CCP Maths 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Conditions pour que deux matrices aient un vecteur propre commun
Principaux outils utilisés matrices, diagonalisation, théorème du rang
Mots clefs vecteur propre, crochet de Lie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 PCM1002 .i- CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites 1/6 L'objectif du problème est d'étudier des conditions pour que deua: matrices admettent un vecteur propre commun et d'en déduire une forme normale pour des vecteurs propres. Les parties ] et Il] traitent chacune de cas particuliers en dimension 3 et n. Elles sont indépendantes l'une de l'autre. La partie Il aborde la situation générale en faisant apparaitre une condition nécessaire et certaines autres conditions sufiisantes a l 'eæistence d'un vecteur propre commun. Les parties H, H] et ] V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres. Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée. Notations et définitions Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou (C. Notons M...,,(K) l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes à coefficients dans K, M,,(K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K, On la matrice nulle d'ordre n et L,, la matrice identité d'ordre n. Pour M EUR M,,(K) et À E K, on note : Ker(M) = {X EUR M...1(K) tel que MX = O}, Im(M) = {MX, X @ M...(K)h Sp M) le spectre de M, À(M) = Ker(M -- AL,) et Im,\(M) = Im(M -- AL,). Dj Définitions : . Soient (A,B) EUR (M,,(K))2 et e EUR M...(K); on dit que e est un vecteur propre commun a A et B si : i) e 75 0 ; ii) il existe À E K tel que Ae = Àe ; iii) il existe u E K tel que Be = ue. On définit [A, B] E M,,(K) par la formule : [A, B] = AB -- BA. 0 Soient f et g, deux endomorphismes d'un K--espace vectoriel E et e E E ; on dit de même que e est un vecteur propre commun a f et g si : i) e 75 0 ; ii) il existe À E K tel que f(e) = Àe ; iii) il existe u E K tel que g(e) = ue. On définit l'endomorphisme [ f, g] de E par la formule : [ f, g] = f o g -- g 0 f. 2/6 Partie I : ETUDE DANS UN CAS PARTICULIER On considère les matrices suivantes : 0 --1 --1 3 --3 --1 --5 3 --1 0 0 0 A= --1 0 --1,B= 0 2 0 ,C= --2 6 2 etD= 0 6 0 --1 --1 0 1 --3 1 --5 3 --1 0 0 --6 1 0 1 On note .7--" = (u1,u2,u3) où ul = 0 ,u2 = 1 et u3 = 1 --1 --1 1 1 1 On note aussi u4 = 0 et u5 = 1 1 --2 1.1. I.1.a. Déterminer le spectre de A. I.1.b. Vérifier que la famille .7--" est une base de M371(R) constituée de vecteurs propres de A. I.1.c. A est--elle diagonalisable ? I.1.d. Montrer qu'aucun des éléments de .7--" n'est un vecteur propre commun a A et B. I.2. I.2.a. Déterminer le spectre de B. I.2.b. Montrer que Im2(B) = Vect(u4) et que dIIÏI(E2(B)) = 2. I.2.c. B est--elle diagonalisable ? 1.3. I.3.a. Montrer que E1(A) n E2(B) = Vect(u5). I.3.b. Déterminer tous les vecteurs propres communs a A et B. 1.4. I.4.a. Vérifier que [A, B] = C. I.4.b. Montrer que C est semblable a la matrice D et déterminer le rang de C . Partie II : CONDITION NECESSAIRE ET CONDITIONS SUFFISANTES Soit n E N* et soit (A, B) E (Mn(K))2. II.1. Dans cette question, on suppose que e est un vecteur propre commun a A et B. 11.1.a. Montrer que e E Ker([A, B]). 11.1.b. Vérifier que rg([A, B]) < n. Dans toute la suite de cette partie II, on suppose que K = (C. 3/6 On dit que A et B vérifient la propriété % s'il existe À EUR Sp(A) tel que : E,\(A) c Ker([A, B]). II.2. Montrer que si [A, B] = 0... alors A et B vérifient la propriété 7--[. 