X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2019

Thème de l'épreuve Phénomène de reptation thermique. Interaction entre le pantographe d'un train et le système caténaire.
Principaux outils utilisés mécanique du solide (physique et SI), asservissements
Mots clefs friction, adhérence, lois d'Amontons-Coulomb, pantographe, train, câble porteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2019
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université)
et Jérôme Didier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Étienne Martel (ENS
Paris-Saclay), Nicolas Courrier (professeur en CPGE), Stéphane Ravier 
(professeur
en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE).

Ce sujet est divisé en deux parties indépendantes. La première traite des lois 
de
la friction.
· Dans un premier temps, on introduit les conditions de l'équilibre d'un solide
le long d'un plan incliné à l'aide d'un modèle à deux points de contact. L'état
d'adhérence de ces deux points est décrit à l'aide d'un diagramme d'état qui
permet de déterminer si l'un des deux points, ou le solide, doit glisser ou non.
· La deuxième sous-partie fait appel à cette description pour décrire le 
phénomène
de reptation thermique d'un solide soumis à des cycles de hausse et de baisse
de la température. Cette étude, d'abord qualitative, modélise ensuite, à l'aide
de ressorts, la charge accumulée au niveau des contacts.
· La troisième sous-partie est consacrée à la modélisation des lois 
d'AmontonsCoulomb à l'échelle microscopique. Elle fait intervenir la géométrie 
des contacts
à cette échelle ainsi que la résistance des matériaux.
Cette partie nécessite une bonne compréhension du point particulier du programme
de MP que constituent les lois du frottement solide. L'ensemble est d'un bon 
niveau
et aborde plusieurs pistes très intéressantes pour décrire les conséquences et 
l'origine
microscopique des lois phénoménologiques d'Amontons-Coulomb.
La seconde partie porte sur l'étude de l'interaction entre le pantographe d'un
train et le système caténaire.
· La première sous-partie propose d'étudier la déformation du câble sous l'effet
de son propre poids.
· La deuxième sous-partie se focalise sur le comportement dynamique du 
pantographe, notamment le comportement du contact entre le caténaire et le fil 
ainsi
que l'influence de l'amortissement sur le décollement de ce dernier.
· La dernière sous-partie propose une modélisation du premier mode propre du
pantographe, à travers l'étude de deux situations décrites dans le sujet.
Cette partie est longue et assez ardue, les questions II.7 et II.15 notamment 
sont très
difficiles et bloquantes sur les quelques questions qui les suivent, tandis que 
les toutes
dernières sont assez faciles et ne présentent pas grand intérêt. Ces passages 
difficiles
sont d'une importance limitée pour les révisions, à l'inverse des autres 
questions, mais
ils restent utiles pour la culture scientifique et pour comprendre cette 
thématique qui
tombe souvent ces dernières années (deux sujets déjà l'an dernier en PSI).

Indications
Partie I
I.6 Existe-t-il un unique couple d'états d'adhérence vérifiant les équations du
mouvement ?
I.7 Quels doivent être les états d'adhérence des deux contacts pour qu'il y ait
glissement ?
I.10 Les paramètres donnés par l'énoncé aux questions I.4 et I.5 (q = 1/4, f = 1
et tan  = 1/2) ne permettent pas de résoudre cette question. Pourquoi ?
I.11 Les ressorts sont orientés selon -
u et transmettent la force appliquée par (1)
x

sur les patins (1A) et (1B) selon ce vecteur. Il faut imaginer un élément 
parfaitement glissant associé à chaque couple de ressorts permettant de 
transmettre
.
la composante des forces exercées par (1) sur les deux patins selon -
u
z
I.14 Quelle amplitude thermique permet de passer d'une situation de glissement
en A à une situation de glissement en B ?
I.16 L'angle  est choisi proche de l'angle de glissement de telle manière qu'une
variation infinitésimale de T suffise à passer dans un état de glissement pour
l'un des deux contacts.
I.19 Comment varie RG lorsque F augmente ? Quelle doit être sa valeur au seuil 
de
glissement ?
I.20 En l'absence de frottements, y a-t-il besoin d'appliquer une force F pour 
que le
solide « descende » le long d'une dent ?
I.24 Raisonner sur l'énergie d'adhésion en ne prenant en compte que les atomes 
de
l'interface.
Partie II
II.2 Cette question et la suivante utilisent les mêmes méthodes que pour la 
corde
de Melde.
II.4 Attention à l'orientation de l'angle.
II.5 Il faut sommer les déflexions successives sur un demi-câble pour atteindre 
le
point le plus bas et reconnaître pour cela des suites arithmétiques.
II.7 Cette question est difficile car il faut trouver la relation eq = z + h +  
qui
aurait mérité une question à elle seule. On peut l'admettre pour avancer et
essayer de la démontrer dans un second temps.
II.9 Distinguer deux cas selon la valeur de Q par rapport à 1.
II.10 Il faut réutiliser des résultats démontrés à la question II.8.
II.15 Cette question est très difficile. Il faut tout d'abord paramétrer le 
système car
l'énoncé ne le fait pas, puis traduire les différents équilibres des points A 
et D,
le second étant sans masse. On peut alors appliquer le principe fondamental au
point A et procéder de la même façon qu'à la question II.7.
II.19 Il faut refaire un bilan comme ceux déjà établis dans les questions II.7 
et II.15,
en étudiant les points A et B.

