CCP Maths 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Étude de la notion de diagonalisabilité d'un couple de matrices dans plusieurs situations
Principaux outils utilisés matrices symétriques, diagonalisation, spectre, changement de base
Mots clefs diagonalisabilité, couple de matrices, matrices symétriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012 PCM1002 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites L'objectif du probleme est de definir et d'etudier la notion de diagonalisabilite d'un couple de matrices A, B dans plusieurs situations. Les parties I et V traitent chacune un cas particulier, respectivement en dimension 3 et 4. La partie II aborde le cas ou B est inversible et la partie IV etudie un critere de diagonalisabilite. La partie III se reduit a l'etude du cas d'un couple de matrices symetriques reelles. La partie I est independante des quatre autres parties. Les parties III, IV et V sont, pour une grande part, independantes les unes des autres. Il est demande, lorsqu'un raisonnement utilise un resultat obtenu precedemment dans le probleme, d'indiquer precisement le numero de la question utilisee. Notations et definitions Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l'ensemble R ou C et H une partie de K. Notons Mn,p K l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes a coefficients dans K, Mn K l'espace vectoriel des matrices carrees d'ordre n a coefficients dans K, Sn K l'espace vectoriel des matrices de Mn K qui sont symetriques, Dn H l'ensemble des matrices diagonales de Mn K a coefficients diagonaux dans H, GLn K l'ensemble des matrices de Mn K qui sont inversibles, On R l'ensemble des matrices de Mn R qui sont orthogonales, In la matrice identite d'ordre n. 1/6 Tournez la page S.V.P. Definitions 1 : Soient A, B Mn K 2 et K. On note E A, B l'ensemble des matrices-colonnes X Mn,1 K telles que AX BX. On dit que est valeur propre du couple A, B si E A, B n'est pas reduit a 0 , c'est-a-dire si A B n'est pas inversible. On note A,B la fonction definie sur K par A,B det A B et Sp A, B l'ensemble K tels que des valeurs propres du couple A, B , c'est-a-dire l'ensemble des elements A,B 0. Dans le cas particulier ou B In , on remarquera que ces definitions correspondent aux notions de valeur propre, d'espace propre et de polynome caracteristique de A. Ainsi, E A, In et A,In sont notes plus simplement E A et A . Partie I : DIAGONALISABILITE DANS UN CAS PARTICULIER Soit A 3 2 0 1 1 0 On note aussi F 1 0 ,B 1 0 4 0 0 2 0 0 0 ,C 2 u1 , u2 , u3 pour u1 4 12 0 2 6 0 1 2 , u2 0 1 0 3 2 4 2 0 0 0 et D 0 2 0 0 0 . 2 0 1 . 1 et u3 I.1. I.1.a. Montrer que B n'est pas inversible. I.1.b. Montrer que A est inversible. I.1.c. Verifier que C A 1 B. I.2. 2 1 2 . I.2.a. Montrer que A,B I.2.b. En deduire Sp A, B . I.2.c. Determiner une base de E1 2 A, B et en deduire que dim E1 2 A, B 2. I.3. I.3.a. Calculer B,A et en deduire que Sp B, A 0, 2 . I.3.b. Etablir les identites suivantes : E0 B, A Vect u1 E0 C et I.3.c. En deduire que dim E0 B, A E2 B, A E1 2 dim E2 B, A A, B Vect u2 , u3 E2 C . 