CCINP Maths 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Diagonalisation d'un endomorphisme de ℳn(ℝ) ; utilisation des polynômes annulateurs ; démonstration puis utilisation du théorème de Cayley-Hamilton
Principaux outils utilisés algèbre linéaire

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SESSION 2000 PCOOS

A

CONCOURS (0IllllNS Î0lYÏECIINIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices ne sont pas autorisées et les parties 1 et Il sont 
indépendantes

Notations

Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Pour p entier supérieur ou égal à l, 
M...,,(R) désigne le R--
espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et ;) 
colonnes et M ...,,(C) déSigne le
C--espace vectoriel des matrices à coefficients complexes ayant n lignes et p 
colonnes. On identifiera
M...(R) à R", que l'on supposera muni de son produit scalaire canonique noté ( 
- [ . )

Lorsque p = n, M...,(R) et M...,(C) sont notés plus simplement M,,(R) et M,,(C) 
et sont
munis de leur structure d'algèbre, I,, représentant la matrice identité.

Pour A appartenant à M...,,(C), tA désigne la matrice transposée de A : c'est 
un élément de
Mp,n(C). OW désigne la matrice nulle de M...,,(C).

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n représenté par 
la matrice A
dans une base donnée, on note Sp( f) ou Sp(A) l'ensemble des valeurs propres de 
f, X f ou XA
son polynôme caractéristique et Tr( f ) ou Tr(A) sa trace. En outre, si A 
appartient à MAR), on
note SpC(A) l'ensemble des valeurs propres de A, lorsque A est considérée comme 
un élément de
M,,(C).

R[X] est le R--espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, C{X] est le 
C--espace vectoriel

des polynômes à coefficients complexes et N,, est l'ensemble {1,2, . . . ,n}.
Partie I
1.1 Soit A E M,,(R), B E M...,,(R), C EUR M,,(R) et M la matrice de Mn+p(R) 
donnée par:
A B
M -- (o.. c)

a) Si A est non inversible, montrer sans recourir au déterminant, que M est non 
inversible.

b) Si A est inversible, on pose P = ( A O"). Résoudre alors dans M,...,(R) 
l'équation

OM I,,
matricielle XP : M.
c) Retrouver le résultat connu : det M : det A - det C.
Dans toute la suite u désigne un endomorphisme de R".

1.2 Soit F un sous-espace vectoriel de R" stable par u. Si il désigne 
l'endomorphisme induit par
u sur F, montrer que X,, divise X...

Tournez la page S.V.P.

J. 0994

1.3 Pour tout ac élément de R", on définit l'ensemble FAoe) par :
FAæ) = {21 EUR R" | 3P EUR RW» 31 = P(U)(OE)l

Montrer que F Ax) est un sous--espace vectoriel de R" stable par u.
1.4 Dans cette question, on suppose que :c est un élément non nul de R".

3) Montrer l'existence d'un plus petit entier naturel q pour lequel la famille 
de vecteurs
(ac, u(:c), . .. , uq(æ)) est liée.
?
b) Soit (ao,a1, . . . ,a.,) une famille de nombres réels non tous nuls telle 
que 2 ajuj(oe) : 0

j=o
q

et S le polynôme de R[X] défini par S(X) : 2 anj. Montrer que (1,1 est non nul, 
puis que
j=0
(:::, u(æ), . .. ,uq'1(æ)) est une base de FAoe).
ai

c) Pour tout i EUR {O, 1, . . . ,q}, on pose a,-- = -- et on note ...) 
l'endomorphisme induit par u
a
'?

EUR!
sur FAæ). Montrer que Xuo(X) : (--l)'7 2 a.X', donner la valeur de xuo(U)(OE) 
et en déduire que
i=0
le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u.

Partie II

[1.1 Vérifier les propriétés suivantes :
a) V(X,Y) e (M...(R))2 , VA EUR MAR), (AX | Y) = (X | tAY)
b) V' , mm = (X | Y)
c) v (X, Y, Z) EUR (M...(R))" , (XW)Z : (Y | Z)X
11.2 Soit Lp : MAR) >< MAR) --> R , (A, B) --> Tr('AB). Montrer que 99 définit 
un produit
scalaire sur MAR). Dans toute la suite ce produit scalaire sera noté (( - | - 
)).
11.3 A partir de cette question, r, 3, l, m désignent des entiers naturels 
inférieurs ou égaux à n.

