X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2020

Thème de l'épreuve Principe de la microscopie à force atomique.. Principe de la microscopie à force atomique.
Principaux outils utilisés résistance des matériaux, asservissement, mécanique du solide, électronique, optique
Mots clefs flexion, correcteur proportionnel, correcteur proportionnel intégral, énergie mécanique, potentiel de Lennard-Jones, photodiode

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2020

MARDI 21 AVRIL 2020 - 14h00 -18h00
FILIÈRE MP (Spécialité P&SI)

Épreuve n°4

PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR
(X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Les résultats numériques seront donnés avec un chiffre significatif.

Cette composition ne concerne qu'une partie des candidats de la filière MP les 
autres
candidats effectuant simultanément la composition d'informatique À. Pour la 
filière MP
il y a donc deux enveloppes de sujets, pour cette séance.
20

25

Principe de la microscopie à force atomique

La microscopie à sonde locale permet de caractériser une surface à l'échelle 
nanométrique, voire sub-nanométrique.
Un microscope à force atomique (AFM, selon son abréviation anglaise) effectue 
cette caractérisation à travers l'inter-
action qui s'exerce entre la surface (incluant d'éventuels éléments adsorbés, 
molécules, film...) et une pointe de
détection de très faible dimension, amenée dans son proche voisinage. Le 
déplacement de cette sonde par rapport à la
surface permet de dresser une cartographie de cette interaction.

Nous nous intéresserons d'abord aux propriétés mécaniques de l'élément sensible 
d'un AFM. Nous étudierons
ensuite le contexte dans lequel ce microscope est mis en oeuvre afin 
d'identifier les exigences techniques qu'il impose.
En dernier lieu, nous analyserons la chaîne de détection, de mesure et de 
contrôle. Les parties et sous parties de cette

étude ne sont pas indépendantes.

La structure mécanique d'un AFM est présentée figure (1). L'élément sensible de 
ce microscope est une lame flexible
(2) portant, à son extrémité libre (B), une pointe de détection (3). Cette lame 
est liée rigidement à son support (1), en
(A), auquel on associe le repère R(A, x, y,z). C'est dans ce dernier que nous 
caractériserons, par l'équation y = y(x),
la déformation de la lame. Le repère R(O,X,Y,Z), considéré comme référentiel 
galiléen, est lié au bâti (0) (fixe) de
l'AFM. La surface étudiée (4) est située, par rapport à ce repère, par les 
coordonnées (X4, Y4). Nous notons L, h et b
les dimensions de la lame selon les axes respectifs (Ax), (Ay) et (Az). Nous 
notons enfin f le déplacement, appelé
flèche, de son extrémité (B) et 8 son angle d'inclinaison sur l'axe (Ax).

oeu--.
- --.

A A r \
Y y Pointe de détection (3)  _ A
Lame (2) fléchie ir NS Fo -
Support de lame 2 b nr 1e
Li À À

(1) |A OT |f .
| À _

« L . Bo r X

r
YA Lame (2) non fléchie / D À

Bâti. Surface étudiée (4) T4

(0) x

À4

FIGURE 1 -- Structure d'un microscope à force atomique. La lame flexible (2) (L 
X h x b), tracée en trait continu, est
représentée fléchie sous l'action de la force d'interaction F que la surface 
(4) fait subir à la pointe de détection (3).
Un grossissement de cette pointe apparaît dans un encart.

D Nous nous placerons toujours dans des situations telles que : Vx EUR [0,L], 
[y'(x)| & 1 (y = dy/dx).
Li Nous ne prendrons jamais en compte l'effet de la pesanteur.

1 Caractérisation mécanique de la lame.

1.1 Comportement élastique.

ll s'agit d'établir l'équation y = y(x) (appelée "'déformée") décrivant la 
forme adoptée par la lame lorsqu'elle est
soumise à la force F = F ü, appliquée à son extrémité B (situation illustrée 
figure (1)). Elle permettra notamment de
relier la flèche f = y(L) et l'angle de déflexion 6 à F.

D Nous admettrons qu'un parallélépipède homogène de section S -- L, x L,, 
soumis à un effort N; normal à cette

section, subit un accroissement ÔL, de sa longueur L, qui vérifie :

ôL, IN,

x ES co

La grandeur E, constante et positive, est une caractéristique du matériau 
constituant le parallélépipède.

-- Page 1/12 --
30

35

40

45

e Nous considérons le tronçon élémentaire |x,x + dx] de lame, délimité par les 
sections de centres G(x) et G(x+ dx),
représenté figure (2). Ce tronçon est à l'équilibre mécanique sous l'action, 
d'une part de la force --T(x) -- --T(x) ü, et
du moment --A{(x) = --M(x)ü,, en G(x), d'autre part de la force T(x+ dx) = 
T(x-+dx) ü, et du moment M(x+ dx) --
M(x+dx)u,,en G(x+ dx). Ces grandeurs traduisent les actions mécaniques que les 
parties [0,x] et |x + dx, L] de lame
lui font subir, en réponse à l'application de la force F.

