CCP Maths 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Matrices symétriques à coefficients positifs
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, algèbre bilinéaire, topologie
Mots clefs Matrices symétriques, positives, produit scalaire, diagonalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 me.--:o: .v " cm.--fifi ... moeb9Ëäæææ<ä o.... mmmfiä - maoË...oËoe mËËË m...=a_z=v...-->dcoe mz=EOEOu ...oe=0u20v ' Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** Notations et objectifs le -espace vectoriel des Pour tout entier naturel superieur ou egal a 1, on note le -espace vectoriel des matrices matrices carrees d'ordre a coefficients dans et colonnes a lignes a coefficients dans . designe l'ensemble des matrices symetriques de , l'ensemble des matrices orthogonales de et la matrice identite d'ordre . de est identifie a un element de tel que l'element Tout vecteur eme de la ligne de soit . Dans toute la suite, nous noterons indifferemment un aussi bien que le vecteur de qui lui est associe. element de , soit encore la Selon le contexte, designe soit le reel nul, soit la matrice nulle de matrice nulle de . est muni de son produit scalaire canonique note et de la norme associee notee . Une matrice carree reelle sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et . De meme un vecteur de sera dit positif si toutes ses compoon notera dans ce cas santes sont positives ou nulles et on notera aussi . L'ensemble des matrices carrees reelles . d'ordre , positives et symetriques est note L'objectif de ce probleme est d'etudier des conditions pour lesquelles, etant donnes nombres reels distincts ou non, , il existe une matrice carree reelle d'ordre positive et comptees avec multiplicite, c'est-a-dire symetrique admettant pour valeurs propres dont le polynome caracteristique est egal a . Dans la premiere partie on considerera quelques exemples simples. Dans la seconde, on montrera que si est une matrice carree reelle positive et symetrique de plus grande valeur propre , alors est positif, admet pour la valeur propre un vecteur propre positif et toute valeur propre de verifie . 1/4 La troisieme partie, assez technique, permettra de connaitre les valeurs propres d'une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre construite a partir de deux matrices et carrees reelles positives et symetriques d'ordres respectifs et dont on connait les valeurs propres. Enfin la derniere partie donnera des conditions suffisantes pour qu'il existe une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre admettant pour valeurs propres comptees avec multiplicite, reels donnes. PARTIE I I.1 Montrer que si sont des reels positifs, distincts ou non, il existe une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre et de valeurs propres , comptees avec multiplicite. une matrice carree reelle d'ordre admettant et pour valeurs propres. I.2 a) Soit Montrer que son polynome caracteristique est donne par . b) En deduire une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre admettant pour et . valeurs propres I.3 Determiner une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre admettant pour , et . valeurs propres I.4 Determiner une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre admettant pour , , et . valeurs propres comptees avec multiplicite : I.5 Montrer qu'il n'existe aucune matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre ad, et . mettant pour valeurs propres comptees avec multiplicite : I.6 a) Pour et reels, on note la matrice carree d'ordre dont les coefficients diagonaux valent tous et les autres valent tous . Determiner les valeurs propres de . b) Une matrice carree reelle symetrique d'ordre dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles est-elle necessairement positive ? PARTIE II II.1 Soit , . a) b) c) . et II.2 Soit definies par blocs sous la forme et . Etablir les egalites : . . On note a) Montrer que . b) Montrer que si sont orthogonaux dans et sont orthogonaux dans . c) La reciproque est-elle vraie ? Dans la suite de cette partie designe une matrice de matrice diagonale semblable a . On pose . II.3 a) Montrer que pour tout b) En deduire que pour tout , et les matrices de orthogonaux dans et , et une . , . 