X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

MARDI 13 AVRIL 2021
14h00 - 18h00

FILIERE MP - Epreuve n° 4
PHYSIQUE ET SCIENCES
DE L'INGÉNIEUR (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

Cette composition ne concerne qu'une partie des candidats de la
filière MP, les autres candidats effectuant simultanément la composition
d'Informatique A.

Pour la filière MP, il y a donc deux enveloppes de Sujets pour cette
séance.
10

15

20

25

L'effet piézo-électrique et deux de ses applications

Nous nous proposons d'étudier l'effet piézo-électrique et deux de ses 
applications courantes. L'analyse
d'un modèle simple permettant de rendre compte du comportement piézo-électrique 
d'un matériau fera
l'objet d'une première partie. Une deuxième partie sera consacrée à l'étude 
d'un transformateur de tension
électrique mettant en oeuvre l'effet piézo-électrique. Enfin, la troisième 
partie s'intéressera au principe d'un
oscillateur électrique à quartz. Les deuxième et troisième parties sont 
indépendantes l'une de l'autre, chacune
d'elles faisant occasionnellement référence à des résultats obtenus dans la 
première partie.

Un matériau piézo-électrique est un milieu isolant, électriquement neutre (dès 
l'échelle de la maille cris-
talline), qui présente la particularité de faire apparaître des charges 
électriques ! en son volume et sur sa
surface lorsqu'il est déformé. Quand le milieu est soustrait à toute action 
extérieure (état de référence), le
barycentre des atomes électropositifs et celui des atomes électronégatifs 
constituant une maille cristalline
sont confondus. Lorsqu'il est soumis à une action mécanique, la maille se 
déforme et ces barycentres se
dissocient, donnant naissance à un moment dipolaire qui devient une source de 
champ électrique. Récipro-
quement, soumis à un champ électrique extérieur, un tel milieu se déforme, si 
cette liberté lui est laissée. Un
matériau piézo-électrique est donc le siège d'un couplage électromécanique 
réciproque. De nombreux dispo-
sitifs tirent parti de cette particularité (allume-gaz, oscillateurs, 
transformateurs, capteurs, transducteurs,
actionneurs...). Le quartz, en particulier, est un cristal naturel qui possède 
cette propriété. Ce sont toutefois
des céramiques synthétiques et des polymères qui sont maintenant le plus 
largement utilisés.

La figure (1) donne une illustration de ce phénomène. Les atomes 
électropositifs et électronégatifs de la
maille sont représentés respectivement en gris et en blanc. Sur le schéma (a) 
la maille n'est pas déformée
alors que sur le schéma (b) elle est étirée selon l'axe (O,x) et les 
barycentres P et N ne sont alors plus
confondus. Notons qu'une contraction de la maille selon une direction 
perpendiculaire à l'axe (O,x) (en
restant ici dans le plan de la figure) produirait le même effet.

(a) Maille non déformée (état de référence)

FIGURE 1 -- Illustration de l'effet piézo-électrique : (a) Maille non déformée, 
les barycentres P et N des
atomes respectivement électropositifs (gris) et électronégatifs (blancs) sont 
confondus ; (b) L'étirement de
--

la maille selon l'axe (O, x) fait apparaître un dipôle électrostatique orienté 
par le vecteur NP.

Î1 Dans toute cette étude, la force s'exercant sur une maille, le champ 
électrique auquel elle est soumise et
sa déformation seront portés par l'axe (O, x) (modèle unidimensionnel). Enfin, 
la force de pesanteur ne sera
jamais prise en compte.

M Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul 
à la main permet aisément,
et sans excéder deux chiffres significatifs.

1. La somme de ces charges restant, bien sûr, nulle.

-- Page 1/16 -
35

40

45

50

55

Notations et données générales relatives à la partie (1).

Les grandeurs qui apparaissent ici seront présentées dans la suite.

e Masse volumique du milieu piézo-électrique : p = 2 x 10° kg-m *

e Coefficient d'élasticité du milieu piézo-électrique : À! = 10° Pa

e Longueur de l'élément piézo-électrique : L = 0,2 mm

e Masse de l'élément piézo-électrique : m

e Permittivité diélectrique du vide : EUR = 8.85 x 10 2 F:m !

e j désigne le nombre complexe de module unitaire et d'argument égal à r/2 
(notation adoptée dans les

trois parties).

1 Étude du comportement d'un milieu piézo-électrique.

Nous appellerons "élément piézo-électrique" (ou parfois "élément") un domaine 
piézo-électrique que nous
supposerons parallélépipédique de longueurs L, (notée L dans la suite), L,, et 
L, selon les axes respectifs
(O,x), (O,y) et (O,z). Sur chacune de ses surfaces d'abscisse x = 0 et x -- L 
est collée une électrode
métallique. Ces électrodes permettent de connecter l'élément à un générateur de 
tension afin de le soumettre
à un champ électrique. Nous notons $ -- Z,,L, leur aire.

1.1 Modélisation du comportement électromécanique d'un élément piézo-électrique.

e Modèle de la maille cristalline.

La figure (2) représente le modèle adopté pour décrire le comportement 
piézo-électrique d'une maille.
Les barycentres des atomes électropositifs et électronégatifs sont représentés 
respectivement par les points
P et N affectés des charges effectives gp = +q (q > 0) et gx = --q. Dans la 
situation de repos (état
de référence), deux couples de deux ressorts (linéaires), de raideurs notées X1 
et K2 maintiennent ces
barycentres confondus. Chacun des ressorts est alors de longueur (à vide, donc) 
a. Sous l'action d'une force
f -- fe, et d'un champ électrique Ë -- E e, extérieurs, cette maille adopte une 
nouvelle configuration
d'équilibre caractérisée géométriquement par l'abscisse xR du point B ainsi que 
par les abscisses xp et æN
des barycentres P et N (abscisses comptées depuis leurs positions d'équilibre 
respectives).

| a > a EL

À
Y

Ki P(+q) y ©

Situation de repos
B (état de référence)

N(-q) K,

.
»

X

État (Y,E ,x»)

N Le

XN

FIGURE 2 --- Modèle adopté d'une maille du réseau cristallin d'un élément 
piézo-électrique. Schéma supérieur :
maille au repos (état de référence) ; Schéma inférieur : maille à l'équilibre 
soumise à la force f = f e, et au
champ électrique E = E e,.