3. I.4. I.4.a. Montrer que F est une base de M3,1 R formee de vecteurs propres de C. I.4.b. Determiner explicitement une matrice R GL3 R telle que C RDR 1 . I.4.c. Montrer que B ARDR 1 . I.4.d. Justifier qu'il existe P GL3 R et Q GL3 R telles que A P I3 Q et B P DQ. 2/6 Definitions 2 : Soit A, B, A , B Mn K 4 . On dit que le couple A, B est regulier s'il existe K tel que A,B 0. On dit que le couple A, B est equivalent au couple A , B et on note A, B si : P GLn K , Q GLn K A P A Q et B P B Q. A ,B On dit que le couple A, B est diagonalisable si : D Dn K , D A, B Dn K D, D . Partie II : REGULARITE ET DIAGONALISABILITE 2 Mn K . II.1. Soit A, B K, exprimer II.1.a. On suppose dans cette question que B est inversible. Pour A,B en fonction de B 1 A et en deduire que A,B est une fonction polynomiale dont on precisera le degre. 2. Donner un exemple de couple II.1.b. On suppose dans cette question que n 2 pour lequel A,B est la fonction nulle alors que ni A ni B n'est A, B Mn K la matrice nulle. II.1.c. Montrer que A,B est une fonction polynomiale de degre inferieur ou egal a n. II.2. II.2.a. Montrer que : A, B A ,B P GLn K , Q GLn K K, A B II.2.b. Etablir que si A, B est equivalent a A , B , alors il existe que A,B A ,B , puis que Sp A, B Sp A , B . P A B Q. K, non nul, tel II.3. On suppose dans cette question que A, B est regulier. II.3.a. Montrer que : K 0 , A,B n B,A 1 . II.3.b. Montrer que B, A est regulier. II.3.c. On suppose dans cette question que r et s sont deux entiers tels que 1 r s n et ar , ar 1 , . . . , as des elements de K tels que ar 0 et as 0. On suppose egalement que B,A s'ecrit sous la forme : s K, B,A ak k . k r Montrer que 0 est racine de B,A d'ordre de multiplicite r et que n r. II.3.d. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes : i) B est inversible ; ii) A,B est de degre n ; iii) 0 Sp B, A . A,B est de degre II.4. On suppose dans cette question que B est inversible. Montrer que si B diagonalisable, alors A, B est diagonalisable. 3/6 1 A est Tournez la page S.V.P. Definitions 3 : Soit M Sn R , c'est-a-dire que M est une matrice symetrique reelle. a de M1 R avec le reel a. On confondra toute matrice A On dit que M est positive si : X Mn,1 R , tXM X 0. On dit que M est definie-positive si M est positive et inversible. Partie III : DIAGONALISABILITE DANS LE CAS SYMETRIQUE III.1. III.1.a. Montrer que pour M Y yi 1 i n mi,j 1 i,j n Mn R , X Mn,1 R , alors tXM Y xi 1 i n Mn,1 R et mi,j xi yj . 1 i,j n III.1.b. En deduire que pour X Mn,1 R non nul, tXX 0. III.1.c. Montrer que, pour M Sn R , les propositions suivantes sont equivalentes : i) M est definie-positive ; ii) Sp M R ; iii) il existe P On R et D Dn R iv) il existe L GLn R telle que M Dans le cas ou M est definie-positive, on pose : telles que M t LL. X, Y Mn,1 R III.2. Montrer que si M est definie-positive, l'application X, Y scalaire sur Mn,1 R . P D tP ; 2 , X, Y X, Y M M t XM Y. est un produit 2 avec B definie-positive. On Sn R III.3. On suppose dans cette question que A, B suppose alors que L est une matrice de GLn R telle que B tLL et on definit, par III.2, un produit scalaire sur Mn,1 R , note , B . III.3.a. Trouver une matrice C Sn R telle que, pour tout R et X Mn,1 R , AX BX CZ Z ou on a pose Z LX. III.3.b. Montrer qu'il existe une base B e1 , . . . , en de Mn,1 R qui soit orthonormale 1, n , il existe i R verifiant : pour le produit scalaire , In et telle que, pour tout i Cei i ei . III.3.c. Montrer qu'il existe une base B e1 , . . . , en de Mn,1 R qui soit orthonormale 1, n , Aei i Bei . pour le produit scalaire , B et telle que, pour tout i III.3.d. En deduire que le couple A, B est diagonalisable. III.4. On suppose dans toute la fin de la partie III que le couple A, B est regulier et que A et B sont toutes les deux symetriques reelles positives. III.4.a. Montrer l'existence de 0 R tel que A 0 B soit une matrice symetrique reelle definie-positive. III.4.b. En deduire que le couple A, B est diagonalisable. 