CCP Maths 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Construction de l'exponentielle de matrice à l'aide de méthodes différentielles
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul matriciel, déterminant

Corrigé

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 GOO--...ËOOE me.--52-- v " 0...ü:Q ... mm:@...æ<äoeææ<ä o...... ...ËËAE - mom...äoËoe mË...ËÈ ......=o.z=u...-->dooe ":::--Eau moe=ouzou ' DOON ZO--OEoeüoe PCMIOO4 SESSION 2005 A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la conci- sion de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la si-- gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Objectifs, notations et définitions Les objectifs de ce problème sont les suivants : -- étendre la notion d'exponentielle à une matrice sans faire appel aux séries, mais par analogie avec l'introduction de la fonction réelle de variable réelle : s +----> c'" comme solution du problème de Cauchy : y' : ay, y(0) : 1. -- établir quelques propriétés de cette exponentielle. - résoudre dans R3 une équation différentielle du type a:' = u /\ a: que l'on rencontre en particulier en mécanique du solide. Soit N l'ensemble des entiers naturels, N* = N \ {O} et pour n dans N*, Nn : {l, 2, . . . ,n}. Si n est un entier supérieur ou égal à l, onnote MAC) le C--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans (C et M...(C) le C--espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes à coefficients dans C. In est la matrice identité dont les coefficients sont donnés par le symbole de Kronecker défini par 6-- _ 1 si i = j " _ 0 si i # j Pour A : (dij)1Ëg C sont dérivables sur I et qu'alors : ' Vs EUR I , A'(s) : (a' (s))1gz'gn ij . 1< 'Com M. c) Déterminer le polynôme caractéristique XM de M. (1) Calculer (13 + M)(213 -- M), puis la matrice XM(M)- 1.2 Soit A = (a,--,) E M,,(C), (,81,,82, . . . ,fln) E C" et B la matrice déduite de A en remplaçant la jème colonne de A par la colonne formée des coefficients 51,52, . . . , ,6,,. 3) Montrer que det B = 2 ,5kAkj. k=I n h) En déduire les égalités : V(l,j) EUR NÎ, , z OEkJAkj : (det A)5,,--. k=1 n c) Montrer de même les égalités : V(l, @) EUR Nâ , z a...A,--k : (det A)6;,--. k=1 d) En déduire les formules : A >< ('Com A) : (det A)I,, et ("Com A) >< A : (det A)],, 1.3 3) Soit (G,j)1Ë,- Mn,1(C) , 3 +----> Y(s). On notera (yi(3))1 M,,(C) , s +------> z yk(s)Ck. Montrer que: k=l n--l Vs & R. Ej.(a) = 2 y.(s)[A.0. + C...] + yn(s)Ancn k=l En déduire que E A est solution du problème (1). b) Montrer que E A est aussi solution du problème (2) ci-dessous : V3 5 R , E'(s) = E(s)A et E(O) = 1, (2) c) Soit go : R ----> M,,(C) , 5 r--> EA(3)EA(--s). Montrer que la fonction cp est constante égale à I,,. En déduire que pour tout 3 E R, E A(3) est inversible et donner son inverse. (1) Soit F une solution du problème (1) et gb la fonction de IR dans M,,(C) définie pour tout 3 réel par v,b(s) : E A(--s)F (3). Montrer que la fonction zb est constante et en déduire que le problème (1) admet E A pour unique solution. e) Montrer que E A est aussi l'unique solution du problème (2). Désormais, on note pour tout 3 réel : E A(3) : e". La matrice EA(1) : eA est appelée exponen- tielle de la matrice A. Cette notation et cette définition seront justifiées par les diverses propriétés étudiées dans la suite du problème. 11.3 A l'aide de l'algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer explicitement les coefficients de eSM , où M est la matrice donnée àla question 1.1. 11.4 Soit le problème de Cauchy dans M,... ((C) donné par : VS EUR R, Z,(S) : AZ(S) et Z(Û) : ZQ, Zo EUR M...1(C) Montrer que sa solution est donnée par Z (8) : 6" Z0. PARTIE 111 III.] Montrer que pour tout 5 réel, la matrice EUR" est un polynôme en A. III.2 Soit A et B deux matrices de MAC) telles que AB : BA. 3) Montrer que pour tout s réel, A et 633 commutent. b) Montrer que pour tout 3 réel, @" et 633 commutent. c) Montrer que les fonctions il : R--> Mn(C) , s t--> es(A+B) et 1/ : R--> Mn((C) , 3 l--> e"'e'B +B A B vérifient une même équation différentielle et en déduire eA : @ >< e . III.3 On considère les matrices A = (1 1) et B = (1 _1). 