2/4 c) En utilisant une decomposition du vecteur sur une base orthonormee de vecteurs propres de , montrer que cette derniere inegalite est une egalite si et seulement si est vecteur propre de associe a la valeur propre . , et . II.4 Soit a) Montrer que est un ferme de . . b) Montrer que est un ferme borne de . Donner l'expression de en c) Soit . fonction des coefficients de et de ceux de ; en deduire que est continue sur d) On pose . Justifier l'existence de et montrer qu'il existe appartenant tel que . . e) Montrer que II.5 On suppose dans cette question . est un vecteur propre unitaire de associe a la valeur propre , on a) Si . pose i) Montrer que est element de . . ii) Montrer que iii) Montrer que . b) En deduire , puis que la matrice admet un vecteur propre positif associe a la valeur propre . c) Montrer que pour tout , . a PARTIE III Soit et deux elements de , , deux matrices symetriques reelles d'ordres respectifs et , une base orthonormee de formee de vecteurs propres de , une base orthonormee de formee de vecteurs propres de et , les reels tels que : et Pour tout reel , on note la matrice de et on considere les vecteurs de de definis par III.1 Montrer que valeurs propres correspondantes. III.2 Pour reel, on note donnee sous forme de blocs par : definis par , ainsi que les vecteurs . et sont vecteurs propres de et preciser les le vecteur defini par a) Montrer que est unitaire dans . . b) Determiner le spectre de . On note c) On suppose dans cette question tel que : l'unique reel de l'intervalle 3/4 et on pose . i) Montrer que est non nul. . ii) Evaluer le produit iii) Montrer que et verifient l'equation : iv) En deduire que et sont vecteurs propres de propres correspondantes et en fonction de , et . v) Montrer que les vecteurs et donner l'ensemble des valeurs propres de . orthonormee de vi) Montrer que les formules exprimant et en fonction de des valeurs propres de lorsque . et exprimer les valeurs forment une base , et donnent encore PARTIE IV Dans cette partie on se propose de demontrer par recurrence la propriete est un element de tel que : suivante : si et alors il existe tel que soient les valeurs propres de comptees avec multiplicite. IV.1 Verifier que est vraie. tel que soit vraie et soit verifiant : IV.2 Soit et On pose . tel que soient valeurs propres de . a) Montrer qu'il existe Dans la suite de cette question IV.2, designera une telle matrice. b) Montrer que admet un vecteur propre unitaire et positif associe a la valeur propre . c) Pour reel, soit la matrice de definie par : i) Verifier que est bien de la forme : preciser , et ii) En deduire les valeurs propres de . , les valeurs propres de iii) Montrer que si et conclure. IV.3 Exemple . sont : a) Determiner le spectre de la matrice b) Determiner une matrice valeurs propres , , carree reelle positive et symetrique d'ordre , admettant pour . Fin de l'enonce 4/4

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 CCP Maths 1 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Romain Bordier (École Polytechnique) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). L'épreuve porte sur le programme d'algèbre linéaire et bilinéaire. L'objectif du problème est de donner une condition suffisante sur un n-uplet de réels pour qu'il existe une matrice symétrique à coefficients positifs admettant ces réels comme valeurs propres. La démonstration permet de donner une méthode récursive pour construire une telle matrice. Il faut prendre garde à ne pas confondre la positivité au sens de l'énoncé (une matrice est positive si tous ses coefficients sont positifs) avec la notion de matrice symétrique positive. Le problème est divisé en quatre parties. · La première s'attache à étudier et construire quelques exemples de matrices positives et symétriques. Sa résolution complète n'est pas nécessaire pour traiter les autres parties. · La deuxième partie étudie les conséquences de la positivité sur les valeurs propres et vecteurs propres. On démontre en particulier que l'on peut toujours trouver un vecteur propre positif associé à la plus grande valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients positifs. · La troisième partie s'appuie seulement sur les résultats élémentaires établis au tout début de la deuxième partie. Elle a pour but d'étudier les valeurs propres des éléments d'une famille de matrices symétriques de taille n + p construites à partir de deux matrices de tailles n et p. · Enfin, la dernière partie fait la synthèse des deux précédentes pour démontrer le résultat annoncé en début d'énoncé. Le sujet se termine par l'étude d'un cas particulier. Dans l'ensemble, la difficulté de l'épreuve est raisonnablement constante ; les questions à la fin de chaque partie nécessitent plus de réflexion. Indications Partie I I.2.b Relier le polynôme caractéristique de M à sa trace et à son déterminant pour en déduire la forme de M. I.3 S'appuyer sur la matrice trouvée en I.2.b I.4 Utiliser encore une fois la matrice trouvée en I.2.b I.5 Penser à la trace de la matrice S. I.6.b Choisir b négatif en maintenant les valeurs propres positives. Partie II II.2.c Exhiber un contre-exemple. II.4.a Montrer que le complémentaire de E est ouvert. II.4.c Exprimer comme un polynôme en les coefficients de X. II.4.d Utiliser la compacité de l'ensemble C. II.5.c Réutiliser la méthode employée question II.5.a avec i à la place de et à la place de µ. Partie III III.2.b Montrer que les Zi et Ti forment une base orthonormale dans laquelle Ms est diagonale. III.2.c.iii Effectuer un calcul direct de chacun des membres de l'égalité. Le membre droit se calcule à l'aide de la multiplication par la quantité conjuguée. III.2.c.v Vérifier que V(1 ) et V(2 ) sont orthogonaux. Partie IV