CCP Maths 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Construction d'un pseudo-inverse pour des matrices n × p; étude de la décomposition singulière d'une matrice de ce type
Principaux outils utilisés calcul matriciel, groupe orthogonal, structure euclidienne de Rn

Corrigé

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SESSION 2001 PCOO4 A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC MATHÉMATIQUES 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées Notations Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. Mn,p(R) désigne le R--espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes. On identifiera Mn,1(R) et M p,1(R) res- pectivement à R" et R7", que l'on supposera munis de leurs produits scalaires canoniques notés respectivement < - | - >,. et < - | - >p. Les normes associées à ces produits scalaires seront notées respectivement || - ||n et || - ||p. On notera (Ei)lsi5p la base canonique de Mp,1(R) et (FJ--)1Sjsn celle de M...(R). Lorsque }) = n, M.... (R) est noté plus simplement MAR) et est muni de sa structure d'algèbre, In représentant la matrice identité. On,p désigne la matrice nulle de M MUR) et On la matrice nulle de MAR). Pour A appartenant à Mn,p(R), 'A désigne la matrice transposée de A : c'est un élément de Mp,n(R). Ker A est le noyau de A défini par KerA : {X EUR Mp,1(R) | AX : O} Im A est l'image de A définie par ImA = {AX | X EUR Mp,l(R)} Enfin, on adopte la notation FJ-- pour désigner l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel F d'un espace euclidien. ' Partie 1 Soit A EUR Mn,p(R). I.1 Montrer que 'AA est nulle si et seulement si A est nulle. Dans toute la suite du problème A sera supposée non nulle. I.2 Montrer que les matrices ltAA et A'A sont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales. 1.3 a) X, Y désignant deux éléments de M... (R), exprimer le produit scalaire < X | Y >n sous la forme d'un produit matriciel. Tournez la page S.V.P. b) Si W est un vecteur propre de tAA associé à la valeur propre À, exprimer ||AW|IÏ, en fonction de A et ||W||,,. c) En déduire que les valeurs propres de tAA sont réelles, positives ou nulles. 1.4 a) Pour 3: réel, calculer les produits matriciels par blocs suivants : 221" A --I,, O...,, et fil,, A --L, A tA.- I,, 1*A Ip % Ip Op,n --a:I,, b) En déduire que les matrices tAA et AtA ont les mêmes valeurs propres non nulles avec le même ordre de multiplicité. c) En déduire également que les matrices 1*AA et AtA ont même rang. 15 Montrer que si n > p, 0 est valeur propre de AM et que si n < p, 0 est valeur propre de 1MA. 1.6 On note À1,À2, . . . , A,, les valeurs propres de tAA, chaque valeur propre apparaissant dans cette liste un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité et on pose ,a,-- = \/Î,- pour tout z' élément de {1,2,.... ,p}. Les réels 11,-- sont appelés valeurs singulières de A. On suppose les réels À,-- ordonnés tels que Al 2 & 2 . . . 2 À,, 2 0. 3) Montrer que À1 est non nul. On définit alors un unique entier naturel r appartenant à {1,2, . . . ,p} comme suit : si toutes les valeurs propres de tAA sont non nulles, r = p, sinon r est tel que pour tout i 5 r, À,-- > 0 et pour tOllti > ?",À,' =(). Soit (V1, V2, . . . , V,,) une base orthonormale de vecteurs propres de tAA respectivement associés aux valeurs propres /\1, &, . . . ,À,, ; V1, V2, . . . ,V,. désignent les vecteurs propres associés aux va-- leurs propres non nulles et lorsque r est strictement inférieur à p, V,.