" ) (f. o......)

b) Soit A E MAR) une matrice de rang r. Montrer qu'il existe B dans M...AR) et 
C dans
M...AR) telles que A : BC.

0) Montrer qu'une matrice A de MAR) est de rang 1 si et seulement s'il existe 
deux
matrices non nulles X et Y de M...AR) telles que A : X'Y.

d) Montrer que la décomposition A = X 'Y de la question précédente n'est pas 
unique et
déterminer les relations vérifiées par des matrices colonnes X , Y, Z , T 
telles que

a) Evaluer le produit par blocs (O

A=X'Y=Z'T

11.4 3) Soit (Z.-)1
de matrices (ZitTj)

. et (Tj)1îjîs deux familles libres de vecteurs de R". Montrer que la famille
,. est de rang égal à rs.

i

l/\l/\ l/\
|/\l/\ |/\

>-----

i
]

b) Soit (X,-)15i5n et (Yj)15an deux bases de R". Que peut--on dire de la 
famille de matrices
(Xith)l< SpC(BÛ)} c) Montrer que A0 et BD sont diagonalisables dans MAR). En est-il de même de HO '? Soit maintenant A et B quelconques dans MAR). On se propose d'étudier les liens existant entre la diagonalisabilité de A et B et celle de hA,B. 1112 Soit (1 EUR SpC(A) et b EUR Sde). Montrer qu'il existe (V, W) EUR (M...i(© \ {0})2 tel que: AV : aV , tWB : btW et VtW est vecteur propre de ËA_B En déduire l'inclusion: {a -- b | (a,b) EUR SpC(A) >< Sde)} C Sp(hA,B). Tournez la page S.V.P. III.3 Montrer que si A et B sont diagonalisables dans MAR), il en est de même de hA,B. Calculer dans ce cas Tr(hA,B). III.4 On note a1,a2, . . . ,an les valeurs propres non nécessairement distinctes de A dans C. En exprimant X A en fonction des a,-, montrer que la matrice X A(B) est inversible si et seulement si SPC(A) () SPC(B) = @ 1115 Soit A E Sp(hA,B) et M un vecteur propre associé. 3) Montrer que pour tout polynôme de < SpC(B)}. III.6 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe M non nulle dans MJC) telle que AM : MB. Dans toute la suite du problème, on suppose B = A et on considère l'endomorphisme h A' A que l'on notera plus simplement hA. III.7 On suppose A diagonalisable dans MAR) et on note (V1, V2, . . . , Vn) une base de vecteurs propres de A, chaque vecteur Vi étant associé à la valeur propre /\i. Pour tout (z , j ) EUR Nâ, on définit la matrice Mij de /\/ln(R) par: VkEURNn, Miij=ôflçVi Où 5jk={à îî Ë;Ï_ a) Montrer que la famille de matrices (Mij)1îiSn est une base de MAR) 1San b) Montrer que pour tout (i,j, I:) E NÎ; : hA(ÎWZ')V]C = (À) -- /\j)Miij et en déduire que les matrices Mii sont des vecteurs propres de h A. c) On note ,u1,,u2, . . . ,;ip les valeurs propres distinctes de A, m1, 7712, . . . ,m,, leurs ordres de multiplicité respectifs et J : {(i,j) EUR Nâ | Ài : /\j}. Montrer que: P Ker/... = Vect{MÜ | (...) EUR J} et dim Ker}... : E...3 i=1 d) Montrer que clim Ker hA 2 n et que l'égalité a lieu si et seulement si A admet n valeurs propres distinctes. e) On note lR[A] : {Q EUR MAR) \ HP EUR R[X], Q : P(A)}. Montrer que si les n valeurs propres de A sont distinctes, {l... A, A2, . . . ,A"_1} constitue une base de R{A] et en déduire que dans ce cas Ker hA : R[A]. III.8 On suppose hA diagonalisable et on note (Pij)1Siîn une base de vecteurs propres de f..., 15j5n _ chaque matrice Pij étant associée à la valeur propre /\ij. Montrer que 51 X est un vecteur propre de A associé à la valeur propre À, la famille (Pin) 15157. est une famille génératrice de R" et en déduire 15j5n que A est diagonalisable. Fin de l'énoncé