A A
G(x)
V V LIT. 7 à À
Y T(x+dx ---
ue + < SS F « G h1 = de x, Z YA. PU JT Bo <----> (x) |x /.. x+dx
b Y £.GG+dx).
. Exprimer, en fonction de K, Let F, la flèche f et 
l'angle 8 (définis sur la figure (1)).
7. Exprimer, en fonction de K et f, l'énergie élastique Ex emmagasinée par la 
lame dans un état de déformation
caractérisé par la flèche f.

S

-- Page 2/12 --

x x+dx

(b)

FIGURE 4 -- Tronçon élémentaire |x,x + dx] de lame courbé sous l'effet des 
actions mécaniques exercées par les parties
amont et aval.

1.2 Comportement inertiel.

Nous notons m la masse de la lame (celle de la pointe est négligée devant m). 
Il s'agit d'exprimer la masse iner-
telle effective mer de la lame qui intervient, en particulier, dans 
l'expression de son énergie cinétique ÆE+, en régime
dynamique. Elle est définie par la relation :

FE smaf (=) G)
Pour le mode fondamental de vibration de la lame, nous considérons que la forme 
qu'elle adopte peut être confondue
avec celle de sa déformée statique. Elle est alors totalement définie par la 
connaissance de la flèche f = f(r), pour
tout temps f. Nous exprimons alors sa déformée dynamique sous la forme :
X

"(= 6 ()F() où =? (

8. Déduire du résultat obtenu à la question (5) l'expression de la fonction 6 = 
bu).
9. En sommant les participations de chaque tronçon élémentaire [x,x + dx|, 
établir l'expression de l'énergie ciné-
50 tique ÆE. de la lame. En déduire l'expression de sa masse effective mr en 
fonction de sa masse m. Sur la base
d'un argument physique, préciser pourquoi Meff < M. 1.3 Estimations numériques. Une lame en nitrure de silicium présente les caractéristiques suivantes ! : L = 200 um ; b = 20 um ; À = 2 um; p = 3000 kg-m *; E--3x10!!N.m *. 55 10. Estimer la valeur de la raideur K,, de la masse effective me et enfin de la fréquence propre (ou, ici, de résonance) Jpo de la lame. 11. La figure (5) représente l'évolution temporelle de la flèche adimensionnalisée f/f(0) en régime libre, depuis la situation initiale (f(0), f(0) -- 0), sa pointe étant soustraite à toute influence de la surface. L'axe des abscisses porte le temps adimensionnalisé @ -- @,0f où @,0 = 2T/fp0: 60 Estimer, à partir de cette évolution, le facteur de qualité Q, de la lame. On indiquera la méthode suivie. 2 Interaction entre la surface et la pointe. Nous supposons que l'interaction entre un atome de la surface (4) et la sonde (3) peut être approximativement décrite par le potentiel U = U(r) d'expression : pv [(" 20)" 6 Les paramètres U* et a (a > 0) représentent respectivement une énergie et une 
longueur caractéristiques. La variable
r (r > 0) représente la distance de la surface à la sonde (se reporter à la 
figure (1)). Nous supposons que cette sonde
n'est en interaction, majoritairement, qu'avec un seul atome de la surface.

1. Les caractéristiques d'une lame sont adaptées au mode d'utilisation de l'AFM.

-- Page 3/12 --
65

70

75

80

f/ (0)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
P

FIGURE 5 - Évolution temporelle de la flèche en régime libre (coordonnées 
adimensionnalisées), la pointe de détection
étant soustraite à toute interaction avec la surface.

12.

13.

Représenter l'allure graphique du rapport U(r)/U* en fonction de la distance 
adimensionnalisée r/a. Indiquer
la nature de l'interaction que représente chacune des composantes de ce 
potentiel. Préciser, en le justifiant, le
signe du paramètre U*.

Proposer, sur la base d'une argumentation, un ordre de grandeur des paramètres 
a et U".

2.1 Imagerie par mode contact.

L'interaction entre la surface et la sonde est directement caractérisée par la 
force qu'exerce la surface sur la sonde.
Ce mode est généralement utilisé dans le domaine répulsif de l'interaction. 
Nous rappelons que l'on note K la raideur
de la lame (question (7)).

14

15.

16.
17.

18.

19.

Traduire l'équilibre mécanique de la sonde lorsqu'elle est soumise au potentiel 
U(r). On fera apparaître le
paramètre rA et la variable f (flèche).

Établir que cette équation d'équilibre prend la forme :

1 1
R=" et Ra= À (6)

GX(R--Ra)= DR) où DR) = 7 | - "

Le facteur G est une constante positive que l'on exprimera en fonction de K, U* 
et a, et dont on donnera une
interprétation physique.
Ilustrer graphiquement la résolution de l'équation (6).

La figure (6) représente graphiquement la fonction D -- (R). Estimer, à partir 
de cette figure, la valeur du
paramètre critique G. au-dessus duquel l'équation (6) admet une unique 
solution, quel que soit Ra.

