CCP Maths 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Racines carrées d'endomorphismes
Principaux outils utilisés réduction des endomorphismes
Mots clefs endomorphismes, valeurs et vecteurs propres, projecteurs, Lagrange, matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 20 1 0 PCM 1 002 A CONCOURS COMMUN!) POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites >l<>l<>l<>l< N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et deura poursuiure sa composition en eoepliquant les raisons des initiatiues qu'il a été amené a prendre. >l< >l< >l<>l< Notations et objectifs Dans tout ce problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps R des nombres réels. £(E) désigne l'algèbre des endomorphismes de E et GL(E) l'ensemble des endomor-- phismes de E qui sont bijectifs. On note () l'endomorphisme nul et id l'application identité. Pour tout endomorphisme f, Ker ( f ) et Im ( f ) désigneront respectivement le noyau et l'image de f. L'ensemble des valeurs propres de f sera noté Sp( f ) et on notera : 73(f) = {h EUR £(E) \ W = f} R[X] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels. £ Étant donné f E £(E) et P E R[X] donné par P(X) : ZakX'", on définit P( f) EUR £(E) par : '=0 EUR P(f)=Zakfk k=O 1/5 SESSION 20 1 0 PCM 1 002 A CONCOURS COMMUN!) POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites >l<>l<>l<>l< N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et deura poursuiure sa composition en eoepliquant les raisons des initiatiues qu'il a été amené a prendre. >l< >l< >l<>l< Notations et objectifs Dans tout ce problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps R des nombres réels. £(E) désigne l'algèbre des endomorphismes de E et GL(E) l'ensemble des endomor-- phismes de E qui sont bijectifs. On note () l'endomorphisme nul et id l'application identité. Pour tout endomorphisme f, Ker ( f ) et Im ( f ) désigneront respectivement le noyau et l'image de f. L'ensemble des valeurs propres de f sera noté Sp( f ) et on notera : 73(f) = {h EUR £(E) \ W = f} R[X] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels. £ Étant donné f E £(E) et P E R[X] donné par P(X) : ZakX'", on définit P( f) EUR £(E) par : '=0 EUR P(f)=Zakfk k=O 1/5 oùf°=idetpourkEURN*,f""=fo....of. \_\,_z k fois Si f1, . . . , fq désignent (] endomorphismes de E (C] E N*) alors H f,- désignera l'endo-- 1 1. Sans calculer l'inverse de P, exprimer A'" en fonction de D, P et P_1. 4) Calculer P_1, puis déterminer la matrice de fm dans la base canonique. 5) Déterminer toutes les matrices de Mç,(R) qui commutent avec la matrice D trouvée a la question 2). 6) Montrer que si H E M3(R) vérifie H 2 = D, alors H et D commutent. 7) Déduire de ce qui précède toutes les matrices H de M3(R) vérifiant H 2 = D, puis déterminer tous les endomorphismes h de R3 vérifiant h2 = f en donnant leur matrice dans la base canonique. B) Soient f et j les endomorphismes de R3 dont les matrices respectives A et J dans la base canonique sont données par : 2 1 1 1 1 A = 1 2 et J = 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 2) En déduire que pour tout m E N*, fm : id + ä(4m -- 1)j. Cette relation est--elle encore valable pour m = 0 ? 3) Montrer que f admet deux valeurs propres distinctes A et ,u telles que A < ,a. 1 1 2 > 1) Calculer J'" pour tout entier m 2/5 4) Montrer qu'il existe un unique couple (p, q) d'endomorphismes de R3 tel que pour tout entier m > O, fm : Àmp + ,umq et montrer que ces endomorphismes p et (] sont linéairement indépendants. 