X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2019

Thème de l'épreuve Phénomène de reptation thermique. Interaction entre le pantographe d'un train et le système caténaire.
Principaux outils utilisés mécanique du solide (physique et SI), asservissements
Mots clefs friction, adhérence, lois d'Amontons-Coulomb, pantographe, train, câble porteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019 - 14h00 -18h00
FILIÈRE MP (Spécialité P&SI)

Épreuve n°4

PHYSIQUE ET SCIENCES
DE L'INGÉNIEUR (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
20

Cette épreuve comprend deux parties indépendantes. La première porte sur le 
phénomène d'adhérence entre
deux solides en contact. La seconde s'intéresse au problème du maintien en 
contact du pantographe d'un train
avec la caténaire qui l'alimente en électricité. Il est conseillé de ne pas 
consacrer plus de deux heures par partie.

Partie Physique
Etude du phénomène de reptation thermique

Cette partie est consacrée à l'étude des propriétés d'adhérence entre deux 
solides. Nous analyserons d'abord le
phénomène de "reptation thermique" qui est une manifestation de l'influence de 
la dilatation thermique sur l'état
d'adhérence de deux solides en contact. Nous interpréterons ensuite, sur la 
base d'un modèle microscopique, les
lois phénoménologiques de AMONTONS-COULOMB.

Rappelons d'abord ces lois phénoménologiques décrivant le comportement du 
contact entre deux solides et sur
lesquelles repose cette étude. Nous considérons un solide (1) en contact avec 
un solide (0). Nous notons R la
force qu'exerce le solide (0) sur le solide (1) à travers la surface de contact 
(éventuellement locale) de vecteur
normal unitaire #, choisi orienté de (0) vers (1). Nous notons encore N = Nñ (N 
> 0) sa composante normale et
T=R-Nsa composante tangentielle (se reporter à la figure (1)). Le rapport tan = 
T/N, ou l'angle , définit
l'état d'adhérence du contact. Les lois phénoménologiques de AMONTONS-COULOMB 
stipulent que :

e siltanp| < f, on n'observe pas de glissement entre les deux solides, au point de contact; e si (tan) = f, il apparaît du glissement au point de contact. La vitesse de glissement v du solide (1) par rapport au solide (0) vérifie alors ÿ AT = 0 et ÿ-T < 0. La grandeur sans dimension positive f représente le coefficient d'adhérence entre les deux surfaces. Il est indé- pendant de l'aire apparente de la surface de contact. On entend par aire apparente l'aire définie par les dimensions de la surface. \ FIGURE 1 - Décomposition de la force À qu'exerce le solide (0) sur le solide (1) au point de contact M. Le vecteur ñ est normal au plan tangent (P) aux surfaces de contact (locales), en M. 1 Conditions d'équilibre d'un solide sur un plan incliné. Un solide parallélépipèdique de masse m (uniformément répartie dans son volume), de longueur 2b et de hauteur 2a (sa largueur n'interviendra pas explicitement), repose sur un plan incliné d'un angle 0 (8 EUR [0, +x/2|) par rapport au plan horizontal. Nous notons £ l'accélération de la pesanteur et posons g = a/b. La figure (2) représente ce système. Nous supposons que la zone de contact entre le solide (1) et le plan incliné (0) est localisée sur les arêtes passant par les points A et B. Nous notons RA et R& les actions de contact que le solide (0) applique sur le solide (1), au niveau des arêtes À et B. En reprenant la notation présentée en introduction nous les écrivons : Ra = Taux +Nau;, _ . . (1) kRB = PRüx; + Nu; 1. Le solide (1) est supposé, a priori, à l'équilibre. Exprimer NA, M8 et la somme TA + TB. On fera apparaître le rapport g. Notons que le nombre d'inconnues excède celui des équations. -- Page 1/15 -- 30 35 40 45 50 FIGURE 2 -- Solide parallélépipèdique reposant sur un plan incliné d'un angle 8 (6 EUR [0, +x/2|) par rapport au plan horizontal. Les grandeurs xA et xp représentent les abscisses des arêtes A et B du solide (1). 2. Établir les conditions que doit satisfaire tan 6 pour que l'équilibre du solide soit effectif. M Dans toute la suite, nous supposerons que f < 1/q. Préciser ce que traduit cette condition. e Nous notons Za = TA/NaA et ZB = TB/NB l'état d'adhérence de chacun des contacts A et B. 3. Établir que les variables ZA et ZR vérifient l'équation : AZa+BZB=C où C--=2tan8 (2) On exprimera les constantes À -- A(g,8) et B = B(q,0) en précisant leur signe. 4. Représenter, dans le plan P(O,ZA,Z8), le lieu D décrit par l'équation (2). Pour ce tracé nous choisirons tan0 = 1/2 et g = 1/4. N.B. : Réaliser ce tracé avec soin et clarté et à une échelle suffisante (par exemple, 5 cm pour une unité). Il sera complété par la suite. 5. Sur le même tracé, représenter et caractériser le domaine À du plan © délimitant l'ensemble des états d'adhérence (ZA,Z8B) possibles. Préciser la portion correspondante du lieu D. Pour cette illustration nous adopterons f -- 1. 6. Préciser de quelle façon se traduit, sur ce graphique, l'indétermination évoquée en fin de la question (1). 7. Illustrer (toujours sur le même graphique) une situation correspondant à la limite de glissement du solide. Préciser alors la relation fixant la valeur de tan 6. 2 Reptation thermique. Dans la situation initiale, le solide (1) est à l'équihibre sur le plan (0). Cet équilibre est supposé assez éloigné de la limite de glissement. Il est alors soumis à de lentes variations cycliques de température entre Tin = 10 et Tinax = 10 + AT (AT > 0) comme l'illustre la figure (3). Le solide (0) est 
maintenu à la température To. Si
l'amplitude AT et l'angle d'inclinaison 8 vérifient conjointement une certaine 
condition, et après un grand nombre
de cycles, on constate que le solide (1) s'est déplacé le long de la pente. 
C'est ce phénomène de "reptation
thermique" que nous allons interpréter.