11.3. Dans cette question, on suppose que A et B vérifient la propriété %. II.3.a. Pour tout X EUR E,\(A), on pose 1MX) = BX. Montrer que w définit un endomorphisme de E,\(A). II.3.b. En déduire l'existence d'un vecteur propre commun a A et B. Pour [EUR E N*, on note Pk la propriété suivante : pour tout (C--espace vectoriel E de dimension k et pour tout couple d'endomorphismes (ga, %) de E tels que rg([g0, à]) S 1, il existe un vecteur propre commun a go et w. II.4. Vérifier la propriété Pl. II.5. Dans cette question, on suppose que Pk est vérifiée pour tout entier [EUR EUR [[1, n -- 1]] et que A et B ne vérifient pas la propriété 7--[. On note C = [A, B], on suppose que rg(C) = 1 et on considère À EUR (C une valeur propre de A. II.5.a. Justifier l'existence de u EUR Mn,1(CC) tel que Au = Àu et Cu # O. II.5.b. Vérifier que Im(C) = Vect(v) où v = Cu. II.5.C. Montrer que lm(C) c Im,\(A). II.5.d. Etablir les inégalités suivantes : 1 $ dim(lmflA)) $ n -- 1. Pour tout X EUR Im,\(A), on pose g0(X) = AX et 1MX) = BX. II.5.e. Montrer que [A,/l -- ÀIn] = O,, et [B,/l -- ÀIn] = --C. En déduire que go et w définissent des endomorphismes de Im,\(A). II.5.f. Montrer l'existence d'un vecteur propre commun a go et $; en déduire qu'il en est de même pour A et B. II.6. Montrer que pour tout n E N*, P,, est vraie. Partie III : ETUDE D'UN AUTRE CAS PARTICULIER Soit n E N*. On note E = @2an] le (C--espace vectoriel des polynômes a coefficients complexes de degré inférieur ou égal a 271. Pour P E E, on désigne par P' le polynôme dérivé de P. Pour tout polynôme P de E, on pose f(P) = P' et g(P) = X2"P (%). 277. 277. 111.1. Soient (a0,a1, . . . , a2n) EUR (C2n+1 et P = 2 aka. Montrer que g(P) = 2 a2n_ka. k=0 k=0 III.2. Montrer que f et g définissent des endomorphismes de E. 4/6 III.3. III.3.a. Vérifier que si P est un vecteur propre de g, alors deg(P) ? n. III.3.b. Montrer que X "' est vecteur propre de g. Soit 75 EUR [[1, 271]. f' correspond a la composée f 0 f o - - - 0 f où f est prise 75 fois. III.4. III.4.a. Vérifier que Ker(f') = (Ci_1[X]. III.4.b. Montrer que Sp(f') = {0}. 111.5. Montrer que f' et g possèdent un vecteur propre commun si et seulement si 75 2 n + 1. BC désigne la base canonique de E définie par : BC = (1, X , . . . ,X2"). On note An la matrice de f dans la base BC et En celle de g dans la même base. III.6. Déterminer An et B... III.7. Dans cette question, on suppose que n = 1. O 1 O O O 1 III.7.a. Montrer que A1 = 0 0 2 et B1 = 0 1 0 O O O 1 O O et en déduire l'expression de (A1)2 et (A1)3. III.7.b. Déterminer le rang de [(A1)', Bl] pour 75 = 1 et 75 = 2. III.7.C. En déduire que la condition nécessaire de la question II.1.b n'est pas suffisante et que la condition suffisante de la question II.6 n'est pas nécessaire. Partie IV : FORME NORMALE POUR UN VECTEUR PROPRE OE1 Soit n E N avec n 2 2. On note N = } EUR Mn,1(CC) Eli EUR [[1,n]] tel que w.; = 0 fin Soient A E Mn(CC) et X un vecteur propre de A. On dit que X est sous forme normale si : 0 X E N ou . il existe A' E Sp(A) et il existe U E N tel que X = (A -- À'In)U. IV.1. Dans cette question, on suppose que A possède une valeur propre À telle que dim(EÀ(A)) ) 2. Montrer que A admet un vecteur propre sous forme normale associé a la valeur propre À. On note AMC) le (C--espace vectoriel des matrices M EUR MMC) antisymétriques, c'est--à-- dire telles que "M = --M . 5/6 Pour tout M EUR An(CC), on pose : ga(M) = AM + M 'A et Ê(M) = AM 'A. IV.2. IV.2.a. Montrer que An(CC) # {On}. IV.2.b. Montrer que les colonnes d'une matrice M EUR A,,(C) sont des éléments de N . IV.2.C. Montrer que go et w définissent des endomorphismes de AAC). IV.2.d. Vérifier que go 0 w = 1p 0 go. IV.3. Dans cette question, on suppose que A possède au moins deux valeurs propres distinctes, notées À1 et À2. On considère X1 un vecteur propre de A associé a la valeur propre À1 et X 2 un vecteur propre de A associé a la valeur propre À2. OH IlOtEUR B = X1 tX2 -- X2 tX1. IV.3.a. Montrer que B vérifie chacune des propriétés suivantes : i) B E AAC) ; ii) B # On ; iii) AB + B 'A = (À1 + À2)B; iv) AB 'A = (À1À2)B. IV.3.b. En déduire que (A -- À1]n)(A -- À21n)B = On. IV.3.C. Dans cette question, on suppose que (A -- À21n)B = On. Montrer qu'au moins l'une des colonnes de B est un vecteur propre de A sous forme normale. IV.3.d. Dans cette question, on suppose que (A -- À21n)B # On. Montrer que A possède un vecteur propre sous forme normale. IV.4. Dans cette question, on suppose que A ne possède qu'une seule valeur propre À. IV.4.a. Montrer l'existence d'une matrice B E A,,(C) non nulle vérifiant chacune des propriétés suivantes : i) il existeaEUR@tel que : AB+B'A=dB; ii) il