+I, . . . , V,, désignent les vecteurs propres associés à la valeur propre 0. b) Montrer que T 5 n et que la dimension de Ker AtA est égale à n -- r. . 1 . , . Pour toutz EUR {1,2, . .. ,r}, on pose U,-- : -----AV,-- et Si n > r, on des1gne par (Ur+1, . .. ,Un) une #z' base orthonormale de Ker AtA. 0) Montrer que pour touti EUR {1, 2, . . . ,r}, AV,-- : u,--U,-- et que si T est strictement inférieur àp,p0urt0uti EUR {r+1,.... ,p},AV,-- : 0. (1) Montrer que pour toutz' EUR {1,2, . .. ,r}, tAU,-- : ,u,--V,--. e) Montrer que si n > r, pour toutz' EUR {T + l,. . . ,n}, tAU, : 0. f) En déduire que le système de vecteurs (U 1, U 2, . . . , Un) constitue une base orthonormale de vecteurs propres de AM et préciser la valeur propre associée à chaque vecteur U,. I. 7 On note V la matrice carrée réelle d'ordre p dont le ième vecteur colonne est le vecteur V,, U la matrice carrée réelle d'ordre n dont le jèmô vecteur colonne est le vecteur U et (UAV),,-- l'élément de la ième ligne, jème colonne de la matrice tU AV a) Montrer que: 1 si z'=j V(Zaj) EUR {1727°°° an} X {1727°°° ap} 7 (tUAV)Ü =Njôij Où (Sii: {0 Si Zî£j b) On note A la matrice appartenant à Mn,p(R) dont tous les éléments AÜ sont nuls sauf A... A22, . . . , A...... respectivement égaux à ..., ,u2, . . . ,,u,.... Montrer que A : MAV. La factorisation de A ainsi obtenue est dite décomposition de A en valeurs singulières. c) Trouver une décomposition en valeurs singulières de chacune des matrices : 1 --1 ' 1 AO : 1 1 et Bo : (_1> 0 2 1.8 Montrer que le rang de A est égal à r. P 1.9 3) Montrer que V = z VÏE.. i=1 b) En déduire : A = ÊHiUitÏ/z' , tAA = Î /\z'VltVi , AtA [= Ë ÀiUiWi i=1 i=1 i=1 c) Déterminer les sous--espaces vectoriels suivants : Ker A, Ker 1'A, Im A, Im %. (1) Montrer que Ker tAA : Ker A et Ker AtA : Ker tA Partie II Avec les notations de la partie I, pour A E Mn,p(R) admettant une décomposition en valeurs singulières A = U AW, on appelle A+ la matrice de Mp,n(R) dont tous les éléments A;Ë- sont nuls 1 1 1 sauf AÎ1,A'{2, . . . ,Aj; respectivement égaux à --------, -----, . . . , ---- et on pose A+ : V(A+)tU #1 H2 /--Lr A+ (resp. A+ ) est appelée pseudo--inverse de A (resp. de A). A priori, la matrice A+ ainsi définie dépend de la décomposition en valeurs singulières choisie pour la matrice A, mais il sera montré à la question II.9 qu'il n 'en est rien et que A+ est uniquement déterminée à partir de A. 11.1 Déterminer les matrices A3 , A0Ag,+ , A3 A0, A0A3"AO et A5" A0A3L . II.2 Déterminer (Aä )+ . II.3 Evaluer A+A et AA+. 11.4 Montrer que si A est une matrice carrée inversible (n = p = r), alors A+ : A"1. II.5 Montrer que : 7' 1 ?" ?" A+ : Z--WU. , AA+ = YU.iU. , A+A= EV.'V. M '.