4/6 Definitions 4 : Soit A, B Pour A,B . Mn K 2 un couple regulier. Sp A, B , on note m A, B l'ordre de multiplicite de en tant que racine de Si B est inversible, on note Sp A, B Sp A, B , m A, B 0 et E A, B 0 . Si B n'est pas inversible, on note Sp A, B Sp A, B , m A, B m0 B, A l'ordre de multiplicite de 0 en tant que racine de B,A et E A, B E0 B, A . On cherche un critere de diagonalisabilite de A, B faisant intervenir dim E A, B . On dit que A, B verifie la propriete H si : A, B , dim E A, B Sp m A, B . Partie IV : UN CRITERE DE DIAGONALISABILITE Dans toute cette partie, on suppose que K C. Soit A, B Il existe donc 0 C tel que A 0 B soit inversible. Mn C 2 un couple regulier. Dans toute la suite de la partie IV, on suppose pour simplifier les notations que 0 si bien que A est inversible. On note d le degre de A,B et C A 1 0 B. Dans les questions suivantes, on pourra etre amene a distinguer le cas ou B est inversible du cas ou B n'est pas inversible. IV.1. IV.1.a. Montrer que E0 C E0 B, A E A, B . E1 A, B . IV.1.b. Montrer que si C , alors E C IV.1.c. Soient 1 , . . . , k des elements dinstincts de C. Justifier que si 1 1 Sp C 1 , . . . , k , alors Sp A, B ou on a pose 1 , . . . , k IV.2. Verifier que m A, B n d, puis que : m A, B Sp 1 0 . n. A,B IV.3. On suppose dans toute la suite de la partie que A, B verifie la propriete H. dim E A, B IV.3.a. Montrer que Sp n. A,B IV.3.b. Montrer que C est diagonalisable. IV.3.c. Etablir que le couple A, B est diagonalisable. 5/6 Tournez la page S.V.P. Dans toute la suite du probleme, on admettra que si A, B est regulier et que K est diagonalisable si et seulement si A, B verifie la propriete H. Partie V : EXEMPLE DE NON-DIAGONALISABILITE Soit n N et soit B e1 , . . . , en la base canonique de Rn . On considere l'endomorphisme f de Rn tel que : f e1 0 si n et i 2, 2, n , f ei ei 1. On note An la matrice de f dans la base B et Bn tAn . On note g l'endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base B est Bn . 1. Pour R, An ,Bn sera note cn . On definit de plus c0 V.1. Donner la forme explicite des matrices An et Bn . V.2. Verifier que la matrice de f g dans B est : 0 1 0 .. . 1 .. . .. . 0 .. .. . . 0 . .. . 0 1 0 V.3. V.3.a. Calculer c1 , c2 , c3 et c4 . cn 2 . V.3.b. Montrer que pour n 2, cn V.3.c. En deduire, pour k N, les expressions de c2k et de c2k 1 . V.3.d. Donner une condition sur n N pour que An , Bn soit regulier. V.4. V.4.a. Determiner dim E0 A4 , B4 et dim E A4 , B4 . V.4.b. Calculer m0 A4 , B4 et m A4 , B4 . V.4.c. Le couple A4 , B4 est-il diagonalisable ? Fin de l'enonce 6/6 C, A, B

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 1 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante en mathématiques) ; il a été relu par Nicolas Martin (ENS Lyon) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur la notion de diagonalisabilité d'un couple de matrices (A, B) dans plusieurs situations. L'épreuve se divise en cinq parties largement indépendantes. Elles ont toutes trait à l'algèbre linéaire, plus particulièrement aux matrices. Les parties I et V sont des cas particuliers, à priori plus