Nous supposons que K2 > K et qu'une maille élémentaire possède la même 
dimension 2a selon les
trois directions (Ox), (Oy) et (Oz). Afin que la figure (2) reste lisible, les 
deux associations (K1,P, K2) et
(K2,N, K31) en parallèle sont représentées décalées et non superposées, comme 
elles devraient l'être.

1. Indiquer quelle signification physique il convient d'attribuer aux 
"ressorts" représentés sur la figure
(2). Préciser alors la condition, portant sur la variable xp, que cette 
modélisation présuppose.

-- Page 2/16 -
2. Établir l'expression de la force f = f(xB, E) correspondant à la situation 
d'équilibre.

60 3. Nous définissons le moment dipolaire électrique d'une maille par le 
vecteur p = pe, où p = q(xp--xx).
Exprimer p en fonction des variables xB et E ainsi que des paramètres du modèle.

4. Nous considérons un élément piézo-électrique formé d'un assemblage de N; x 
No X N3, selon les axes

respectifs (O,x), (O,y) et (0,2), mailles telles que celle représentée sur la 
figure (2). Elles sont sup-

posées être soumises au même champ électrique É- 0 et BE = Cste D)
T 2
o=AÛ BE où A--=Cste > 0 et B -- Cste

x

Par ailleurs, nous envisageons des situations pour lesquelles les grandeurs 
mises en relation dépendent, a
75 priori, de l'abscisse x et du temps t. La contrainte o = o{(x,t) représente 
alors la force par unité de surface
qu'exerce la partie droite (abscisses > x) sur la partie gauche (abscisses < x) de l'élément piézo-électrique, à l'abscisse x et au temps t. 6. Indiquer comment construire une longueur caractéristique L? de variation de la fonction uw et en proposer une expression. Préciser comment doivent être hiérarchisées l'échelle de longueur cristalline 80 2a, celle de la longueur L? et celle de l'accroissement dx. 7. Donner l'expression, en fonction des paramètres K1, Ko, a et q, de chacun des coefficients «, 6, À et B issus du modèle que nous avons développé. Vérifier que 6 = B. -- Page 3/16 - 85 90 95 100 1.2 Étude électrostatique. Les électrodes de l'élément piézo-électrique sont connectées aux bornes d'un générateur de tension (supposé idéal) délivrant une différence de potentiel #. Ce générateur, par l'intermédiaire du courant à qu'il débite, fournit les charges (algébriques) --Q à l'électrode de gauche et +Q à celle de droite. Ce système est représenté sur la figure (3). L'électrode de gauche est supposée maintenue fixe et définir la référence du potentiel électrique. Celle de droite suit le déplacement de la surface d'abscisse x -- L de l'élément piézo-électrique à laquelle elle est liée. Son déplacement est donc décrit par la variable u(L,t) (lu(L,t)| & L). Elle est soumise, de la part de l'extérieur, à une force F = Fé,. Nous notons ËÊ = Eë, (E = E(x,t)) le champ électrique dans le milieu. 0 L _--.--.--. emmener meme mm nn X (G) | Élément piézo-électrique | (D) 2 = 3 © E(x,t © £ EG) £ LF © M D \ 1 -Q +0 l CD >
A

FIGURE 3 -- Élément piézo-électrique comportant deux électrodes métalliques 
connectées à un générateur.
Elles soumettent cet élément à la différence de potentiel #. Notons que c'est 
le signe de la composante
algébrique E(x,t) qui donnera, localement en espace et en temps, le sens 
véritable du champ électrique E.

î Nous admettrons que le vecteur polarisation P (défini par la première des 
équations (2)) est à l'origine
de l'apparition :

e dans le milieu piézo-électrique, d'une densité volumique de charge 
d'expression pp = --div P;

--

e sur la frontière du milieu piézo-électrique, d'une densité surfacique de 
charge d'expression op = P-n
où ñ est le vecteur unitaire normal à la surface au point considéré, orienté de 
l'intérieur vers l'extérieur
du milieu.

Nous rappelons que le milieu est isolant et qu'il reste électriquement neutre. 
Seules les électrodes peuvent
échanger des charges avec le générateur. Par ailleurs, nous admettrons que le 
champ électrique reste nul dans
les électrodes métalliques et que les charges +Q qu'elles portent se 
répartissent sur les surfaces se faisant
face (c'est-à-dire celles étant en contact avec le milieu piézo-électrique). 
Enfin, nous nous plaçons dans le
cadre des régimes quasi permanents.

8. Établir, à partir de l'équation de MAXWELL-GAUSS, l'équation liant la 
composante E du champ
électrique à la dérivée partielle Ou/Or et à une fonction du temps fo = fat), à 
ce stade encore
arbitraire. Nous poserons EUR = EUR0 + a.

9. Relier la fonction fo = fa(t) à la charge Q = Q(t) portée par l'électrode de 
droite. Établir alors que
la composante E = E(x,t) vérifie l'équation :
Ou Q
EE = -5-- -- -- 3
Ox S (3)
10. Déduire de l'équation (3) l'expression du potentiel électrostatique V = 
V(x,t) en fonction du déplace-
ment u = u(x,t), de la charge Q = Q(t), de l'abscisse x ainsi que des 
paramètres du modèle. Exprimer
ensuite la différence de potentiel d = Y(t) en fonction de Q(t) et u(L,t). On 
fera apparaître, dans
cette expression, la capacité électrique C4, = eS/L.

-- Page 4/16 -
11. Établir que la contrainte o peut s'écrire sous la forme :

Ô B'
(at) = AE + QE) (u = u(x.t) (0
110 Préciser l'expression de chacune des constantes 4' et B".

1.3 Étude mécanique.

Le comportement mécanique de l'élément piézo-électrique en régime dynamique est 
caractérisé par le
champ de déplacement u = u(x,t) qu'il s'agit de déterminer.

12. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à une tranche 
élémentaire SX [x,x + dx] du
milieu, établir que l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction 
uw prend la forme :

du J0°u

2 2 5
Ôt? Ôx? 6)
On précisera l'expression du coefficient c (choisi positif).

e Nous rechercherons les solutions de l'équation (5) sous la forme d'ondes 
harmoniques, écrites en repré-
sentation complexe :

u(x,t) = à exp(jut -- jkx) où üù--=Cste EC , weC et kEeC (6)

u5 13. Justifier que, structurellement, l'équation (5) impose qu'à une 
pulsation w soient associés deux nombres
d'onde k£, et k_. Donner leur expression.

