SESSION 2004
' PCM1005
CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la conci-
sion de la rédaction. '
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d
'e'nonce', il la signa-
lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre.
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Notations
Soit N l'ensemble des entiers naturels, N* = N\ {O} et Nn : {1,2, . . . , n} Si
n et p sont des en-
tiers supérieurs ou égaux à 1, on note Mn,p(R) le R-espace vectoriel des
matrices à coefficients dans
R ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, M...n(R) est noté plus
simplement Mn(R) et EURSt
muni de sa structure d'algèbre, In représentant la matrice identité. GLn(R)
désigne l'ensemble des
matrices inversibles de M n(R), Sn(R) l'ensemble des matrices symétriques de
MAR) et On(R)
l'ensemble des matrices orthogonales de MAR).
Pour A : (OEij)1ÊiSn appartenant à Mñ,p(R), 'A désigne la matrice transposée de
A : c'est un
1_J'Sp
élément de Mp...(R), Ker (A) est le noyau de A défini par : Ker (A) = {X EUR
Mp,1(R) | AX : O}
et Im (A) estl'image de A définie par: lm(A) : {Y EUR Mn,1(R) | ElX EUR Mp,l(R)
, Y : AX}
R" est muni de son produit scalaire canonique noté < - , -- > et de la norme
associée notée || - H
et on identifiera selon l'usage M... (IR) à IR".
Une matrice S de 8n(R) est dite positive si :
VX EUR M...(R), 'XSX _>_ 0
et définie positive si : '
VXE M...(R) \. {o.} , tXSX > 0
On note S,? (R) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives d'ordre n
et S;Ï+(R)
l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives d'ordre n.
PARTIE I
1.1 Soit M la matrice de M4(R) donnée par :
1
0
M_1
0
[\DOl\DM
1 1
0 0
1 1
0 0
3) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels Ker (M) et Ker('M
) Existe-
t--il une relation d'inclusion entre les noyaux Ker (M) et Ker ('M ) ?
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels Im (M) et Im('M )
Existe-t-il
une relation d'inclusion entre les images Im (M) et Im ('M ) ?
1.2 Soit A E M..,,.(R).
a) Montrer que Ker ('AA) = Ker (A) et Ker (A'/l) = Ker (tA).
b) Montrer que rg ('AA) = rg (A'/l) = rg (A).
c) Montrer que Im ('A/l) = Im ('A) et Im (A'A) = Im (A).
1.3 Soit q un entier naturel non nul et 8 : (cm, 332, . . . ,:cq) un système de
q vecteurs de R'".
On note F le sous-espace vectoriel engendré par 8 , r = dim F et G = (g,-,) la
matrice de Mq(R)
définie par g.,- =< a:,-- ,a:,-- > pour tout (i, j ) EUR Nä. Le déterminant de
G est appelé déterminant de
Gram du système 8 et sera noté 7(æ1,æ2,. . . ,a: a:q.) Soit (61, 62,. . .
e,...) une base orthonormale de
F, on note pour tout j de N.,, :cj =Z b,, e,-- et B la matrice de M. q(R ) de
terme général bij.
3) Montrer que G: tB B et en déduire rg (G)--_ -- rg ($ )
b) Montrer que G est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes
positives.
c)' En déduire que 7(oe1,oe2, . . . , oeq) Z 0 et que 7(a:1, @, . .. ,oeq) = 0
si et seulement si la
famille (m1, @, . .. ,xq) est liée.
(1) Montrer que l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa condition nécessaire et
suffisante
d'égalité est un cas particulier de ce résultat.
I.4 Montrer que 7(oe1,oe2, . . . , :vq) reste invariant si l'on ajoute à l'un
des vecteurs cc,-- une combi--
naison linéaire des autres.
15 Dans cette question q est supérieur ou égal à 2.
a) On note L le sous-espace vectoriel engendré par (332, 333, . . . ,:c,,) et
pL(oe1) la projection
orthogonale de m1 sur L, puis on pose h1 = :z:1 ---- pL(oe1). Montrer que :
7(OE1,OE2,.... 7æq) : thll27(æ2aoe3au ' 7OEq)
b) En déduire successivement :
i) 7(a:1, @, . .. ,æq) S 7(æ1)7(x2, 503, . .. ,xq) avec égalité si et seulement
si æ1 est ortho--
gonal à L.
ii) 7(æ1,oe2, . .. ,æq) 5 "7(OE1)')'(OE2) - - - 7(æq) avec égalité si et
seulement si les vecteurs
oe1,oe2, . . . , % sont deux à deux orthogonaux.
