CCP Maths 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Droites des moindres carrés
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, espaces euclidiens, réduction
Mots clefs moindres carrés, produit scalaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2011 PCM1002 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites Les parties I, II et III sont indépendantes. Notations et définitions Soit 73 = R2 le plan muni du produit scalaire canonique et du repère orthonormé R = (0, i, j) avec O = (O, 0), i = (1,0) et j = (O, 1). La norme associée au produit scalaire canonique sera notée H-H2 si bien que pour tout (æ,y) EUR R2, Hoe - i + y -jH2 = \/æ2 + y2. Pour a et 19 deux réels donnés, on définit Da,b la droite d'équation dans R : y = au + b. Si M EUR 73 a pour coordonnées (oe, y) dans R, on note pa,b(M) l'unique point de Da,b ayant, dans R, la même abscisse oe que M. On définit aussi D'a7b la droite d'équation dans R : oe = ay + b, et p'aÿb(M ) l'unique point de D'a'b ayant, dans R, la même ordonnée y que M. PARTIE I : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS UN CAS PARTICULIER Soient A, B et C les trois points de 73 dont les coordonnées dans R sont respectivement : (O, O), (O, 1) et (o, %) où oz désigne un réel non nul. On définit deux applications f0 et f1 de R2 dans R en posant : pour tout (a, I)) E R2, _ ) 2 ) 2 , 2 fo(a, b) = pa,b(A)A|)2 + |pa,b(B)B(|2 + | pa,b(0)c||2, _), 2 _), 2 _), 2 f+ = pa,b(A)A|)2 + pa,b(B>B(|2 + pa,b(0)c||2. 1/6 1.1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés. 1.2. 1 2 I.2.a. Montrer que f0(CL, b) = b2 + (b -- 1)2 + (aa + b -- î) . , . 1 2 1 2 1 I.2.b. Vérifier que f0(CL, b) = aoz + b -- 5 + 2 b -- 5 + Ë' 1.2.0. En déduire que la fonction f0 admet un minimum sur R2 et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels (a, b) = (O, %) correspondant a la droite, notée Dg, d'équation dans R : y = %. 1.3. I.3.a. Déterminer l'expression explicite de f1(a, b) en fonction de a, b et oz. 2 1 2 I.3.b. Montrer que f1(a, b) = 3 (% + b -- %) + äa2 + äCY2. 1.3.0. En déduire que la fonction fl admet un minimum sur R2 et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels, noté (a1,b1), a déterminer. On note alors D1 la droite d'équation dans R : oe = a1y + 191. 1.4. Montrer que DD et D1 sont orthogonales et se coupent en un unique point M EUR 73 qui est l'isobarycentre de (A, B, C'). PARTIE II : RÉSULTATS SUR UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL Soit E un espace préhilbertien réel non réduit a {0} et F un sous--espace vectoriel de dimension finie de E. On note (--|) le produit scalaire sur E et H - H la norme associée a ce produit scalaire. II.1. Donner la définition de F L. Énoncer (sans démonstration) une propriété vérifiée par F et FL valable en général. Dans le cas où E est de dimension finie, que peut--on dire de plus ? Pour X E E, on note pF(X) la projection orthogonale de X sur F. 11.2. Démontrer que injf HX -- ZH est bien défini et que cette borne inférieure est atteinte en un ZE unique élément z de F défini par z = pF(X). Cette borne inférieure est notée d(X, F). On a donc d(X, F) = HX -- pF(X)H. On dit qu'une application (X, y) |--> (X|y)F de E2 dans R est un produit subordonné à F si elle vérifie les 4 propriétés suivantes : i) VX E E, l'application y l--> (X|y)F est une forme linéaire sur E ; ii) V(X7Y) EUR E27 (XIY)F : (YIX)F; iii) VXEE,VyEF, (X|y)F=O; iv) VX