14. Dans le cas où w EUR R (supposée alors positive, voire nulle), justifier 
que les solutions prennent la
forme :

u(x,t) = à exp (jwt) sin(kx) (7)

L'amplitude complexe & n'est, à priori, plus celle apparaissant dans l'équation 
(6).

e Etude du régime libre sans charge mécanique.

Nous supposons ici que Q = Cste = 0 et qu'en x = L la surface du milieu n'est 
soumise à aucune contrainte
0 extérieure (extrémité droite libre). Il s'agit de caractériser les modes 
propres de vibration mécanique du
milieu en définissant la famille de couples de pulsation w et de nombre d'onde 
k alors sélectionnée.

15. Justifier que la pulsation w est, dans ce cas, réelle (que nous choisirons 
positive).

16. Établir que les solutions de l'équation aux dérivées partielles (5) 
prennent alors la forme :
ug(x,t) = Agcos (wat) f(x) où Jq(x) =sn(kgx) (q EUR N°) (8)

Donner l'expression du nombre d'onde k, ainsi que celle de la pulsation w, 
correspondant au mode g.
On choisira la dépendance de ces grandeurs avec l'entier q telle que la valeur 
qg = 1 corresponde au
125 premier mode (c'est-à-dire à celui de plus basse fréquence).

17. Représenter graphiquement la dépendance des fonctions f1 et f2 avec la 
variable x/L.

-- Page 5/16 -
130

135

140

e Étude du régime libre avec charge mécanique inertielle.

Nous nous plaçons encore dans le cas où Q = 0 mais la surface d'abscisse x -- L 
entraîne maintenant, dans
son déplacement, un objet solide de masse M. Cet objet représente l'électrode 
droite, liée éventuellement à
un élément devant être mis en mouvement. Il n'est soumis à aucune autre force 
que celle qu'exerce sur lui
le milieu piézo-électrique à la surface duquel il est fixé.

18.
19.

20.

21.

22.

Justifier que, dans ce cas encore, w EUR R (que nous choisirons positive).

Nous supposons que la longueur L, de l'objet, selon l'axe (Ox), vérifie kL, 1. 
Traduire la condition
limite en x = L. Préciser en quoi l'hypothèse adoptée ici conditionne son 
écriture.

Établir que le nombre d'onde k est alors solution de l'équation :
cot(0) = u0 où 0--=KkL (9)

Donner l'expression de la constante positive u en fonction de M,, p, $ et L. En 
proposer une inter-
prétation physique.

Nous envisageons le cas où M, = 3m. La figure (4) représente graphiquement la 
fonction 0 + cot(4)
sur l'intervalle [0,3]. Donner, à l'aide de cette figure, l'expression 
approchée du nombre d'onde k, et
celle de la fréquence correspondante f, = w,/(2r), en fonction de q 
(c'est-à-dire de ce seul paramètre),
pour q > 2. Calculer la valeur de f2. On présentera la démarche suivie. Nous 
rappelons que le mode
numéro qg = 1 est celui de plus basse fréquence.

cot(Ô)

FIGURE 4 -- Représentation graphique de la fonction 0 + cot(0) (0 EUR [0,37).

Analyser successivement les situations telles que u 1 et 4 > 1. Donner une 
interprétation du cas
particulier correspondant au mode q = I.

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150

155

160

1.4 Adaptation de la modélisation à un cadre pratique.

Nous souhaitons établir un modèle mécanique simplifié de l'élément 
piézo-électrique reproduisant, dans un
cadre restreint et de façon approchée, son comportement. Nous nous plaçons dans 
le cas où Q = 0 et M, = 0
(extrémité droite libre) et nous adoptons le champ de déplacement relatif au 
premier mode correspondant
qui s'écrit alors :

u(x,t) = ui cos(urt)sin(kix) où ki = on (ui = Cste EUR R) (10)
Par ailleurs, nous ne nous intéressons plus qu'au mouvement de la surface 
d'abscisse x -- L de l'élément
piézo-électrique, limité à un domaine fréquentiel s'étendant guère au-delà du 
premier mode. Nous souhaitons
établir à quelles conditions le système mécanique continu d'origine (noté S) 
est équivalent à un système
discret S* constitué d'une masse (effective) m* et d'un ressort de raideur 
(effective) K*. La position de la
masse m"* est repérée par la variable À = At) = u(L,t). Nous appuierons la 
condition d'équivalence des
systèmes $S et S* sur un critère énergétique. Cette situation d'équivalence est 
illustrée sur la figure (5).

0 | | 0 I | X
mopi--imminimiminiminimiminimininrn je po nn An +: js »-
_ ne

K* _

Élément ? | +
piézo-électrique Demier mA AMAN TT

I t

EH
[ L | À | [ L | À |
pe > pe >,

FIGURE 5 -- Recherche de l'équivalence masse-ressort, d'un point de vue 
énergétique, de l'élément
piézo-électrique, pour le premier mode.

23. Imposons que l'énergie cinétique ET du système S* reste, à tout instant, 
égale à celle (notée E-) du
système $, pour A(t) = u(L,t). Etablir la relation liant la masse effective m* 
à la masse m de l'élément
piézo-électrique assurant cette égalité. Analyser ce résultat.

24. En adaptant le critère énergétique adopté pour identifier m*, déterminer 
l'expression de la raideur
effective K* en fonction des grandeurs À', $ et L. On présentera chaque étape 
de ce calcul. Comparer
cette expression à celle de la raideur K° que l'élément présente en statique 
(ou dans la limite quasi-
statique).

25. Vérifier que les expressions trouvées conduisent bien à la pulsation w1 du 
premier mode (se reporter
aux questions (12) et (16)).

e Nous adoptons maintenant ce modèle en considérant que l'élément 
piézo-électrique est équivalent au
système masse-ressort (m*, K*) représenté sur la figure (5). Dans ce cadre, les 
équations décrivant le com-
portement électromécanique de l'élément piézo-électrique prennent la forme (se 
reporter aux questions (10)
et (11)) :

B \ ES NP
d -- Æ + -- A où Ce -- T (capacité électrique)

(11)
BP

FT -- K*A + --()
E

Nous avons, par ailleurs, considéré que 8 = B (se reporter à la question (7)).

