CCP Maths 1 PC 2002

Thème de l'épreuve Normes matricielles et rayon spectral
Principaux outils utilisés normes, réduction de matrices, espaces vectoriels normés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2002 A PCM 1004 CONCOURS (OMMUNS POIYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la conci-- sion de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il la signa- lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Notations Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. K désignant le corps des réels ou celui des complexes, on note M...,,(K) le K--espace vectoriel des matrices à coefficients dans K ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, M,...(K) est noté plus simplement M,,(K) et est muni de sa structure d'algèbre, I,, représentant la matrice identité. OW désigne la matrice nulle de M n,p(K) et On la matrice nulle de M,,(K). GL,,(K) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M ,,(K) et 7Ç,(K) l'ensemble des ma-- trices carrées d'ordre n triangulaires supérieures à éléments dans K. Tout vecteur a: == (:c,--)15i5n de K" est identifié à un élément X de M...(K) tel que l'élément de la ième ligne de X soit an,--. Dans toute la suite, nous noterons indifféremment X : (oe,)15i5n un élément de Mn,1(K) aussi bien que le vecteur de K" qui lui est associé. Pour A : (Clij)15iSn dans M...,,(K) et X : (oe,)1' | Conformément à l'usage, on note NOO la norme définie sur C" par : ISiSn Tournez la page S.V.P. On qualifie de norme matricielle toute norme 

_ 1 01,71 (1) On pose R _-- (Una H e) Calculer R'1 Q"1 M QR et en déduire que M est trigonalisable. I.2 Déduire de la question précédente que pour tout n entier supérieur ou égal à 1, toute matrice de MAC) est trigonalisable. ) . Montrer que R est inversible et exprimer R"1. 1 1 0 1.3 Soit la matrice G = 1 --1 l 2 ------5 3 a) La matrice G est-elle diagonalisable ? b) On note B = (61, 62, 83) la base canonique de C3. Montrer que G admet un unique vecteur propre u dont la première composante dans la base B est égale à l et vérifier que 81 = (u, 62, 83) est une base de C3 . c) On note Q la matrice de passage de B à B 1. Calculer Q"1GQ et en déduire, en s'inspirant de la méthode décrite aux questions 1.1 et 1.2, P E GL3(C) et T E TAC) telles que P--1GP : T. 1.4 Soit A E MAC). Si T est une matrice triangulaire supérieure semblable à A, que représen- tent les éléments diagonaux de T ? 1.5 Soit S : (s,--j) et T = (t,,--) deux matrices triangulaires supérieures de MAC). 3) Montrer que S T est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont 311t11, 322t22, . .. ,s...,t,.... b) Pour le EUR N*, quels sont les éléments diagonaux de T k ? I.6 Montrer que pour toute matrice A de MAC), p(A'") : [p(/l)]'EUR . 1.7 Montrer que l'application z/2 : .Mn(C) --> K , A : (dij) --> 1£riaär ldijl est une norme sur _z,_7_n MJC), mais n'est pas en général une norme matricielle sur MAC). 1.8 En admettant l'existence de normes matricielles sur M..(C) (la suite du problème montrera effectivement cette existence), montrer que pour toute norme N définie sur M n(@), il existe une constante C réelle positive telle que : v (A, B) EUR (M..