Nous adoptons la valeur trouvée de G. comme référence et fixons U* = 107*° J. 
En déduire l'ordre de grandeur
de la raideur K correspondante de la lame. Vérifier qu'il est cohérent avec la 
valeur trouvée en réponse à la
question (10).

Associer une force caractéristique F" à la force d'interaction F -- F,/3 entre 
la surface et la sonde. Déduire de ce
résultat et du précédent l'ordre de grandeur de la flèche caractéristique f*. 
Commenter brièvement ces résultats.

-- Page 4/12 --

0.25 -

025
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

R=7r/a

FIGURE 6 -- Représentation graphique de la fonction D -- D(R).

e Le champ d'interaction entre la surface et la sonde est exploré en faisant 
varier le paramètre RA selon le cycle :
Ra : 22 X 08 / 2,2 (7)

ss 20. Représenter graphiquement l'allure de la dépendance correspondante de 
f/a avec R, dans le cas où G=-- 1.

21. Même question que la précédente, mais dans le cas où G -- 1 /4. En déduire 
l'allure graphique de la dépendance
de la flèche f avec le paramètre de distance RA. Interpréter ce résultat.

22. Tirer les conclusions pratiques des résultats obtenus en réponse aux 
questions (20) et (21).

2.2 Imagerie par mode non-contact.

90 L'interaction entre la surface et la sonde est caractérisée par l'influence 
qu'exerce la surface sur la fréquence de
résonance de la lame. Ce mode est utilisé dans le domaine attractif de 
l'interaction. Nous rappelons que l'on note
K la raideur de la lame (question (7)) et mes Sa masse effective (masse 
intervenant dans l'expression de son énergie
cinétique [équation (3)]).

23. Exprimer l'énergie mécanique totale E de la lame lorsqu'elle oscille et que 
la pointe est en interaction avec
95 la surface. On fera apparaître le paramètre rA et la variable f (flèche). On 
n'explicitera pas la dépendance du
potentiel U avec la distance, on précisera seulement son argument.

24. Développer l'expression de l'énergie E au voisinage d'un état présupposé 
d'équilibre caractérisé par la flèche
Jeg. On ne fera porter ce développement que sur le potentiel U, en le limitant 
à l'ordre 2 vis-à-vis de l'écart
(f -- feq). Par ailleurs, on notera simplement Ueq, Us, et UA, le potentiel et 
ses dérivées première et deuxième
100 correspondant à l'état d'équilibre (c'est-à-dire que l'on ne les 
explicitera pas).

25. En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la 
flèche f. On négligera ici toute cause de
dissipation de l'énergie mécanique.

26. Analyser cette équation différentielle.

e La lame est excitée par les oscillations verticales harmoniques de son 
support (1), décrites par l'équation horaire
(écrite en représentation complexe) :

Ya = YP+Anexp(ior) (AAER;,oe@=Cste > 0) (8)

-- Page 5/12 --
110

115

D'autre part, nous prenons maintenant en compte l'effet d'amortissement des 
oscillations de la lame en introduisant
le facteur de qualité O (Q > 1). Nous supposons que seul l'air ambiant est 
responsable de cet effet dissipatif. Ainsi
excitée, la lame oscille autour de sa position moyenne req -- r + fea. Nous 
recherchons alors sa réponse en amplitude
sous la forme (en notation complexe) :

r = req + Apexp(iot) (ABEC, [AB| & re) (9)
K + U"
Enfin, nous notons @2 = ----" et O0 --
P Meff P Meff

27. Exprimer la fonction de transfert en amplitude de la lame, définie par le 
rapport T = Ag/Aa (T E C). On fera
apparaître le facteur de qualité Q, le paramètre Q,, = @,/@,0 et la variable Q 
= ©/@,0.

e Pour ce mode de mesure, l'AFM est équipé d'une lame de raideur telle que K > 
IUX, | sur tout le domaine attractif de
l'interaction. Elle est excitée à une pulsation & et une amplitude A1 fixées. 
On mesure alors la variation d'amplitude de
sa réponse A(re4) = [Ag|-- |Ago|. Le terme |Ago| désigne l'amplitude de 
vibration de la lame en l'absence d'interaction
avec la surface et le terme |43| celle correspondant à la distance r (choisie) 
de la surface. La figure (7) représente
graphiquement la dépendance du module |T| avec Q dans le cas où la lame est 
sans interaction avec la surface (Q,, -- 1)
et dans celui où elle subit son influence (illustration avec Q,, -- 0,995).

55 -
SO
sd YONNE

op NN

7]

51. NN
304,7 NN
25h he

20 À

LS ------
0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005  TI.OT 1.015 1.02

&w /wp0

FIGURE 7 - Dépendance du module |T| avec Q dans le cas où la lame est sans 
interaction avec la surface (Q,, = 1) et
dans celui où elle subit son influence (illustration avec ©, -- 0,995).

28. Estimer, à partir de la figure (7), le facteur de qualité Q, de la lame 
dans le cas où elle est sans interaction avec
la surface.

