CCP Maths 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Racines carrées de matrices
Principaux outils utilisés diagonalisation, polynômes d'endomorphismes et de matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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 me.--52-- .v " mm.--fin-- ... m@b0...æ<äæææ<ä o.... BEBE .. a:oË...oËoe Ë5Ëma oe...=o_z=vup>dcm ":::--.eu ...oe=°uzo_u , ' Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Notations et objectifs Soit il un entier supérieur ou égal à 1. On note : .M...1(Ë.) le Ë.-espace vectoriel des matrices réelles à " lignes et 1 colonne. JHH(IË.) le Ë.-espace vectoriel des matrices carrées réelles à " lignes et " colonnes. GL... (IR) l'ensemble des matrices inversibles de .MH (IR). ÊM la matrice transposée d'une matrice M". L...... la matrice unité de JHfl(IË). Sfl(Ë.) l'ensemble des matrices symétriques de .MH (IR). SQ" (È) l'ensemble des matrices symétriques positives de ;MH(Ë.), c'est-à-dire l'ensemble des matrices S' de Sfl(IË.) vérifiant : VX & M...1(IR), fxsx ;: 0 SQ"" (IR) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de .Mfl(Ë.), c'est-à-dire l'en- semble des matrices S de S...... (IR) vérifiant : VX & M..,...1æ.)\{ü} , fXSX :» 0 Le but du problème est d'introduire et d'étudier la notion de racine carrée d'une matrice de ;Hfl(IË.) : si A est une matrice de JHfl(IË.), on dit que R est une racine carrée de A si R2 = A. 1/4 La première partie propose de montrer qu'une matrice donnée peut admettre une infinité de racines carrées ou n'en n'avoir aucune. La seconde partie montre l'existence et l'unicité d'une racine carrée symétrique positive de A lorsque A est symétrique positive et introduit la notion de valeur absolue d'une matrice symétrique réelle. Enfin la dernière partie est consacrée à l'étude d'un algorithme de calcul de la racine carrée d'une matrice symétrique définie positive. PARTIE 1 Pour @ réel, soit M} la matrice de .Mg(lË.) donnée par : 1 1--4a --1--|--4u Mà= --3u --1--|--2a 2--l--a --3a --2--a 3--l--4a et f,, l'endomorphisme de Ë.3 dont la matrice dans la base canonique de Ë.3 est M}. 1.1 Déterminer suivant les valeurs de a, le rang de la matrice M} -- (1 + 3a)Ï;,. Quelle valeur propre de 11513 a-t-on ainsi mise en évidence ? Préciser la dimension du sous-espace propre associé. 1 1.2 Montrer que V = 1 est vecteur propre de M"... puis déterminer les valeurs propres de 1 M,,. 1.3 a) Montrer que pour tout & réel, M',,_ est trigonalisable. b) Déterminer l'ensemble des valeurs de a pour lesquelles M} est diagonalisable. 1.4 Dans cette question, on suppose @ = 1. a) Déterminer P inversible et D diagonale dans .Mg(lË.) telles que P"1MrlP = B, puis déterminer une racine carrée de ME. & Ü Ü & En déduire que 1511 admet une infinité de racines carrées dans .M 3(1Ë.). 1.5 Dans cette question, on suppose & = Ü et on pose N = M} -- IE,. Calculer NE et en déduire l'existence de a: et {? réels tels que ü:Ïg + HN soit une racine carrée de 11513 dans .Mg,(lË.). b) Montrer que la matrice m = admet une infinité de racines carrées dans .M 2 (IR). . 1 1.6 Dans cette question, on suppose a = -- -- et on note a = f_Ë_ . E': &: Ü a) Déterminer tous les éléments X = y de .M 3,1(1Ë.) tels que i1--'ÎÏ_; y = 1 3 3 3 1 b) Déterminer une base B de Ë.3 telle que la matrice de n dans cette base soit U= DDC: 1 Ü Ü Ü Ü 1 c) Déterminer les matrices commutant avec U . En déduire que U ne possède pas de racine carrée dans .M;,(IË.). d) La matrice M'_ % possède-t-elle une racine carrée dans .M 3(1Ë.) ? 