5) Après avoir calculé 192, (127 p 0 q et q 0 p, trouver tous les endomorphismes h, combi-- naisons linéaires de p et (] qui vérifient h2 = f. 6) Montrer que f est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de f. Écrire la matrice D de f, puis la matrice de p et de (] dans cette nouvelle base. 7) Déterminer une matrice K de M2(R) non diagonale telle que K2 = 12, puis une matrice Y de M3(R) non diagonale telle que Y2 = D. 8) En déduire qu'il existe un endomorphisme h de R3 vérifiant h2 = f qui n'est pas combinaison linéaire de p et q. 9) Montrer que tous les endomorphismes h de R3 vérifiant h2 = f sont diagonalisables. PARTIE II Soit f un endomorphisme de E. On suppose qu'il existe (À, ,a) E R2 et deux endomor-- phismes non nuls p et (] de E tels que : m : p+q À7ÉM et f = Àp+uq f ' = A'}? + #26} 1) Calculer (f -- Aid) @ (f -- nid). En déduire que f est diagonalisable. 2) Montrer que A et ,a sont valeurs propres de f et qu'il n'y en a pas d'autres. 3) Déduire de la relation trouvée dans la question 1) que p 0 q = q 0 p = 0 puis montrer quep2 =pet 612 =q- 4) On suppose jusqu'à la fin de cette partie que À,u # 0. Montrer que f est un isomorphisme et écrire f_1 comme combinaison linéaire de p et q. 5) Montrer que pour tout m EUR Z : f "' = Àmp + WC] 6) Soit F le sous--espace de £(E) engendré par p et (1. Déterminer la dimension de F. 7) On suppose dans la suite de cette partie que A et ,a sont strictement positifs. Déterminer R(f) () F. 8) Soit k un entier supérieur ou égal a 2. Déterminer une matrice K de MAR) non diagonale et vérifiant K 2 : Ik. 9) Montrer que si l'ordre de multiplicité de la valeur propre A est supérieur ou égal a 2, alors il existe un endomorphisme p' EUR £(E) \ F tel que p'2 = p et p' 0 q = q 0 p' = O. 10) En déduire que si dim(E) ; 3, alors R(f) 1 F. 3/5 PARTIE III Soient @, . . . ,p..., m endomorphismes non nuls de E et Al, . . . ,À..., m nombres réels distincts. Soit f un endomorphisme de E vérifiant pour tout entier [EUR E N : fk : îÀÏPi i=1 1) Montrer que pour tout P E R[X], on a : P... = z P(Àz)pz i=1 2) En déduire que H(f -- À,-id) : 0, puis que f est diagonalisable. i=1 3) Pour tout entier EUR tel que 1 EUR EUR { m, on considère le polynôme : (X _ À,-) L X = _ É( ) 1<1;£m (ÀÉ _ Ài) i7££ Montrer que pour tout entier EUR, tel que 1 EUR EUR { m, on a pg : Lg(f). En déduire que Im (pg) C Ker (f -- Mid), puis que le spectre de f est : Sp(f) : {)'17-n7Àm} 4) Vérifier que pour tout couple d'entiers (i,j) tels que 1 { i,j { m, on a : _O __ Osii;£j pz p'7_ pi SlZ=j 5) Justifier le fait que la somme î: Ker (f -- À,-id) est directe et égale a E et que les projecteurs associés a cette décomposition de E sont les p,. 6) Soit F le sous--espace vectoriel de £(E) engendré par {p1, . . . , p...}. Déterminer la dimension de F. 7) Déterminer R( f ) D F dans le cas où À1, . . . , À... sont des réels positifs ou nuls. 8) Dans cette question, on suppose de plus que m = n. 8.1) Préciser alors la dimension des sous-espaces propres de f. 8.2) Montrer que si h E R( f ), tout vecteur propre de f est également vecteur propre de h. 8.3) En déduire que R( f ) C F et donner une condition nécessaire et suffisante sur les À,- pour que R( f ) soit non vide. 9) Montrer que si m < 71 et si tous les À,- sont positifs ou nuls, alors R( f ) 1 F. 4/5 PARTIE IV A) Soit f un endomorphisme non nul de E tel qu'il existe un entier p > 1 tel que fp : 0 et fp_1 # O. 1) Montrer qu'il existe a: E E non nul tel que la famille (a:, f(æ), f2(a:), . . . , fp_1(a:)) est libre. En déduire que p { n et que f" = O. 2) Montrer que si R(f) # (Ô alors 219 -- 1 { n. n--1 3) Déterminer les réels &... . . . ,an_1 tels que V1 + a: : Zakaîk + O(a:") au voisinage k--0 n--1 de 0. Dans la suite, Pn désigne le polynôme défini par Pn(X ) : Z ale'". k=0 4) Montrer qu'il existe une fonction 77 bornée au voisinage de () telle que l'on ait Pâ(a:) -- a: -- 1 : a:"n(a:). En déduire que X" divise P,,Î -- X -- 1. 