Nous supposons que dans la situation initiale, à 75, les contacts en A et B 
sont dans le même état d'adhérence,
c'est-à-dire que ZA = ZB.

BE Nous ne tiendrons pas compte de l'effet (du second ordre) des variations de 
température sur le rapport g.

8. Ioujours en complétant le tracé réalisé en réponse à la question (4), situer 
le point S, de D correspondant à
la situation initiale.

-- Page 2/13 --
55

60

65

70

À

T
T+AT

10 = -

FIGURE 3 -- Cycles thermiques subis par le solide (1).

9. Indiquer, en précisant le raisonnement tenu, la conséquence du chauffage du 
solide (1) sur le déplacement
du point S(ZA,Z8) depuis sa situation So.

10. Représenter qualitativement, en correspondance des cycles thermiques 
représentés figure (4), l'évolution
temporelle de chacune des abscisses x1 et xg des arêtes À et B du solide (1). 
Nous supposons que l'amplitude
thermique AT est suffisante pour faire apparaître du glissement, tantôt au 
niveau du contact À, tantôt au
niveau du contact B.

T
To+AT
T' a >
° À l
XB L
>
XA À _
[

FIGURE 4 -- Figure à reproduire pour illustrer l'évolution temporelle des 
abscisses xa et xB des arêtes À et B du
solide (1) en réponse aux cycles thermiques T = T(t).

e En vue de déterminer la condition que doivent satisfaire conjointement 
l'amplitude AT et l'angle 6 pour assurer
l'apparition du phénomène de reptation thermique, nous modélisons le 
comportement des contacts À et B comme
le représente la figure (5). Chacun des contacts A et B du solide (1) avec le 
plan (0) s'établit par l'intermédiaire
d'un patin en liaison élastique linéaire avec le solide (1). Le contact des 
patins (notés (1 A) et (1B) sur la figure (5))
et le plan (0) respecte les relations de AMONTONS-COULOMB avec le coefficient 
d'adhérence f précédemment
introduit. La raideur de chacun des éléments élastiques intervenant dans les 
liaisons (1)-(1A) et (1)-(1B) est notée
k. Les variables wa et ug situent, relativement à la configuration neutre, la 
position des patins par rapport au solide
(1). Le triplet (T,ua ,up) définit l'état mécanique et thermique des contacts. 
Le triplet (T*,ux ,ug) caractérise un
état de référence.

Nous adoptons, pour décrire la dépendance d'une dimension L d'un solide 
parallélépipèdique avec sa tempéra-
ture 7', la relation linéaire :

L(T) = Loll+aiT ---T)] («> 0) (3)
M La géométrie du solide (1), désormais supposée telle que g EUR 1, permet 
d'adopter g = 0.

11. Relier ua à ZA et ug à ZB.

e Nous nous plaçons dans la situation telle qu'aucun des patins ne glisse lors 
du passage de l'état de référence
(T*,uX ,ur) à l'état (T,ua,up), conséquence de l'évolution de la température de 
T'àT..

-- Page 3/13 --
75

80

85

90

95

12.

13.

14.

15.
16.

2h A
G

O
g B (1) m A

(1B) (IA)

x PEAUE OO f/ A O

Cu CU
e_""B A

A

FIGURE 5 -- Chacun des contacts A et B du solide (1) avec le plan (0) est 
modélisé par un patin, (1 A) ou (1B), lié
élastiquement au solide (1). Chaque patin est susceptible de glisser sur le 
plan (0) dans les conditions fixées par
les relations de AMONTONS-COULOMB. On notera que le vecteur g est incliné dans 
le repère (O, x, z).

Relier la différence ZA(T) -- ZB(T) aux écarts ZX -- ZE et T --T*.
8kb
Nous poserons AZ* = Zé -- ZÉ et B = -- où bo -- b(To).
mg COS 8

Montrer comment, graphiquement dans le plan ©, l'état d'adhérence (Z1,Z8B) des 
contacts est défini, et
paramétré par la température. On retracera tous les éléments utiles à la 
compréhension de la construction
(et pour g = 0). Pour cette illustration, nous choisirons l'état de référence 
en S0 et pour T* = T5.

Établir la condition portant conjointement sur l'amplitude AT et l'angle 6 
assurant l'apparition du phéno-
mène de reptation thermique.

Analyser ce résultat.

Le dispositif expérimental ! est constitué d'un plan (0) en céramique sur 
lequel repose une plaque de cuivre
(1) de longueur 2b0 = 10 cm et de coefficient de dilatation thermique & = 10° 
K_!. L'angle 8 est choisi
proche * de l'angle limite de glissement du solide. La modulation de 
température est assurée par une cellule
à effet PELTIER qui réalise des cycles d'amplitude AT -- 5 K et de période T -- 
5 min. Calculer, en heure
et minute, le temps nécessaire à l'avancée de la plaque d'une distance Ax = 1 
mm.

e Le phénomène de reptation thermique peut être constaté (hors laboratoire) sur 
des toitures (peu pentues)

recouvertes de tuiles plates ou d'ardoises simplement posées, soumises aux 
cycles d'ensoleillement.