faciles à traiter. · La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple en dimension 3. Elle est très calculatoire mais ne présente pas de difficulté majeure. On utilise les notions de matrice inversible, de spectre, de polynôme caractéristique, et il faut raisonner sur des sous-espaces vectoriels ainsi que sur leurs dimensions ou leurs bases. · La deuxième partie est plus théorique puisqu'elle aborde le cas où la matrice B est inversible. Précisément, il s'agit de démontrer une condition portant sur la matrice B-1 A impliquant la diagonalisabilité du couple (A, B). · La troisième partie concerne le cas d'un couple de matrices symétriques réelles. On y trouve la démonstration classique de l'équivalence pour une matrice M symétrique réelle entre les propositions « M est définie positive » et « le spectre de M est inclus dans R+ ». · La quatrième partie établit un critère de diagonalisabilité du couple (A, B) : si A est inversible, la diagonalisabilité de (A, B) équivaut à la diagonalisabilité de A-1 B. · Enfin, la cinquième partie traite un cas particulier en dimension 4. Cette fois-ci, on cherche à démontrer que le couple (A, B) n'est pas diagonalisable. Ce sujet est plus long que ceux des années précédentes, mais se traite relativement bien car les parties sont nettement distinctes, chacune ayant un objectif clair. Indications I.3.b Expliciter l'expression de E (C) pour tout de R pour obtenir une relation entre E (B, A) et E (C) puis utiliser la question I.2.c. pour l'expression de E1/2 (A, B). I.3.c Montrer que {u1 } est une famille génératrice de E0 (B, A) puis utiliser le résultat de la question I.2.c. pour la dimension de E1/2 (A, B). I.4.a Utiliser les bases des ensembles E0 (C) et E1/2 (C) trouvées à la question I.3.b. pour prouver que les éléments de F sont des vecteurs propres de C. II.2.b L'équivalence de la question II.2.a. permet de réécrire le polynôme (A,B) en fonction de A et B . II.3.b. Raisonner par l'absurde en supposant que (B, A) n'est pas régulier. II.3.c Utiliser l'expression de (A,B) () en fonction de (B,A) (1/) donnée à la question II.3.a. pour réécrire le polynôme (A,B) (). II.3.d · i) ii) : cette implication a déjà été démontrée à la question II.1.a. · ii) iii) : on peut ici démontrer la contraposée en utilisant le fait que le couple (B, A) est régulier d'après la question II.3.b. pour mettre (B,A) sous la forme indiquée à la question II.3.c. III.1.c i) ii) : utiliser le résultat de la question III.1.b pour démontrer que les valeurs propres de M sont positives. III.2 Pour montrer que l'application est définie positive, on peut écrire avec la question III.1.c l'égalité M = t L L et utiliser le résultat de la question III.1.b. t pour démontrer que si Y = LX 6= 0, alors Y Y > 0. -1 III.3.c Poser pour tout i {1, . . . , n}, ei = L ei et appliquer l'équivalence de la question III.3.a. III.3.d Il suffit de démontrer que la matrice B-1 A est diagonalisable puis de conclure à l'aide de la question II.4. III.4.b Le couple (B, A - 0 B) vérifie les conditions de la question III.3.d. et est donc diagonalisable. Réécrire A et B en fonction des matrices diagonales auxquelles B et A - B sont semblables. IV.1.c Utiliser le résultat de la question IV.1.b. pour les valeurs propres non nulles de C. IV.2 · Dans le cas où B est inversible, on peut se servir du fait que (A,B) est un polynôme de degré n d'après la