CCP Maths 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Diagonalisation d'un endomorphisme de Mn(R) ; utilisation des polynômes annulateurs ; démonstration puis utilisation du théorème de Cayley-Hamilton
Principaux outils utilisés algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2000 PCOOS A CONCOURS (0IllllNS Î0lYÏECIINIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC MATHÉMATIQUES 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées et les parties 1 et Il sont indépendantes Notations Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Pour p entier supérieur ou égal à l, M...,,(R) désigne le R-- espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et ;) colonnes et M ...,,(C) déSigne le C--espace vectoriel des matrices à coefficients complexes ayant n lignes et p colonnes. On identifiera M...(R) à R", que l'on supposera muni de son produit scalaire canonique noté ( - [ . ) Lorsque p = n, M...,(R) et M...,(C) sont notés plus simplement M,,(R) et M,,(C) et sont munis de leur structure d'algèbre, I,, représentant la matrice identité. Pour A appartenant à M...,,(C), tA désigne la matrice transposée de A : c'est un élément de Mp,n(C). OW désigne la matrice nulle de M...,,(C). Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n représenté par la matrice A dans une base donnée, on note Sp( f) ou Sp(A) l'ensemble des valeurs propres de f, X f ou XA son polynôme caractéristique et Tr( f ) ou Tr(A) sa trace. En outre, si A appartient à MAR), on note SpC(A) l'ensemble des valeurs propres de A, lorsque A est considérée comme un élément de M,,(C). R[X] est le R--espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, C{X] est le C--espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes et N,, est l'ensemble {1,2, . . . ,n}. Partie I 1.1 Soit A E M,,(R), B E M...,,(R), C EUR M,,(R) et M la matrice de Mn+p(R) donnée par: A B M -- (o.. c) a) Si A est non inversible, montrer sans recourir au déterminant, que M est non inversible. b) Si A est inversible, on pose P = ( A O"). Résoudre alors dans M,...,(R) l'équation OM I,, matricielle XP : M. c) Retrouver le résultat connu : det M : det A - det C. Dans toute la suite u désigne un endomorphisme de R". 1.2 Soit F un sous-espace vectoriel de R" stable par u. Si il désigne l'endomorphisme induit par u sur F, montrer que X,, divise X... Tournez la page S.V.P. J. 0994 1.3 Pour tout ac élément de R", on définit l'ensemble FAoe) par : FAæ) = {21 EUR R" | 3P EUR RW» 31 = P(U)(OE)l Montrer que F Ax) est un sous--espace vectoriel de R" stable par u. 1.4 Dans cette question, on suppose que :c est un élément non nul de R". 3) Montrer l'existence d'un plus petit entier naturel q pour lequel la famille de vecteurs (ac, u(:c), . .. , uq(æ)) est liée. ? b) Soit (ao,a1, . . . ,a.,) une famille de nombres réels non tous nuls telle que 2 ajuj(oe) : 0 j=o q et S le polynôme de R[X] défini par S(X) : 2 anj. Montrer que (1,1 est non nul, puis que j=0 (:::, u(æ), . .. ,uq'1(æ)) est une base de FAoe). ai c) Pour tout i EUR {O, 1, . . . ,q}, on pose a,-- = -- et on note ...) l'endomorphisme induit par u a '? EUR! sur FAæ). Montrer que Xuo(X) : (--l)'7 2 a.X', donner la valeur de xuo(U)(OE) et en déduire que i=0 le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u. Partie II [1.1 Vérifier les propriétés suivantes : a) V(X,Y) e (M...(R))2 , VA EUR MAR), (AX | Y) = (X | tAY) b) V' , mm = (X | Y) c) v (X, Y, Z) EUR (M...(R))" , (XW)Z : (Y | Z)X 11.2 Soit Lp : MAR) >< MAR) --> R , (A, B) --> Tr('AB). Montrer que 99 définit un produit scalaire sur MAR). Dans toute la suite ce produit scalaire sera noté (( - | - )). 11.3 A partir de cette question, r, 3, l, m désignent des entiers naturels inférieurs ou égaux à n. " ) (f. o......) b) Soit A E MAR) une matrice de rang r. Montrer qu'il existe B dans M...AR) et C dans M...AR) telles que A : BC. 0) Montrer qu'une matrice A de MAR) est de rang 1 si et seulement s'il existe deux matrices non nulles X et Y de M...AR) telles que A : X'Y. d) Montrer que la décomposition A = X 'Y de la question précédente n'est pas unique et déterminer les relations vérifiées par des matrices colonnes X , Y, Z , T telles que a) Evaluer le produit par blocs (O A=X'Y=Z'T 11.4 3) Soit (Z.