3 Modèle microscopique du contact entre deux solides.

Nous cherchons à établir un modèle microscopique simple, compatible, à 
l'échelle macroscopique, avec les

18.

relations de AMONTONS-COULOMB. Imaginons que les surfaces de contact présentent 
la forme de dents de scie.
Les dentures des surfaces étant en prise l'une sur l'autre, comme le représente 
la figure (6). À l'échelle locale,
c'est-à-dire celle d'une dent, nous supposons que la réaction de contact reste 
normale aux surfaces en contact (ce
qui revient à adopter un coefficient de frottement local nul). Le solide (1) 
est maintenu en contact avec le solide
(0) par un effort normal N constant. Il est également soumis à une force 
horizontale F = F à, qu'un opérateur
extérieur peut faire varier.

17.

Proposer un encadrement (d'extension raisonnable) des valeurs du coefficient 
d'adhérence f, pour les s1-
tuations de contact les plus courantes.

Reproduire le diagramme des forces de la figure (7) en respectant sensiblement 
les proportions (||F|| +
IN1!/3). Le compléter en faisant apparaître les résultantes des réactions de 
contact RG et Rp, de (0) sur (1),
agissant respectivement sur l'ensemble des facettes (G) et l'ensemble des 
facettes (D).

1. En pratique, les rôles sont intervertis. Il est plus aisé de chauffer le 
plan qui est fixe que le solide qu'il est impératif de ne pas

perturber autrement que thermiquement.

2. Mais pas trop, afin de ne pas rendre le système trop sensible aux vibrations 
parasites susceptibles d'amorcer le glissement de la

plaque.

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110

115

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d

FIGURE 6 -- Un modèle de contact, à l'échelle microscopique, entre deux 
surfaces.

NS.
NS

DL 2
G Le De D \
\, -- (G) 7" (D)

FIGURE 7 -- Diagramme (à reproduire et compléter) des forces agissant sur le 
solide (1). L'inclinaison de la denture
est indiquée par la figure en trait pointillé.

19.

20.

21.
22.

Déduire de ce diagramme le coefficient d'adhérence f, apparaissant à l'échelle 
macroscopique, correspon-
dant à ce modèle. On précisera le raisonnement tenu.

Imaginons que l'opérateur extérieur applique la force F=Fü, par l'intermédiaire 
d'une ficelle et fait croître
très progressivement le module de cette force. Représenter graphiquement 
l'évolution de la composante F,
en fonction de l'abscisse x du solide (1) par rapport au solide (0), lorsque 
l'opérateur fait progresser le solide
(1) d'un pas à droite, et de telle manière que le travail W,,, qu'il doit 
fournir soit minimal. On indiquera sur
ce graphique les valeurs particulières qui apparaissent.

Exprimer le travail W;,. Analyser ce résultat.

Nous considérons que le solide (1) se retrouve de nouveau au repos après le 
passage d'un motif de den-
ture. Indiquer pourquoi cela revient à introduire, dans ce modèle, 
implicitement de la dissipation. Préciser
comment cette dissipation se manifeste à l'échelle macroscopique.

e Justifions, dans un cadre que nous allons définir, que l'adhérence entre deux 
solides ne dépend pas de la
surface apparente (ou macroscopique) de contact. Nous supposons que les solides 
sont en contact par un ensemble
de micro-surfaces. Ces micro-surfaces résultent de l'écrasement de pics 
(irrégularités microscopiques de rugosité)
sous l'action de l'effort N, comme l'illustre la figure (8). La surface du 
solide (1) en regard avec le solide (0) est
supposée plane, d'aire notée S. Il s'agit de la surface apparente de contact. 
Celle du solide (0) est constituée d'un
réseau de pics émoussés sur lesquels repose le solide (1). Nous notons s l'aire 
moyenne d'un flot de contact. Enfin,
nous admettons que la pointe initiale d'un pic, sous l'action de l'effort 
qu'elle supporte, s'émousse jusqu'à offrir
une surface telle que la force par unité de surface * qu'elle subit atteigne, 
en décroissant, une valeur de seuil * 6,
(propre au matériau).

23.
24.

25.

Établir que la surface réelle de contact S' entre les deux solides est 
indépendante de la surface apparente S.

Nous partons du principe que l'adhérence entre deux solides est une conséquence 
de l'interaction à courte
portée s'établissant entre les atomes des deux surfaces en contact. Argumenter 
ce point de vue au regard
des relations phénoménologiques de AMONTONS-COULOMB.

Indiquer comment varie alors le coefficient d'adhérence f avec 6. Commenter 
brièvement ce résultat.

3. Une force par unité de surface est une pression. En mécanique des matériaux 
on parle plutôt de contrainte.
4. Il s'agit d'un phénomène de relaxation de contrainte.

-- Page 5/13 --

(1) F

(0)

FIGURE 8 -- Le contact entre les solides s'établit par l'intermédiaire de 
micro-surfaces (flots de contact). Dans ce
modèle, seule la surface du solide (0) présente un réseau de pics. Sous 
l'action de la force d'appui N, la pointe de
chacun des pics s'est émoussée pour former un îlot de contact d'aire s 
suffisante pour que cesse cet écrasement.

