CCP Maths 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Quelques propriétés des matrices symétriques positives
Principaux outils utilisés diagonalisation, calcul matriciel, diagonalisation simultanée, variations autour du théorème spectral
Mots clefs théorème spectral, matrices positives, matrices définies positives

Corrigé

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 SESSION 2003 ' PCMIOO5 CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIF'IQUE -- F ILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures "_ Les calculatrices sont interdites **** NB Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la redaction. _ Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'noncé, il la signa- lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. ****' Notations Soit 77. et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. On note M...,,(R) le R-espace vectoriel des matrices à coefficients dans R ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, M...,(R) est noté plus simplement M,,(R) et est muni de sa structure d'algèbre, I,, représentant la matrice identité. GL,,(R) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M,,(R) et S,,(R) l'ensemble des ma- trices symétriques de M,,(R). ' Tout vecteur oe : (oe,-- )1<,- et de la norme associée notée || -- || Une matrice symétrique S de S,,(R) est dite positive si et seulement si : VX EUR Mn,1(R) , tXSX 2 0 et définie positive si et seulement si : vx EUR M...(R) \ {0} , txsx > 0 On note 83 (R) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives et S,Ï+(R) l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives. Partie I 1.1 Soit (X, Y) EUR (l\/ln,1(R))2 et S EUR S,,(R). Etablir les égalités : a) tXY : tYX. b) ('ÏXY)2 : tX(Y'Y)X = tY(X'X)Y. c) tXSY =< X | SY >=< SX | Y >. 1.2 Démontrer les propriétés suivantes : a) V(51,52) EUR (S;,ÿ(IR))2 , 51 + 52 EUR S,Ï(R). b) V(Sl, 52) EUR SË(R) X 8,Ï+(R) , Sl + 52 EUR 8Ê+(R). c) VA EUR M,,(R) , tAA EUR 8,Ï(R). _ 1.3 3) Soit S EUR S,,(R) vérifiant: VX EUR M,...(R) , tX SX : 0. Montrer que tOute valeur propre de S est nulle et en déduire S = 0. b) Donner un exemple de matrice carrée M d'ordre 3, non nulle et vérifiant : VXEURA@ARLCÙWX=O 1.4 3) Soit S EUR S,,(R). Montrer que S appartient à S,? (R) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. _ b) Que peut--on dire d'une matrice symétrique réelle semblable à une matrice symétrique réelle positive ? ' 1.5 On munit S,,(R) des relations notées Z et >, définies respectivement par : VOEÆÙH&OEWÆ&Z&Çàâ--&EOEOED et V(Sl, 52) EUR (8n(R))2 , (51 > S2 (: Sl -- S2 EUR 8:+(ÏR)) a) Montrer que la relation 2 est une relation d'ordre sur S,,(R). b) Montrer que pour n _>_ 2, cet ordre n'est pas total sur S,,(R). c) La relation > est--elle une relation d'0rdre ? (1) Trouver un exemple dans &(R) montrant que 51 2 S2 et S1 # S2 n'implique pas nécessairement 51 > S2. . , 1.6 Soit u et 1) deux endomorphismes de R" diagonalisables et vérifiant u 0 v = v o u. a) Démontrer que tout sous--espace propre de u est stable par v. b) Soit /\1, /\2, . .. ,/\p les valeurs propres distinctes de u et EÀ,, E,... . .. ,E,\p les sous-- espaces propres de u} respectivement associés. Pour tout i EUR {l, 2, . . . , p}, on note v,-- l'endomor- phisme de E,\" induit par v. Montrer que pour tout EUR EUR {1, 2, . . . , p} il existe une base B,- de EÀ, formée de vecteurs propres de v. En déduire qu'il existe une base B deR" telle que les matrices de u et v dans cette base soient toutes deux diagonales. ' 1.7 3) Soit A et B deux matrices diagonalisables de M.....(R). Montrer que les matrices A et B commutent si et seulement si elles sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage. b) On donne les matrices'A et B suivantes : . 1 1--1 2 1--1 A: 1 1--1 ; B: --2 5 --1 --1--1 1 --4 2 2 Montrer que A et B sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage et déterminer explicitement une telle matrice de passage. 1.8 Soit (S1,S2) EUR ($,Ï"(R))2 tel que S1S2 : S2S1. Montrer que S1S2 EUR S,Ï(R). 1.9 3) Soit (191,52) EUR (ét).(lRä))2 tel que S1S2 : 32:31. Montrer que: 1 1 à 0 _ 2 ' ° 1 1) et S2 -- (O 3) verrfient S2 > S1 > 0. b) Montrer que les matrices S1 = ( Vérifient-elles Sâ 2 SÏ '? Partie II On se propose dans cette partie de caractériser de diverses manières la définie positivité d'une matrice symétrique réelle. [1.1 Soit S E Sn (R). Montrer que les quatre propositions suivantes sont équivalentes : a) S est définie positive. b) Toutes les valeurs propres de S sont strictement positives. c) Il existe M EUR GL..