2/4 PARTIE II II.] Soit al., ag, . . . ,a" n réels distincts deux a deux et Ep l'application de lË.fl_1[X| dans lË." définie par : cp : @ n--}-- (Q(OE1LQ(OE2L--- ,Q(%)) a) Montrer que Ep est une application linéaire injective. b) En déduire que quels que soient les réels 51,52, . . . ,b... il existe un unique polynôme @ de Ë.fl_1[X] vérifiant : Q(Ü'l) : 515 Q(Ü'Ë) : 525 ' ' ' 5Q(Ü'fl) : 511 11.2 Soit f et 9 deux endomorphismes de lË." diagonalisables et vérifiant f 13 g = 9 13 f . a) Démontrer, sans se contenter d'énoncer le résultat du cours, que tout sous-espace propre de f est stable par 9. b) Soit À1,Àg, ... ,la... les valeurs propres distinctes de f et E:... E:... . .. ,EÀF les sous- espaces propres de f respectivement associés. Pour tout £ & {1,2, . .. , 33}, on note 9.- l'endomor- phisme de EJ". induit par 9. Montrer que pour tout £ & {1 ., 2, . . . , 33]-- il existe une base B.- de E}...- formée de vecteurs propres de 9. En déduire qu'il existe une base B de Ë." telle que les matrices de f et 9 dans cette base soient toutes deux diagonales. II.3 Soit A et B deux matrices de ;M..(IË.) diagonalisables et vérifiant AB = BA. Montrer qu'il existe P E GLH (&) telle que P"1AP et P"1BP soient toutes deux diagonales. II.4 Soit 5 E S..,(lË). a) Montrer que S est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. b) Montrer de même que S est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. II.5 Soit 5 E Sï(lË.). On note À1,Àg,. .. 5)'-.Ï3., ;: EUR {1, 2, . .. ,a}, les valeurs propres deux a deux distinctes de S . a) Montrer qu'il existe un unique polynôme @ de degré inférieur ou égal à p -- 1 vérifiant : Vke{1,2,....p},otàu=\/Ë b) Montrer que Q(S ) est symétrique positive. 0) Montrer que (Q(S))Ë = 5. d) On souhaite montrer l'unicité d'une matrice symétrique positive qui soit une racine carrée de 5. Soit donc T & SJ(Ë.) telle que T2 = 5. Montrer que T commute avec 5 puis avec Q(S ) et conclure. L'unique matrice symétrique positive racine carrée de S est alors notée «/Ê . e) Dans cette question, on suppose que S admet seulement deux valeurs propres distinctes 211 et JLE. Montrer que: 1 «/Ê= _ S af}. }. L., |_Â1--l-- Î2| + 1 2 | 11.6 Soit 5 E S..,(IË). a) Montrer que 52 E SQ" (È). On note alors |S | = @ et cette matrice est appelée valeur absolue de la matrice S . b) Montrer que les matrices |S | + S et |S | -- S sont dans S; (IR). EUR) Soit 51 = (à Î) et 52 = (_à _Î). Calculer |51| et |Së|. 3/4 PARTIE III Soit & un réel strictement positif. On considère les deux suites réelles (& k) kg,; et (Em) ;OEN définies par leurs premiers termes au = &, bü = 1 et les relations de récurrence : 1 1 1 1 VkENJÜÈ+1=_(ÜÈ+_)gbk+1=--(EÏÈ+--) 2 En; 2 CM; III.1 Montrer que pour tout È- G N, ak :=-- Ü et En, :=-- Ü. Ük III.2 On définit les suites (uk)kefi et (ÜÈ)HEËT en posant pour tout È- G N, uk = akbk et U;, = [T)--' := a) Etudier la suite (ÜÈ)ÈEË. b) Etablir une relation de récurrence vérifiée par les termes de la suite (uk) kett- c) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 1, H:; à 1. d) Etudier la convergence de la suite (fik) kett- III.3 Déduire des questions précédentes que les suites (Ük)keN et (bk)kefi convergent et préciser leurs limites respectives. III.4 a) Montrer que toute matrice symétrique définie positive est inversible. b) Montrer que l'inverse d'une matrice symétrique définie positive est symétrique et définie positive. c) Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est symétrique définie positive. 1115 Soit A une matrice symétrique définie positive d'ordre n. On considère les deux suites de matrices (Ak)kefi]' et (BÈ)È.ÈN définies par leurs premiers termes A... = A, En = L, et les relations de récurrence : 1 Vk EN, Ak+1 = ä(Ak+BJÏI) : Bk+l : (BÈ+AEI) bailli--'- Montrer que pour tout È- G N, A;, et B;, sont symétriques définies positives. III.6 Soit D diagonale et P orthogonale telle que A = PDP--1. a) Montrer que B est symétrique définie positive. b) On pose pour tout k & N, D:, = P_1AÈP et $;, = P_IBÈP. Montrer que les matrices D:, et $;, sont des matrices diagonales inversibles vérifiant : (fil; + D,?) bailli--'- 1 DÜ=D5 Âü=Ïn,Dk+1=ä(Dk--FÂEI) ,«5k+1= c) Montrer que les suites (DÈ)ÈÈH et (Ak)kefi]' sont toutes deux convergentes dans .M,,(Ë.) vers une même limite L que l'on précisera. III.7 a) Montrer que l'application de .M,,(Ë.) dans lui-même qui a 111 associe PM'P"1 est continue. b) En déduire que les suites (AÈ)ÈEË et (BÈ);OEN sont aussi convergentes dans .M,,(IË.) et préciser leur limite. Fin de l'énoncé 4/4

