CCP Maths 1 PC 2006

Thème de l'épreuve Projecteurs orthogonaux d'un espace vectoriel euclidien
Principaux outils utilisés bases orthonormées, produit scalaire, représentation matricielle des endomorphismes, réduction des endomorphismes symétriques, polynômes de Lagrange

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SESSION 2006 PCM 1004 A Concours cohnuus rouncuumu:s EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attaChera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ' ' Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Notations et objectifs Dans tout le problème, E et F désignent deux espaces vectoriels euclidien's de dimensions au moins égales à 2. Pour chacun de ces espaces, le produit scalaire de deux vecteurs a: et y et la norme d'un vecteur se sont respectivement notés (a: | y) et | |æ||. £(E, F) désigne l'ensemble des applications linéaires de E dans F. La matrice transposée d'une matrice A est notée %. Les candidats pourront utiliser sans le redémontrer qu'un projecteur d'un espace eucli- dien est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique. L'objet de la première partie est de caractériser la composée de deux projections orthogo-- nales qui commutent. La seconde partie propose une résolution approchée d'une équation linéaire n'ayant pas de solution en introduisant la notion de pseudo-solution et la troisième partie généralise la notion d'inverse d'une matrice carrée à une matricerectangulaire en introduisant la notion de pseudo-inverse. PARTIE I 1.1 Soit 513 et y deux vecteurs de E, B une base orthonormale de E, X et Y les matrices respec- tives de a: et y dans la base B. Montrer que : (a: | y) : 1tX Y : tYX . 1.2 Soit H un sous-espace vectoriel de F tel que 1 < dim H < dim F. Soit (81, 62, . . . ,ek) une base orthonormale de H et p le projecteur orthogonal de F sur H. _ a) Pour tout 2 EUR F, exprimer (sans justification) p(z) dans la base (61, 62, . . . ,6k)-- b) Soit C une base orthonormale de F. Relativement à cette base C, on note Z la matrice d'un vecteur z de F, M ( ) la matrice de p et pour tout i E {1, 2,. k,} E,-- la matrice de e,. i) Montrer que pour tout 2 EUR F, M (p )=Z îî: E, "E, Z. ii) En déduire M(p =Z E, 1'E,. c) Montrer que pour toutz E F, ||p(z )" < ||zH. I.3 Exemple: On note M la matrice définie par 1 0 --_1 0 1 0 1 0 --1 M"ä '---1 0 1 0 0 --1 0 1 3) Montrer que M est la matrice dans la base canonique de R4, muni du produit scalaire usuel, d'un projecteur orthogonal de R4. _ b) Donner une base orthonormale du noyau et une base orthonormale de l'image de ce projecteur. I. 4 Soit K un second sous- espace vectoriel de F, r le projecteur orthogonal de F sur It, À une valeur propre non nulle de p o r et u un vecteur propre associé. . a) Montærque u est élément de H etque r(u) ---- Àu est élément de H '. b) Établir l'égalité: À||u||2 : Hr(u)ll2. EUR) En déduire que toutes les Valeurs propres de p o r sont dans le segment [O, 1]. 1.5 On suppose dans cette question que pet r commutent. ' 3) Montrer que p o r est un projecteur orthogonal. b) Dans le cas où p o r est n0n nul, déterminer son spectre. c) Montrer que: Ker (p 0 T): Kerp + Kerr et Im (p 0 T'): Impñ Im r. 1.6 On pose m : dim F et on ch0isit une base orthonormale de F telle que les matrices de p et r dans cette base soient respectivement les matrices décomposées en blocs : '_1,,0. . _AB P--(O O) et. R--(C D) où Ik est la matrice unité d'ordre k, A une matrice carrée d'ordre !: et D une matrice carrée d'ordre m -- k. ' a) Montrer que les matrices A, B, C , D vérifient les relations : A2+BC=A,AB+BD=B, CB+D2=D,tA=A,tB=AC,*D=D b) Montrer que les quatre conditions suivantes sont équivalentes : i) Le spectre de p o 7' est inclus dans {0,1}. " ii) ltCC= 0. iii) C-- -- O. iv) p et r commutent. ' PARTIE II ' Dans cette partie, sont donnés un élément f de £( E , F) et un élément v de F. 11.1 En considérant la projection orthogonale de 1) sur l'image de f, montrer qu'il existe un élément mo de E tel que : Ilf(--"Eo) -- vll = Ilfèinl|f(æ) -- vll Dans la suite 5170 sera appelée une pseudo-Solution de l'équation : f(x) = v . » (*) II.2 Montrer que si f est injective, alors l'équation (*) admet une pseudo-solution unique. II.3 Montrer que 330 est pseudo- solution de l'équation (*) si et seulement si pour tout :z: appar-- tenantàE: (f (a: )|f(oeo)-- v)=_.0 11.4 Soit B et C deux bases orthonormales de E et F respectivement. On appelle A la matrice de f dans les bases B et C , V la matrice de U dans