EUR FL, Vy EUR FL, (X|y)F = (X|y). II.3. II.3.a. Montrer que si (X, y) l--> (X|y)F est un produit subordonné a F, alors . V(X7Y) EE27 (XIY)F= (X_ pFX( )ly_ pF(Y))? - VX E E, (X|X)F = (d(X, 1F2°)) oVXEE, (X|X)p20, OVXEE, (XIX)F=O (=> XEF. II.3.b. Vérifier qu'il existe un unique produit subordonné a F. 2/6 On note alors (--|)F ce produit subordonné a F et pour X E E, on pose HXHF = \/(XlX)p. II.4. Montrer que pour tout (X,y) EUR E2, |(X|y)F| S HXHF - HYHF ; a quelle condition sur X et y peut--on dire que : |(X|y)F| = HXHF - Hpr ? II.5. II.5.a. Montrer l'existence d'un élément de E, noté u, tel que HuH = 1. On note alors D = Vect(u) la droite vectorielle engendrée par u et pp la projection orthogonale sur D. II.5.b. Vérifier que pour tout X E E, pp (X) = (X|u)u. Pour tout élément X E E, on pose mx = (X|u), 0X = HXHD. Pour tout couple (X, y) EUR E2, on pose cov(x,y) = (X|y)D. II.5.C. Montrer que ax = HX -- mqu et que cov(x,y) = (X|y) -- mxmy. On suppose dans la suite de cette partie que X et y sont deux éléments de E tels que la famille (u,x,y) soit libre. II.6. Montrer que (IX et ay sont deux réels strictement positifs. -- mxu -- m u co X, On pose alors X* = X--, y* = y_y et p = M. ax ay 0X0y II.7. II.7.a. Montrer que mx* = O, que 0X* = 1 et que ,a E] -- 1,1[. II.7.b. Vérifier alors que (u, X*) est une base orthonormale de F = Vect(u, X). II.7.e. Montrer que inf HY -- CLX -- buH est bien défini et vaut d(y, F). (a,b)E 2 II.7.d. Établir que inf Hy -- CLX -- buH = Hy -- myu -- (y|X*)X*H. (a,b)E 2 II.7.e. Vérifier que inf 2 Hy -- ax -- buH = ayHy* -- pX*H. (a,b)E II.7.f. Déterminer, en fonction de X, y et u, l'unique couple de réels (ag, bo) tel que : inf 2 HY -- aX -- buH = HY -- CLOX -- b0uH. (a,b)ER Dans le plan 73, on définit DO comme étant la droite dont l'équation dans R est : y = a0oe + (90. -- m oe -- m II.8. Montrer que DO a pour équation dans R : y--y = p- X. II.9. Montrer de même qu'il existe un unique couple de réels (a1,b1) tel que : inf 2 HX -- ay -- buH = HX -- a1y -- b1uH. (a,b)E Dans le plan 73, on définit D1 comme étant la droite dont l'équation dans R est : oe = @@ + (91. $ -- m -- m 11.10. Montrer que D1 a pour équation dans R : X = p- y " avec le même réel p ax ay défini précédemment. 3/6 11.11. Vérifier que D0 et D1 se coupent en un unique point M EUR 73 de coordonnées dans R : (mx, my). 11.12. Montrer que les droites D0 et D1 sont orthogonales si et seulement si (X|y) = mxmy. PARTIE III : BASE ADAPTEE À UN PRODUIT SOALAIRE DANS UN ESPACE EUOLIDIEN Soit En un espace euclidien de dimension n avec n > 1. On note (--|) le produit scalaire sur En et H - H la norme associée a ce produit scalaire. Soit B = (el, . . . ,en) une base de En. Pour tout élément z E E... on notera M3(Z) la matrice de z dans la base B , et on posera Z = M3(Z). Ainsi Z est la matrice--colonne a n lignes donnée 21 n par la relation Z = 3 EUR Mn,1(lR) si z = 2 z.-e.-. Zn z=1 111.1. Vérifier que pour tout (X,y) EUR Eä, (X|y) = "XSY si X = M3(X), Y = Mg(ÿ) et S = ( 