26. En conservant le principe général de dentures en prise l'une sur l'autre, 
proposer une évolution du modèle

représenté figure (6) permettant de faire apparaître un comportement élastique 
(linéaire) du contact entre les

125 solides. En introduisant les paramètres géométriques nécessaires, préciser 
alors l'expression de la raideur k

(intervenant sur la figure (5)), puis celle du rapport G (défini à la question 
(12)), qui correspondraient à cette
modélisation des contacts. Enfin, donner l'expression du coefficient 
d'adhérence f associé.

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Partie Sciences de l'ingénieur
Etude de l'interaction entre le pantographe d'un train et le système caténaire

Nous nous intéressons au couplage mécanique entre un système caténaire et le 
pantographe d'un train. Ces élé-
ments, représentés figure (1), permettent d'assurer son alimentation électrique 
par contact glissant. L'exigence
de qualité du contact entre le pantographe et le fil d'alimentation d'une part, 
le souhait de pouvoir atteindre des
vitesses de circulation élevées d'autre part, nécessitent de fixer un compromis 
: le maintien d'un bon contact au-
torise une vitesse élevée, mais une vitesse élevée dégrade la qualité du 
contact. Les dysfonctionnements de ce
dispositif sont responsables de plus d'un million de retards chaque année, en 
Europe. Une bonne compréhension
de son fonctionnement permet de concevoir des systèmes adaptés aux différentes 
contraintes de fonctionnement
et d'anticiper les actions de maintenance.

Le système caténaire est l'ensemble constitué d'un poteau, généralement en 
acier, supportant un système com-
plexe de potence, appelé console, auquel est accroché le fil de contact 
assurant l'alimentation électrique du train.
La console est un assemblage de tubes, souvent en alliage léger, possédant un 
degré de liberté de rotation autour
d'un axe vertical permettant de compenser les variations de longueur du fil de 
contact. Afin de limiter le couplage
dynamique entre le câble porteur et le fil de contact, ce dernier est lié à la 
console par un système antibalançant et
un bras de rappel présentant une faible inertie. Le pantographe est un 
assemblage de tubes articulés fixé sur le toit
de la locomotive par l'intermédiaire d'isolateurs. En se déployant 
élastiquement, 1l peut compenser les variations
de hauteur du fil de contact. Il est composé d'un archet assurant le contact 
avec la caténaire, d'un bras articulé
appelé grand cadre. Le contact entre ces deux pièces est assuré par une boîte à 
ressort qui permet à l'archet de
pivoter pour s'adapter à la déformée du fil de contact. Le détail d'un 
pantographe est donné figure (2).

Poteau

Console

p

Pendules
à

dl -

L
y ü

# Câble porteur

FIGURE 1 -- Structure générale du système caténaire.

Nous déterminerons d'abord la forme adoptée par le fil porteur sous l'action du 
poids du fil de contact. Nous
étudierons ensuite la réponse dynamique du pantographe lorsqu'il glisse le long 
du fil de contact. Enfin, dans le but
d'identifier les risques de décollement du pantographe, nous nous intéresserons 
à sa réponse verticale dynamique
à un défaut de positionnement du fil de contact.

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Bandes de frottement

s rt
=

er

Archet

"

|
ee
*

Boites à ressort

Coussin pneumatique

Te

-

FIGURE 2 -- Structure détaillée du pantographe de FAIVELEY TRANSPORT (Type Cx).

1 Étude de la déformée statique du câble porteur.

Nous considérons que le câble porteur est fixé au niveau des poteaux supportant 
l'ensemble caténaire. Nous
notons L la distance entre deux de ses points d'ancrage. Le fl de contact est 
suspendu au câble porteur par N
1555 Suspentes (ou pendules) espacées d'une distance d telle que (N + 1)d = L. 
Nous considérons que ces suspentes
sont inextensibles. Ces suspentes soutiennent le fil de contact, en cuivre, que 
nous assimilerons à un cylindre de
diamètre D (voir figure (3)). Nous considérons que ce fil n'agit sur le système 
caténaire que par son poids propre,
sans modifier son comportement élastique. Il s'agit de déterminer la déflexion 
maximale du câble porteur sous
l'action mécanique des suspentes. Cette connaissance permet notamment de 
déterminer la longueur de chaque
suspente en vue d'assurer le maintien du fil de contact à une hauteur 
sensiblement constante.

D

FIGURE 3 -- Photographie d'un fil de contact (à gauche). Sa section est 
modélisée par un disque de diamètre D (à
droite).

160

1. Nous supposons que le seul chargement appliqué sur le câble porteur est le 
poids du fil de contact transmis
par les suspentes. Déterminer l'effort moyen F auquel est soumis une suspente, 
en fonction de la distance

d, du diamètre D du fil de contact, de l'accélération de la pesanteur g et la 
masse volumique p du cuivre.

Calculer la valeur de cette force pour L = 50 m, N --9, D = 3 cm, p = 9000 
kg-:m *etg=10m:s *.

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180

185

e Nous décomposons le câble porteur en N + I tronçons de longueur d. La figure 
(4) représente la déformation
d'ensemble du câble ainsi que l'une de ses portions au niveau d'un point (noeud 
S;) supportant une suspente. Nous
notons 6; et 6;.1, respectivement les angles formés entre l'horizontale et les 
tronçons du câble porteur, avant et
après le noeud S;. De même, nous notons --T. et LT. les forces de tension 
transmises par le câble et auxquelles les
tronçons situés de part et d'autre du noeud $; sont soumis. Dans ce modèle le 
câble porteur est supposé sans masse
et sans raideur de flexion (c'est-à-dire qu'il est supposé infiniment souple).