1.6 Soit A : (a,--j) EUR GLn(R) et cl, c2, . . .cn ses vecteurs colonnes.
3) Montrer que :
n
. Idet Al 5 H llckll
k=l
avec égalité si et seulement si les vecteurs cl, . . . , cn sont deux à deux
orthogonaux.
b) On suppose de plus : V(i,j) EUR Nâ , |%'| 5 1. Montrer que:
[det A| _<_ n'a" avec égalité si et seulement si A est une matrice à coefficients dans {--1, +1} et dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux. PARTIE II On note : . "H,. l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans {---1, +1} dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux. . Dn l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n à coefficients diagonaux dans {--1, +1}. . E l'ensemble des entiers naturels n pour lesquels "H,. est non vide. II.] Déterminer explicitement toutes les matrices éléments de "Hg. 11.2 3) Montrer que toute matrice A de "H.. vérifie 1'AA : nl n. b) Réciproquement toute matrice carrée A vérifiant 'AA = nIn est--elle dans "H,. ? c) Montrer que si A est à coefficients dans {--1, +1} et vérifie 'AA : nl... alors A est dans %... II.3 On appelle permutation a de Nn toute bijection de Nn sur lui--même et matrice de permuta- tion P(") associée àla permutation a, la matrice d'éléments Pig") donnés par : V(z'.j) e Nî. , Pi" = a..... 1 si k=l où ôkl désigne le symbole de Kronecker: &... = {0 si k # l Soit 0 une permutation de N,, et A EUR M,,(R). a) Donner le terme général de la matrice tP(°)A. Comment obtient--on cette matrice tP(")A à partir de A ? b) Donner le terme général de la matrice AB.... Comment obtient--on cette matrice AP... à partir de A ? c) Montrer que si A appartient à %... il en est de même de 'A, des matrices 'P(")A et AP... " pour toute permutation a ainsi que des matrices AA et AA pour toute matrice A de D... 11.4 Si A : (OEij) EUR MAR) et B EUR M,,(R), on définit le produit direct de A et B par: a11B CL12B A® B : (CZng (lng ) EUR M2n(R) a) Montrer que si A EUR H2 et B EUR 'H... alors A ® B EUR 11%. b) En déduire que E contient toutes les puissances de 2. c) Montrer que l'ensemble {A ® B | (A, B) EUR Hg >< 7--12} est strictement inclus dans 7--[4. II.5 Soit n EUR E, n > 2.
a) Montrer qu'il existe un élément de H,, dont tous les coefficients de la
première colonne
valent 1. Déduire alors de l'orthogonalité des vecteurs colonnes 1 et 2 d'une
telle matrice que n est
pair. On pose n : 2m.
b) Montrer qu'il existe un élément de H,, dont tous les coefficients de la
première colonne
valent 1 et dont la deuxième colonne est constituée de m coefficients égaux à 1
suivis de m coeffi--
cients égaux à --1. Déduire alors de l'orthogonalité du troisième vecteur
colonne avec les vecteurs
colonnes 1 et 2 que n est un multiple de 4.
PARTIE III
III.1 Soit S EUR S,,(R). Montrer que S EUR S,Ï+(R) si et seulement si toutes
ses valeurs propres
sont strictement positives.
III.Z Soit M EUR GLn(R). On souhaite montrer l'existence de R orthogonale et S
symétrique
définie positive telle que M : RS.
3) Montrer que la matrice tM M est symétrique définie positive.
b) En déduire qu'il existe S EUR SË+(R) tel que 'M M = S 2 .
c) Montrer que S est inversible et que M S "'1 est orthogonale.
d) Conclure. Dans toute la suite du problème on admettra l'unicité d'une telle
factorisation.
III.3 Soit 2 EUR 8; (R), À1,À2, . . . ,)... ses valeurs propres non
nécessairement distinctes, D la
matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont À1,À2, . . . , )... et Q EUR
O,,(R).
a) Montrer que Tr(E) : Z A,.
'i=1
b) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale QI telle que Tr(QE) : Tr(Q1 D)
et en
déduire :
Tr(QE) s M)
c) Montrer que sup [Tr(QE)] : Tr(Z).
Q60n(R)
III.4 Soit n EUR E. Pour toute matrice A : (dû) de %... on pose :
f(A)= z aij=Z(Zaij)
1565an ' j='
3) Montrer que l'application f ainsi définie de "H.. dans R admet une borne
supérieure que
l'on notera a...
b) Soit T : (t,--j) la matrice triangulaire inférieure d'ordre n définie par
tij : 1 si z' 2 j et
tij : 0 si i < j. Montrer que f(A) : Tr(AT). c) D'après la question III.2, on sait que T = R5 avec R orth_ogonale et S symétrique définie positive. Montrer alors que f (A) 5 \/7Î Tr(S ), puis que an 5 \/H Tr(S ) (1) Lorsque n = 2, évaluer 012 et x/Î Tr(S ) Fin de l'énoncé