(R) telle que S : tMM. (1) S est positive et inversible. 11.2 Soit An et B.. les matrices de S,.(R) données par : 0 1 0 0 1 0 1 B,.= ° 1 ,An=ZIn--Bn ' 1 0 0 1 0 '0 1 0 a) Montrer que pour tout vecteur X = ( OEi)l£z'$n de R" : n--1 tXAnX : 56% + Z(a:z ---- æi+1)2 + 513% i=1 b) En déduire que An est définie positive. c) En cherchant une matrice Mn de la forme : Mn: ; () ,ui,viEURR : . ' ° ' un--1 vn--1 () . . . . . . 0 un déterminer explicitement une matrice Mn inversible telle que An : 'Mn M... 11.3 Soit S EUR 8,Ï+(R) et M EUR GLn(R) telles que S = 'MM. On noteZl = (U1, U2, . ,Un) la famille des vecteurs colonnes de M. Pour z' EUR {1,2, . . . ,n} et &: EUR IR", on note p.(æ) la projection orthogonale de a: sur Vect(U1, U2, . . . ,U,--). 3) Justifier que L! est une base de R". _ b) On définit la famille de vecteurs V = (V1, V2, . . . , V,.) par les relations : % =U1 EURt VZEUR{2,... ,TL}, %=Uz--pi_1(Uz) Montrer que la famille V est orthogonale et que c'est une base de R". 1 c) Soit W = (W1,W2, . . . , W..) la famille de vecteurs définie par W.-- : ||V'H % pour tout z' EUR {1,2, . . . , n} W est alors une base orthonormale de R". Montrer que la matrice de passage de la base W àla base U est triangulaire supérieure. d) Soit P la matrice de passage de la base canonique de R" à la la base W. Montrer que M peut s'écrire sous la forme M = PT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et qu'alors S = 'TT. 4 ----2 --2 e) Montrer que la matrice S = --2 2 0 admet une décomposition de la forme -----2 0 3 S = 'TT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et en déduire que S est symétrique définie positive. . 0 c 11.4 a) Son AO : ( c b a C h) Soit/l = ( c b (TrA > 0 et det/l > 0) ce qui équivaut encore à (a > 0 et ab -- c2 > 0). c) Soit S EUR SAR), n 2 2. On décompose S sous la forme ) EUR &(R). DéterminerX EUR M2,1(R) \ {0} tel que tXA0X = O. ) EUR SAR). Montrer que A est définie positive si et seulement si t S=('î ;) ,aEURR,VEMTL--L1(R),SIEUR8_1(R) Cl? En écrivantX EUR Mn,1(R) sous la forme ( X a#0: ;) , 13 EUR R , X' EUR Mn_1,1(R),montrer que pour 2 txsx = a {($ + âtvx') + --15tX'(aS' -- VW)X' (1) a et en déduire que S est définie positive si et seulement si (a > 0 et aS' -- VtV est définie positive). d) En gardant les notations de la question II.4 c) précédente, on peut alors construire par récurrence une suite de nombres réels (ai)lsi_<_n et une suite de matrices (Si)1gign comme suit. On pose d'abord: - SI=S, a1=a, Vi=V, Sî=Sl, Sg:_OEISî--'/1t'/l Si n 2 3, on décompose S2 sous la forme t 52 = a2 V;2 ) a2 EUR Ra V2 EUR Mn--2,I(R) , 55 EUR Sn--2(R) % 52 On pose à nouveau S3 = a2Sg ---- V2'V2 et on itère le processus précédent. On obtient ainsi une suite de matrices symétriques réelles (S,--)1Si5n où Si est d'ordre n --- i + 1 et une suites de réels (ai)lsiSn liés par les relations : ai tVz' ViEUR{l,2,....,n--l}, Si= (V; S: ) , Si+1 = a,--S£ _ Vz'tVÂ' Le processus s'arrête pour i = n car Sn est alors d'ordre 1 et on note Sn : (an). Montrer que S est définie positive si et seulement si tous les réels de la suite (ai)1gign sont strictement positifs. et d e e) Soit S = d 1) f EUR Sg(R). Selon les notations précédentes, déterminer explici- e f 6 tement les réels al, @, % associés à cette matrice S et en déduire que S est définie positive si et seulement si : a de l>0et d b_f>O fc Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet propose une étude des matrices symétriques réelles. Il comporte deux parties liées, des résultats généraux démontrés dans la première partie étant réutilisés dans la seconde. La première partie se propose de démontrer certains résultats classiques sur les matrices, et en particulier sur les matrices symétriques, positives ou définies positives. La seconde partie a pour objectif de caractériser de différentes manières une matrice symétrique réelle et définie positive, en particulier par le biais de différents exemples calculatoires. Elle aboutit au résultat final suivant : une matrice symétrique réelle d'ordre 3 est définie positive si, et seulement si, les déterminants des matrices supérieures gauches d'ordre 1, 2 et 3 extraites de cette matrice sont strictement positifs. Peu de questions de ce problème sont vraiment difficiles, mais il utilise des techniques classiques d'algèbre bilinéaire et de diagonalisation, qu'il est