29. Nous définissons la sensibilité intrinsèque s; de ce protocole de mesure 
par le rapport :

__@p0 Are)

= Sn. (10)
Aa Op -- @p0

1

Définir le critère conduisant au choix de la (voire, des) pulsation @ la mieux 
adaptée à ce protocole. Se souvenir
que K > IUX | et donc que @, reste toujours proche de &,0, comme l'illustre la 
figure (7). Estimer alors, à
partir de cette figure, la valeur correspondante de Q. Il ne s'agit pas 
d'effectuer des calculs, mais simplement

d'exploiter cette figure.

-- Page 6/12 --
30. Estimer, à partir de la figure (7), la valeur de {si} correspondant à la 
valeur choisie de Q.

120 31. Indiquer comment, à partir de la mesure de l'écart A(r), on accède au 
gradient (normal) de force existant à la
distance re,4 de la surface.

32. La situation illustrée par la figure (7) correspondrait à une expérience 
réalisée à la pression atmosphérique.
Indiquer comment, en pratique, il serait possible d'augmenter {|s;|.

3 De la flèche à sa détection, sa mesure et son contrôle.

125 Nous étudions 1c1 quelques techniques mises en oeuvre dans la chaîne de 
détection, de mesure et de contrôle de la
flèche f. Nous caractériserons, en particulier, les éventuelles contraintes ou 
limites qu'elles imposent.

3.1 Détection de la flèche.

Reportons-nous au dispositif optique décrit figure (8). La surface supérieure 
de la lame, dans le voisinage de son

extrémité B, est métallisée par un dépôt de chrome. Le faisceau LASER, visant 
le point Bo, s'y réfléchit puis est

130  Intercepté par le plan de détection disposé perpendiculairement au 
faisceau de référence (lame non fléchie). Les

déformations restant toujours faibles, le point B est considéré comme ayant la 
même abscisse L que le point B5. De

même, le point B' est supposé rester confondu avec le point B. Le point Po 
désigne le point d'incidence, sur le plan

de détection, du faisceau réfléchi de référence. Le point P; désigne celui 
correspondant à l'état de déformation (f,6)

de la lame. Nous notons À -- P6P; l'écart algébrique à la situation de 
référence et d la distance du point Bo au plan de
détection. Enfin, nous n'envisageons que des situations telles que |A! & d.

Plan de détection

(1) |A

V

À

FIGURE 8 -- La position de la tache LASER, centrée au point P,(f,6) du plan de 
détection, est image de l'état de
déformation de la lame.

135

33. Nous rappelons que || EUR 1. Par ailleurs, la configuration est telle que d 
> L. Exprimer l'écart A en fonction
de l'angle 8 et de la distance d, dans ces conditions.

34. Le LASER utilisé émet dans le domaine visible et la distance d est fixée à 
10 cm. Nous considérons que le

diamètre du faisceau, au niveau de la surface de réflexion de la lame, est égal 
à la largeur b de la lame (b -- 20 um,

140 valeur donnée dans la sous-partie (1.3)). Estimer algébriquement puis 
numériquement le diamètre 2a4 de la
tache lumineuse formée par le faisceau LASER sur le plan de détection. On 
précisera le raisonnement tenu.

-- Page 7/12 --
3.2 Localisation par photodétection de la position du point P:.

Reportons-nous à la figure (9). La localisation du point P;, représentant le 
centre du faisceau LASER intercepté par

le plan de détection (plan apparaissant figure (8)), est assurée par deux 
photodiodes PhD, et PhD; dont les surfaces

145 photosensibles sont contigües. La polarisation de ces photodiodes est telle 
que les courants Z; et Z; qui les traversent

sont proportionnels au flux lumineux qu'elles reçoivent. Dans la situation de 
référence, le point PQ se situe à la

frontière entre ces deux surfaces et les photodiodes reçoivent alors, chacune, 
le même flux lumineux. Lorsque le

point P; s'écarte du point Po, la dissymétrie qui apparaît est directement liée 
à l'écart À, lui-même image de l'état de

déformation (f,8) de la lame. Nous notons 6, et 4 les flux lumineux 
respectivement reçus par les photodiodes PhD;

1550 et PhD;. Nous considérons que l'intensité lumineuse du faisceau LASER est 
uniformément répartie sur sa section.
Nous notons ap le rayon de sa section au niveau de la surface photosensible.

a L=1
PhD, = 2 D PhD,
um ; z »-
PhD, ----; PhD,
Situation de référence Situation P,(f,0)

FIGURE 9 -- Localisation du point P(f,8) à l'aide de deux photodiodes PhD, et 
PhD;. Le disque teinté de rayon ap,
de centre P, sur la figure de gauche et de centre P; sur celle de droite, 
représente la tache lumineuse formée par le
faisceau LASER sur le plan de détection.