Q Nous notons y = (S/L)B = (C./E)B, K, = yB/e et K°* = K* -- K, (en pratique, 
K°** > 0).

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170

175

Le déplacement À = u(L,t) de la surface d'abscisse x = L est défini sur les 
figures (5) et (6). La différence
de potentiel 4, la charge Q et le courant à sont définis sur les figures (3) et 
(6). La grandeur Fy représente
la force exercée par l'extérieur au milieu piézo-électrique sur la surface 
d'abscisse x -- L de ce dernier.
Cette surface est liée à un objet (électrode éventuellement solidaire d'un 
autre élément) de masse M, qui
suit son mouvement. Nous notons M = m° + M, la masse mobile totale. Enfin, cet 
objet est soumis à une
force F, = F, és, extérieure au système électromécanique (M, K*,Q). La figure 
(6) représente l'élément
piézo-électrique dans cet environnement.

RS nn nee Le
Électrode (-Q) | L À Electrode (+Q)
Go pe LT / (mobi
A,
Ut»
Ne
Y

FIGURE 6 -- Modèle mécanique (m*, K*) de l'élément piézo-électrique lié à un 
objet rigide de masse M... Ce

dernier est soumis à une force F7, = F4 e,, extérieure au système 
électromécanique (M = m* + M,, K*,Q).
Les électrodes sont soumises à la différence de potentiel Y.

Nous souhaitons caractériser le comportement harmonique de ce système. Nous 
écrirons chacune des
variables du temps t en représentation complexe, sous la forme :

s(t) = Sexp(jut) (12)

26. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M. En 
déduire la relation liant
l'amplitude complexe F, de la force extérieure aux amplitudes complexes jwA et 
1 de la vitesse et du
potentiel. On ne fera intervenir, dans cette relation, que le paramètre 7 et la 
grandeur Zéca définie
par la relation :

K*

Zméca (JW) = JUM + -- (13)
jw

Cette grandeur définit l'impédance mécanique du système masse-ressort (M, K°%*).

27. Exprimer l'amplitude complexe ? du courant en fonction des amplitudes 
complexes ju et jwA . On
ne fera intervenir, dans cette relation, que le paramètre 7 et la capacité 
électrique C4.

28. Les résultats établis en réponse aux question (26) et (27) permettent 
d'établir que ce système élec-
tromécanique peut être symboliquement représenté selon le schéma de la figure 
(7). L'opérateur (T)
symbolise le couplage électromécanique apparaissant dans un élément 
piézo-électrique. Il joue un rôle
analogue à celui d'un transformateur électrique.

O

(®)

FIGURE 7 -- Schématisation, en empruntant la symbolisation de 
l'électrocinétique, du système électroméca-
nique représentant un élément piézo-électrique soumis à la différence de 
potentiel 1 et à la force extérieure
F, Ex.

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185

190

195

Donner l'expression de chacune des grandeurs J et F,. En déduire l'expression 
du rapport de trans-
formation défini par le rapport F,/.

Représenter le contenu du dipôle (B) en restant dans la logique de cette 
représentation, c'est-à-dire en
utilisant les symboles de l'électrocinétique.

Indiquer pourquoi le transformateur (T) est dit "parfait".

29. Nous nous plaçons dans le cas où F, = 0. À partir du modèle du 
transformateur représenté sur la
figure (7), préciser la composition de l'impédance électrique ZQ perçue par le 
générateur délivrant la
différence de potentiel #.

(1 Dans la réalité, l'impédance mécanique (définie par l'équation (13)) 
comprend un terme supplémentaire,
indépendant de la pulsation. Ce terme traduit la dissipation de l'énergie 
mécanique se produisant au sein du
milieu au cours de sa déformation. Transposé dans le domaine électrique, il 
correspond à une résistance.

2 Application de l'effet piézo-électrique à la transformation de tension.

Nous adoptons le modèle discret (m"*, K*) d'un élément piézo-électrique, chargé 
inertiellement par une
masse M,, représenté sur la figure (6). Ses électrodes sont soumises à la 
différence de potentiel 4 et la
masse M, à la force extérieure F, -- F,e,. Ce système électromécanique 
correspond au schéma symbolique
présenté sur la figure (7).

Nous plaçons tête-bêche ? un premier élément * (m*, K*,4)1, associé à une masse 
M, et un second élément
(m"*, K*,#)2 (de caractéristiques à priori différentes). La force F, = F,é, 
devient la force F, /o+ appliquée
par l'élément (2) sur l'objet. La figure (8) représente la mise en 
correspondance des schémas symboliques
de ces deux systèmes, avant leur association.

Système | (associé à M) Système 2

FIGURE 8 -- Schémas symboliques de deux éléments piézo-électriques placés en 
correspondance, avant leur
association. Les variables et paramètres propres à chaque système 1 et 2 
doivent être lus comme portant
l'indice 1 ou 2 correspondant, exceptée la variable F, qui leur est commune. La 
masse M, est prise en compte
dans l'impédance mécanique Znéca1 du système (1).

Effectuons maintenant le retournement haut S bas du système (2) afin de 
transformer --F, en F, (orientée
vers le haut). Parallèlement, la vitesse À est changée, sur la branche 
supérieure de son circuit primaire, en
À) -- À; (vitesse commune des surfaces mises en contact). Les deux schémas 
peuvent alors être raccordés,
les impédances mécaniques s'additionnant. La figure (9) illustre cette 
opération.

2. Nous supposons que les surfaces extrêmes de cet assemblage restent immobiles.
3. Naturellement, les deux électrodes mobiles sont isolées électriquement l'une 
de l'autre.

-- Page 9/16 -
200

1=

|

| G-- F, EC |Y
O L O / à --0
Système 1 (associé à M,) Eu Système 2 > Le

FIGURE 9 -- Schémas symboliques de deux éléments piézo-électriques prêts à être 
associés. Les variables et
paramètres propres à chaque système 1 et 2 doivent être lus comme portant 
l'indice 1 ou 2 correspondant,
exceptée la variable F, qui leur est commune. La masse M, est prise en compte 
dans l'impédance mécanique
Zméca 1 du système (1).