5) Montrer alors que R(f + id) # (Ô. Plus généralement, montrer que pour tout oz réel, R(OEf + id) # (Ô, puis que pour tout fi réel strictement positif, R(f + fiid) # (Ô. B) 1) Soit T : (OEij)1gz',jgn une matrice triangulaire supérieure de MAR) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux a un réel À. Montrer que (T -- ÀIn)" : O. 2) On suppose dans toute la suite que f est un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé et qui n'admet qu'une seule valeur propre À. Déduire de la question précédente que E : Ker (f -- Aid)". 3) Montrer que si A > 0 alors R(f) # (Ô. Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 1 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Leclère (École Polytechnique) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce sujet d'algèbre linéaire propose d'étudier la notion de racine carrée d'un endomorphisme réel, et de déterminer ces racines dans des cas particuliers. · La première partie détermine l'ensemble des racines carrées de deux endomorphismes diagonalisables particuliers, donnés par leur matrice dans la base canonique de R3 . · La deuxième se place dans le cas d'un espace de dimension finie quelconque et demande de déterminer les racines carrées d'un endomorphisme diagonalisable possédant exactement deux valeurs propres. · La troisième propose de démontrer le critère suivant à l'aide des polynômes interpolateurs de Lagrange : un endomorphisme f d'un espace E de dimension finie est diagonalisable si, et seulement si, il existe m endomorphismes p1 , . . ., pm de E et m réels 1 , . . . , m distincts tels que k N fk = m P i k pi i=1 On généralise ensuite les résultats des parties précédentes aux endomorphismes diagonalisables d'un espace de dimension finie. · La quatrième et dernière partie propose d'étudier les racines carrées des endomorphismes nilpotents et de ceux qui le deviennent en leur ajoutant un multiple de l'identité. La difficulté de ce sujet ne réside pas dans des questions particulièrement calculatoires, mais dans l'aspect trompeusement répétitif de la démarche employée au sein de chaque partie. Comme le cadre et les hypothèses changent à chaque partie, il est important de bien faire la part des méthodes à réutiliser et des approches qu'il faut généraliser ou renouveler par rapport à la partie précédente. Les quatre parties sont indépendantes, mais les hypothèses de départ étant de plus en plus générales, il est conseillé de traiter le sujet dans l'ordre. Indications I.A.1 Calculer le polynôme caractéristique de A. I.A.3 Utiliser la formule de changement de base pour passer de A à D. I.A.4 Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction des vecteurs propres de A. I.A.7 Tout réel strictement positif a exactement deux racines carrées. I.B.1 Calculer les premières puissances de J puis raisonner par récurrence. I.B.2 On peut se servir de la formule du binôme de Newton. I.B.3 Calculer le polynôme caractéristique de f et simplifier le déterminant en remarquant que la somme en ligne est constante. II.2 Reformuler le résultat de la question II.1 en termes d'image et de noyau. II.4 Partir de la relation entre f , f 2 et id et la transformer pour faire apparaître l'expression de f -1 en fonction de p et q. II.5 Attention au domaine de validité demandé : Z et non N. On peut raisonner par récurrence. II.6 Quelle est, au maximum, la dimension de cet espace ? Au minimum ? II.7 Se servir de la démarche adoptée à la question I.A.7. II.8 Utiliser le résultat intermédiaire de la question I.B.7. II.9 Considérer un endomorphisme qui inverse les deux premiers vecteurs d'une base de vecteurs propres de f . II.10 Si dim E > 3, quelle est la dimension des sous-espaces propres de f ? III.2 Chercher à appliquer le résultat de la question précédente à un