(+oo (1) Soit A EUR M2(C). Donner une condition nécessaire et suffisante sur p(A) pour que la suite (Al");OEN converge vers la matrice nulle. Partie 11 Soit A : (Gij) une matrice de MAC) et N une norme quelconque sur (C". On pose : 11.1 3) Montrer que pour tout X E C" : NOO(AX) £ MANoe(X). b) Montrer qu'il existe une constante réelle C A telle que : VX EUR «:" , N(AX) g CAN(X) c) Montrer que l'ensemble {% | X E C" \ {O}} possède une borne supérieure dans R. On notera dans la suite : N(AX) [V A' = sup ( ) Xe@n\{0} N(X) (1) Montrer que: Ê(A) 5 MA. e) On reprend dans cette question la matrice G introduite en I.3£éterminer un vecteur X0 de (Y tel que Noe(XO) == 1 et Noe(GXO) : 10. En déduire la valeur de Noe(G). 11.2 Soit io un entier compris entre 1 et n tel que 2 la...--| : M A. En considérant le vecteur Y j=1 de CC" de composantes yj définies par : Tournez la page S.V.P. Clin 1%" Si ai0j#0etyj=lsiaioj=0 laiojl montrer que MA 5 Ê(A) et en déduire Ê(A) : MA. II.3 Montrer : a) N(A)=0<=>A=O... b) VA EUR @, MM) 5 |À|JÎÎ(A). c) En déduire : VÀ EUR @, Ü(ÀA) : |À|1Y(A). d) VB @ Mn( < ...) II.5 Montrer que si lim Ak = 0... alors p(A) < 1. k-->+oo Dans toute la suite du problème, on admettra que, réciproquement, si p(A) < 1, alors lim A'" = on. k-->+oo 1 F 11.6 3) Montrer que pour tout k entier naturel non nul : p(A) _<_ {]Y(A"")l b) Montrer que pour tout & EUR @, p(aA) : |a|p(A). A ---{--À--)--Î--. Vérifier que p(AE) < 1 et en déduire l'existence d'un p 5 c) Soit5 > OetAEUR : entier naturel kEUR tel que : Vk EUR N° (k 2 ks : Ï\7(Ak) S (p(A)+e)k) d) En déduire lim lñ(A'")l 5 = p(A). k-->+oo Partie 111 Une matrice A de Mn,p(R) est dite positive (resp. strictement positive) et on note A 2 0 (resp. A > 0) si et seulement si tous ses coefficients sont positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Si A et B sont deux matrices de Mn,p(R), on note A 2 B (resp. A S B, A > B, A < B) si et seulement siA--BZO(resp.B--AZO,A--B>O,B--A>O) Notons que grâce à l'identification de R" et Mn,1(R), on pourra parler de vecteur de R" positif ou strictement positif. III.] Donner un exemple de matrice A montrant que les conditions A 2 () et A # 0 n'impliquent pas nécessairement A > 0. 111.2 A, B, A' , B' désignent des matrices de M,,(R). a) Montrer que si 0 5 A _<_ B et0 5 A' S B', alors 0 5 AA' 5 BB'. b) Montrer que si () 5 A S B, alors pour tout le E N'", 0 5 Al" 5 BI". c) Montrer que si 0 S A S B, alors Ê(A) 5 Ê(B). (1) Montrer que si 0 5 A _<_ B, alors p(A) £ p(B). e) Montrer que si 0 5 A < B, il existe 6 EUR]0, 1[ tel que A S cB et en déduire p(A) < p(B). III.3 Soit A une matrice positive de JM,,(R) telle que la somme des termes de chaque ligne soit constante égale à &. Montrer que a est valeur propre de A et que : III.4 Soit A une matrice positive de M,,(R). Pour tout i EUR {l, . . . ,n}, on note oz,-- la somme des termes de la ième ligne de A et oz : rpin Oz,. On définit la matrice B : (b,--j) par B = 0... si a = 0 et 1_iSn Oz , , , . . . . . (),--J-- = --a,--,, s1 Oz > 0. Montrer al a1de de la matr1ce B ams1 constru1te que : 05 ' ' .. < < --. .. 1Iâl£flfl (Z a") "" 'O(A) _ 1ÊZËî (Z a") j=1 j=1 1115 Soit A une matrice positive de M,,(R) et X = (ca--) un vecteur strictement positif de R". On note D,. la matrice diagonale de M,,(R) ayant pour termes diagonaux 331, 332, . . . ,æ,,. Calculer les éléments de la matrice D;1ADOE et en déduire : min --(--AÀ)i _<_ p{A) _<_ max (AÀ)i 1£iSn oei 1£iSn OEi III.6 Soit A une matrice positive de M,,(R). Montrer que si A admet un vecteur propre stricte-- ment positif, alors la valeur propre associée est p( A) et : P(A) = sup (min (AX),) : inf (max (AX)i) X>0 152571 a:,-- X>O 1959 $,- Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques). Ce sujet est relativement long mais les difficultés