nécessaire de bien maîtriser. Il traite d'algèbre réelle, mais peut tout à fait être étendu à des espaces vectoriels plus généraux. De plus, des exemples sont fréquemment demandés en petites dimensions, ce qui suppose d'avoir bien compris ce que l'on fait. En résumé, c'est un bon problème de révision pour cette partie du programme. Indications Partie I I.1 Faire les calculs directement, sans repasser par les coordonnées. I.2 Utiliser la propriété rappelée au début de l'énoncé. I.4.a Pour le sens direct, utiliser la propriété avec un vecteur propre. Pour la réciproque, se placer dans une base de diagonalisation. I.5.b Trouver deux matrices diagonales A et B telles que le spectre de A-B contienne un élément positif et un négatif. I.6.b Considérer, pour tout i, une base de diagonalisation de vi . I.7.a Utiliser la question précédente pour le sens direct, et faire le calcul directement pour la réciproque. I.7.b Diagonaliser A et utiliser la question I.6.b pour trouver une base convenable. I.8 Diagonaliser S1 et S2 dans la même base. I.9.a Factoriser S2 2 - S1 2 et utiliser les propriétés démontrées aux questions I.2 et I.8. Partie II II.1 Démontrer par exemple a b c d a, en utilisant la question I.4.a. II.2.c Faire le calcul et résoudre le système obtenu. II.3.b Utiliser la caractérisation de la projection. II.3.d Utiliser la formule du changement de base pour exprimer M à partir de T. II.4.c Pour le sens direct, raisonner par contraposée. II.4.d Construire un raisonnement par récurrence à partir de la question II.4.c. Partie I I.1.a Soient (X, Y) (Mn,1 (R))2 . On a t X Y = hX | Yi = hY | Xi = t Y X On pouvait aussi écrire que la matrice t X Y, d'ordre 1, est nécessairement symétrique. I.1.b On a ( t X Y)2 = ( t X Y)( t X Y). Pour obtenir la première égalité, on applique le résultat de la question précédente au deuxième terme ; pour obtenir la seconde égalité, on l'applique au premier terme. Par suite, t t t t t ( X Y)2 = X(Y Y)X = Y(X X)Y I.1.c Soit S Sn (R). On a d'une part, t et d'autre part, t t X SY = X(SY) = hX | SYi X SY = t X t S Y = t (SX) Y = hSX | Yi d'où hX | SYi = hSX | Yi I.2.a Soient (S1 , S2 ) (Sn+ (R))2 . Pour tout X Mn,1 (R), on a t t t X(S1 + S2 )X = X S1 X + X S2 X > 0 S1 + S2 Sn+ (R) donc I.2.b Soient S1 Sn+ (R) et S2 Sn++ (R). Pour tout X Mn,1 (R) non nul, on a t t t X(S1 + S2 )X = X S1 X + X S2 X > 0 | {z } | {z } >0 >0 S1 + S2 Sn++ (R) donc I.2.c Soit A Mn (R). Pour tout X Mn,1 (R), on a t donc t t X A AX = (AX) AX = kAXk2 > 0 t A A Sn+ (R) I.3.a Soit S Sn (R) telle que X Mn,1 (R), propre de S et X un vecteur propre associé. On a t t 0 = X SX = X X = kXk2 | {z } t X SX = 0. Soient une valeur donc =0 6=0 Par définition, un vecteur propre est toujours non nul. Le sous-espace propre associé à une valeur propre est formé de l'union des vecteurs propres associés et du singleton {0}, mais 0 n'est jamais un vecteur propre. On en déduit que toutes les valeurs propres de S sont nulles. Or S est symétrique réelle, donc diagonalisable, ce qui montre que S est semblable à la matrice nulle. Par suite, S=0 On a un résultat un peu plus fort que celui utilisé ici : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormale. En particulier, ses sous-espaces propres propres sont orthogonaux deux à deux, ce qui peut être utile pour déterminer une base propre en petite dimension. En effet, en dimension 3 par exemple, si les trois valeurs propres sont distinctes et que l'on a trouvé une base des deux premiers sous-espaces propres, le troisième vecteur de la base peut être pris comme étant le produit vectoriel des deux autres (de même si les deux premiers vecteurs forment une base d'un sous-espace propre de dimension 2). I.3.b On cherche une matrice M non nulle, carrée et d'ordre 3 telle que t X M3,1 (R) X MX = 0 t Une telle matrice est nécessairement antisymétrique. En effet, M +M t est symétrique et, pour tout vecteur X M3,1 (R), 0 = X MX. On en déduit t t t t t 0 = X MX+ ( X MX) = X(M+ M)X, donc la question précédente montre t que M + M = 0, puis que M est antisymétrique. De plus, n'importe quelle matrice antisymétrique convient. En effet, si M est antisymétrique et si X est un vecteur, t t X MX = ( t X MX) = t X t M X = - t X MX t donc X MX = 0. Il ne reste plus qu'à choisir une matrice antisymétrique. On peut proposer la matrice 0 0 A = 0 0 0 1 0 -1 0 En effet, pour tout X M3,1 (R), t X AX = x1 x2 = x1 x2 0 0 x1 x3 0 -1 x2 1 0 x3 0 x3 -x3 = 0 x2 0 0 0