polynôme bien choisi. III.3 Établir une relation entre L (X) et le polynôme utilisé à la question III.2. m P III.5 Que vaut Li (X) ? i=1 III.6 Cette famille est-elle libre ? III.7 Adopter le même type de démarche que pour les questions I.A.7 et II.7. III.8.2 Calculer f (h(x)), où x est un vecteur propre associé à la valeur propre , et utiliser la question précédente. III.9 S'inspirer de la question II.9. IV.A.1 Utiliser la méthode habituelle pour établir la liberté d'une famille, puis composer avec une puissance bien choisie de f . Quel est le cardinal maximal d'une famille libre dans E ? IV.A.2 Si h R(f ), quels sont les entiers a et b tels que ha = 0 et hb 6= 0 ? IV.A.3 Se souvenir des développements limités usuels. IV.A.5 Considérer P(f ). Puis se ramener au cas précédent. IV.B.1 Que dire des grandes puissances d'une matrice triangulaire supérieure stricte ? IV.B.2 Si le polynôme caractéristique de f est scindé, quelle est la forme de sa matrice dans une base particulière ? Partie I I.A.1 Calculons PA le polynôme caractéristique de A. Soit x un réel ; développons PA (x) par rapport à la troisième ligne : 8-x PA (x) = -8 0 4 -4 - x 0 -7 8 1-x = (1 - x)((8 - x)(-4 - x) + 32) = (1 - x)(x2 - 4x) PA (x) = (1 - x) x (x - 4) Rappelons qu'il faut toujours commencer par chercher à factoriser un polynôme caractéristique et non le développer trop tôt. Le polynôme PA est scindé dans R et toutes ses racines sont simples, par conséquent f est diagonalisable. Remarquons que la deuxième colonne de A est égale à sa première colonne multipliée par 1/2, donc det A = 0. En outre, la troisième ligne de A - I3 est une ligne de zéros, d'où det(A - I3 ) = 0. Ainsi, 0 et 1 sont des valeurs propres évidentes de A. Une fois que l'on a prouvé que le polynôme caractéristique de A est scindé, la troisième valeur propre se déduit facilement des deux premières grâce à l'invariance de la trace d'une matrice par rapport à la base choisie : 8 - 4 + 1 = 0 + 1 + , soit = 4. En outre, comme 0 est valeur propre de A, cette matrice n'est pas inversible. I.A.2 La question précédente a permis de montrer que Sp(f ) = {0; 1; 4} Cherchons à présent les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres. · Un vecteur X = (x, y, z) R3 appartient à Ker (f ) si et seulement si 8 x + 4 y - 7z = 0 -8 x - 4 y + 8z = 0 z=0 soit y = -2x et z = 0. Une base de Ker (f ) est donc v1 = (1, -2, 0). · X = (x, y, z) Ker (f - id) si et seulement si 7 x + 4 y - 7z = 0 7 x + 4 y - 7z = 0 -8 x - 5 y + 8z = 0 -x - y + z = 0 soit y = 0 et z = x. Une base de Ker (f - id) est donc v2 = (1, 0, 1). · Enfin, X = (x, y, z) Ker (f - 4 id) si et seulement si 4 x + 4 y - 7z = 0 -8 x - 8 y + 8z = 0 -3 z = 0 soit x + y = 0 et z = 0. Une base de Ker (f - 4 id) est donc v3 = (1, -1, 0). Pour conclure, la nouvelle base est 1 1 1 (v1 , v2 , v3 ) = -2 , 0 , -1 0 1 0 Dans cette base, la matrice D de f est diagonale : 0 0 0 D = 0 1 0 0 0 4 I.A.3 Si on pose P = (v1 , v2 , v3 ), alors la formule de changement de base fournit A = P D P-1 . À la puissance m, Am = P D P-1 P D P-1 · · · P D P-1 qui donne par une récurrence immédiate Am = P Dm P-1 I.A.4 Pour inverser la matrice P, exprimons les vecteurs de la base canonique en fonction des vecteurs propres de A v1 , v2 et v3 . On a v1 = e1 - 2 e2 v2 = e1 + e3 v3 = e1 - e2 (1) (2) (3) La différence entre (1) et 2 × (3) donne e1 = 2 v3 - v1 . La différence entre (3) et (1) donne e2 = v3 - v1 . Enfin, (2) donne e3 = v2 - e1 = v2 - 2 v3 + v1 . On en déduit l'inverse de P : -1 -1 1 0 1 P-1 = 0 2 1 -2 Calculons enfin la puissance m-ième de A : Am = PDm P-1 1 1 1 0 0 0 -1 -1 1 = -2 0 -1 × 0 1 0 × 0 0 1 0 1 0 0 0 4m 2 1 -2 -1 -1 1 0 1 4m 0 1 = 0 0 -4m × 0 2 1 -2 0 1 0 2 × 4m 4m 1 - 2 × 4m 2 × 4m Am = -2 × 4m -4m 0 0 1