s'équilibrent d'une question à l'autre et nombreuses sont les questions intermédiaires qui jalonnent le chemin. Il traite des normes matricielles, c'est-à-dire des normes N sur Mn (C) vérifiant N(AB) 6 N(A) N(B) et, en particulier, des normes linéaires subordonnées à une norme sur Cn . Les parties sont indépendantes les unes des autres dans la mesure où tous les résultats ponctuellement nécessaires à la résolution d'une question sont donnés par l'énoncé. Le candidat gagnera donc à lire attentivement la totalité de l'énoncé avant de commencer à travailler. · Dans une première partie, on établit par récurrence un résultat important (toute matrice sur C est trigonalisable) ainsi que quelques résultats utiles par la suite. On y utilise les outils standard de calcul matriciel et d'étude des suites numériques, ainsi que les résultats du cours sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (équivalence des normes notamment). · Dans la deuxième partie, on définit la notion de norme subordonnée, équivalent matriciel de la norme linéaire d'un endomorphisme ; on explicite la norme subordonnée à la « norme du sup » sur Cn ; on montre que les normes subordonnées sont des normes matricielles et enfin on les relie au rayon spectral d'une matrice. Là encore, les outils mis en oeuvre sont tout à fait standard. · Enfin, dans la troisième partie, on étudie quelques propriétés du rayon spectral d'une matrice à coefficients positifs. C'est la partie la plus originale du problème mais on y est guidé pas à pas, ce qui permet d'arriver sans trop de problèmes à un résultat non trivial. Indications Partie I I.1.a Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss. I.1.b Géométriser le problème. I.2 Effectuer une récurrence sur n. I.3.a Calculer le polynôme caractéristique et en déduire le spectre de G. I.4 Comparer les polynômes caractéristiques de A et T. I.6 Utiliser la question I.5. I.7 Trouver un contre-exemple simple. I.8 Utiliser une norme matricielle et l'équivalence entre N et . I.9 Utiliser la question précédente et montrer que N P-1 (Ak - A)P tend vers 0 quand k tend vers l'infini. I.10.a Décomposer T = I2 + µJ avec J2 = 0 et utiliser le binôme de Newton. Partie II II.1.b Utiliser l'équivalence entre N et N . II.1.c Se servir de la question précédente. II.3.b Calculer N(AY)/N(Y). Si E est une partie de R, se souvenir que pour tout élément y de E, y 6 sup E). II.3.c Appliquer à 1/ et à (A) le résultat précédent. II.3.e Séparer le cas X = 0 des autres cas. II.4.c Déterminer le spectre de A. II.5 Utiliser les questions II.4.a et I.6. II.6.c Montrer que Ak tend vers 0n quand k tend vers l'infini puis que, pour k e k ) 6 1. suffisamment grand, N(A Partie III III.2.b Effectuer une récurrence. g III.2.c Utiliser N (A) = MA et le fait que l'on atteint le maximum définissant MA pour un certain indice. III.2.d Utiliser les questions III.2.b, III.2.c et II.6.d. III.2.e Si A 6= 0n , poser c = max |aij /bij | ; (i, j) [[ 1 ; n ]]2 . Montrer que (B) 6= 0 (par exemple en considérant Tr B). III.4 Remarquer que B satisfait les hypothèses de la question précédente. Montrer que (B) = et (B) 6 (A). n P -1 III.5 Montrer (AX)i /xi = (D-1 x ADx )ij et utiliser (A) = (Dx ADx ). j=1 III.6 Utiliser la question précédente pour un vecteur propre Y > 0. Passer à la borne supérieure ou inférieure. Grâce à Y, montrer que ces bornes sont atteintes. Partie I I.1.a Soit M Mn (C). Alors, son polynôme caractéristique étant un polynôme