Enfin, transformons les grandeurs mécaniques en grandeurs électriques 
correspondantes en les ramenant
au circuit primaire du transformateur T,. Nous aboutissons finalement au schéma 
représenté sur la figure
(10). Sur cette figure sont introduites les nouvelles notations et conventions 
utilisées dans cette partie. Nous
notons m (m -- Cste EUR R) le rapport de transformation du transformateur 
(idéal) (T), c'est-à-dire que
Us = mUi et J2 = Ji/m. Dans toute la suite, nous noterons X1 = X1(t) une 
variable réelle dépendant du
temps t et X, = X,(w) l'amplitude de la grandeur complexe qui lui est associée, 
en régime harmonique de
pulsation w.

Bis ---- > ob2
À À
O O
A Primaire Secondaire 2

FIGURE 10 -- Modèle électrique de deux éléments piézo-électriques en 
interaction formant un transforma-
teur réalisant le conversion (V,11) -- (V2,B). Nous rappelons que les éléments 
À, L et C traduisent,
dans le domaine électrique, le comportement mécanique des deux éléments 
piézo-électriques couplés par
l'intermédiaire de la masse 1...

2.1 Détermination des éléments du schéma équivalent.

Il s'agit de déterminer, à partir d'une étude fréquentielle du transformateur, 
les valeurs des paramètres de
son modèle équivalent représenté sur la figure (10). Nous nous limiterons à la 
détermination des éléments
C1, R, Let C' situés au primaire du transformateur. Pour cela nous réalisons un 
essai en court-circuit. Dans
ces conditions V2 = ÜUo = 0 et donc ÜU; = 0. L'admittance d'entrée du 
transformateur s'exprime alors :

Î; I
-- LE -- 14
" V, jCiw + R + j (Lw -- 1/(Cw)) (4)

Par ailleurs, nous définissons les deux pulsations caractéristiques suivantes :

ws = ------> (pulsation se rapportant au comportement mécanique du 
transformateur)
". VEC (5)
Wp = l où Ce = LA (C1 > C)
VLCeq C+C

25 La pulsation w, correspond sensiblement au maximum de |Y.| et w, à son 
minimum.

-- Page 10/16 -
La figure (11) représente, sur le tracé de gauche, la dépendance du module de 
l'admittance YA en fonction
de la fréquence, en représentation log, -- log,9. Le tracé de droite représente 
le lieu de Yi dans le plan

complexe, paramétré par la pulsation.

0.08

" fe \

10°

-- 10 --
É a
Ë
= &
10 5 002 \
-0.04 -
10 -0.06 - KE
----_ | _--
0 0 0 0 0 -0.08 T ' r r T T T T r r r :
10 1.5x10 2.0x10°  2.5x10 3.0x10 0 0.05 0.1 0.15
f (MH) Re(Y1) (S)

FIGURE 11 -- Tracé de gauche : Dépendance du module de l'admittance complexe Y1 
en fonction de la
fréquence, en représentation log, -- log0. Tracé de droite : Lieu de Yi dans le 
plan complexe, paramétré
par la pulsation, pour le même intervalle fréquentiel que sur le tracé de 
gauche. Ce lieu est parcouru dans
le sens horaire, pour une évolution croissante de la pulsation.

30. Estimer, à partir des tracés de la figure (11), la valeur de chacun des 
paramètres R, C1, C et L (il est
210 plus aisé de suivre cet ordre). On présentera chaque calcul.

2.2 Analyse du comportement du transformateur en charge.

Le transformateur alimente maintenant une charge située au secondaire, 
modélisée par une résistance Rr.
Cette résistance est connectée entre les points A2 et B2 du modèle équivalent 
représenté sur la figure (10).
Nous notons Z2 l'impédance du dipôle constitué de À1, en parallèle avec C2 et 
qui forme la charge totale.

215 Le transformateur est alimenté, au primaire, par un générateur délivrant la 
tension Vi de pulsation w.

En ramenant l'impédance Z2 du secondaire au primaire, nous obtenons le schéma 
équivalent représenté
sur la figure (12). L'élément (D) est un dipôle d'impédance Z, représentant la 
charge totale transférée au

primaire.
I R L C
B, LR D,
À __] JT À
V. CC 1 (D) U 1

Primaire C;

FIGURE 12 -- Modèle électrique du transformateur dont la charge totale a été 
ramenée au primaire, sous la
forme du dipôle (D).

31. En s'appuyant sur les relations de transformation des tension et courant Us 
= mUi et Jo -- Ji/m,
220 exprimer Z5 en fonction de Z2. Caractériser les éléments À; et C; 
constituant le dipôle (D) si l'on
conserve la même structure de l'impédance, c'est-à-dire si ces deux éléments 
sont disposés en parallèle.

-- Page 11/16 -
e En vue d'analyser plus aisément le comportement du transformateur en charge, 
nous transformons la
structure parallèle du dipôle (D) en une structure série. Aïnsi, l'association 
en parallèle des éléments ART et
C3 est équivalente à l'association en série de la résistance À, et la capacité 
C, définies par les relations :

__ Ri/m

1+ (RL Cow)

1 + (RL Cow)"
(RL Cow)

(16)
C, = m°C

Il s'agit de placer le transformateur en charge sur le point de fonctionnement 
choisi. Ce choix repose
souvent sur une condition de transfert maximum de puissance à la charge ou de 
gain en tension maximal.
Pour cela, à fréquence fixée, on peut ajuster la valeur de la résistance R1. On 
peut également, pour une

23 valeur fixée de cette résistance, agir sur la fréquence.

32. En ne prenant pas en compte la dépendance de la résistance À, avec la 
pulsation, exprimer la pulsation
de résonance en courant, notée w., de la branche constituée des éléments À, L, 
C', R, et C% en série.
Exprimer, pour w = w,, la puissance * P; transmise à la charge R1,, en fonction 
de R, R, et IV |.

33. Définir à quelle condition cette puissance est maximale, pour une amplitude 
de la tension d'entrée VA
230 fixée.

34. Nous nous plaçons dans le cas où m > 1 et nous considérons que C2 5 C. 
Discuter qualitativement
la condition précédente vis-à-vis de la résistance R1..