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 CCP Maths 1 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Kévin Destagnol (ENS Cachan) ; il a été relu par Juliette Brun-Leloup (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde une méthode statistique dite des moindres carrés, dans laquelle on cherche une courbe qui approxime un nuage de points, condition moins forte que l'interpolation des points. On s'intéresse au cas particulier où la courbe approximante est une droite, ce qui s'appelle une régression linéaire. Formellement, étant donné deux ensembles de nombres {x1 ; . . . ; xn } et {y1 ; . . . ; yn }, on cherche les droites de la forme y = a0 x+b0 ou x = a1 y +b1 qui approximent les points {(x1 , y1 ); . . . ; (xn , yn )}. Les trois premières parties sont indépendantes. · Dans la première partie, on étudie le cas particulier d'un ensemble de trois points. On détermine les deux équations des droites des moindres carrés, une condition d'orthogonalité de celles-ci et on montre que leur point d'intersection est l'isobarycentre de l'ensemble de points. · La deuxième partie introduit la notion de produit subordonné à un sous-espace, dont on étudie certaines propriétés élémentaires afin de montrer que pour une famille libre de vecteurs (u, x, y) où u est de norme 1, il existe un unique couple de réels (a0 , b0 ) et un unique couple de réels (a1 , b1 ) tels que Inf ky - ax - buk = ky - a0 x - b0 uk = kx - a1 y - b1 uk (a,b)R On calcule alors l'intersection des droites d'équations y = a0 x+b0 et x = a1 y+b1 et on donne une condition pour qu'elles soient orthogonales. · La troisième partie établit des relations entre le produit scalaire d'un espace euclidien et la matrice des (ei | ej ) où la famille des (ei )i[[ 1 ; n ]] forme une base de l'espace. On montre en particulier qu'une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs est de cette forme pour une certaine base. Enfin, l'énoncé introduit la notion de base adaptée dont on prouve l'existence et dont on établit quelques propriétés. · La quatrième partie, quant à elle, effectue la synthèse des deux parties précédentes afin d'étudier le cas général de n points dont on détermine les deux droites des moindres carrés. Pour terminer, on donne une condition pour qu'elles soient orthogonales et on établit que leur point d'intersection correspond à l'isobarycentre de l'ensemble de points. Les différentes parties de cette épreuve comportent plusieurs questions de cours ou d'applications directes du cours ; les autres questions sont suffisamment détaillées pour que l'on puisse venir à bout du sujet en quatre heures. Il s'agit d'un problème abordable (nécessitant donc une rédaction soigneuse !) qui utilise presque exclusivement le programme de PCSI sur l'algèbre bilinéaire et les espaces euclidiens, plus quelques questions de réduction au programme de Spé. Indications Partie I I.1 Penser à utiliser le déterminant. I.2.a Remarquer que pa,b (M) a pour coordonnées (x, ax + b) lorsque M a pour coordonnées (x, y). I.2.c Déduire de la question I.2.b que la fonction f0 est minorée par 1/2 et montrer que ce minorant est atteint en un unique point. I.3 Reprendre exactement le schéma de la question I.2. Partie II II.2 Écrire que x = x - pF (x) + pF (x) et utiliser le théorème de Pythagore. II.3.a De même, écrire x = x- pF(x) + pF (x) et y = y- pF(y) + pF (y) et utiliser la définition d'un produit subordonné en remarquant que les propriétés i) et ii) impliquent qu'un tel produit est nécessairement bilinéaire. II.3.b Utiliser le premier point de la question II.3.a. II.4 Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. II.5.a Se rappeler que E 6= {0}. II.5.b Remarquer que u forme une base orthonormale de D et utiliser l'expression d'une projection orthogonale sur un sous-espace possédant une telle