existe 5 EUR CC tel que : AB 1'A = BB. IV.4.b. Vérifier que (A2 -- ozA + fiIn)B = On. IV.4.C. Montrer qu'il existe (v, 5) E (C2 tel que (A -- vIn)(A -- (SL,)B = On. IV.4.d. Dans cette question, on suppose que (A -- (SL,)B = On. Montrer que A possède un vecteur propre sous forme normale. IV.4.e. Dans cette question, on suppose que (A -- (SL,)B # On et 5 = À. Montrer que A possède un vecteur propre sous forme normale. IV.4.f. Dans cette question, on suppose que (A -- (SL,)B # O,, et 5 # À. Montrer que A -- (SI,, est une matrice inversible et en déduire que (A -- vIn)B = O. IV.4.g. Que conclure ? Fin de l'énoncé 6/6

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 CCP Maths 1 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante) ; il a été relu par Arnaud Borde (École Polytechnique) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur la notion de vecteur propre commun à un couple de matrices (A, B) dans plusieurs situations. L'épreuve se divise en quatre parties très largement indépendantes. Elles font toutes appel à l'algèbre linéaire, plus particulièrement aux matrices. Ce sujet peut donc être utilisé dès que cette partie du programme a été traitée. Les parties I et III sont des cas particuliers, et sont donc plus faciles à aborder. · La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple réel en dimension 3. Elle est très calculatoire mais ne présente pas de difficulté majeure. On y aborde les notions de spectre, de polynôme caractéristique et de diagonalisabilité. · La deuxième partie, plus théorique, se place dans l'espace vectoriel Cn , avec n N. On y établit une condition nécessaire et deux conditions suffisantes pour que deux matrices A et B aient un vecteur propre commun. Ces conditions portent sur le rang de AB - BA ainsi que sur les valeurs propres des matrices. · La troisième partie se réduit à l'étude d'un autre cas particulier, cette fois-ci dans l'espace vectoriel Cn . Il permet en fin de partie de montrer que la condition nécessaire de la partie II n'est pas une condition suffisante, tout comme les conditions suffisantes de cette même partie ne sont pas nécessaires pour que deux matrices aient un vecteur propre commun. · La quatrième partie aborde de nouveau le cas général, et se focalise sur un type particulier de vecteur propre, dit sous forme normale ; on cherche sous quelles conditions une matrice A admet un vecteur propre sous cette forme normale. Cette partie sert de conclusion et fait davantage appel aux résultats des parties précédentes que le reste du sujet. Indications Partie I I.2.b Appliquer le théorème du rang. I.2.c Utiliser les questions I.2.a et I.2.b pour conclure. I.3.b Énumérer les cas possibles puis se servir des questions I.1.b et I.1.d pour en éliminer. I.4.b Calculer le polynôme caractéristique de la matrice C et montrer qu'elle est diagonalisable. Partie II II.1.b Se servir de la question II.1.a et utiliser le théorème du rang pour conclure. II.2 Pour justifier l'existence d'une valeur propre au moins, penser que l'on se place sur un C-espace vectoriel. II.3.a Utiliser l'hypothèse AB = BA pour montrer que est à valeurs dans E (A). II.3.b La restriction de à E définit un endomorphisme de E (A) et on a toujours un sous-espace vectoriel sur C. II.4 Penser que les seuls endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension 1 sont les homothéties. II.5.b Remarquer que Cu est un élément de l'image de C, puis utiliser la dimension de l'image de C. II.5.d Utiliser la question II.5.c pour démontrer la première inégalité. II.5.f Se servir du résultat de la question II.5.d ainsi que du fait que Pk est supposée vérifiée pour tout entier k [[ 1 ; n - 1 ]]. II.6 Procéder par récurrence sur n N en utilisant le résultat de la question II.4 pour l'initialisation. Distinguer ensuite deux cas, utiliser les résultats des questions II.2 et II.3.b pour l'un, et les résultats de la question II.5 pour l'autre. Partie III III.2 III.3.a III.4.a III.5 Faire appel au résultat de la question III.1 pour la nature de g. Procéder à un raisonnement par l'absurde. Démontrer