Agrandissement

FIGURE 4 -- À gauche : Déformation du câble porteur sous l'action des N forces 
transmises par les suspentes (ici,
N = 7). À droite : Équilibre du noeud S; sous l'action des efforts de tension 
--T: et T1 transmis par le câble, et de
la force F transmise par la suspente 1.

2. Établir les deux équations algébriques traduisant l'équilibre du noeud S;.

3. Nous nous plaçons désormais dans le cas tel que Vi, [8;| EUR 1. Exprimer 
l'angle 6; en fonction de 61, à,
F (F > 0) et du rapport f = F/T. La grandeur T (T > 0) désignant la tension à 
laquelle le câble est
SOUMIS.

4, Déterminer l'angle 8; puis exprimer 8; en fonction du rapport f, du nombre N 
de suspentes et du paramètre
de situation :.

5. Exprimer la déflexion maximale A (A > 0) du câble porteur en fonction de d, 
f et N. On n'envisagera que
le cas N impair.

6. Calculer la valeur de la déflexion maximale A pour T = 10* N.

2 Étude du comportement dynamique du pantographe.

Nous nous intéressons au comportement dynamique du pantographe et aux 
conditions de son décollement du
fl de contact. Lors du déplacement d'un train à la vitesse V =Veé, (V = Cste > 
0), le pantographe doit toujours
rester en contact avec le fil afin d'assurer la continuité de l'alimentation 
électrique. Sous son poids, entre deux sus-
pentes |, le fil de contact présente une déformation que nous représentons 
simplement par une fonction sinusoïdale
(composante fondamentale) :

i(x) = u(x)e, = asin(Kx)e, (a>0,K--=2r/d) (1)

Afin de maintenir un contact permanent avec le fl de contact, sans occasionner 
d'usure excessive, le pantographe
doit présenter une raideur verticale faible. Nous supposons alors ce fl comme 
infiniment rigide comparativement
au pantographe (vis-à-vis de son déploiement vertical). Le modèle 
masse-ressort-amortisseur adopté pour décrire
le comportement dynamique du pantographe est 1llustré figure (5). Ce modèle 
correspond à une idéalisation, en ne
considérant que son premier mode vibratoire. Nous notons & la raideur du 
ressort, c le coefficient d'amortissement
et M la masse (mobile équivalente) du pantographe affectée au point A de cote 
z. La cote z0 (z0 < 0) représente la position d'équilibre du point A lorsque le pantographe n'est soumis qu'à la pesanteur. Nous posons h -- --z9 et choisissons h > a afin, qu'au moins en régime statique, le contact reste 
assuré. L'action du fil de contact sur le
pantographe au point À est modélisée par la force R -- Ré, (R > 0). Enfin, nous 
posons © = k/M et Q -- KV.

1. Le choix de la longueurs de chaque suspente permet de compenser la déformée 
du câble porteur, comme cela est mentionné dans
l'introduction de la section (1).

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200

205

210

ZO

0 ! h>a TR ja>0 _

L 7 L 7

Z
Y

FIGURE 5 -- Modèle masse-ressort-amortisseur représentant le pantographe. Ce 
système mécanique est soumis à
l'action du fil de contact agissant au point A (affectée de la masse mobile M). 
Cette action est supposée agir selon
une force verticale R = Re, (R > 0). On notera que l'axe (O,z) est descendant.

7. Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable de position z du 
point A.

e Nous négligeons le terme d'amortissement du système (c = 0).

8.
9.

10.

11.

12.

Exprimer la composante R dans la situation où le point A suit la déformée u = 
u(x) du fil de contact.

Établir la condition que doit vérifier le rapport Q = Q? /@? garantissant que 
le contact reste maintenu. On
fera apparaître un rapport critique Q., fonction du rapport h/a. Analyser ce 
résultat.

M Par la suite, nous supposerons que l'on se situe dans le régime Q > I.

Dans le cas où © ne vérifie pas la condition de contact permanent, déterminer 
la phase Q% correspondant à

la rupture de contact du pantographe, ainsi que les position z et vitesse 4 
associées.
2
O h
Bmw a (SD
Nous posons T -- f -- {4. Préciser l'équation horaire z -- z(t) du mouvement du 
point A dans la phase qui suit
le décollage et avant reprise du contact.

On posera & --

Nous supposons que Q >> 1. Analyser le comportement du pantographe et sa 
conséquence sur les conditions
de fonctionnement du train.

e Lorsque le coefficient d'amortissement c est pris en compte, la condition de 
non décollement prend la forme :

13.
14.

2 2

h C
2 2 | EL
(1--Q) +£QO <> ou Ep (h > a) (2)
Proposer une interprétation du paramètre EUR (ou de 1/4E).

À partir d'une interprétation graphique de cette condition indiquer si 
l'amortissement est un facteur favori-
sant le décollement ou au contraire le défavorisant.

3 Étude de la réponse dynamique verticale du pantographe.