I. Étude du phénomène de reptation thermique
I.1 Faisons un bilan des forces appliquées sur le solide parallélépipédique 
dans le
référentiel, supposé galiléen, du plan incliné. On suppose que le solide (1) et 
la surface
de (0) sont suffisamment réguliers pour que la résultante des forces de contact 
le long
des arêtes passe par les points A et B situés au milieu de ces arêtes. Il en 
résulte que
les forces appliquées sur le solide sont :
-
-

· la réaction du plan en A : RA = TA -
u
x + NA uz ;
-
;
· la réaction du plan en B : R = T -
u + N -
u
B

B

x

B

z

-

· le poids du solide P = m-
g appliqué en son centre de masse G.
Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué au solide (1) donne
- - -
 -

RA + RB + P = 0
-

Soit, en projetant sur les vecteurs -
u
x et uz ,
(
TA + TB - mg sin  = 0 sur -
u
x

N + N - mg cos  = 0 sur -
u
A

B

z

Complétons le jeu d'équations décrivant le solide à l'équilibre en considérant 
le théorème du moment cinétique appliqué en A, point immobile dans le 
référentiel du plan
incliné. En tenant compte des points d'application des forces, il vient
- - - - - -
 -

AB  RB + AA  RA + AG  P = 0
d'où l'on tire, en remplaçant chaque vecteur par ses composantes,

-
) + (b -
)  (-mg sin  -
-

(2b -
ux )  (TB -
ux + NB -
u
ux + a -
u
u
z
z
x - mg cos  uz ) = 0
, -2b N + mg(b cos  - a sin ) = 0
En projection sur -
u
y

Donc, avec q =

a
,
b

B

NB =

mg
(cos  - q sin )
2

Injectons ce résultat dans les expressions du PFS précédentes pour obtenir
NA =

mg
(cos  + q sin )
2

et

TA + TB = mg sin 

I.2 Le solide est à l'équilibre s'il ne glisse pas et s'il ne bascule pas. 
Examinons
d'abord la première condition. Le solide (1) ne glisse pas si au moins l'un des 
deux
contacts A ou B ne glisse pas. Choisissons A pour le contact non glissant. 
D'après
les lois de Coulomb, TA < f NA tandis que TB = f NB pour le contact B, puisque
celui-ci est glissant. Sommons ces deux relations pour obtenir
TA + TB < f (NA + NB )
Choisir B comme le contact non glissant conduit au même résultat. Remplaçons les
sommes des réactions tangentielles et normales par leurs expressions obtenues à 
la
question précédente :
mg sin  < f mg cos 
soit

tan  < f

On trouve le même résultat que pour un solide à un seul point de contact
avec le support.
Le solide ne bascule pas tant que le contact en B n'est pas rompu, c'est-à-dire
tant que NB > 0. Ceci implique, d'après la question précédente, que
mg
(cos  - q sin ) > 0
2
soit

tan  <

1
q

L'énoncé pose que f < 1/q. Il en résulte que la condition de non-glissement
est rompue la première lorsque  augmente et que le basculement du solide ne
se produit jamais.
I.3 D'après la question I.1,
soit

NA

TA + TB = mg sin 

TA
TB
+ NB
= NA ZA + NB ZB = mg sin 
NA
NB

Substituons à NA et NB leurs expressions établies à la question I.1 :
mg
mg
(cos  + q sin ) ZA +
(cos  - q sin ) ZB = mg sin 
2
2
Factorisons cette expression par (mg/2) cos  pour obtenir
A(q, ) ZA + B(q, ) ZB = C
avec

A(q, ) = 1 + q tan 

et

B(q, ) = 1 - q tan 

C = 2 tan 

D'après la question précédente, tan  < 1/q, donc A > 0 et B > 0.
I.4 À q et tan  fixés, l'équation obtenue à la question précédente est celle 
d'une
droite D dans le plan P(O, ZA , ZB ) :
ZB = -

A
C
ZA +
B
B

Pour tan  = 1/2 et q = 1/4, on a A = 9/8, B = 7/8 et C = 1. La droite D est
représentée ci-dessous.
ZB
D
G

f

A
f

ZA