35. Nous définissons le contraste C par le rapport :

c-® 0 (11)
@2 +01
Exprimer ce contraste en fonction de l'écart À et du rayon a, de la tache 
lumineuse, en se plaçant dans la limite
A] << GP. 36. Nous identifions a, à aq (question (34)). Analyser la cause qui imite le contraste. 155 37. Notamment à cause de la dérive thermique de la cavité du LASER, l'intensité lumineuse de ce dernier est sus- ceptible de fluctuer (même sur de grandes échelles de temps). Expliquer alors pourquoi le contraste C apparaît mieux adapté à la capture de l'écart À que simplement la différence A0 = > -- 
O1.

3.3 Étude de la photodétection.

Une photodiode est un dipôle électrocinétique non linéaire dont la 
caractéristique courant-tension est paramétrée

'6 par le flux lumineux (dans la gamme fréquentielle appropriée) que sa surface 
photosensible absorbe. La figure (10)

symbolise ce composant. Soumis à la différence de potentiel V et absorbant le 
flux 6, ce photodétecteur est alors
traversé par le courant 7 -- I(V,6).

P
JEN

FIGURE 10 -- Dipôle électrocinétique (PN) représentant une photodiode soumise à 
la différence de potentiel V et
absorbant le flux lumineux 6. Il est alors traversé par le courant 7 -- I(V,6).

-- Page 8/12 --
38. La sensibilité photonique du photodétecteur est définie par le rapport :

La
00 |

Exprimer la sensibilité théorique S4 en considérant que chaque photon du flux 
lumineux 0 génère, au sein de
ce composant, une charge élémentaire e participant au courant /.

165 Estimer Sy en adoptant les valeurs arrondies : e = 1,5 x 1071? C,h=5 x 10 * 
J:s (constante de PLANCK) et
v = 5 x 10!/* Hz (fréquence de l'émission LASER).
Vérifier que le résultat obtenu est compatible avec la valeur de sensibilité 
déduite de la figure (11).

S (A-W°!) (12)

e La réponse en courant de ce photodétecteur est (sensiblement) décrite par 
l'équation :
I(V,6) = Znv {exp(V/Vr)--1}--Zn(d) (Vr 25 mV à une température voisine de 300 
K) (13)

Le courant /,, est une constante positive (de l'ordre de quelques nA). Le 
courant d'origine photonique 1,n(0), éga-
lement positif, est considéré ne dépendre que du flux lumineux 6 et lui être 
proportionnel. La figure (11) représente

70 la caractéristique courant-tension d'une photodiode pour trois valeurs de 
flux. La valeur la plus élevée (0 = 1 mW)
correspond à la puissance lumineuse du LASER utilisé.

0.25 -
2h |
DS ie

A |

DOS D Le
gd

0054 --

015d Lo -- Lee

I (mA)

0.2 :

025

FIGURE 11 -- Influence du flux lumineux sur la caractéristique courant-tension 
de la photodiode. Du haut vers le bas :
6 --=0mW, 6 = 0,5 mW et  -- I mW.

Ce photodétecteur est placé dans le circuit de polarisation présenté figure 
(12). La différence de potentiel U est
délivrée par un générateur de tension continue (idéal). Pour la photodiode 
considérée, elle ne doit pas être inférieure
à --5 V.

75 39. Illustrer, à partir du réseau de caractéristiques Z(V,6) = 1,(V) 
paramétré par le flux à (figure (11)), la construc-
tion graphique du point de fonctionnement (Q) adopté par le système, 
correspondant aux valeurs U = --5 V,
6 -- 0,5 mW et R = 20Kk0Q.

40. La résistance R joue le rôle de convertisseur courant-tension Z -- VR = RI. 
Nous souhaitons que la différence de
potentiel VR permette la mesure d'un flux lumineux susceptible de varier dans 
la gamme [0, 1] mW. Déterminer
180 la valeur de la résistance À qui réalise le meilleur compromis, pour U = 
--5 V.