question III.3.d. · Lorsque B n'est pas inversible, utiliser le résultat de la question III.3.c. sur le degré de (A,B) . IV.3.b Utiliser les égalités d'ensembles entre les E (C) et E1/ (A, B) fournies par les questions IV.1.a et IV.1.b. IV.3.c D'après la question IV.3.b, C = A-1 B est diagonalisable. Ensuite penser à la question II.4. en échangeant les rôles de A et B. V.3.c Utiliser la question V.3.b selon laquelle les suites (c2k ) et (c2k+1 ) sont des suites géométriques. V.3.d Utiliser le fait que cn () = 0 si et seulement si n est impair, démontré à la question V.3.c. V.4.b Ici n = 4 est pair. Il suffit alors d'appliquer le résultat de la question V.3.c. V.4.c Comparer les dimensions de E0 (A4 , B4 ) et E (A4 , B4 ) avec les quantités m0 (A4 , B4 ) et m (A4 , B4 ) calculés aux questions V.4.a et V.4.b. I. Diagonalisabilité dans un cas particulier I.1.a. On remarque que la première ligne de B est entièrement composée de zéros, par conséquent la matrice B ne peut pas être de rang 3, seulement de rang inférieur ou égal à 2. On en déduit que B n'est pas inversible. Un développement du déterminant de B par rapport à la première ligne donne det(B) = 0, donc la matrice B n'est pas inversible. I.1.b. La matrice A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Calculons-le en développant par rapport à la dernière ligne. 3 det(A) = 2 0 1 1 0 1 3 0 =- 2 -1 1 = -3 + 2 = -1 1 Le déterminant de A est non nul ce qui permet d'affirmer A est inversible. I.1.c. On peut résoudre cette question sans calculer A-1 , en prouvant que AC = B. En multipliant cette égalité par A-1 à gauche, on obtient C = A-1 B. Calculons AC. 3 1 1 -4 -2 -2 0 0 0 6 4 = 4 2 0 = B AC = 2 1 0 × 16 0 0 -1 0 0 2 0 0 -2 On en conclut C = A-1 B I.2.a. Calculer (A,B) () revient à calculer le déterminant de la matrice A - B. (A,B) () = det(A - B) 3 1 1 0 = 2 - 4 1 - 2 0 0 -1 + 2 = (2 - 1) 3 1 2 - 4 1 - 2 en développant selon L3 (A,B) () = (2 - 1) (3(1 - 2) - 2(1 - 2)) ce qui donne (A,B) () = -(2 - 1)2 I.2.b. Par définition de Sp(A, B), il s'agit de l'ensemble des éléments R tels que (A,B) () = 0, c'est-à-dire 2 - 1 = 0. On en déduit 1 Sp(A, B) = 2 I.2.c. On cherche l'ensemble des matrices-colonnes X M3,1 (R) telles que AX = Posons X = t (x, y, z) . On a alors 3x + y + z AX = 2x + y -z 1 BX 2 et 0 BX = 4x + 2y -2z Comme AX = BX/2, (x, y, z) doit être solution du système 3x + y + z = 0 2x + y = 2x + y -z = -z Les deux dernières équations sont vérifiées, et la première donne x M3,1 (R), (x, y) R2 y E1/2 (A, B) = -3x - y t t On remarque que (x, y, -3x - y) = x(1, 0, -3) + y(0, 1, -1) = x u2 + y u3 , ce qui permet d'écrire E1/2 (A, B) = Vect (u2 , u3 ) De plus, lorsqu'on considère les déterminants d'ordre 2 extraits de la matrice (u2 , u3 ), on constate qu'il en existe un non nul, donc la famille (u2 , u3 ) est libre. On a vu que (u2 , u3 ) est une famille génératrice de E1/2 (A, B), c'est donc une base de E1/2 (A, B). La dimension de E1/2 (A, B) est égale au cardinal de n'importe laquelle de ses bases, c'est-à-dire dim E1/2 (A, B) = 2 I.3.a. Calculer (B,A) () revient à calculer le déterminant de la matrice B - A. (B,A) () = det(B - A) -3 - = 4 - 2 2 - 0 0 = ( - 2) - 0 -2 + -3 - 4 - 2 2 - en développant selon L3 (B,A) () = ( - 2) (-3(2 - ) + 2(2 - )) Enfin (B,A) () = ( - 2)2 Les éléments de Sp(B, A) sont les racines du polynôme (B,A) , qui sont 0 et 2. Ainsi, Sp(B, A) = {0, 2}