C et X0 celle de 5130 dans 8. Ecrire sous forme matricielle l'équation ( f (oe) | f (330) -- v) = 0 et en déduire que 5130 est pseudo--solution de l'équation (*) si et seulement si : . . ' ' 'AAXO = 'AV' 115 Exemple : Dans cette question, on prend E = F = R3 munis du produit scalaire usuel. Relativement àla base canonique de R3, les matrices de f et 1) sont respectivement : 1 1-1 1 A: 1 1--1 etV= 0 --1_2 1 1 Déterminer les pseudo-solutions de l'équation f (a:) = v. [1.6 Application : n désignant un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments a : (a1,a2, . . .,an), 1) : (b1,b2, . .. ,b,,), c = (61,02, . .. ,c,,) de R" et on souhaite trouver deux TL . . réels A et ,u tels que la somme Z( (Àak + ,ubk -- ck)2 soit minimale. k: 1 _ a) M0ntrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-- solutions d'une équation (*) : f (:r) _ 1) où f est un élément de £(R2, R"). Préciser le vecteur v et donner la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et IR". b) Comment doit-- on choisir a et b pour que l'application f soit injective ? * c) Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant À et ,a à l'aide de produits Scalaires dans R'". PARTIE III Dans cette partie, f désigne toujours un élément de £(E, F). III.1 a) Soit y un élément de F. Montrer qu'il existe deux vecteurs a: et y' tels que :_ y "= f(x) + y'. <æ.y') <--: (Kerf)* >< (Imf)l b) Montrer qu'un tel couple (sc, y' ) est unique. On peut alors définir l'application g de F ' vers E qui à y fait correspondre a:. < . c) Montrer que l'application g est linéaire. g sera appelée l'application pseudo inverse de f. III. 2 Déterminer le noyau et 1 image de g. 111 .3 a) Montrer que g 0 f est le projecteur orthogonal de E sur (Ker f). h) Montrer que f o g est le projecteur orthogonal de F sur Im f. 111.4 Premier exemple : On prend E = R3, F = R2 munis de leur produit scalaire usuel. La matrice de f relativement aux bases canoniques est V 110 A"(011) Déterminer la matrice de g relativement aux bases canoniques. [ILS Dans cette question, on suppose que E = F et que f est un endomorphisme'symétrique. 3) Montrer que Kerf : (Imf)'L et Imf : (Ker f)l. b) Montrer que tout vecteur propre de f est vecteur propre de g. (On pourra discuter suivant que la valeur propre associée est nulle ou non). c) En déduire que g est aussi un endomorphisme symétrique de E. III.6 Deuxième exemple : On prend E ' = F = R3 muni du produit scalaire usuel. La matrice de f relativement àla base canonique est A_=V _ mmoo Grow 4>ow Déterminer la matrice de 'g relativement à la base canonique. Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Vidick (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet est constitué de trois parties pouvant être abordées séparément, bien que la troisième constitue la suite logique de la deuxième. · Dans la première partie, on redémontre quelques propriétés fondamentales des projecteurs orthogonaux dans un espace vectoriel euclidien et l'on cherche à caractériser le fait que deux de ces projecteurs commutent. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à une équation linéaire f (x) = v. Si le vecteur v n'appartient pas à l'image de f , il est évident que cette équation ne possède aucune solution. On peut cependant chercher des vecteurs x tels que f (x) soit « proche » de v. On montre alors que l'équation admet des pseudosolutions, c'est-à-dire des vecteurs x minimisant la quantité kf (x) - vk, et l'on caractérise de manière précise ces pseudo-solutions. L'application à la minimisation d'une fonction de deux variables vient illustrer l'intérêt de cette notion. · On considère enfin dans la troisième partie des pseudo-solutions particulières, ce qui permet de définir pour toute application linéaire f une application pseudo-inverse. Le problème s'achève avec la détermination des matrices des pseudo-inverses pour deux exemples. Cette épreuve est d'une longueur tout à fait raisonnable et la seule difficulté notable est que l'on traite de matrices non carrées et d'applications linéaires entre deux espaces vectoriels de dimensions différentes ; hormis cela, une bonne connaissance du cours suffit pour traiter la plupart des questions. On établit d'ailleurs durant ce sujet plusieurs propriétés que tout élève de classe préparatoire a normalement déjà eu l'occasion de croiser. Notons enfin que ce problème est tout à fait accessible à des élèves motivés de mathématiques supérieures, mis à part quelques questions portant sur la réduction