-- Page 9/12 --
185

195

ulC

FIGURE 12 -- Circuit de polarisation de la photodiode à l'aide d'une source de 
tension imposant la différence de
potentiel continue U (U = Cste < 0) et d'une résistance R. e L'équation (13) ne décrit la réponse du photodétecteur qu'en régime statique (tension V et flux ® constants). En régime variable, la photodiode révèle un comportement capacitif. Dans la situation considérée (U < 0), nous la modé- lisons par un générateur de courant (--/,(6)) commandé (linéairement) par le flux 6 et comportant, en parallèle, une capacité C que nous considérerons comme indépendante de V. La figure (13) présente ce modèle. D vec Otmo FIGURE 13 - Modélisation de la photodiode (dipôle PN) en régime dynamique, placée dans son circuit de polarisation (U = Cste < 0,R). 41. Dans le cadre de cette étude en régime dynamique, le courant (0) devient une fonction (supposée connue) du temps f, par l'intermédiaire du flux 6. Etablir l'équation différentielle vérifiée par le courant J. 42. Exprimer puis calculer la fréquence de coupure f, de ce photodétecteur dans son circuit de polarisation. On adoptera les valeurs suivantes : R -- 25 KQ et C -- 40 pF. 43. La résistance R intervient dans l'expression du facteur de conversion courant-tension du photodétecteur (se reporter à la question (40)), ainsi que dans celle de sa fréquence de coupure. Commenter le compromis qui apparaît entre sensibilité et temps de réponse. 3.4 Cartographie iso-force d'une surface en mode contact. La surface à caractériser est déplacée sous la pointe de l'AFM (se reporter à la figure (1)). L'interaction (ici répulsive, en mode contact) qu'elle subit se trouve alors modulée par le défilement du paysage atomique porté par la surface. Pour chacune de ses abscisses X4 on ajuste, via une boucle d'asservissement (représentée figure (15)), son ordonnée 4 afin de maintenir la flèche à une valeur de consigne f. prédéterminée, constante (et positive). Afin d'alléger l'écriture des relations nous noterons désormais X4 = u et Y4 = v. Dans la situation de référence, on fixe v -- 0 et l'on règle l'ordonnée YA du support (1) de lame à la valeur Y À de telle façon que f = f.. L'ordonnée Y À est ensuite maintenue constante. Pour ce réglage, la force ressentie par la pointe est considérée être la force moyenne (spatialement), nous la notons F4 (positive). Cette situation est illustrée par la figure (14). Nous supposerons que, lors de l'exploration de la surface, r reste toujours voisin de r° = Y À + f. et donc f de f<. Dans ce cadre, nous exprimons la force que la surface fait subir à la pointe sous la forme simplifiée : F(u,r) = Fo+F cosku -- Ko(r--r°) (14) Les paramètres apparaissant dans cette expression vérifient #, -- Cste(r°) > 0, 
F, = Cste(r°) > 0, k = Cste > O, et
Ko = Cste(r°) > 0.

-- Page 10/12 --

A A
Y y A
Fo
B
À À
(1) A J C "
Bo x
r0
YA
Bâti O D À Av=Y4=0 ,
(0) Surface étudiée (4) À
u=X 4

De.
>»

FIGURE 14 -- Cartographie de la surface en mode contact -- Situation de 
référence.

20 Li Notations et données spécifiques à cette sous-partie.
e Nous notons p (p EUR C) la variable de LAPLACE.

e La fonction échelon (ou fonction de HEAVISIDE) est définie par la relation :

0 pour f < 0 H(D=4 (15) l pour 1 >0
1
e Cette fonction admet, pour transformée de LAPLACE, la fonction : L(H)= -- 
(Re(p) > 0).
P
e La transformée de LAPLACE de la dérivée f' d'une fonction f s'écrit : £L(f") 
= p£L(f) -- f(0-).

e Théorème de la valeur finale : Si la limite Jim f(t) existe alors Jim ft) -- 
Jim, PL(f).

205 44, Préciser ce que représente, physiquement, chacun des paramètres F1, k 
et Ko.

45. Nous notons Æ (F -- 10° Hz) la fréquence de coupure (haute) de l'ensemble 
du dispositif de photodétection
et de traitement du signal. Proposer une estimation numérique (argumentée) de 
la vitesse maximale Vy de
translation de la surface sous la pointe de détection.

e Nous notons K la raideur de la lame (question (7)) et mer Sa masse effective 
(équation (3)) et introduisons son

20 facteur d'amortissement © (analogue mécanique de la résistance électrique). 
L'ordonnée v de la surface, maintenant a
priori non nulle, est pour l'instant considérée comme un paramètre (devant 
toutefois rester "petit", dans le cadre que
nous avons fixé). Cette ordonnée est fixée par un élément piézoélectrique 
commandé par une différence de potentiel
(l'ordonnée y varie linéairement avec le signal g). La figure (15) présente la 
modélisation mécanique, le paramétrage
de ce système ainsi que la structrure générale de la contre-réaction qui 
interviendra dans la suite.

46. Établir l'équation différentielle dont est solution la différence £ = f -- 
f..
Nous l'écrirons sous la forme :

...... O50. O0 oe
E+ PE (oo +m)e=T: cosku+@v où --2 -- et O0 -- (Qo > 1) (16)
Oo Qo Mer Meff
215 Préciser alors l'expression de chacune des grandeurs @? et Li.

47. La contre-réaction visant l'asservissement de la flèche f à la consigne f4 
agit par l'intermédiaire de la va-
riable g commandant le positionneur vertical (élément piézoélectrique) 
représenté figure (15). Elle est traduite
globalement par la relation :

v=f$(f--f) (B--= Cste) (17)

Préciser d'abord (en le justifiant) quel doit être le signe du facteur B pour 
que l'asservissement soit effectif.
Ecrire ensuite l'équation différentielle, décrivant maintenant le système 
bouclé, vérifiée par la variable EUR.

-- Page 11/12 --

M Consi
| 2 > Conditionneur EUR -- |.

y Surface
A
D y
O V X

u Positionneur q
>| vertical

Bâti (0)

D
D

Contre-réaction

FIGURE 15 -- Modélisation mécanique du système. La commande du positionneur 
vertical (élément piézoélectrique),
représentée par la variable d'entrée g, permet de fixer l'ordonnée v de la 
surface. La variable g, fonction de la différence
fe -- f, constitue la contre-réaction, lorsque le système est bouclé.