0 0 0 0 Calculer eA, eB, eA+B et eAeB. Quelle conclusion en tirez--vous '? III.4 Soit A dans Mn(C) . 3) Montrer que si P est une matrice inversible de MAC), on a pour tout 3 réel : ...1 _ esP AP___P lesAP b) Montrer que pour tout s réel : EUR"... : t(e"). PARTIE IV On se place désormais dans l'espace vectoriel euclidien orienté R3 muni de son produit scalaire canonique. B = (61, (32, 63) est la base canonique de R3 et u = (a, b, c) est un vecteur unitaire de R3. Soit 330 un vecteur de R3 et a: l'application de IR dans R3 solution du problème de Cauchy : VsEURR,d--=uAæ et oe(0)=oeo (3) 3 IV.1 Si X (3) et X0 sont les matrices colonnes respectives des coordonnées de :13(3) et % dans la base B, montrer que le problème (3) s'écrit encore : dX VSER,--d----=AX EURtX(O)=XÜ (4) 3 où A est une matrice que l'on précisera. IV.2 Déterminer le polynôme caractéristique de A et montrer que A3 = --A. IV.3 Montrer que 6" = 13 + (sin 5)A + (1 -- cos s)A2 et donner l'expression de la solution du problème (4). IV.4 On note f et 9 respectivement les endomorphismes de R3 canoniquement associés aux matrices A et e"'. 3) Montrer qu'il existe une base orthonormale BO telle que la matrice de f dans cette base soit : 0 0 0 B = 0 0 --l 0 1 0 b) Déterminer l'image par g de la base 50, puis caractériser géométriquement l'endomor- phisme g. c) Calculer 6388. Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Denis Ravaille (ENS Cachan) ; il a été relu par Sattisvar Tandabany (ENS Lyon) et Walter Appel (Professeur en CPGE). L'épreuve se compose de quatre parties qui s'enchaînent logiquement. Son objectif est de redéfinir l'exponentielle des matrices carrées complexes sans utiliser la série classique ; à la place, on se sert de l'équation différentielle spécifique de l'exponentielle. Cette définition, inhabituelle dans ce contexte, s'avère intéressante et puissante car elle fournit une méthode de calcul de l'exponentielle de matrice, dite méthode de Putzer. Elle ne fait appel qu'à des résolutions d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficients constants et à second membre de la forme t P(t)e t où P est un polynôme. Plus précisément : · Dans la première partie, il est d'abord demandé d'étudier une matrice carrée d'ordre 3, puis d'établir deux résultats importants sur les matrices carrées : ­ la formule d'inversion d'une matrice t t A × Com(A) = Com(A) ×A = det(A)In ­ l'annulation des matrices carrées par leur polynôme caractéristique. · La deuxième partie est le coeur du problème : en utilisant les résultats de la partie précédente et des arguments relatifs à la théorie des équations différentielles, le problème fait prouver et utiliser un algorithme pour construire l'exponentielle des matrices carrées complexes. · Le problème s'attache dans la troisième partie à utiliser cet algorithme pour démontrer les résultats habituels sur l'exponentielle, notamment la formule de l'exponentielle de A + B en fonction de celle de A et de celle de B quand A et B commutent. · Enfin, le problème se termine par l'application de cette méthode pour obtenir les solutions d'une équation différentielle dans R3 définie par un produit vectoriel. Indications Partie I I.1.a Appliquer la règle de Sarrus. I.1.d Factoriser l'expression (I3 + M) dans M (M). I.2.a Développer le déterminant suivant la j e colonne. I.2.c Mener le même raisonnement que dans les questions précédentes en substituant un vecteur quelconque à la ie ligne de la matrice A. I.2.d Calculer explicitement les termes des matrices produits. I.3.a Pour l'hérédité, développer le déterminant à calculer suivant une ligne ou une colonne et remarquer que les cofacteurs sont des déterminants d'ordre inférieur. I.3.b Montrer que tous