Nous adoptons dans cette partie une modélisation plus fidèle du premier mode 
propre du pantographe. Par
ailleurs, nous tenons compte du comportement dynamique du fil de contact. Nous 
analyserons la réponse verti-
cale du pantographe dans deux situations particulières. L'une concerne la phase 
de mise en contact initiale du
pantographe avec le fil de contact, à partir de sa position de repos. L'autre 
se rapporte à sa réponse à un défaut
géométrique du fil de contact, lorsque le train circule. Le modèle mécanique du 
pantographe et de l'ensemble ca-
ténaire adopté est représenté figure (6). On notera que l'orientation de l'axe 
(Oz) est maintenant choisie opposée
à celle adoptée dans la partie précédente (figure (5)).

-- Page 10/15 --

29 S
1" (Eq(2)

4 D
Z]

T---(Eq()) -*

FIGURE 6 -- Modèle mécanique du pantographe et de l'ensemble caténaire (phase 
de mise en contact). Les po-
sitions des points À et B sont comptées depuis leur situation d'équilibre 
respective, sous la seule action de £.
Naturellement, avant l'entrée en contact de ces deux points, et en situation 
d'équihibre, z2 = 0.

Le point À, affecté de la masse M, représente la partie supérieure du 
pantographe devant rester en contact avec
s le fl pendant la circulation du train. Cette partie est reliée à la 
locomotive par un système modélisé par un ressort
de raideur k; en parallèle avec un amortisseur de coefficient d'amortissement 
c,, ce groupement étant associé en
série avec un second ressort de raideur ko. L'ensemble caténaire est modélisé 
par une masse M, localisée au point
B, reliée à son support par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k; 
modélisant son comportement élastique. Les
cotes z, et z2 désignent les variables de position des points A et B, comptées 
depuis leur situation d'équilibre sous
22 la Seule action de la pesanteur. Le paramètre (constant) b représente la 
distance entre la position de référence du
point À et celle du point B. Le paramètre (constant) s situe le point E par 
rapport à la position de référence du
point À.
Pour mettre en contact le pantographe et le fil, c'est-à-dire les points À et 
B. Un vérin applique une force
f -- f(t)e,, sur le point A. Cet effort permet la montée du pantographe afin 
d'établir son contact avec le fil de
25 Contact. Ce dispositif permet, en cas de problème, d'interrompre rapidement 
l'alimentation électrique du train.
Cet effort est ensuite maintenu pendant le trajet du train.
Nous notons F(p) l'image, dans le domaine de LAPLACE, d'une fonction f(f).

2

_

3.1 Étude de la phase de mise en contact du pantographe avec le fil de contact.

Nous nous intéressons à la montée du pantographe, jusqu'à sa mise en contact 
avec le fl de contact, sous l'action
230 de la force f (voir figure (6)).

15. Établir la fonction de transfert H caractérisant la réponse de la variable 
z, à la force f, dans la phase
d'approche À -- B (avant le contact). Elle est définie par le rapport :

(©)

On notera que le pantographe (ko, k1,c1, M) est un système mécanique possédant 
deux degrés de liberté.

e Nous supposons que la force f(r) évolue selon un échelon tel que :

f(t)=0 pour 1<0 (4) f(t)= fo pour 1270 (fo >0)

-- Page 11/13 --
235

240

245

250

255

16. Exprimer la réponse z,(r) dans le cas où l'on peut négliger tous les termes 
de la fonction de transfert faisant

intervenir la masse M, devant ses autres termes (on remplacera simplement M, 
par 0). Nous poserons
Koki A C1
-- ,T -- et T, = --.
ko +ki ko +ki ki
17. Préciser, qualitativement, comment serait modifiée cette réponse si la 
masse M1 avait été prise en compte.

18. Nous posons B = Kb/fo et notons & le temps pour lequel le contact entre A 
et B s'établit (pour B < 1). Exprimer le rapport & /t en fonction de f. 19. Le contact des points A et B étant établi, déterminer leur position d'équilibre commune z! eq que l'on expri- mera en fonction de fo, K, k et b. 3.2 Étude de l'influence d'un défaut de positionnement vertical du fil de contact. Durant la vie de l'installation, des évènements imprévisibles peuvent modifier l'altitude du fil de contact (rupture de suspente, fluage des terrains de fondation des poteaux caténaires, ...). Il convient donc d'étudier les risques de décollement que ces modulations d'altitude, dont l'amplitude et la fréquence spatiale peuvent varier dans une large gamme, sont susceptibles d'occasionner. En phase de déplacement du train, le comportement dynamique vertical conjugué du pantographe et du fil de contact est modélisé selon le schéma de la figure (7). Il s'agit de la situtation étudiée dans la partie (3.1), après mise en contact des points A et B. Nous notons f 12 = J1/2 EUR (fi 2 2 0) la force de contact appliquée par la masse M], localisée au point À, sur la masse M, localisée au point B. Dans la situation d'équilibre (étudiée en fin de partie (3.1)), et sans défaut de © (fo -- Kb) > 0.

K+k
Le défaut de positionnement vertical est modélisé par un déplacement imposé du 
point E autour de sa position

sans défaut s (position de référence horizontale moyenne) du fil de contact. 
Nous notons alors z(x) = s +Z(x). En
raison du parcours à vitesse constante V du train, cela correspond à une 
excitation temporelle Z(Vr) appliquée au
point E. En réponse à cette excitation nous notons 1/2 -- fon + f1,2 Où f1,2 
est la composante dynamique de fi 2

positionnement, on à f1,2 -- fin --

autour de sa valeur moyenne fn:

À

& À
& Situation sans défaut
À d'altitude du point E
£ À À
Z
S à" (Ed)
Z ] b
L --- (Eq(1))

FIGURE 7 -- Modèle mécanique de l'ensemble pantographe-fil de contact pendant 
la circulation du train. Le défaut
d'altitude du fil de contact est représenté par la variable Z, relativement à 
la situation idéale (situation horizontale
moyenne, sans défaut du point E). La situation d'équilibre de référence reste 
celle se rapportant à la figure (6) et
les paramètres qui interviennent sont définis dans le texte se rapportant à 
cette figure.