4. Il s'agit donc de la puissance active.

-- Page 12/16 -
235

240

245

250

2.3 Alimentation d'une lampe fluorescente à cathode froide par un 
transformateur piézo-
électrique.

L'alimentation d'une lampe fluorescente à cathode froide (LCF), utilisée 
notamment pour le rétro-éclairage
des écrans plats à cristaux liquides, constitue une application courante du 
transformateur piézo-électrique.
Une LCF se présente comme une ampoule cylindrique d'un diamètre de quelques 
millimètres et d'une
longueur de plusieurs centimètres (se reporter à la figure (13)). Elle est 
alimentée par un transformateur
piézo-électrique piloté par un dispositif électronique fournissant la tension 
V, de fréquence f, à son primaire.
Ce dispositif électronique, à partir du suivi de la valeur efficace du courant 
J2 traversant la lampe, amène le
système transformateur-LCF sur le point de fonctionnement choisi.

FIGURE 13 -- Photographie d'une lampe fluorescente à cathode froide 
(fabrication par JKL Components
Corporation).

-- Une LCF présente une caractéristique courant-tension non-linéaire. Le tracé 
de gauche de la figure (14)
représente la dépendance de la tension efficace V2 entre ses bornes en fonction 
du courant efficace 1° qui
la traverse. Le tracé de droite représente la dépendance de la résistance RL de 
la lampe en fonction de 12°".
Cette résistance a été définie par le rapport vi / D%. La valeur de la tension 
efficace V2 doit atteindre un
certain seuil, appelé tension d'amorçage, pour initier l'allumage. Après 
l'amorçage, la tension V23% décroît
avec le courant L°.

950 e VU ©
©
e % 2.5 -
900 : e | ©
dd O |
850 - ® 219
] © ©
800 - o ® |] o
; e |
TS © TK
> 7/50 1.5 |
E - ° -- %
sa 7001. © 3 | e
] © 1 ©
650 - --. | O
® ©
1 @ c | ©
600 05 Ce
le °
550 2e
; © ee
1 © ] © © © ©
500 + 0 TT TITI TITI TTTT
O0 0.5 1 1.5 2 25 3 35 4 45 5 95.5 6 O0 O5 1 1.5 2 25 3 35 4 45 5 5.5
15" (mA) 15" (mA)

FIGURE 14 -- À gauche : caractéristique courant-tension d'une LCF. À droite : 
dépendance de sa résistance,
définie par le rapport v2/ D%, avec le courant efficace la traversant.

-- Le transformateur piézo-électrique est caractérisé par la dépendance de la 
valeur efficace V2 de sa
tension de sortie avec la fréquence f, paramétrée par la résistance RL qui le 
charge. La figure (15) représente
cette dépendance pour W% = 15 V et les valeurs : RL = 140 ; 200: 300 ; 500 et 
750 KA.

-- Page 13/16 -

1 400 -
1 200 -
1 000 -
800-
S |
= 600-

400 -

200 -

f (kHz)

FIGURE 15 - Tension efficace V2%Y de sortie du transformateur en fonction de la 
fréquence f pour W% = 15 V

et différentes valeurs de la charge : Ry, = 140 ; 200; 300 ; 500 et 750 kQ. En 
suivant cet ordre, les maxima
des courbes vont croissant.

--+ Le système transformateur-LCF présente les caractéristiques générales 
suivantes :
e Valeur efficace de la tension au primaire : 15 V:
e Tension efficace d'amorçage : 950 V ;
e Tension efficace nominale : 680 V ;

255 e Courant efficace nominal : 5 mA ;

-- Le dispositif électronique de pilotage peut faire varier la fréquence f dans 
la plage | fnin, max] OÙ fmin --
50 KHZ et finax = 70 KHZ. Dans la situation initiale, la lampe est éteinte et f 
= fmax.

35. Reproduire (approximativement) la figure (15) et y placer (toujours 
approximativement) le point Po
correspondant à la situation initiale. Réaliser cette figure suffisamment 
grande, elle sera réutilisée dans
260 la suite.

36. Le dispositif électronique réduit alors progressivement la fréquence pour 
atteindre le point P; corres-
pondant à l'amorçage. Placer ce point (approximativement) sur la figure 
précédente en justifiant sa
position. Indiquer la valeur f: de la fréquence correspondante.

37. Il s'agit enfin d'atteindre le point de fonctionnement P2 correspondant au 
régime nomimal. Placer ce
265 point (approximativement) sur la figure précédente en justifiant sa 
position. Préciser comment doit
être ajustée la fréquence depuis la situation P;. Indiquer la valeur f2 de la 
fréquence correspondante.

Q C'est en 1956 que CHARLES A. ROSEN conçoit le premier transformateur 
piézo-électrique. Il le réalisa

à partir d'un barreau de titanate de baryum. Ce type de transformateur est 
aujourd'hui de plus en plus utilisé
dans les dispositifs nomades nécessitant une forte miniaturisation et des 
tensions élevées.

-- Page 14/16 ---
270

275

280

285

290

295

3 Oscillateur électrique utilisant un élément piézo-électrique.

Le couplage électromécanique particulier s'établissant dans un matériau 
piézo-électrique peut être mis à
profit dans la conception d'oscillateurs devant présenter une grande stabilité 
en fréquence. Ces oscillateurs
fournissent la base de temps des horloges de précision. Un élément 
piézo-électrique, généralement un quartz,
est alors intégré dans un filtre formant la chaîne de retour d'un système 
bouclé particulier. La figure (16)
représente la structure du système linéaire électrique à partir duquel sera 
réalisé un tel oscillateur. Elle
comporte :

e Un amplificateur de tension (élément actif) de résistance d'entrée Re, de 
résistance de sortie À et de
gain en tension à vide Go (Go = Cste EUR R) (c'est donc le gain à courant de 
sortie 1 nul) ;

e Un pont d'impédances (71, Z2, Z3) ayant vocation à former un filtre.

A RL LB 2 C
À À À
R, ÀGov: Z Z
V V, V,
Amplificateur Filtre

Ligne de masse (référence des potentiels)

FIGURE 16 -- Système linéaire électrique composé d'un amplificateur (Go, Re, R) 
suivi d'un filtre (71, Z2, Z3).

Nous notons p (p EUR C) la variable de LAPLACE. Les grandeurs VW = Vi(p), VW = 
Vi(p), Va = Va(p) et
I = I(p) représentent les grandeurs symboliques associées aux tensions v1 = 
vi(t), va = vi(t), u3 = us(t) et
au courant à = i(t). Les impédances Z; = Z;(p) sont des grandeurs complexes.