des endomorphismes (questions I.6.b, III.5.c et III.6). Indications Partie I I.2.c Noter que Im p Im (Id -p), et utiliser le théorème de Pythagore. I.4.a Calculer p r(u). I.4.b Montrer que kr(u)k2 = (r(u)|u) et utiliser la question I.4.a. I.4.c Utiliser les questions I.2.c et I.4.b. I.6.b Pour l'implication (i) = (ii), prouver que les valeurs propres de A sont aussi des valeurs propres de PR ; en déduire que A2 = A. Partie II II.1 Montrer que les pseudo-solutions de () sont les antécédents par f du projeté orthogonal de v sur Im f . II.3 Noter que les pseudo-solutions de () sont caractérisées par f (x0 )-v Im f II.6.a Utiliser l'application f : (, µ) 7 a + µ b définie sur R2 . II.6.c Reprendre la relation établie à la question II.3 ; noter que Im f = Vect (a, b). Partie III III.1.a Faire usage des relations F = Im f Im f et E = Ker f Ker f III.1.c S'appuyer sur le résultat de la question III.1.b. . III.2 Commencer par identifier Ker g. Appliquer ensuite le théorème du rang à f et g pour calculer la dimension de Im g. III.3.a Utiliser la définition de g pour montrer que f (x) - f g f (x) = 0 pour tout x E. III.4 Caractériser les vecteurs colonnes de G = Mat (g) au moyen de produits scalaires : montrer d'abord que AG = I2 grâce à la question III.3.b ; exhiber ensuite un vecteur normal à Im g = Ker f . Ne pas hésiter enfin à employer le produit vectoriel ! III.5.b Montrer que Ker g Ker f et Ker (f - Id ) Ker (g - -1 Id ) pour toute valeur propre non nulle de f . III.5.c Tout endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormale, et réciproquement. III.6 Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de f . En déduire la matrice de g grâce aux résultats des questions III.5.b et III.5.c. PARTIE I I.1 C'est une question de cours. Notons B = (e1 , . . . en ) une base orthonormale n n P P de E, et considérons deux vecteurs x = xi ei et y = yi ei de matrices respeci=1 t i=1 t tives X = (x1 , . . . , xn ) et Y = (y1 , . . . , yn ) dans cette base. On a alors (x|y) = n P xi yi i=1 t t L'évaluation des produits matriciels X Y et Y X conduit au même résultat (on identifie ici les matrices carrées d'ordre 1 aux nombres réels). Ainsi t t (x|y) = X Y = Y X I.2 Par définition, le projecteur orthogonal p de F sur H a pour image Im p = H et pour noyau Ker p = H . Le projecteur associé Id -p est alors également orthogonal puisqu'il admet pour image Im (Id -p) = Ker p = H et pour noyau Ker (Id -p) = Im p = H. I.2.a D'après le cours, le projecteur orthogonal p de F sur H = Vect (e1 , . . . , ek ) est caractérisé par k P z F p(z) = (ei |z) ei i=1 I.2.b.i Grâce à la question I.1, on sait que t i {1, . . . , k} (ei |z) = Ei Z La matrice M(p)Z du projeté p(z) d'un vecteur z F est ainsi (cf. question I.2.a) M(p) Z = k P t ( Ei Z) Ei = i=1 k P t Ei ( Ei Z) i=1 t puisque ( Ei Z) est un scalaire. Le produit matriciel étant associatif, il vient Z F M(p)Z = k P t Ei Ei Z i=1 I.2.b.ii L'égalité encadrée ci-dessus signifie que l'endomorphisme associé à la mak P trice Ei t Ei dans la base C coïncide avec p sur F. Ils sont ainsi égaux : on en déduit i=1 que la matrice de p dans la base C est M(p) = k P t Ei Ei i=1 I.2.c Par définition d'un projecteur orthogonal, les vecteurs p(z) et z - p(z) sont orthogonaux pour tout z F si bien que kzk2 = kp(z) + z - p(z)k2 = kp(z)k2 + kz - p(z)k2 d'après le théorème de Pythagore, soit kzk2 > kp(z)k2 Par conséquent z F kp(z)k 6 kzk z - p(z) z 0 Im (p) p(z) On a même, plus généralement, la caractérisation suivante des projecteurs orthogonaux d'un espace vectoriel euclidien : Un projecteur p d'un espace vectoriel euclidien F est un projecteur orthogonal si et seulement si kp(z)k 6 kzk pour tout vecteur z F. L'implication directe vient d'être démontrée. Réciproquement, supposons qu'un projecteur de F satisfasse kp(z)k 6 kzk pour tout z F ; pour montrer que c'est un projecteur orthogonal, il suffit de vérifier que Ker p Im p. Soient donc x Ker p et y Im p ; pour tout R, on a p(x+y) = y d'où R soit R kyk 6 kx + yk kx + yk2 - kyk2 = kxk2 + 2(x|y) > 0 La fonction affine qui apparaît dans la relation ci-dessus est de signe constant : elle est par conséquent constante et son coefficient 2(x|y) est nul. Ainsi, (x|y) = 0 pour tout (x, y) Ker p × Im p, ce qui prouve que Ker p est orthogonal à Im p : le projecteur p est bien un projecteur orthogonal. I.3.a Vérifions tout d'abord 1 1 0 M2 = -1 4 0 2 1 0 = 4 -2 0 que M2 = M : on a 0 -1 0 1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 M2 = M