X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2018

Thème de l'épreuve Étude d'un fusible réarmable. Étude du flambement d'une membrane fine gonflée.
Principaux outils utilisés diffusion thermique, électrocinétique, énergétique, statique, transformée de Laplace
Mots clefs fusible, flambement, minimum d'énergie, instabilité, groupe de pompage

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2018 FILIÈRE MP COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR ­ (X) (Durée : 4 heures) L'usage de calculatrice n'est pas autorisé pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. Les candidats indiqueront très clairement les parties et références des questions abordées. Cette épreuve comprend deux parties indépendantes sur le thème de la stabilité d'équilibre. La première porte sur l'étude d'un dispositif de protection électrique basé sur un effet de couplage électrique­thermique. La seconde s'intéresse au flambement des structures en coque mince. Les calculs relatifs à la section (3) de la première partie sont indépendants des résultats des parties précédentes. Il est conseillé de ne pas consacrer plus de 2h00 par partie. 5 P REMIÈRE PARTIE Étude d'un dispositif de protection contre les surintensités Cette partie est consacrée à l'étude du fonctionnement d'un composant électrique commercialisé sous le nom de "fusible auto-réarmable". C'est l'augmentation de sa résistance avec la température qui limite la durée de la surintensité dans les circuits ou matériels électriques qu'il protège. Ce fusible particulier 1 offre l'avantage de rejoindre spontanément son état faiblement résistif après disparition de la surcharge. La figure (1) présente un tel composant. F IGURE 1 ­ Un type de fusible auto-réarmable (Bel Fuse, Inc. ­ 120 V 1 A) : 20,1 × 11,5 × 4,1 mm3 (épaisseur, hors du plan de la figure). 10 15 Nous modélisons ce composant par un dipôle ohmique (que nous appellerons indifféremment résistance), de forme parallélépipèdique, dont la conductivité électrique dépend de la température T . Ce dipôle est alimenté par un générateur G de résistance interne RG et de force électromotrice continue UG . La figure (2) représente ce système. La connexion (en A et B) des fils avec le dipôle est assurée par deux électrodes métalliques planes de surface S. L'état du générateur est décrit par la différence de potentiel U à ses bornes et le courant I qu'il débite. L'état du dipôle est défini par le champ spatio-temporel de température T (x,t) et celui du champ électrique ~E = E(x,t)~ux . L'état du milieu extérieur est caractérisé par sa température Te supposée constante et uniforme. Nous notons c la capacité thermique (à pression constante), par unité de volume, du matériau constituant la résistance et sa conductivité thermique. Ces deux grandeurs sont supposées indépendantes de la température. 20 1 Équations de fonctionnement. Nous allons établir les équations décrivant le fonctionnement couplé électrique­thermique du système. 1. Nous avons implicitement supposé que les grandeurs T et E décrivant l'état du dipôle sont invariantes selon les directions orthogonales à l'axe (Ox). Préciser à quelles conditions on s'approche électriquement et thermiquement de cette situation. 1. Le nom de "fusible" qui a été attribué à ce composant est donc impropre. ­ Page 1/11 ­ y Electrodes de contact Surface S O z A B x (c,) Te Te I 2a U G F IGURE 2 ­ Système constitué du générateur G(UG ,RG ) et du dipôle ohmique soumis à la différence de potentiel U = VA -VB 0 et traversé par le courant I. Le milieu extérieur est maintenu à la température Te . 25 2. Justifier que le courant I est indépendant de x. Nous noterons J = I/S le courant par unité de surface. 3. Préciser la symétrie spatiale que présentent la répartition de température T (x,t) et celle du champ électrique ~E(x,t). On procédera avec rigueur en détaillant le raisonnement conduit. 4. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température en considérant sa dépendance temporelle. On fera apparaître le courant par unité de surface J. 30 5. Établir la loi d'O HM pour le dipôle. En déduire l'expression de sa résistance R (sous forme d'une intégrale). 