les termes de chaque matrice sont nuls. I.4.a Appliquer à chaque élément de la comatrice le résultat de la question I.3.a. I.4.b Utiliser le résultat de la question I.2.d pour exprimer le polynôme caractéristique de A en fonction des Bk . I.4.c Remplacer les expressions des k obtenues dans la question précédente dans la formule définissant A (A). Partie II II.2.a Dériver EA et utiliser l'équation différentielle pour obtenir les expressions des yk (s). Calculer ensuite les termes k Ck + Ck+1 . II.2.c Dériver et utiliser le fait que EA est solution de (1) et de (2). II.3 Choisir de travailler sur la matrice -1 0 HM = 1 2 0 1 0 0 -1 Partie III III.1 Montrer que pour tout k entier, Ck est un polynôme en A. III.2.c Montrer que vérifie l'équation différentielle qui définit µ et conclure d'après l'unicité du problème de Cauchy associé. III.4.a Vérifier que s 7 Pe sP -1 AP P-1 vérifie l'équation différentielle (1). t t III.4.b Vérifier que s 7 (e sA ) vérifie l'équation (2) où l'on a substitué A à A. Partie IV IV.1 Utiliser la règle de calcul d'un produit vectoriel. IV.2 Calculer le déterminant définissant A et appliquer la question I.4.c. IV.4.a Compléter (u) en une base orthonormée. IV.4.b Utiliser la question IV.1 en donnant des valeurs particulières à a, b et c. IV.4.c Utiliser, au choix, la question précédente ou la question III.4.a. PARTIE I I.1.a La matrice M est une matrice carrée d'ordre 3 dont le déterminant peut se calculer grâce à la règle de Sarrus. On obtient alors 5 0 3 det M = -6 -1 -3 -6 0 -4 = 5 × 4 × 1 + 0 × 3 × 6 - 3 × 6 × 0 - (3 × 6 × 1 + 0 × 6 × 4 - 5 × 3 × 0) d'où det M = 2 Il peut être astucieux, ici, de calculer ce déterminant en le développant suivant sa deuxième colonne car elle contient deux zéros. I.1.b Commençons par calculer l'expression de la comatrice de A avant de chercher à trouver l'expression du produit. Tout le problème requiert l'utilisation des cofacteurs. Il est primordial, ici et en général, de bien connaître leur définition : le cofacteur Aij d'un élément aij d'une matrice A est, par définition, le produit de (-1)i+j et du déterminant de la matrice extraite de A dans laquelle ont été supprimées la ligne i et la colonne j. Par exemple, le cofacteur M11 est obtenu de la manière suivante : M11 = (-1)2 Il vient alors -1 -3 =4 0 -4 0 3 -2 -3 0 -5 4 t Com(M) = -6 -6 Le produit des matrices donne ensuite 2 t M × Com(M) = 0 0 Soit, finalement, 0 0 2 0 0 2 t M × Com(M) = 2 I3 I.1.c Par définition, le polynôme caractéristique de M est le déterminant de la matrice M-X I3 et un développement de ce déterminant suivant la deuxième colonne permet d'écrire M (X) = det(M - X I3 ) = 5-X 0 3 -6 -1 - X -3 -6 0 -4 - X = -(1 + X) 5-X 3 -6 -4 - X = -(1 + X)(18 - (4 + X)(5 - X)) M (X) = -(X + 1)(X2 - X - 2) Et, en factorisant le second membre, il vient M (X) = -(X + 1)2 (X - 2) I.1.d Pour calculer (I3 + M) (2 I3 - M), on commence par calculer chacune des matrices du produit : 6 0 3 -3 0 -3 I3 + M = -6 0 -3 2 I3 - M = 6 3 3 -6 0 -3 6 0 6 Puis, en multipliant ces deux matrices, on trouve (I3 + M) (2 I3 - M) = 0 L'expression du polynôme caractéristique de M, obtenu à la question précédente, appliqué à la matrice M peut alors s'écrire M (M) = (M + I3 )(M + I3 )(2I3 - M) Par conséquent, le calcul précédent assure que M (M) = 0 Il est aussi possible de remarquer immédiatement que le rang de la matrice I3 + M vaut 1 et, donc, que le noyau de cette matrice est de dimension 2 comme la multiplicité de -1. De même, le noyau de M - 2I3 est de dimension 1 ; la somme des dimensions de ces deux sous-espaces propres étant égal à 3, un résultat fondamental du cours assure que M est diagonalisable. Il est alors aisé de montrer que M est un polynôme annulateur de M. En effet, si l'on diagonalise M sous la forme P-1 TP, où T est la matrice diagonale diag(-1, -1, 2), on vérifie que M (M) = P-1 M (T) P. Or M (-1) 0 0 M (T) = 0 M (-1) 0 =0 0 0 M (2) Donc M (M) = 0.