--" «< . z=1 z=1 z=1 11.6 a) Evaluer AA+ U j pour tout J' E {l, 2, . . . , n} et en déduire que AA+ est la matrice dans la base canonique de R'" de la projection orthogonale de R" sur Im A. ' b) Montrer de même que A+A est la matrice dans la base canonique de RP de la projection orthogonale de RP sur (Ker A)l. Tournez la pageS.V.P. 11.7 Etablir les identités suivantes : AA+ : '(AA+) , A+A : '(A+A) , AA+A = A, A+AA+ : A+ (1) 11.8 Etablir les résultats suivants : i) ImA : ImAA+ , Ker A+ : KerAA+ , ImA+ : ImA+A , Ker/i : KerA+A. ii) R" : ImA EB Ker/l+ , R" : ImA+ EB KerA. II.9 Soit B une matrice de M MUR) vérifiant : AB='(AB), BA='(BA), ABA=A, BAB= B a) Montrer que B vérifie les identités suivantes : i) B : B'B'A : 'A'BB ii) A : A'A'B : 'B'AA iii) 'A : 'AAB : BA'A b) En déduire que B : A+ , autrement dit que A+ est l'unique matrice de M MUR) vérifiant les relations (1). 11.10 Montrer que (A+)+ : A et '(A+) : ('A)+. 11.11 Evaluer (AOBO)+ et BäASr . A--t-on l'égalité ? » 11.12 Soit H EUR M,...(R) et H = A+H . On note d(H,Im A) la distance de H au sous--espace vectoriel Im A. 3) Montrer que pour tout X EUR Mp,1(R), AX ---- AA+H et H -- AA+H sont orthogonaux et en déduire: __ VX EUR Mp,1(R),HAH-- HHn < ||AX -- Hlln Que vaut alors d(H , Im A) ? ... b) Montrer que s'il existe H EUR Mp,1(R) tel que ||AH ---- H||n : ||AH-- HHn avec H # H, alors llHllp < HHIIP-- 1 c) Si H = 1 ,déterminer inf HAOX ----- H||3. 1 X @@ Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alexander Gewirtz (ENS Lyon) et Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan). Ce problème d'algèbre linéaire comporte deux parties. · La première partie commence par des rappels et des questions sur les matrices symétriques réelles. Ensuite, on cherche à déterminer, pour A Mn,p (R) donnée, une décomposition en valeurs singulières. On démontre également des relations classiques entre les noyaux et images de A et de t A. · La deuxième partie de ce sujet introduit la notion de pseudo-inverse d'une matrice. Le but de cette partie est d'étudier ce pseudo-inverse et de montrer que celui-ci est bien défini. Enfin, pour finir, on illustre l'intérêt du pseudoinverse d'une matrice sur un problème d'optimisation dans R2 : on peut calculer facilement le projeté orthogonal d'un vecteur sur l'image de la matrice. Indications Partie I I.2 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles. I.3.b Utiliser le fait que hAx, yin = hx, t A yip . I.4.a Attention à l'erreur dans l'énoncé. Pour le produit par blocs, il faut lire -xIp dans la deuxième matrice, et non Ip . I.4.b Le déterminant est invariant par transposition. I.5 Utiliser la relation entre les polynômes caractéristiques obtenue à la question I.4.b. I.6.a A est supposée non nulle. t I.6.b Constater que r = rg ( A A) et utiliser le théorème du rang. I.6.c Calculer kAVi k2 . t I.6.d Remplacer Ui par µ-1 i AVi . Vi est un vecteur propre de A A. t I.6.e Calculer k A Ui k2 . I.6.f Regarder d'abord (U1 , . . . , Ur ) puis montrer que les deux familles sont orthogonales. I.7.b Les matrices U et V sont orthogonales. I.9.a Vérifier que les applications linéaires coïncident sur la base de Rp . I.9.b Utiliser la décomposition de A obtenue à la question I.7.b et celle de V obtenue à la question I.9.a. I.9.c Utiliser les questions I.6.d, e et f. (U1 , . . . , Un ) et (V1 , . . . , Vp ) sont des bases orthonormales. Partie II II.3 Calculer l'image des bases canoniques. II.4 U et V sont orthogonales. II.5 Imiter la méthode des questions I.9.a et I.9.b. II.6.a Utiliser la décomposition de AA+ obtenue à la question II.5. II.6.b Combiner les résultats des questions II.5 et I.9.c. II.7 Utiliser les résultats