6. Écrire l'équation de fonctionnement du générateur reliant U à I. 7. Déduire des résultats précédents (questions (5) et (6)) l'expression du courant par unité de surface J en fonction de UG , RG , R et S. 35 Cette relation, conjointe à l'équation thermique obtenue en réponse à la question (4), décrit le couplage électrique­ thermique sur lequel va reposer cette étude. 2 Étude du régime stationnaire. Nous nous plaçons en régime supposé stationnaire et cherchons à caractériser le point de fonctionnement du système générateur­dipôle (dans le milieu extérieur à Te fixée). 40 8. Établir, à partir de chacune des équations thermique et électrique (obtenues questions (4) et (5)), l'équation d'énergie (ou de puissance) qui lui correspond. Vérifier que les deux équations obtenues traduisent, conjointement, la conversion de l'énergie électrique fournie par le générateur en chaleur reçue par le milieu extérieur. · Nous envisageons ici une situation telle qu'il devient légitime d'écrire la conductivité électrique sous la forme d'un développement limité au premier ordre relativement à l'écart de température : T - Te T - Te où (T ) = e 1 + 1 (1) Te Te De plus, nous supposons que varie modérément avec la température, c'est-à-dire que || 1. Enfin, nous effectuons le changement de variables : ( X = x/a J 2 a2 et posons K = (2) Te e Y = Y (X) = (T - Te )/Te 9. Attribuer une signification physique au rapport K. 10. Établir que l'équation thermique et l'expression de R, avec ces nouvelles variables, au premier ordre relativement à Y , deviennent : d2Y 2 - KY = -K dX ^ (3) 2a 1 (1 - Y )dX R = Se 0 ­ Page 2/11 ­ · Nous recherchons la solution de l'équation thermique sous la forme d'un développement limité au premier ordre par rapport au paramètre : ( Y (X) = Y0 (X) + Y1 (X) (4) K = K0 + K1 Dans la suite, l'indice "0" fera référence à la situation pour laquelle = 0. Nous notons ainsi, toujours au premier ordre par rapport à , R = R0 - R1 . Par ailleurs, nous adoptons la condition aux frontières T (±a) = Te . 11. Exprimer R0 et R1 (cette dernière, sous forme intégrale). On veillera à respecter la cohérence d'ordre des développements effectués. 45 12. En déduire l'expression de K0 en fonction de I0 , Te , S, a, et e , puis celle de K1 en fonction de K0 , RG , R0 et R1 . 13. Établir le système d'équations différentielles dont sont solutions Y0 et Y1 . · L'intégration du système d'équations différentielles obtenu, respectant les conditions aux frontières adoptées, conduit à la fonction Y : Y (X) = ! K2 K0 (1 - X 2 ) + 0 (1 - X 2 ) + X 2 2 24 où = 12 3R0 - 5RG K1 -5 = R0 + RG K02 (5) 14. Exprimer dans chacun des deux cas limites où le générateur G se comporte comme une source idéale de tension (cas GU ) ou comme une source idéale de courant (cas GI ). On notera respectivement U et I . 50 · La résistance du dipôle, issue de cette modélisation, s'écrit : K0 R = R0 1 - où K0 I02 3 (6) 15. Illustrer, dans le plan (x = I, y = U), la construction graphique du point de fonctionnement P adopté par le système générateur­résistance dans le milieu extérieur. Nous supposerons > 0. 16. Préciser la situation de la fonction Y (équation (5)) par rapport à la fonction Y0 , dans chacun des deux cas GU et GI . Justifier physiquement ces résultats. On pourra raisonner sur la détermination graphique du point de fonctionnement (question (15)) dans les situations GU et GI . Nous supposerons > 0. 55 3 60 Analyse de la stabilité du point de fonctionnement. L'équation (6) peut également s'écrire R = R0 (1 - hY0 i) où hY0 i désigne la moyenne de la fonction Y0 sur l'intervalle [-1, + 1]. Dans un cadre moins restrictif que celui associé à l'équation (1), nous supposons que l'on peut encore écrire R = R(hT i). Afin d'étudier les conditions de stabilité du point de fonctionnement nous adoptons la modélisation simplifiée suivante : · La température du dipôle est uniforme, égale à sa température moyenne, notée maintenant simplement T ; · La résistance R du dipôle est une fonction de T ; 1 dR ; R dT · Le flux thermique par unité de surface traversant la frontière du dipôle, vers l'extérieur, s'écrit = h(T - Te ). Le coefficient h (supposé constant) rend compte synthétiquement du processus complexe d'échange thermique à l'interface solide­fluide. · La dépendance R = R(T ) est caractérisée par le coefficient = (T ) défini par : = 65 Nous notons Z une grandeur Z relative à l'état présumé stationnaire. En particulier, nous posons T = T + . 17. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température T . On posera C = 2caS. 18. Établir que cette équation différentielle, développée linéairement dans le voisinage de l'état présumé stationnaire, fait apparaître une équation algébrique (notée EQ ) définissant l'équilibre (grandeurs étoilées), que l'on précisera, ainsi que l'équation différentielle associée : ) ( d 1 (R - RG ) R I 2 + 2hS (7) = -k où k = dt C RG + R 19. Commenter l'influence, sur la stabilité de l'équilibre supposé, des termes intervenant dans l'expression du facteur k. ­ Page 3/11 ­ 70 20. Compléter cette analyse en étudiant les cas limites où le générateur fixe la tension U (cas GU ) et celui où il fixe le courant I (cas GI ). · Nous nous proposons maintenant d'étudier le cas général pour lequel le générateur ne fixe ni la tension, ni le courant. Nous supposons = Cste > 0. Nous notons Re = R(Te ) et posons r = R/RG en adoptant re = Re /RG < 1 (par exemple re = 1/4, pour fixer un ordre de grandeur). 21. En explicitant la constante A (en fonction de U G , RG , h et S) et la fonction f , écrire l'équation différentielle obtenue en réponse à la question (17) sous la forme : ca dT = F(T ) où h dt 75 80 1 F(T ) = A f (r) - (T - Te ) (on choisira f telle que f (1) = ) 4 (8) 22. Justifier, au vu de la dépendance de la fonction f avec r, que la température est nécessairement bornée. 23. Justifier que la construction graphique relative à la question (15) corrobore ce résultat. · Il s'agit maintenant d'étudier l'évolution de la température à partir de l'instant de "branchement" du générateur. Nous allons illustrer graphiquement cette évolution, depuis la situation initiale (T (t = 0+ ) = Te , r(t = 0+ ) = re ), immédiatement après branchement du générateur, vers la situation d'équilibre (T , r ), dans le repère à quatre cadrans représenté figure (3). Notons que l'axe vertical ascendant porte une double échelle : à droite elle se rapporte à A f (r) (fonction de r ­ cadrant (2)), à gauche à T - Te (fonction de T ­ cadrant (3)). Le cadrant (1) représente la fonction r = r(T ). Le cadrant (4) permet simplement le report de la température de l'axe vertical descendant sur l'axe horizontal gauche. T-Te Af(r) (3) (2) T 0 Te (4) Te T1 T2 re T r 1 (1) r=r(T) F IGURE 3 ­ Repère à quatre cadrans permettant d'illustrer l'évolution de la température T depuis la situation initiale (Te , re ) (immédiatement après branchement du générateur) à la situation d'équilibre (T , r ). L'évolution représentée dans le cadrant (2) est paramétrée par la constante A. 85 90 95 100 24. Exprimer la dépendance de r avec T . On fera apparaître Te et re . 25. Reproduire le graphe à quatre cadrans de la figure (3). Pour les trois températures Te < T1 < T2 qui y sont repérées, représenter les points correspondants dans les cadrans (1), (2) et (3) (légende : pour Te , pour T1 , · pour T2 ). 26. En déduire la situation d'équilibre dont on repérera par une étoile () les points correspondants dans chacun de ces trois cadrans. On précisera le raisonnement ayant conduit à sa détermination. 27. Déterminer à quelle condition r > 1. 28. Ce couplage thermique­électrique (dans le cas > 0) est mis à profit pour réaliser des fusibles auto-réarmables (voir le paragraphe introductif). Le dipôle résistif est alors placé en série avec la charge à protéger des surintensités. Nous supposons maintenant que la résistance RG joue le rôle de cette charge (le générateur G devenant alors idéal). Justifier le choix re < 1 et, idéalement en pratique, re 1. 