48.

220

49.

50.

225

51.

235

Nous imaginons que la pointe, lors de son déplacement, rencontre une "marche" 
formée par l'abord d'une
couche atomique supplémentaire. Nous modélisons cette situation en remplaçant 
le terme cos ku(t) par la fonc-
tion échelon H = H(t). Décrire (qualitativement) la réponse du système bouclé à 
cette sollicitation. Exprimer
la limite Ex -- lime et commenter ce résultat.

La contre-réaction est maintenant de la forme :
y -- BR) +0ù f'ar(r (B = Cste ; Q7 = Cste > 0) (18)

Écrire l'équation intégro-différentielle vérifiée par la variable £ (avec, de 
nouveau, le terme F1 cos ku de l'équa-
tion (14)).

Nous appliquons au système ainsi bouclé la sollicitation en échelon décrite à 
la question (48). Déterminer la
limite Ex -- lime puis commenter ce résultat.

La surface est maintenant déplacée à la vitesse V -- à constante. Nous posons @ 
= XV. Préciser à quelles condi-
tions, portant Sur @, nous pouvons considérer que le système est sollicité de 
façon quasistatique (on raisonnera
1ic1 simplement sur le système non bouclé). Nous nous placerons maintenant 
toujours dans le cas d'une sollici-
tation quasistatique, y compris lorsque le système est bouclé.

. Étudier la qualité de respect de la consigne dans le cas où la 
contre-réaction est décrite par l'équation (17).
53.
54.

Étudier la qualité de respect de la consigne dans le cas où la contre-réaction 
est décrite par l'équation (18).

Préciser pourquoi la contre-réaction décrite par l'équation (18), en 
comparaison à celle décrite par l'équation
(17), expose le système à un risque d'instabilité.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2020
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) et Jacques
Ding (École Polytechnique) ; il a été relu par Louis Salkin (professeur en 
CPGE) et
Julien Dumont (professeur en CPGE).

Ce sujet étudie le principe du microscope à force atomique. Il utilise 
principalement l'étude énergétique des solides déformables, un peu d'optique et 
de l'électronique
non linéaire.
· La partie 1 porte sur la caractérisation mécanique d'une lame de longueur 
importante devant sa largeur et son épaisseur, afin de comprendre la déformation
de cette lame en fonction de l'effort qui lui est appliqué. Il est notamment
demandé de déterminer l'expression de la flèche, terme qui correspond au 
déplacement maximal observé en bout de lame.
· Dans la partie 2, on s'intéresse à deux modes de fonctionnement du microscope,
les imageries par mode contact et non-contact. C'est l'occasion d'étudier les
positions d'équilibre de la lame à partir de son énergie potentielle et de 
discuter
du choix de certains paramètres pour améliorer la précision de la mesure, à
l'aide notamment d'une analyse en régime sinusoïdal forcé. Les questions 20 à
22, subtiles, font intervenir la notion hors programme d'hystérésis.
· La partie 3 commence par établir quelques résultats d'optique concernant la
mesure de la flèche par faisceau laser. On détermine ensuite les 
caractéristiques
de la photodiode de détection lors de questions d'électronique assez guidées,
ce composant étant nouveau pour la plupart des étudiants. On s'intéresse 
finalement à l'asservissement de la flèche de la lame, avec notamment pour but
de rendre le système insensible aux perturbations. À cette fin, le sujet propose
l'étude de deux correcteurs différents.
Le microscope à force atomique ayant déjà fait l'objet de plusieurs épreuves à 
l'X
(en 2003 en filière MP, en 2009 en PC), ce sujet ne pose pas de difficulté 
conceptuelle.
Ainsi, les meilleurs candidats auront pu reconnaître un certain nombre de 
questions
classiques pour ce format particulier d'épreuve physique-SI : détermination 
graphique
des positions d'équilibre, étude d'une fonction de transfert, tracés de 
caractéristiques
de composants électroniques. L'épreuve est longue et les parties ne sont pas 
indépendantes, ce qui signifie que les candidats dont la stratégie consistait à 
traiter de
manière superficielle un grand nombre de questions ne pouvaient obtenir une note
satisfaisante. Les calculs étaient assez complexes et très nombreux, ce qui 
fait de cette
épreuve très discriminante un excellent entraînement pour les candidats 
ambitieux.