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 CCP Maths 1 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Cette épreuve consiste en un sujet d'algèbre linéaire traitant de la notion de racine carrée d'une matrice de Mn (R). Il est constitué de trois parties pouvant être abordées indépendamment, hormis la question II.5.d qui est indispensable pour rédiger proprement la fin du sujet. · Dans la première partie, on s'intéresse à des matrices appartenant à une droite affine de M3 (R). En particulier, on en diagonalise deux afin d'étudier l'existence de leurs racines carrées. · La deuxième partie est consacrée aux matrices symétriques positives d'ordre n. On montre comment, à partir des valeurs propres, construire un polynôme fournissant la racine carrée positive d'une matrice donnée. · Enfin, dans la troisième partie, on se restreint aux matrices symétriques définies positives d'ordre n et l'on construit par récurrence des suites de matrices convergeant vers les racines carrées positives de matrices données. Globalement, ce sujet est de longueur raisonnable, de difficulté moyenne, et composé de questions bien détaillées. Par ailleurs, certains résultats et techniques abordés au cours du problème sembleront familiers : notamment, la méthode exposée dans la deuxième partie aura fort probablement été rencontrée durant l'année écoulée à l'occasion d'un exercice ou d'un devoir. Ainsi, toutes les conditions sont réunies pour qu'un candidat bien préparé puisse traiter ce problème dans son intégralité et en toute sérénité. Indications PARTIE I I.1 Distinguer le cas a = 0. I.2 Utiliser la trace de Ma pour déterminer les valeurs propres manquantes. I.3.b Reprendre les résultats des questions précédentes. I.4.a Utiliser la forme particulière de M1 - 4 I3 pour trouver des vecteurs simples dans son noyau. I.4.b Faire appel aux réflexions. I.6.b Partir de U pour trouver les conditions vérifiées par les éléments de la base B. Utiliser le résultat de la question précédente. I.6.c Noter qu'une matrice commute avec chacune de ses racines carrées. PARTIE II II.1.a Penser aux morphismes de substitution. II.2.b Caractériser la diagonalisabilité au moyen d'un polynôme annulateur. II.4 Se placer dans une base de vecteurs propres de S. II.5.d Faire usage de la question II.3. II.5.e Déterminer Q puis calculer Q(S). II.6.b Se placer dans une base de vecteurs propres de S. II.6.c Employer le résultat de la question II.5.e. PARTIE III III.2.d Étudier d'abord la monotonie de la suite (uk )kN . III.3 Exprimer ak et bk en fonction de uk . III.4.a Montrer que son noyau est réduit au vecteur nul. III.5 Reproduire la récurrence faite lors de la question III.1, en utilisant les résultats de la question III.4. III.6.b Utiliser les résultats des questions III.5 et III.6.a. III.6.c Attention, l'énoncé contient une erreur : ces deux suites convergent mais vers des limites différentes. Pour les déterminer, appliquer les résultats de la question III.2 aux suites des termes diagonaux des matrices Dk et k . PARTIE I I.1 On a, pour tout réel a, -3a 1 - 4a Ma - (1 + 3a) I3 = -3a -2 - a -3a -2 - a -1 + 4a 2+a 2+a Comme les deux dernières colonnes de cette matrice sont opposées, son rang est égal à celui de ses deux premiers vecteurs colonnes. Déterminons-le : · si a = 0, le premier vecteur colonne est nul, contrairement au second, si bien que la matrice obtenue est de rang un. · si a 6= 0, les deux premiers vecteurs colonnes sont colinéaires si, et seulement s'ils sont tous deux proportionnels au vecteur (1, 1, 1), ce qui revient à écrire que 1 - 4a = -2 - a soit 3 = 3a