sur C, il admet au moins une racine (« théorème fondamental de l'algèbre », également appelé « théorème de d'Alembert », dont la démonstration complète est due à Gauss) et donc : M admet au moins une valeur propre. I.1.b Comme à chaque fois que l'on voit apparaître une matrice de la forme « Q-1 MQ », on géométrise le problème. On note l'endomorphisme de Cn+1 dont la matrice représentative dans la base canonique est M. Puisque possède (au moins) la valeur propre , choisissons un vecteur propre x associé à cette valeur. La famille (x) étant libre (x 6= 0), on peut donc la compléter en une base B. Alors la matrice représentative de dans B est de L la forme , où L est une matrice ligne et N une matrice carré d'ordre n. 0n,1 N En notant Q la matrice de passage de la base canonique à B, on a L -1 Q MQ = 0n,1 N I.1.c Selon l'hypothèse posée au début de la question I.1, toute matrice de Mn (C) est trigonalisable. Notamment, N l'est. On peut donc trouver des matrices H GLn (C) et S Tn (C) telles que N = HSH-1 . Il s'ensuit : L -1 Q MQ = 0n,1 HSH-1 I.1.d On reconnaît dans Rune matrice diagonale par blocs. On vérifie alors sim1 01,n 1 01,n plement que · = In+1 , ce qui montre que 0n,1 H-1 0n,1 H R est inversible et R -1 = 1 0n,1 01,n . H-1 I.1.e Enfin, en effectuant par blocs le produit R-1 (Q-1 MQ)R, on obtient 1 01,n L 1 01,n -1 -1 R Q MQR = · · 0n,1 H-1 0n,1 HSH-1 0n,1 H L 1 01,n = · 0n,1 SH-1 0n,1 H LH R-1 Q-1 MQR = 0n,1 S ce qui est une matrice triangulaire, puisque S est triangulaire et que la matrice (), de taille 1 × 1, l'est aussi. Par conséquent, M est trigonalisable. I.2 Les résultats précédents permettent de montrer par récurrence sur n N la propriété P(n) : « toute matrice de Mn (C) est trigonalisable ». · P(1) : toute matrice d'ordre 1 est manifestement triangulaire. · P(n) = P(n + 1) : c'est l'objet des questions I.1.a à I.1.e. · Conclusion : toute matrice à coefficients complexes est trigonalisable. On pourrait affiner ce résultat en montrant (c'est un résultat classique) que : toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur le corps K, est trigonalisable sur K. En effet, seule cette propriété a été utilisée pour effectuer la récurrence (à travers le théorème de d'Alembert-Gauss). I.3.a On peut commencer par calculer le polynôme caractéristique PG de G. On trouve, en développant sur la première ligne (qui contient un 0) : 1-X 1 0 1 -1 - X 1 = (1 - X) (X - 3)(X + 1) + 5 - (3 - X - 2) 2 -5 3-X = -X3 + 3X2 - 3X + 1 (1 est racine évidente) = (X - 1)[-X2 + 2X - 1] = -(X - 1)3 Ainsi, G ne possède qu'une unique valeur propre et sp (G) = {1}. Supposons que G soit diagonalisable. Alors il existe une matrice inversible P GL3 (C) et une matrice diagonale D telles que G = P-1 DP. Or les éléments diagonaux de D sont les éléments du spectre, ce qui mène à D = I3 . On trouve alors G = P-1 I3 P = I3 ; ce qui est manifestement faux. Conclusion : G n'est pas diagonalisable. I.3.b Déterminons les vecteurs propres de G associés à la valeur propre 1 et de la 1 forme Y = . L'équation GY = 1 × Y conduit au système =1 1+ =0 1-+ = soit = -1 2 - 5 + 3 = Il n'existe donc qu'un unique vecteur propredont la première composante dans la 1 base canonique est 1, et c'est le vecteur u = 0 = e1 - e3 . -1 Il ne reste qu'à montrer que la famille (u, e2 , e3 ) est une base de C3 . Or, le déterminant dans la base canonique de la famille (u, e2 , e3 ) vaut detB (u, e2 , e3 ) = detB (e1 - e3 , e2 , e3 ) = detB (e1 , e2 , e3 ) = 1