Indications
Partie 1
1 Écrire le principe fondamental de la statique et exprimer les deux équations 
sous
forme différentielle puisque dx est une longueur infinitésimale. Pour déterminer
les conditions aux limites, observer les efforts et moments en bout de lame.
3 Écrire la relation entre d, h et Lx (ou ` dans le corrigé). Exprimer le moment
M en fonction des efforts N.
4 La différence de hauteur entre G(x + dx) et G(x) est notée dy.
5 Pour résoudre l'équation différentielle, il faut déterminer les conditions 
angulaires
et de déflexion au point A, point d'encastrement de la lame.
9 Exprimer la masse linéique de la lame puis l'énergie cinétique élémentaire 
d'un
tronçon dx. L'énergie cinétique doit s'exprimer en fonction de  et f .
11 Utiliser l'expression de l'enveloppe exponentielle.
Partie 2
13 Relier a et U? au minimum de l'énergie U(r) pour en déduire des estimations à
partir des ordres de grandeur d'un atome.
19 Utiliser l'expression de G obtenue à la question 15 pour faire apparaître 
une force
d'interaction caractéristique.
21 Montrer que les courbes représentant f /a en fonction de RA ne sont pas les 
mêmes
lors de la descente de RA et lors de sa montée.
25 Utiliser le théorème de l'énergie mécanique. Pour simplifier l'équation 
obtenue, se
rappeler qu'une position d'équilibre se traduit par l'annulation de la dérivée 
de
l'énergie potentielle.
27 Modifier l'équation obtenue à la question 25 dans le cas où le support (1) 
est aussi
en mouvement, en n'oubliant pas d'éventuelles forces d'inertie.
Partie 3
34 Que se passe-t-il lorsqu'une onde rencontre un obstacle (ici la lame) de 
dimension
comparable à sa longueur d'onde ?
39 Déterminer la caractéristique I(V) de l'ensemble {générateur + résistance}.
42 Se rappeler que la pulsation de coupure d'un passe-bas d'ordre 1 est égale à 
sa
pulsation propre.
45 Exprimer la longueur d'onde  en fonction de k. Le temps nécessaire pour 
parcourir cette distance à la vitesse VM correspond à la période T du signal.
46 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse meff .
51 En traçant le diagramme de Bode d'un système du second ordre, déterminer la
pulsation limite à partir de laquelle les effets dynamiques peuvent être 
négligés.

1. Caractérisation mécanique de la lame
1 Considérons le système constitué par le tronçon élémentaire, dans le 
référentiel
du bâti supposé galiléen pour la courte durée de l'expérience. Le poids étant 
négligé
d'après l'énoncé, seule la tension s'exerce. Le théorème de la résultante 
statique en
 fournit
projection sur -
u
y
T(x + dx) - T(x) = 0
Ceci étant vrai à toute abscisse x, on en déduit que
T(x) = Cte
En x = L, on vérifie par équilibre de la section de lame
T(x) = F : la composante est uniforme.
 au point G(x + dx),
D'après le théorème du moment statique projeté suivant -
u
z
les moments considérés par l'énoncé se compensent pour conduire à
M(x + dx) - M(x) + T(x) dx = 0
Notons ici que dx correspond au bras de levier et T à la tension. Puisque dx est
infinitésimal, on peut réécrire cet équilibre selon
dM(x)
+ T(x) = 0
dx

soit

dM(x)
+F=0
dx

2 On déduit par intégration directe de l'équation précédente
M(x) = -Fx + Cste
Or M(L) est nul, puisque cette section de lame est « libre » de moment imposé à
l'extrémité. On vérifie alors
M(L) = -FL + Cste = 0 = Cste = FL
Ainsi,

M(x) = F(L - x)

3 On note ` la déformation de chacun des tronçons supérieur et inférieur de même
longueur au repos dx. Cette déformation est négative sur le tronçon supérieur 
et positive sur le tronçon inférieur, mais celles-ci sont égales en valeur 
absolue. Considérons
la figure ci-dessous.

-
-N

-

-
-N
M
d
h/2

-
N

-
N
2 `
dx

Le triangle rectangle mis en évidence permet d'écrire que
2`
4`
tan d =
=
h/2
h
Or, les variations de longueurs sont faibles sur une distance infinitésimale 
dx, c'està-dire que l'on peut considérer |`|  dx  L tout comme |d|  1. De ce 
fait,
tan d ' d =

4`
h

La relation (1) donnée dans l'énoncé peut alors s'écrire sous la forme
`
N
N
=
soit
` =
dx
dx
ES
ES
De plus, l'équilibre de la section droite des tronçons amène à écrire que
2M
h
donc
N=
2
h
En remplaçant par ces deux dernières expressions la relation liant d et `, et 
sachant
que la surface S est définie par bh/2, on trouve alors
M=N

d
16M
=
dx
Ebh3
Le modèle proposé dans le sujet ne
respecte pas l'hypothèse de continuité
de la matière traditionnellement usitée
dans le calcul de résistance des matériaux en mécanique linéaire. 
Habituellement, l'hypothèse de déformation faite
est linéaire. Grâce à la relation
Lx
N
=
Lx
ES
la répartition d'efforts est également linéaire. On peut alors démontrer que
pour un tronçon élémentaire de rayon
de courbure R, on vérifie la relation
12M
d
=
dx
Ebh3

d

R
h
2
h
2

dx

4 En première approximation (à l'ordre 1), d'après la figure ci-dessous, on 
vérifie
tan  =

dy
'
dx
G(x + dx)
dy

G(x)

dx

Or, d'après la question précédente, en remplaçant
M=
Soit

M=D

d2 y
dx2

d
d2 y
par
, on aboutit à
dx
dx2

Ebh3 d2 y
16 dx2
avec

D=

Ebh3
16