La fonction de transfert traduisant la réponse dynamique de la force de contact 
f] /2 à l'excitation Z prend la
forme :
F pa(p) TND + CNP" + Tip +1

G(p) = ------ = -Go (5)
Z(p) TpP° + TP? +TipP +1

Tous les paramètres qui interviennent dans cette fonction sont des grandeurs 
réelles positives.

-- Page 12/13 --
20. En raisonnant physiquement sur le modèle de la figure (7) exprimer Go.

21. Préciser de quelle manière la fonction de transfert G peut nous renseigner 
sur le risque de perte de contact
entre le pantographe et le fl de contact (c'est-à-dire entre les points A et B).

e Le tracé du rapport |G(iw)/G(0)| est représenté figure (8).

20 -
18 -
16 -
14 -

12

10 -

(G/G(0)

0 RS PS PS PS LS
0 20 40 60 80 100 120

w (rad:s !)

FIGURE 8 -- Rapport |G/G(0)| en fonction de @.

260 22. Analyser, à partir du tracé de la figure (8), le comportement mécanique 
de ce système. Indiquer ce que ce
tracé permet d'inférer des différents temps caractéristiques intervenant dans 
l'équation (5).

23. Établir le lien entre la vitesse V du train et la longueur d'onde À du 
défaut de hauteur qui permet d'identifier
un risque potentiel de perte de contact.
Pour un train roulant à V = 360km-h ! préciser la valeur de la longueur d'onde 
susceptible de provoquer
265 une perte de contact.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2019
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université)
et Jérôme Didier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Étienne Martel (ENS
Paris-Saclay), Nicolas Courrier (professeur en CPGE), Stéphane Ravier 
(professeur
en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE).

Ce sujet est divisé en deux parties indépendantes. La première traite des lois 
de
la friction.
· Dans un premier temps, on introduit les conditions de l'équilibre d'un solide
le long d'un plan incliné à l'aide d'un modèle à deux points de contact. L'état
d'adhérence de ces deux points est décrit à l'aide d'un diagramme d'état qui
permet de déterminer si l'un des deux points, ou le solide, doit glisser ou non.
· La deuxième sous-partie fait appel à cette description pour décrire le 
phénomène
de reptation thermique d'un solide soumis à des cycles de hausse et de baisse
de la température. Cette étude, d'abord qualitative, modélise ensuite, à l'aide
de ressorts, la charge accumulée au niveau des contacts.
· La troisième sous-partie est consacrée à la modélisation des lois 
d'AmontonsCoulomb à l'échelle microscopique. Elle fait intervenir la géométrie 
des contacts
à cette échelle ainsi que la résistance des matériaux.
Cette partie nécessite une bonne compréhension du point particulier du programme
de MP que constituent les lois du frottement solide. L'ensemble est d'un bon 
niveau
et aborde plusieurs pistes très intéressantes pour décrire les conséquences et 
l'origine
microscopique des lois phénoménologiques d'Amontons-Coulomb.
La seconde partie porte sur l'étude de l'interaction entre le pantographe d'un
train et le système caténaire.
· La première sous-partie propose d'étudier la déformation du câble sous l'effet
de son propre poids.
· La deuxième sous-partie se focalise sur le comportement dynamique du 
pantographe, notamment le comportement du contact entre le caténaire et le fil 
ainsi
que l'influence de l'amortissement sur le décollement de ce dernier.
· La dernière sous-partie propose une modélisation du premier mode propre du
pantographe, à travers l'étude de deux situations décrites dans le sujet.
Cette partie est longue et assez ardue, les questions II.7 et II.15 notamment 
sont très
difficiles et bloquantes sur les quelques questions qui les suivent, tandis que 
les toutes
dernières sont assez faciles et ne présentent pas grand intérêt. Ces passages 
difficiles
sont d'une importance limitée pour les révisions, à l'inverse des autres 
questions, mais
ils restent utiles pour la culture scientifique et pour comprendre cette 
thématique qui
tombe souvent ces dernières années (deux sujets déjà l'an dernier en PSI).

Indications
Partie I
I.6 Existe-t-il un unique couple d'états d'adhérence vérifiant les équations du
mouvement ?
I.7 Quels doivent être les états d'adhérence des deux contacts pour qu'il y ait
glissement ?
I.10 Les paramètres donnés par l'énoncé aux questions I.4 et I.5 (q = 1/4, f = 1
et tan  = 1/2) ne permettent pas de résoudre cette question. Pourquoi ?
I.11 Les ressorts sont orientés selon -
u et transmettent la force appliquée par (1)
x