Il s'agit ici d'étudier le principe d'un oscillateur à quartz et de définir 
quel rôle particulier ce dernier joue.

38. Établir la relation liant les grandeurs d'entrée VA et de sortie V3. Nous 
l'écrirons sous la forme :

Go
Vs = Y V: 17

L'admittance Y est à exprimer en fonction des impédances Z; et de la résistance 
À.

> On pourra d'abord égaler les expressions du courant T, vu d'une part comme 
sortant de l'amplifica-
teur, vu d'autre part comme entrant dans le filtre.

e Le point C du circuit est connecté au point À, bouclant ainsi le système sur 
lui-même. Nous supposons
par ailleurs que la valeur de la résistance d'entrée À, est suffisamment élevée 
pour que l'on puisse considérer
que la relation (17) liant VA et Va reste utilisable (hypothèse H(R.). Il 
s'agit de définir la nature (c'est-à-dire
le comportement) des solutions v; = v;(t), dans ces conditions.

39. Indiquer à quelle condition, portant sur les composants du système, 
l'hypothèse H(R.) est justifiable.

40. Former, à partir de la relation (17), l'équation dont la variable p est 
alors solution. Rappeler le lien
existant entre la variable complexe p et la nature des solutions d'un système 
linéaire en régime libre.

e Nous recherchons à quelle condition il existe des solutions particulières 
pour lesquelles p = jw (w EUR R). Par
ailleurs, les impédances du pont sont maintenant supposées être purement 
imaginaires (situation idéalisée
par l'absence d'effet dissipatif). Nous les notons alors Z;(jw) = jS;(w) (S; 
ER).

41. Établir que cette condition se traduit par deux relations pouvant se mettre 
sous la forme :

F(S1,5S2,53) = 0
G(S1, 52, Go) = 0

On explicitera chacune des fonctions F'et G.
Indiquer pourquoi la résistance À n'intervient pas dans cette condition.

-- Page 15/16 -
300

305

310

e Nous notons K2 = 52/51 et Ka = S3/S1.

42. Établir que le système d'équations (18) conduit aux deux égalités :

Ko -- Go -- ] (19)
K3 = ---Go

e Nous nous plaçons dans le cas où Go < 0 (gain fixé) et nous choisissons l'impédance Z telle que ZA = 1/(j Ciw) (capacité C1 fixée). 43. Identifier et caractériser le dipôle d'impédance Z3. e Le dipôle d'impédance Z2 est un quartz. Il est caractérisé par la dépendance S2 = S2(w) représentée sur la figure (17). La grandeur w, est la pulsation de résonance parallèle (ou "résonance bouchon") du quartz. Elle correspond ici à la fréquence f, = 1 MHz. 0.1 0.1 0.08 0.08 0.06 0.06 0.04 0.04 0.02 -- 0.02 C 0 A 0 -0.02 U 0.02 -0.04 -0.04 -0.06 -0.06 0.08 -0.08 -0.1 -0.1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 14 0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02 w/uw W/Wp FIGURE 17 -- Dépendance S2 -- S2(w) pour le quartz d'impédance Z2 = j$2. Le tracé de droite est un agrandissement horizontal de la zone centrale du tracé de gauche. Afin que ces tracés restent exploitables, les cadres graphiques ont été restreints verticalement. L'échelle des ordonnées est commune aux deux tracés. 44. Indiquer comment déterminer, à partir de la figure (17), la pulsation d'oscillation du système bouclé. Estimer numériquement l'écart relatif Aw/w,, dans lequel cette pulsation se situe. 45. Justifier qu'il était possible d'utiliser une bobine (non résistive, afin de rester dans le cadre de cette étude), à la place d'un quartz. Préciser alors quel est l'intérêt du choix d'un quartz. [1 Lorsqu'un tel oscillateur est utilisé comme base de temps étalon il devient nécessaire de le stabiliser thermiquement afin de limiter la dérive des caractéristiques mécaniques du quartz. Ces systèmes contrôlés en température sont connus sous le nom de Oven Controlled Crystal Oscillator ou OCXO. -- Page 16/16 -

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2021
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Olivier Frantz (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et 
Cyril Ravat
(professeur en CPGE).

Ce problème est consacré à l'étude de l'effet piézo-électrique et de deux de ses
applications.
· Dans la partie 1, on construit un modèle de matériau piézo-électrique à une
dimension et l'on caractérise ses propriétés électrostatiques et mécaniques 
ainsi
que leur couplage. On propose ensuite une version simplifiée de ces propriétés
en régime oscillant.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude des applications de l'effet 
piézoélectrique pour la transformation de tension, d'abord dans un cadre très 
général,
puis dans le cadre d'un dispositif d'alimentation de lampe fluorescente à 
cathode
froide.
· La partie 3 propose d'étudier une boucle électronique permettant de réaliser
un oscillateur à quartz et de discuter des mérites de l'emploi de ce quartz par
rapport à une bobine.
Le coeur du modèle constitue la partie 1, qui est beaucoup plus longue que les
deux autres car son approche est très progressive. La troisième partie est plus 
courte
et très largement indépendante des deux autres.
Ce problème très intéressant permet d'aborder une grande variété de thèmes et
de méthodes au programme de MP, mais il aborde aussi un domaine totalement hors
programme : les transformateurs. Ils sont introduits pas à pas. C'est là une 
manière
de tester la capacité des candidats à s'approprier rapidement des concepts 
nouveaux.
Cela rajoutait de la difficulté au sujet, qui est très long et comporte 
plusieurs questions difficiles.