base. II.6 Raisonner par l'absurde. II.7.a Utiliser la question II.4 pour montrer que ] -1 ; 1 [. II.7.c Remarquer que F = {ax + bu | (a, b) R2 }. II.7.d Utiliser les résultats des questions II.2 et II.7.c et établir que pF (y) = (y | u) u + (y | x ) x (y | x) - mx my . x II.7.f Remplacer x par son expression en fonction de x et de u dans II.7.e Remarquer que (y | x ) = y ky - x k = ky - my u - y x k II.9 Raisonner par analogie avec la question II.7. II.12 Penser à faire le produit scalaire des vecteurs normaux des droites D0 et D1 . Partie III III.1 Décomposer x et y dans la base B et utiliser la bilinéarité du produit scalaire. III.2.a Utiliser le fait qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans Mn (R) puis calculer kXk avec X un vecteur propre de la matrice S. III.3 Considérer les vecteurs Xk = (i,k )i[[ 1 ; n ]] et Yl = (i,l )i[[ 1 ; n ]] pour tout couple d'entiers (k, l) [[ 1 ; n ]]2 . III.4.c Remarquer que cela équivaut à l'existence d'une base B telle que S = In . III.5 Considérer la famille ( d1 e1 , d2 e2 , . . . , dn en ) où (e1 , e2 , . . . , en ) est une base orthonormée de En . III.6.b Raisonner par contraposition en utilisant la question III.2.a. III.8 Tirer parti du fait que M4 ne possède que des coefficients diagonaux nuls. III.9.a Montrer qu'une famille adaptée est libre. III.9.b Partir de l'existence d'une base orthonormée. III.9.c Si (e1 , e2 , . . . , en ) est une base adaptée, considérer la famille (-e1 , e2 , e3 , . . . , en ) Partie IV IV.2 Utiliser la question III.9.b. IV.3 Considérer une relation de liaison et obtenir une contradiction avec le fait que les points Ai ne sont pas alignés. IV.5.a Se servir des questions II.7.f et II.9. IV.5.b Utiliser les questions II.11 et IV.2 ainsi que la définition de mx et my . IV.5.c Réemployer le résultat de la question II.12. IV.5.d Considérer la relation obtenue en question IV.5.c, fixer des abscisses et en déduire des ordonnées qui conviennent. I. Droites des moindres carrés dans un cas particulier I.1 Dans la base (i, j) - AB = (0, 1) - AC = (, 1/2) - - Or, les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, det AB, AC = 0. Calculons donc ce déterminant - - 0 det AB, AC = = - 1 1/2 - - Comme par hypothèse est non nul, on en déduit que det AB, AC 6= 0 et donc finalement que et Les points A, B et C ne sont pas alignés. Le calcul du déterminant est souvent la méthode la plus rapide et la plus - élégante, mais il est toujours possible, puisque le vecteur AC est non nul, de dire que les points sont alignés si, et seulement si, il existe R tel - - que AB = AC et de voir que si un tel existait, il devrait être à la fois nul et égal à 2, ce qui est absurde. I.2.a Par définition de l'application pa,b , si M a pour coordonnées (x, y), les coordonnées de pa,b (M) sont (x, ax + b). Par conséquent, ------ ----- ------ 1 pa,b (A)A = (0, -b), pa,b (B)B = (0, 1 - b) et pa,b (C)C = 0, - a - b 2 On obtient alors par définition de f0 2 1 2 2 2 (a, b) R f0 (a, b) = b + (b - 1) + a + b - 2 I.2.b Quel que soit b R, calculons 2 1 1 1 1 b2 + (b - 1)2 - 2 b - - = 2b2 - 2b + 1 - 2b2 + 2b - - = 0 2 2 2 2 On en déduit bien d'après la question I.2.a que 2 2 1 1 1 2 (a, b) R f0 (a, b) = a + b - +2 b- + 2 2 2 Il s'agit tout simplement d'une mise sous forme canonique de b2 + (b - 1)2 . I.2.c Quels que soient a et b réels, 2 1 a + b - >0 2 Il vient ensuite que (a, b) R2 et 2 1 2 b- >0 2 f0 (a, b) > 1 2