IV.2.a Montrer que a, 2 , · · · , n satisfont l'hypothèse de récurrence. IV.2.b Utiliser le résultat de la question II.5.b IV.2.c.ii Utiliser le résultat de la question III.2.c IV.3.b Utiliser le résultat de IV.2.c et la matrice A pour construire la matrice B. Poser a = 1 + 4 et chercher un vecteur propre positif et unitaire de A associé à la valeur propre a. Ce sujet a été considéré par le jury du concours comme « plus abordable que les années précédentes ». Il faut donc s'attendre à ce que les correcteurs soient d'autant plus exigeants sur les détails de rédaction et sur la rigueur du raisonnement : bien utiliser le raisonnement par récurrence, savoir bien démontrer qu'une famille est une base orthonormale, etc., sont des outils à maîtriser parfaitement. Comme l'évoque le jury : « Le symbole de double implication est trop souvent utilisé de manière systématique sans justification. [...] Il est fréquent de voir affirmer qu'un vecteur est un vecteur propre sans s'assurer qu'il est non nul. » Un raisonnement rigoureux est également un moyen d'éviter les erreurs d'étourderie, en particulier dans les calculs (numériques ou matriciels). Le jury a ainsi reproché à l'ensemble des candidats des calculs « mal présentés, mal expliqués », une mauvaise « manipulation des inégalités », des difficultés dans le « calcul du polynôme caractéristique » et dans « la maîtrise des opérations élémentaires laissant un déterminant invariant ». En somme, rien de tout cela n'est insurmontable et une pratique régulière de ce type d'épreuve permettra de gagner très rapidement en assurance. Le jour J, il ne faut pas hésiter à dépenser un petit peu de temps (de façon raisonnable) en début d'épreuve pour assurer le plus de points dans la première partie ou dans les deux premières parties. En effet, c'est un moyen de gagner la confiance du correcteur et d'améliorer sa compréhension du sujet. PARTIE I I.1 Étant donnés n réels positifs ou nuls (1 , 2 , . . . , n ), soit la matrice diagonale S définie par 0 ··· 0 1 .. . .. . 0 0 · · · 0 n Puisque S est diagonale, elle est symétrique. Or, les réels (1 , 2 , . . . , n ) étant positifs ou nuls, il s'agit d'une matrice à coefficients positifs. Enfin, elle admet les n réels (1 , 2 , . . . , n ) comme valeurs propres comptées avec multiplicité. Ainsi, 0 S= . .. 2 .. . .. . La matrice S est une matrice symétrique et positive et elle admet 1 , . . . , n comme valeurs propres comptées avec multiplicité. I.2.a Si M est une matrice carrée réelle d'ordre 2 admettant 1 et -1 comme valeurs propres, alors son polynôme caractéristique est donné par P(X) = (1 - X)(-1 - X) P(X) = X2 - 1 Il est indispensable de suivre les conventions (en particulier de signe) adoptées par l'énoncé quand bien même elles ne correspondent pas exactement à celles vues en cours. Ainsi comme le rappelle le jury de l'épreuve : « La définition du polynôme caractéristique est majoritairement erronée par omission du coefficient dominant (-1)n , alors que cette définition était indiquée dans le préambule de l'énoncé. » 0 I.2.b Soit la matrice définie par S = 1 1 0 On vérifie tout d'abord que S est une matrice symétrique d'ordre 2 à coefficients positifs. Par ailleurs, son polynôme caractéristique est donné par -X 1 P(X) = 1 -X ou encore P(X) = X2 - 1 La matrice S d'ordre 2 est symétrique et positive et elle admet 1 et -1 comme valeurs propres. Si M est une matrice carrée d'ordre 2, le polynôme caractéristique de M s'exprime simplement à l'aide des invariants de la matrice P(X) = X2 - Tr (M)X + det(M) où Tr (M) et det(M) sont respectivement la trace et le déterminant de la matrice M. Cette formule redonne bien sûr le résultat de la question. Cette identité, très utile en pratique, est à connaître. Elle n'est valable qu'en dimension 2. On peut aussi procéder par coefficients indéterminés et prouver l'unicité de la solution au problème posé. En effet soit S une matrice symétrique et positive admettant 1 et-1 comme valeurs propres. D'après la question précédente son polynôme caractéristique est donné par P(X) = X2 - 1 En utilisant l'identité rappelée dans la remarque prédédente et par identification des coefficients du polynôme on en déduit Tr (S) = 0 et det(S) = -1 On cherche une matrice S positive et symétrique vérifiant une telle condition sous la forme a b S= b c où a,b,c sont trois réels positifs. On sait alors que Tr (S) = a + c = 0 d'où a=c=0 puis det(S) = ac - b2 = -b2 = -1 On vérifie alors que la matrice S définie par 0 1 S= 1 0 convient et que c'est la seule. d'où b=1 Pour cette question, le jury a relevé dans les copies des candidats que « l'exemple est très souvent obtenu par conditions nécessaires, mais le fait que réciproquement il convienne n'est pas toujours établi. » En début d'épreuve, il est important de prendre un peu de temps pour éviter les erreurs d'étourderie de ce type et vérifier ainsi que l'on répond bien à l'intégralité des questions (même si cela conduit à faire quelques vérifications triviales).