29. Imaginons que la surintensité est due à une élévation accidentelle de UG . En s'appuyant sur les réponses apportées aux questions (25) et (26), expliquer le principe de fonctionnement d'un tel fusible. · À titre d'information, le matériau constituant un fusible auto-réarmable se présente comme une matrice polymérique chargée de particules de carbone. À basse température, cette matrice adopte une structure cristalline qui offre l'ordre et la proximité nécessaires à ces particules pour assurer efficacement la conduction électrique. À plus haute température, la structure transite vers une phase amorphe qui ne présente plus ces qualités. La figure (4) représente la dépendance expérimentale de la résistance d'un tel composant avec sa température. On remarquera que cette dépendance particulière de sa résistance avec la température lui permet de très bien assurer sa fonction (identifée en réponse à la question (29)). ­ Page 4/11 ­ F IGURE 4 ­ Variation de la résistance d'un fusible auto-réarmable avec sa température (sur un domaine restreint de variation de sa résistance). S ECONDE PARTIE Étude du flambement, sous chargement extérieur, d'une membrane fine gonflée 105 110 115 120 Nous nous proposons d'étudier une instabilité pouvant apparaître sur les structures en coque mince. Ces structures, de faible épaisseur par rapport à leurs autres dimensions, sont très utilisées pour leur intérêt architectural. Elles peuvent être en béton, acier, bois ou encore en toile tendue. Dans ce dernier cas, la forme de la toile peut être déterminée par les conditions sur ses frontières. Elle peut également être contrôlée et ainsi s'adapter aux nécessités d'usage, ou prévenir les instabilités dues aux chargements climatiques. Les dispositifs de contrôle agissent principalement sur la tension de la toile pour maîtriser, à chaque instant, sa forme. Parmi les procédés récents utilisant un contrôle, les membranes en Ethylène Tétrafluoroéthylène, encore appelée ETFE, ont apporté un renouveau dans les formes architecturales. Elles sont légères, thermiquement isolantes et adaptables à des géométries variées. Ces éléments de toiture, ou de façade, sont composés de deux membranes formant une chambre gonflée, fixées à leurs périphéries sur une structure porteuse. On appelle un tel élément gonflé un coussin ETFE. La pression intérieure du coussin est contrôlée en permanence afin de maintenir une géométrie stable, assurer l'étanchéité et compenser d'éventuelles fuites d'air. Parmi les projets emblématiques réalisés avec cette technologie citons le centre national aquatique de Pékin construit pour les jeux olympiques d'été de 2008, la couverture du bâtiment de CentraleSupelec ou encore la couverture de la station du RER E Rosa Parks (voir figure (1)). L'objet de cette partie est d'étudier le comportement d'un coussin ETFE et, en particulier, l'adaptation de sa pression de gonflement pour éviter les risques de flambement, y compris en cas de faible fuite d'air. Nous étudierons dans un premier temps un modèle simplifié de flambement de coques minces, puis nous améliorerons le modèle mécanique pour identifier les paramètres du modèle initial, enfin nous étudierons le contrôle commande de stabilisation de la forme. La figure (2) schématise la structure d'un coussin ETFE. 1 Modèle simplifié de flambement de coque. 125 Dans cette partie, nous étudions le comportement mécanique d'un élément de toiture ETFE. Celui-ci est soumis aux chargements extérieurs tels que le vent, la neige ou d'autres sollicitations ponctuelles comme les charges de maintenance. Nous limitons notre étude à l'analyse du comportement mécanique de la membrane supérieure d'un coussin ETFE. Celleci subit les chargements extérieurs sur sa face supérieure et la différence de pression entre la pression de gonflement et la pression de l'atmosphère. ­ Page 5/11 ­ F IGURE 1 ­ Exemple de couverture en membrane ETFE. F IGURE 2 ­ Schéma d'un coussin ETFE : 1- membrane supérieure, 2- membrane inférieure, 3- cadre de fixation du coussin, 4- système d'injection d'air, 5- système de purge d'air en cas de surpression. 