-)1 de matrices (ZitTj) . et (Tj)1îjîs deux familles libres de vecteurs de R". Montrer que la famille ,. est de rang égal à rs. i l/\l/\ l/\ |/\l/\ |/\ >----- i ] b) Soit (X,-)15i5n et (Yj)15an deux bases de R". Que peut--on dire de la famille de matrices (Xith)l< SpC(BÛ)} c) Montrer que A0 et BD sont diagonalisables dans MAR). En est-il de même de HO '? Soit maintenant A et B quelconques dans MAR). On se propose d'étudier les liens existant entre la diagonalisabilité de A et B et celle de hA,B. 1112 Soit (1 EUR SpC(A) et b EUR Sde). Montrer qu'il existe (V, W) EUR (M...i(© \ {0})2 tel que: AV : aV , tWB : btW et VtW est vecteur propre de ËA_B En déduire l'inclusion: {a -- b | (a,b) EUR SpC(A) >< Sde)} C Sp(hA,B). Tournez la page S.V.P. III.3 Montrer que si A et B sont diagonalisables dans MAR), il en est de même de hA,B. Calculer dans ce cas Tr(hA,B). III.4 On note a1,a2, . . . ,an les valeurs propres non nécessairement distinctes de A dans C. En exprimant X A en fonction des a,-, montrer que la matrice X A(B) est inversible si et seulement si SPC(A) () SPC(B) = @ 1115 Soit A E Sp(hA,B) et M un vecteur propre associé. 3) Montrer que pour tout polynôme de < SpC(B)}. III.6 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe M non nulle dans MJC) telle que AM : MB. Dans toute la suite du problème, on suppose B = A et on considère l'endomorphisme h A' A que l'on notera plus simplement hA. III.7 On suppose A diagonalisable dans MAR) et on note (V1, V2, . . . , Vn) une base de vecteurs propres de A, chaque vecteur Vi étant associé à la valeur propre /\i. Pour tout (z , j ) EUR Nâ, on définit la matrice Mij de /\/ln(R) par: VkEURNn, Miij=ôflçVi Où 5jk={à îî Ë;Ï_ a) Montrer que la famille de matrices (Mij)1îiSn est une base de MAR) 1San b) Montrer que pour tout (i,j, I:) E NÎ; : hA(ÎWZ')V]C = (À) -- /\j)Miij et en déduire que les matrices Mii sont des vecteurs propres de h A. c) On note ,u1,,u2, . . . ,;ip les valeurs propres distinctes de A, m1, 7712, . . . ,m,, leurs ordres de multiplicité respectifs et J : {(i,j) EUR Nâ | Ài : /\j}. Montrer que: P Ker/... = Vect{MÜ | (...) EUR J} et dim Ker}... : E...3 i=1 d) Montrer que clim Ker hA 2 n et que l'égalité a lieu si et seulement si A admet n valeurs propres distinctes. e) On note lR[A] : {Q EUR MAR) \ HP EUR R[X], Q : P(A)}. Montrer que si les n valeurs propres de A sont distinctes, {l... A, A2, . . . ,A"_1} constitue une base de R{A] et en déduire que dans ce cas Ker hA : R[A]. III.8 On suppose hA diagonalisable et on note (Pij)1Siîn une base de vecteurs propres de f..., 15j5n _ chaque matrice Pij étant associée à la valeur propre /\ij. Montrer que 51 X est un vecteur propre de A associé à la valeur propre À, la famille (Pin) 15157. est une famille génératrice de R" et en déduire 15j5n que A est diagonalisable. Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Bruno Reyssat (ENS Lyon) ; il a été relu par Théo Seffusatti (Mines Paris) et Mathieu Dutour (ENS Ulm). L'épreuve se compose de trois parties ; les deux premières sont indépendantes entre elles. Dans la première partie, on établit quelques propriétés élémentaires des matrices carrées à coefficients réels, pour aboutir à une preuve du théorème de CayleyHamilton. Dans la seconde partie, on s'intéresse en particulier au rang des matrices, aux liens entre bases de Rn et bases de Mn (R), et on démontre quelques propriétés particulières aux matrices de rang 1. Dans la troisième partie, on étudie les endomorphismes de Mn (R) de type hA,B : M 7- AM - MB où A et B sont des matrices de Mn (R). En particulier, on cherche des liens entre la diagonalisabilité de A, B et celle de hA,B . Le problème se termine par l'étude du cas où A = B. Indications I.1.a Utiliser le rang de A. I.1.b Écrire la matrice inconnue X par blocs. I.1.c Développer les déterminants de X et de P. I.2 Utiliser la question I.1.c. I.4.b Utiliser la définition de q. I.4.c Écrire le déterminant, le développer par rapport à la dernière colonne, et utiliser la question I.2. II.1.c Remarquer qu'un réel commute avec toute matrice. II.3.b Utiliser le fait que toute matrice de rang r est équivalente à celle calculée à la question précédente. II.3.c Utiliser la question II.3.b. II.4.a Montrer que la famille obtenue est libre. II.4.b Utiliser la question II.4.a. II.4.c Montrer que le rang de cette famille est exactement rs en utilisant la question II.4.a. II.5 Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse. II.6.a Utiliser la question II.3.c. II.6.b Utiliser la question II.1.b, et la caractérisation par les polynômes annulateurs des matrices diagonalisables. II.7 Construire explicitement toute matrice de Mn (R) comme combinaison linéaire de matrices diagonalisables de rang 1. Utiliser la question II.6.b pour montrer que les matrices utilisées sont diagonalisables. III.1.c Utiliser la caractérisation des matrices diagonalisables par les polynômes annulateurs. III.3 Utiliser les questions II.4.b et III.2. III.5.b Utiliser les questions I.4.c et III.5.a. III.5.c Calculer le spectre complexe de B + Id n , puis utiliser la question III.2. III.6 Utiliser la question III.5.c. III.7.a Montrer que la famille (Mi,j ) 16i6n est libre. 16j6n III.7.b Utiliser le fait que si j 6= k, alors jk = 0. III.7.c Utiliser les questions III.3 et III.7.b. III.7.e Montrer d'abord que le polynôme caractéristique de A est aussi son polynôme minimal, puis utiliser la question III.7.d. III.8 Pour déduire que A est diagonalisable, montrer que A admet effectivement une valeur propre réelle en utilisant la question III.5.c. Partie I I.1.a Si A n'est pas inversible, alors son rang est strictement inférieur à n. Mais on a les inégalités B B rg M 6 rg A + rg et rg 6p C C d'où on déduit qu'alors, rg M < n + p, c'est-à-dire que : M n'est pas inversible. Il est important de se souvenir que pour toute matrice N, rg N = rg ( t N), donc en particulier pour N Mn,k (R), rg N 6 min(n, k) On pouvait aussi écrire qu'il existe un vecteur non nul de Rn annulé par A, et montrer qu'en le complétant par des zéros en un vecteur de Rn+p , on obtient un vecteur non nul annulé par M. I.1.b Pour résoudre l'équation XP = M, écrivons X selon la même décomposition en blocs que M, Q R X= S T Cette équation équivaut alors aux quatre équations obtenues en effectuant le produit par blocs : QA = A SA = 0 R=B T=C Puisque A est inversible, QA = A équivaut à Q = Id n , et SA = 0p,n équivaut à S = 0p,n , d'où l'unique solution : Idn B X= 0p,n C I.1.c Si A n'est pas inversible, le résultat est trivial, puisque la question I.1.a nous assure que les deux termes sont nuls. Sinon, développons le déterminant de X par rapport à la première colonne : un seul terme est non nul, celui correspondant au mineur obtenu en supprimant la première ligne et la première colonne. Notons Bi la matrice B privée de ses i premières lignes. En répétant n fois ce procédé, on obtient det X = Idn-1 0p,n-1 B1 Idn-2 = C 0p,n-2 B2 1 = ··· = 0p,1 C Bn-1 = det C C De la même manière, en développant p fois le déterminant de P par rapport à sa dernière colonne, on obtient det P = det A. Mais alors, puisque XP = M, on a det M = det X × det P, d'où det M = det A × det C I.2 Soient (e1 , . . . ep ) une base de F et Mv la matrice de v dans cette base. Le théorème de la base incomplète nous assure qu'il existe ep+1 , . . . , en tels que (e1 , . . . , en ) soit une base de Rn . Dans cette base, puisque F est stable par u, cette dernière a pour matrice Mv B Mu = 0n-p,p C et par conséquent le polynôme caractéristique de u est Mv - X Id p 0n-p,p B C - X Id n-p soit d'après la question I.1.c, u = v C d'où v divise u I.3 L'espace Fu (x) contient 0 (le polynôme nul le montre). Si y et z sont dans Fu (x), avec y = P(u)(x) et z = Q(u)(x), et si est un réel quelconque, les polynômes P + Q et P donnent et y + z = (P + Q)(u)(x) Fu (x) donc y = (P)(u)(x) Fu (x) Fu (x) est un sous-espace vectoriel de Rn . De plus, pour tout P de R[X], u (P(u)) = Q(u) avec Q(X) = P(X)X, et par conséquent Fu (x) est stable par u. I.4.a Puisque Rn est de dimension n, la famille (x, u(x), . . . , un (x)) (qui comporte n + 1 éléments) est liée. Il existe un plus petit entier q tel que (x, u(x), . . . , uq (x)) soit liée. I.4.b Si aq = 0, alors puisque les ai sont non tous nuls, la combinaison linéaire q P j=0 aj uj (x) = q-1 P aj uj (x) = 0 j=0 (non triviale) montre que la famille (x, u(x), . . . , uq-1 (x)) est liée, ce qui contredit la minimalité de q. Par conséquent, aq 6= 0 En posant pour tout i {0, 1, . . . , q}, i = uq (x) = - q-1 P ai , on a aq i ui (x) i=0 Puisque la famille (x, u(x), . . . , uq-1 (x)) est libre, il suffit de montrer qu'elle est génératrice de Fu (x). Or il suffit pour cela de montrer qu'elle engendre tous les up (x),