d'où a = 1. La matrice considérée est donc de rang un dans ce cas précis et de rang deux dans les autres. Ainsi, La matrice Ma - (1 + 3a) I3 est de rang un lorsque a {0, 1}, sinon de rang deux. Dans tous les cas, le noyau de fa - (1 + 3a) Id n'est pas réduit à l'espace nul. La matrice Ma admet donc 1 + 3a pour valeur propre. De plus, le théorème du rang et le résultat précédent montrent que dim Ker (fa - (1 + 3a) Id ) = 3 - rg (fa - (1 + 3a) Id ) Ainsi, La matrice Ma admet 1 + 3a pour valeur propre et le sous-espace propre associé est de dimension deux si a {0, 1} et un sinon. Comme le signale le rapport du jury, il n'est pas nécessaire d'expliciter le sous-espace propre pour déterminer sa dimension. I.2 Un calcul immédiat montre que Ma V = V pour tout réel a. De plus, V est non nul. Par conséquent, V est un vecteur propre de Ma associé à la valeur propre 1. · Si a = 0, on sait d'après la question précédente que l'espace propre associé à 1 + 3a = 1 est de dimension deux, donc 1 est une valeur propre de M0 de multiplicité au moins égale à deux. Comme le polynôme caractéristique de cette matrice est de degré trois et admet 1 pour racine double, il est scindé. En outre, la somme de ses trois racines est égale à la trace de M0 soit 3, si bien que la troisième racine est encore 1. En conclusion Lorsque a = 0, la matrice M0 admet 1 comme valeur propre de multiplicité trois. · Si a 6= 0, la matrice Ma admet pour valeurs propres distinctes 1 et 1 + 3a (cf. question I.1). Son polynôme caractéristique est donc, comme précédemment, scindé et la somme de ses trois racines vaut Tr Ma = 3 + 6a = 1 + (1 + 3a) + (1 + 3a) si bien que la troisième racine est 1 + 3a. De ce fait, Lorsque a 6= 0, la matrice Ma admet 1 comme valeur propre de multiplicité un et 1 + 3a comme valeur propre de multiplicité deux. I.3.a On a vu à la question précédente que le polynôme caractéristique de Ma est scindé pour toute valeur du réel a, ce qui permet d'affirmer que la matrice Ma est trigonalisable sur R. I.3.b Reprenons les résultats de la question I.2 : · si a = 0, la matrice Ma admet 1 pour unique valeur propre mais M0 6= I3 , ce qui prouve que M0 n'est pas diagonalisable. · si a 6= 0, la matrice Ma admet 1 comme valeur propre de multiplicité un et 1+3a comme valeur propre de multiplicité deux ; elle est donc diagonalisable lorsque l'espace propre associé à 1 + 3a est de dimension deux, c'est-à-dire d'après la question I.1 lorsque a = 1. Ainsi La matrice Ma est diagonalisable lorsque a = 1 uniquement. Dans cette question et la question I.2, il fallait bien penser à examiner le cas où les valeurs propres 1 et 1 + 3a sont confondues, comme le signale le rapport du jury. 1 -3 3 I.4.a Dans cette question, a = 1 et M1 = -3 1 3 . -3 -3 7 On sait depuis la question I.3 que M1 est diagonalisable et que ses valeurs propres sont 1 (de multiplicité un) et 4 (de multiplicité deux). · Comme V Ker (M1 - I3 ) d'après la question I.2, c'est une base de ce sousespace propre. -3 -3 3 1 0 · Ensuite M1 - 4 I3 = -3 -3 3 ; les vecteurs W = 0 et Z = 1 -3 -3 3 1 1 appartiennent clairement à son noyau et ne sont pas colinéaires : ils forment ainsi une base du sous-espace propre de dimension deux Ker (M1 - 4 I3 ). Il en découle que (V, W, Z) est une base de vecteurs propres de M1 , dans laquelle l'endomorphisme f1 a pour matrice D = Diag(1, 4, 4). En notant P la matrice (évidemment inversible) de passage de la base canonique dans cette base de vecteurs propres, on a alors P-1 M1 P = D. En conséquence, 1 1 0 La matrice inversible P = 1 0 1 et la matrice 1 1 1 diagonale D = Diag(1, 4, 4) vérifient P-1 M1 P = D. Autrement dit, M1 = P D P-1 . Comme D = Diag(1, 2, 2) vérifie D2 = D, on a (P D P-1 )2 = P D2 P-1 = P D P-1 = M1 Ceci signifie que P D P-1 est une racine carrée de M1 . Les calculs nous conduisent à 1 1 0 1 0 0 1 1 -1 P D P-1 = 1 0 1 0 2 0 0 -1 1 1 1 1 0 0 2 -1 0 1