sur les patins (1A) et (1B) selon ce vecteur. Il faut imaginer un élément 
parfaitement glissant associé à chaque couple de ressorts permettant de 
transmettre
.
la composante des forces exercées par (1) sur les deux patins selon -
u
z
I.14 Quelle amplitude thermique permet de passer d'une situation de glissement
en A à une situation de glissement en B ?
I.16 L'angle  est choisi proche de l'angle de glissement de telle manière qu'une
variation infinitésimale de T suffise à passer dans un état de glissement pour
l'un des deux contacts.
I.19 Comment varie RG lorsque F augmente ? Quelle doit être sa valeur au seuil 
de
glissement ?
I.20 En l'absence de frottements, y a-t-il besoin d'appliquer une force F pour 
que le
solide « descende » le long d'une dent ?
I.24 Raisonner sur l'énergie d'adhésion en ne prenant en compte que les atomes 
de
l'interface.
Partie II
II.2 Cette question et la suivante utilisent les mêmes méthodes que pour la 
corde
de Melde.
II.4 Attention à l'orientation de l'angle.
II.5 Il faut sommer les déflexions successives sur un demi-câble pour atteindre 
le
point le plus bas et reconnaître pour cela des suites arithmétiques.
II.7 Cette question est difficile car il faut trouver la relation eq = z + h +  
qui
aurait mérité une question à elle seule. On peut l'admettre pour avancer et
essayer de la démontrer dans un second temps.
II.9 Distinguer deux cas selon la valeur de Q par rapport à 1.
II.10 Il faut réutiliser des résultats démontrés à la question II.8.
II.15 Cette question est très difficile. Il faut tout d'abord paramétrer le 
système car
l'énoncé ne le fait pas, puis traduire les différents équilibres des points A 
et D,
le second étant sans masse. On peut alors appliquer le principe fondamental au
point A et procéder de la même façon qu'à la question II.7.
II.19 Il faut refaire un bilan comme ceux déjà établis dans les questions II.7 
et II.15,
en étudiant les points A et B.

I. Étude du phénomène de reptation thermique
I.1 Faisons un bilan des forces appliquées sur le solide parallélépipédique 
dans le
référentiel, supposé galiléen, du plan incliné. On suppose que le solide (1) et 
la surface
de (0) sont suffisamment réguliers pour que la résultante des forces de contact 
le long
des arêtes passe par les points A et B situés au milieu de ces arêtes. Il en 
résulte que
les forces appliquées sur le solide sont :
-
-

· la réaction du plan en A : RA = TA -
u
x + NA uz ;
-
;
· la réaction du plan en B : R = T -
u + N -
u
B

B

x

B

z

-

· le poids du solide P = m-
g appliqué en son centre de masse G.
Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué au solide (1) donne
- - -
 -

RA + RB + P = 0
-

Soit, en projetant sur les vecteurs -
u
x et uz ,
(
TA + TB - mg sin  = 0 sur -
u
x

N + N - mg cos  = 0 sur -
u
A

B

z

Complétons le jeu d'équations décrivant le solide à l'équilibre en considérant 
le théorème du moment cinétique appliqué en A, point immobile dans le 
référentiel du plan
incliné. En tenant compte des points d'application des forces, il vient
- - - - - -
 -

AB  RB + AA  RA + AG  P = 0
d'où l'on tire, en remplaçant chaque vecteur par ses composantes,

-
) + (b -
)  (-mg sin  -
-

(2b -
ux )  (TB -
ux + NB -
u
ux + a -
u
u
z
z
x - mg cos  uz ) = 0
, -2b N + mg(b cos  - a sin ) = 0
En projection sur -
u
y

Donc, avec q =

a
,
b

B

NB =

mg
(cos  - q sin )
2

Injectons ce résultat dans les expressions du PFS précédentes pour obtenir
NA =

mg
(cos  + q sin )
2

et

TA + TB = mg sin 

I.2 Le solide est à l'équilibre s'il ne glisse pas et s'il ne bascule pas. 
Examinons
d'abord la première condition. Le solide (1) ne glisse pas si au moins l'un des 
deux
contacts A ou B ne glisse pas. Choisissons A pour le contact non glissant. 
D'après
les lois de Coulomb, TA < f NA tandis que TB = f NB pour le contact B, puisque celui-ci est glissant. Sommons ces deux relations pour obtenir TA + TB < f (NA + NB ) Choisir B comme le contact non glissant conduit au même résultat. Remplaçons les sommes des réactions tangentielles et normales par leurs expressions obtenues à la question précédente : mg sin  < f mg cos soit tan  < f On trouve le même résultat que pour un solide à un seul point de contact avec le support. Le solide ne bascule pas tant que le contact en B n'est pas rompu, c'est-à-dire tant que NB > 0. Ceci implique, d'après la question précédente, que
mg
(cos  - q sin ) > 0
2
soit

tan  < 1 q L'énoncé pose que f < 1/q. Il en résulte que la condition de non-glissement est rompue la première lorsque  augmente et que le basculement du solide ne se produit jamais. I.3 D'après la question I.1, soit NA TA + TB = mg sin TA TB + NB = NA ZA + NB ZB = mg sin NA NB Substituons à NA et NB leurs expressions établies à la question I.1 : mg mg (cos  + q sin ) ZA + (cos  - q sin ) ZB = mg sin 2 2 Factorisons cette expression par (mg/2) cos  pour obtenir A(q, ) ZA + B(q, ) ZB = C avec A(q, ) = 1 + q tan et B(q, ) = 1 - q tan C = 2 tan D'après la question précédente, tan  < 1/q, donc A > 0 et B > 0.
I.4 À q et tan  fixés, l'équation obtenue à la question précédente est celle 
d'une
droite D dans le plan P(O, ZA , ZB ) :
ZB = -

A
C
ZA +
B
B

Pour tan  = 1/2 et q = 1/4, on a A = 9/8, B = 7/8 et C = 1. La droite D est
représentée ci-dessous.
ZB
D
G

f

A
f

ZA