Indications
Partie 1
2 Faire le bilan des forces sur les points P, N et B, tous les trois à 
l'équilibre, pour
compléter le jeu d'équations sur xP , xN et xB .
4 La force et la déformation sont uniformément réparties parmi les cellules.
6 On peut essayer de déterminer la distance pour laquelle l'allongement 
correspondrait à une distance particulière.
u
7 Quelle est la relation entre r et
?
x
9 Appliquer le théorème de Gauss à un petit cylindre comprenant l'interface 
entre
l'élément piézo-électrique et l'électrode en x = L.
12 Faire un bilan des forces sur un petit volume, en faisant attention au sens 
des
forces.
15 Que se passe-t-il si  a une partie imaginaire ?
u
2u
et
.
19 On cherche une équation reliant
2
x
x
21 Graphiquement, on peut remarquer que les intersections de la courbe cot() 
avec
la droite µ sont souvent proches des asymptotes verticales.
23 L'énergie cinétique de S est la somme des énergies de chaque tranche 
élémentaire
de largeur dx.
24 L'énergie potentielle de chaque tranche élémentaire est obtenue en sommant le
travail de la contrainte extérieure menant d'une élongation nulle à une 
élongation
totale u(x + dx) - u(x).
25 Pas besoin de calculs supplémentaires pour définir la pulsation propre d'un 
oscillateur harmonique équivalent.
-
26 Attention à la projection des forces sur 
e .
x

28 Le schéma du transformateur correspond simplement à la proportionnalité des
tensions de part et d'autre du quadripôle, sans autre relation électrique.
Partie 2
30 La figure de droite permet de lire les parties réelle et imaginaire de Y1 ( 
s ).
32 Si l'expression de Rs se simplifie, celle de Cs aussi.
Partie 3
38 On doit supposer qu'aucun courant ne sort en C.
41 Analyser les parties réelle et imaginaire de l'expression obtenue à la 
question 40.
Déterminer la valeur de I pour expliquer l'absence de R dans ces relations.
44 La condition 19, en imposant le signe de S2 , définit une plage de 
pulsations possibles.

L'effet piézo-électrique et deux de ses
applications
1. Étude du comportement d'un
milieu piézo-électrique
1 Les ressorts modélisent les forces de rappel vers la position d'équilibre. 
Ces forces
ont pour origine la déformation des liaisons chimiques ainsi que les 
interactions stériques (non-interpénétrabilité des ions) et électriques. Du 
fait de la répartition des
charges et de l'énormité des champs électriques en présence, les forces de 
rappel
peuvent être linéarisées et modélisées par des ressorts si les déplacements 
caractérisés par xB sont de faible amplitude par rapport à la taille 
caractéristique des ions,
qui est comparable à 2a, donc si
xB  2a
Le facteur 2 n'est pas très important dans cette inégalité mais on choisit de
le conserver car il se rapporte à la taille de la maille cristalline.
2 Effectuons un bilan des forces appliquées sur P, le barycentre des charges 
positives
dans le modèle de la figure 2. Ces forces sont :
-
· la force de rappel du ressort K : -K x 
e ;
1

1

P x

-
· la force de rappel du ressort K2 : K2 (xB - xP ) 
ex ;

-
· la force électrique sur la charge +q portée par P : q E .
Il est important de ne pas se tromper dans l'orientation des forces de rappel
des ressorts. Le plus simple est de faire varier tour à tour chaque paramètre
de position et de vérifier l'orientation de la force de rappel qui découle de
cette variation.
Dans le référentiel supposé galiléen du laboratoire, appliquons ensuite le 
Principe
Fondamental de la Statique (PFS) à P considéré comme étant à l'équilibre :

-

-
-
-
-
mP xP 
ex = -K1 xP 
ex + K2 (xB - xP ) 
ex + q E = 0
-
Projetons cette relation sur 
e pour obtenir :
x

-K1 xP + K2 (xB - xP ) + q E = 0
Cette relation permet d'exprimer xP en fonction de xB et de E :
xP =

K2
qE
xB +
K1 + K 2
K1 + K 2

Considérer le cas du barycentre des charges négatives revient à substituer xN à 
xP ,
à permuter K1 et K2 et à changer q en -q. Dès lors l'équation précédente 
devient :
xN =

K1
qE
xB -
K1 + K 2
K1 + K 2

Considérons le point B en bout de maille et analysons son équilibre. Les forces 
exercées sur B sont :
-
· la force de rappel du ressort K lié à P : -K (x - x ) 
e ;
2

2

B

P

x

-
· la force de rappel du ressort K1 lié à N : -K1 (xB - xN ) 
ex ;

-
-
· la force extérieure f = f 
ex .

Publié dans les Annales des Concours

-
Le PFS appliqué à B donne alors, après projection sur 
ex ,
-K2 (xB - xP ) - K1 (xB - xN ) + f = 0
Isolons f et substituons à xP et xN leurs expressions en fonction de xB et qE :
f = K2 (xB - xP ) + K1 (xB - xN )
soit

f = K2 xB -

si bien que

K2 2
K2 qE
K1 2
K1 qE
xB -
+ K 1 xB -
xB +
K1 + K 2
K1 + K 2
K1 + K 2
K1 + K 2

2 K1 K2
K1 - K2
f=
xB +
qE
K1 + K 2
K1 + K 2

Le premier terme du membre de droite correspond au double de l'association en 
série de K1 et K2 , c'est-à-dire à l'association en parallèle des
ressorts liés à N et P.

-
La deuxième composante correspond à l'influence de E , nulle si K1 = K2
car, dans ce cas, l'action du champ sur P est exactement compensée par son
action sur N.
3 Appuyons nous sur les expressions de xP et xN en fonction de xB et de qE 
obtenues
à la question précédente pour calculer p :

soit

p=q

qui conduit à

p = q(xP - xN )

K2
qE
K1
qE
xB +
-
xB -
K1 + K 2
K1 + K 2
K1 + K 2
K1 + K 2
p=

2 q2 E
+q
K1 + K 2

K2 - K1
K1 + K 2

xB

Le deuxième terme du second membre est remarquable : une déformation de
la cellule engendre un moment dipolaire si K1 6= K2 , c'est-à-dire si la 
symétrie
x  -x n'est pas respectée. Cette propriété s'étend à trois dimensions : un
cristal ne peut pas être piézo-électrique s'il possède un centre d'inversion.

-
4 Toutes les mailles sont identiques donc la force F se répartit de manière 
homogène
sur N2 × N3 colonnes. La force de traction sur chaque colonne est alors
f23 =

F
N2 N3

À l'équilibre cette force s'exerce sur chaque maille de la colonne. Dès lors
f = f23 =

F
N2 N3

En outre, chaque maille d'une colonne est soumise au même champ et à la même 
force
de traction, donc l'élongation totale  est également distribuée sur chaque 
maille,
de sorte que
xi+1 - xi = xB =

N1