une inclusion, puis l'autre. Se servir des résultats des questions III.3 et III.4. Partie IV IV.1 Utiliser deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à la même valeur propre pour construire un vecteur propre sous forme normale. IV.2 Observer les coefficients diagonaux de la matrice. IV.3.b Utiliser les propriétés démontrées à la question IV.3.a. IV.3.c Se servir de la propriété i) de la question IV.3.a ainsi que du résultat démontré à la question IV.2.c. IV.4.b Effectuer une combinaison linéaire des égalités de la question précédente. IV.4.d Raisonner de la même manière qu'à la question IV.3.c. IV.4.e Utiliser la même démarche qu'à la question IV.3.d. IV.4.g Se rapporter au cas de la question IV.4.d à l'aide de la question IV.4.f. I. Étude dans un cas particulier I.1.a Afin de déterminer le spectre de A, il convient de déterminer le polynôme caractéristique de A, que l'on note A . Celui-ci s'écrit, pour X K[X], A (X) = det (A - XI3 ) -X -1 -1 = -1 -X -1 -1 -1 -X A (X) = -X(X2 - 1) + X - 1 - (1 - X) en développant par rapport à la première colonne, ce qui donne A (X) = (X - 1)(-X2 - X + 2) Le polynôme -X2 - X + 2 possède deux racines simples, 1 et -2, d'où l'expression du polynôme caractéristique A (X) = -(X - 1)2 (X + 2) ce qui permet de déterminer le spectre de la matrice A : Sp(A) = {1, -2} I.1.b Pour répondre à cette question, il faut dans un premier temps vérifier que les vecteurs u1 , u2 et u3 sont des vecteurs propres de A, puis démontrer que la famille F est une base de M3,1 (R). Examinons tout d'abord les vecteurs de F 0 -1 -1 1 1 Au1 = -1 0 -1 0 = 0 = u1 -1 -1 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 Au2 = -1 0 -1 1 = 1 = u2 -1 -1 0 -1 -1 1 -2 0 -1 -1 Au3 = -1 0 -1 1 = -2 = -2u3 -1 -1 0 1 -2 On en conclut que u1 et u2 sont des vecteurs propres de A associés à la valeur propre 1, et que u3 est un vecteur propre de A associé à la valeur propre -2. De plus, on constate que u1 et u2 sont linéairement indépendants, puisque le déterminant d'ordre 2 formé des deux premières lignes de la matrice (u1 , u2 ) est non nul. Par conséquent, la famille (u1 , u2 ) est libre dans son sous-espace propre associé, tout comme la famille (u3 ). De plus, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres différentes sont en somme directe. On en déduit que la famille F est libre, et comme M3,1 (R) est de dimension 3, F est une base de M3,1 (R), constituée de vecteurs propres de A. I.1.c On vient de déterminer une base de Kn = Mn,1 (K) formée de vecteurs propres de A Mn (K), ce qui permet de dire que A est diagonalisable. I.1.d Considérons les vecteurs Bu1 , Bu2 et Bu3 3 -3 -1 l1 4 Bu1 = 0 2 0 0 = 0 1 -3 1 -1 0 3 -3 -1 0 -2 0 1 = 2 Bu2 = 0 2 1 -3 1 -1 -4 3 -3 -1 1 -1 Bu3 = 0 2 0 1 = 2 1 -3 1 1 -1 Les vecteurs Bu1 et u1 sont linéairement indépendants, puisque le déterminant d'ordre 2 formé par les deux premières lignes de la matrice (Bu1 , u1 ) est non nul, et on vérifie de la même manière que les vecteurs Bu2 et u2 sont linéairement indépendants, tout comme les vecteurs Bu3 et u3 , ce qui veut dire que Aucun des éléments de F n'est un vecteur propre commun à A et B. I.2.a Pour déterminer le spectre de B, on calcule le polynôme caractéristique de B, noté B . Celui-ci s'écrit B (X) = det (B - XI3 ) = 3-X 0 1 -3 -1 2-X 0 -3 1-X B (X) = (2 - X) ((3 - X)(1 - X) + 1) en développant par rapport à la deuxième ligne, ce qui donne B (X) = -(X - 2)(X2 - 4X + 4) Le polynôme X2 - 4X + 4 possède une racine double égale à 2, d'où l'expression du polynôme caractéristique : B (X) = -(X - 2)3 ce qui permet de déterminer le spectre de la matrice B. Sp(B) = {2} I.2.b On cherche à déterminer les éléments de Im2 (B) = Im (B - 2I3 ), qui est le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice 1 -3 -1 0 B - 2I3 = 0 0 1 -3 -1 toutes colinéaires au vecteur u4 = t (1, 0, 1). On en déduit Im2 (B) = Vect(u4 ) La dimension de l'image de l'endomorphisme associé à la matrice B- 2I3 valant 1, le théorème du rang permet d'écrire que la dimension du noyau de cet endomorphisme vaut 2, d'où dim (E2 (B)) = 2