des questions II.6.b et II.5. II.9.b Utiliser la question II.5 et montrer que B et A+ coïncident sur la base (U1 , . . . , Un ) : distinguer les cas i 6 r et i > r. II.10 Utiliser les questions I.9.b et II.5 puis substituer A+ à A. II.12.a Pour un projecteur p, Im (p - id ) = Ker (p) puis utiliser les résultats de la question II.8 ainsi que Pythagore. II.12.b Évaluer l'expression du théorème de Pythagore en X = H . II.12.c La borne inférieure est atteinte en H. Partie I t I.1 Soit A Mn,p (R). Montrons que A A est nulle si et seulement si A est nulle. t · Supposons A nulle. Alors il est clair que A A est nulle. · Réciproquement, si la matrice t A A est nulle, ses coefficients diagonaux sont en particulier nuls. Or si l'on désigne par ai,j le terme général de la matrice A, t le coefficient diagonal (i, i) de la matrice A A n'est autre que : n P ak,i 2 k=1 Leur nullité implique donc la nullité de tous les termes ak,i . A est alors la matrice nulle. t Ainsi A A = 0 A = 0 Nous n'avons utilisé pour montrer que A est nulle que les coefficients diagonaux de t A A. Une hypothèse en apparence plus faible serait de supposer t simplement que la matrice A A est de trace nulle. Cela suffit bien entendu pour conclure, vu que : P p n P t Tr A A = a2i,j i=1 j=1 Une autre preuve, utilisant la structure euclidienne de Rp , consiste à dire t t que : si A A est nulle, alors pour tout x Rp , A Ax = 0. t t p Donc pour tout x R , x A Ax = 0, soit pour tout x Rp , t (Ax) Ax = 0. C'est-à-dire kAxk2 = 0 x Rp Soit encore pour tout x Rp , Ax = 0 et donc A = 0. Cette preuve, quoique plus élegante que celle mettant en oeuvre le calcul t des coefficients de A A, utilise cependant le résultat demandé à la question I.3.a. C'est pourquoi nous ne la présentons qu'en remarque. I.2 Dans toute la suite on suppose A non nulle. t t Les matrices A A et A A sont toutes deux des matrices symétriques réelles. Par conséquent : t A A et A t A sont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales. I.3.a Soient X, Y deux éléments de Mn,1 (R). Soient (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) les coordonnées respectives de X et Y dans la base canonique de Rn . On a alors par définition du produit scalaire sur Rn : n P hX, Yin = xk yk k=1 t Or, en identifiant M1 (R) et R, il vient X Y = n P xk yk . Ainsi, on a k=1 hX, Yin = t X Y t I.3.b Soit W un vecteur propre de A A associé à la valeur propre . On a : t kAWk2 = hAW, AWin = hW, A AWip = hW, Wip = kWk2 kAWk2 = kWk2 Par conséquent, t I.3.c Soient une valeur propre de A A et W un vecteur propre non nul associé à la valeur propre . D'après la question I.3.b, on a kAWk2 = kWk2 . Or W est non nul, donc kWk 6= 0. Par suite, = kAWk2 kWk2 Donc est un réel positif. t sp( A A) R+ Ainsi I.4.a Soit x un réel. Alors : xIn t A A Ip xIn t A A Ip t A A -xIn = 0 = -In t A 0 -xIp -In 0 A -xIp -xA -xIp De même, on a : -xIn - tA 0 t A A - xIp I.4.b On constate que : -In t A 0 -xIp t = -In 0 A -xIp Par conséquent, ces deux matrices carrées ont même déterminant. Ainsi : xIn A -In 0 xIn A -In A = t t t 0 -xIp A Ip A -xIp A Ip A t A -xIn 0 Soit -xIn -xA = t -xIp - A p Par conséquent t 0 A A - xIp n (-X) A t A (X) = (-X) t A A (X) où est le polynôme caractéristique. Soit p (-X) t sp(A (X - ) A) = (-X) n t sp( (X - ) A A)