étude locale d'équations différentielles non linéaires. Toutes les questions de ce sujet sont conformes au programme en vigueur depuis la rentrée 2014. Il constitue un bon entraînement, d'autant que les raisonnements sur les polynômes sont classiques. La manipulation des normes est délicate dans certaines questions. Indications Partie I I.2.a Utiliser les égalités démontrées à la question I.1 pour déterminer le signe de a et b. I.2.b Se servir de la question I.1. pour obtenir le signe des réels z1 et z2 . I.4.b Exploiter le fait que z1 et z2 sont conjugués, démontré à la question I.4.a, ainsi que les égalités de la question I.1. Partie II II.1.c Utiliser le résultat de continuité prouvé à la question II.1.b. II.1.f Appliquer le résultat de la question II.1.c à la matrice AB, et se servir de la réponse à la question II.1.e pour conclure. II.3.b Utiliser les inégalités démontrées à la question II.1.f et le fait que la norme de l'identité vaille 1, prouvé en II.1.d. II.3.c Se servir des résultats des questions II.1.f et II.1.d. II.4.b Choisir x comme à la question II.4.a. Partie III t III.2 Appliquer le théorème spectral à la matrice A +A. III.3.b Exploiter l'égalité établie à la question III.1. III.3.d Utiliser le résultat de la question III.3.a pour obtenir une majoration de la quantité k (In + uA) xk22 , puis appliquer le résultat de la question II.1.c à la matrice In + uA. III.3.e Appliquer le théorème d'encadrement pour obtenir la valeur de µ2 (A). Partie IV IV.2 Employer le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que P admet une racine réelle. IV.3.b Se servir des égalités établies à la question IV.1 afin de déterminer les signes de a, b, c et ab - c. IV.4.b Exploiter les résultats de la question IV.1 pour établir les formules demandées. IV.4.c Utiliser les formules démontrées à la question IV.4.b. IV.6.c Penser au lien entre µH et µ2 établi à la question III.4.b puis appliquer le résultat de la question III.3.e. IV.6.d Utiliser les résultats des questions II.4.b et IV.6.c en choisissant comme norme initiale la norme k·kH , puis se servir des questions IV.6.a et IV.5 pour conclure. Partie V V.2 Le résultat principal de la partie IV permet d'obtenir le résultat de cette question en montrant que le polynôme P vérifie la propriété H. V.3 Utiliser la stabilité de C établie à la question V.2. V.4.c Déduire la forme des solutions du système (S) en se basant sur les résultats des questions V.4.a et V.4.b. V.4.d Se servir du théorème d'encadrement pour calculer les limites des composantes de X(t) lorsque t tend vers +. I. Stabilité dans des cas particuliers I.1 On a P(X) = X2 +aX+b d'une part, et, d'autre part, le théorème de d'Alembert Gauss assure l'existence de z1 et z2 appartenant à C tels que P(X) = (X - z1 )(X - z2 ) En développant la deuxième expression, on obtient P(x) = X2 - z1 X - z2 X + z1 z2 = X2 - (z1 + z2 )X + z1 z2 Par unicité des coefficients d'un polynôme, on obtient le système suivant : ( a = -(z1 + z2 ) (coefficient de degré 1) b = z1 z2 (coefficient de degré 0) Ainsi, a = -(z1 + z2 ) et b = z1 z2 On peut aussi utiliser les relations coefficients-racines en n'oubliant pas de préciser que P est unitaire. On obtient alors directement le résultat souhaité. I.2.a On suppose ici que > 0 et P est stable. Alors z1 et z2 sont les deux racines réelles distinctes de P. Donc Re(z1 ) = z1 et Re(z2 ) = z2 . Comme P est stable, on obtient z1 < 0 et z2 < 0. D'après la question I.1, on trouve a>0 et b > 0 I.2.b Dans cette question, > 0, a > 0 et b > 0 par hypothèse. Comme > 0, z1 et z2 sont toujours les deux racines réelles distinctes de P. D'après la question I.1, z1 z2 = b > 0, si bien que z1 et z2 sont de même signe. Comme z1 + z2 = -a < 0, on en déduit que z1 et z2 sont toutes deux strictement négatives. Ainsi, P est stable. I.3 Si = 0, la seule racine de P est réelle et vaut -a/2. Donc, si a > 0 et b > 0, on en déduit que P est stable. Réciproquement, si P est stable, alors -a/2 < 0, ce qui donne a > 0. D'autre part, puisque = a2 - 4b est nul, on obtient b = a2 /4 > 0. Finalement, P est stable si et seulement si a > 0 et b > 0. I.4.a Maintenant < 0. Les deux racines de P sont complexes et données par les formules -a - i - -a + i - et z2 = z1 = 2 2 qui font d'elles des nombres complexes conjugués, distincts, avec une partie imaginaire non nulle. Il vient z2 = z1 Une autre preuve consiste à remarquer que si z 2 + az + b est nul, il en est de même de son conjugué qui n'est autre que z 2 +az +b, a et b étant réels. Ainsi, pour un polynôme à coefficients réels, le conjugué d'une racine est aussi une racine. Or, P n'a que deux racines ici : elles sont donc conjuguées. I.4.b Posons z1 = + i. D'après la question I.4.a, z2 = - i. Supposons tout d'abord a > 0 et b > 0. D'après la question I.1, z1 + z2 = 2 et z1 + z2 = -a < 0, donc a = -2. · Supposons que a > 0 et b > 0. Le fait que a > 0 implique = Re(z1 ) < 0 et Re(z2 ) < 0, si bien que P est stable. · Réciproquement, si P est stable, puisque = Re(z1 ) < 0, on en déduit a > 0. De plus, 4b > a2 puisque < 0. Ainsi b > 0. Finalement, P est stable si et seulement si a > 0 et b > 0. I.5.a Dans cettequestion, on se place dans le cas où n = 2 et A M2 (R). Elle est a b donc de la forme avec a, b, c et d réels. Alors, pour tout R, on a c d A () = det(A - I2 ) = (a - )(d - ) - bc A () = 2 - (a + d) + ad - bc Or, on sait que Tr(A) = a + d et det(A) = ad - bc. Ainsi, A () = 2 - Tr(A) + det(A) On pouvait également donner directement le résultat en utilisant les trois coefficients du polynôme caractéristique au programme dans le cas de la dimension 2. I.5.b Par définition, A est stable si et seulement si A l'est. D'après les questions précédentes I.2, I.3 et I.4, A est stable si et seulement si -Tr(A) > 0 et det(A) > 0. Comme pour n = 2, (-1)n = 1, on obtient le résultat A est stable si et seulement si Tr(A) < 0 et (-1)n det(A) > 0. I.6.a On considère maintenant le cas n = 3. On a Q(X) = X3 + X2 + X + 1. Une racine évidente de Q est -1, et ensuite en factorisant, on obtient Q(X) = (X + 1)(X2 + 1) = (X + 1)(X - i)(X + i) Ainsi, Les racines complexes de Q sont -1, i et -i. I.6.b Il suffit d'effectuer le calcul, et on obtient Tr(B) = -1 < 0 On peut développer le déterminant de B par rapport à la première ligne : 0 1 det(B) = -1 0 0 0 Finalement, 0 -1 1 1 =- = -1 = (-1)3 0 -1 -1 (-1)n det(B) = 1 > 0