1.1 Première approche du flambement : déplacement du sommet de la coque mince modélisée par un système à 1 degré de liberté. 130 135 Nous nous intéressons au premier mode de flambement de la membrane supérieure, sous chargement uniforme, correspondant à son affaissement. Nous considérons la partie supérieure du coussin ETFE et restreignons l'étude de sa déformation au déplacement de son sommet. Sur la figure (3), la structure est modélisée par deux ressorts de raideur k et de longueur à vide a et est soumise à la charge verticale 2~F = 2F~uy . Compte-tenu de la symétrie de cette structure, nous réduisons son modèle à un seul ressort, comme le représente la figure (4). Ce ressort est fixé à une extrémité par une rotule, au point A. Son autre extrémité, le point B, peut glisser sans frottement exclusivement suivant l'axe (O,~uy ) de la glissière. La projection orthogonale du point A sur cet axe définit le point O. Nous ~ = y ~uy . ~ = ~ux et OB notons AO 1. Nous considérons d'abord le cas F = 0. Établir l'équation d'équilibre du système à partir d'un raisonnement énergétique. 140 2. Discuter la situation des positions d'équilibre du système selon la valeur du rapport a/. On commentera brièvement ces résultats. 3. Étudier la stabilité des positions d'équilibre. · Nous supposons dorénavant a/ > 1 et que la force ~F (|~F| = 6 0) appliquée à la structure est indépendante de la position du point B. 145 4. Construire, à partir d'un bilan énergétique, la grandeur W (y) dont le minimum caractérise l'état d'équilibre du système. W (y) 1 F et (Y ) = 5. Nous posons Y = y/, A = a/ (A > 1), E = k2 , = . Exprimer la grandeur à l'aide de Y , 2 k E A et . ­ Page 6/11 ­ F IGURE 3 ­ Modèle élastique pour l'étude du flambement de la membrane supérieure du coussin ETFE. F IGURE 4 ­ Modèle élastique réduit à un seul ressort. 150 6. Donner l'allure de la représentation graphique de pour deux valeurs (positives) du paramètre illustrant les deux types de situation envisageables. 7. Écrire l'équation d'équilibre sous la forme (Y ) = . 8. Préciser l'équivalent de pour Y ± et celui pour Y 0. Exprimer les zéros de cette fonction. 9. En s'appuyant sur ces résultats, esquisser l'allure de la représentation graphique de . 10. Indiquer comment résoudre graphiquement l'équation d'équilibre. 155 11. Commenter, à partir de cette analyse graphique, les différentes situations d'équilibre du système. 12. Notons 1 une valeur de telle qu'il n'existe qu'une seule position d'équilibre Yeq1 , avec Yeq1 > 0. Donner l'aspect graphique de la dépendance de Yeq (de l'équilibre stable) avec lorsque ce paramètre évolue de 1 à -1 . Le phénomène de saut qui apparaît sur ce tracé est la manifestation d'une instabilité appelée flambement. 1.2 Détermination des paramètres du modèle élastique. 160 165 170 Nous considérons la membrane supérieure du coussin ETFE en vue d'identifier les paramètres (k, a, F) intervenant dans le modèle développé dans la partie précédente. Dans un premier temps, nous analyserons le lien entre la tension dans la membrane et la différence de pression entre la pression de gonflement et la pression atmosphérique, ainsi que le lien entre a et le rayon de courbure de cette membrane. Enfin, nous identifierons la raideur k du coussin ETFE gonflé. La géométrie (idéalisée) du coussin ETFE se présente comme un secteur de cylindre d'ouverture angulaire 2, de longueur L (assez grande pour pouvoir s'affranchir des effets de bord) selon son axe ~uz , de rayon R et de distance 2 entre les deux lignes de fixation. Sa courbure résulte de la différence, notée P, entre la pression intérieure (pression de gonfle au coussin ment) et la pression atmosphérique extérieure. En réaction à P, une tension linéique T N · m-1 apparaît sur le pourtour de cette membrane. La figure (5) représente un tronçon de longueur dz du secteur de cylindre, à l'équilibre mécanique. La figure (6) précise sa géométrie. 13. Déterminer l'expression de chacune des tensions linéiques T0 et T0 apparaissant sur les frontières de la membrane (figure (6)), en fonction de la différence de pression P et des paramètres géométriques du coussin. ­ Page 7/11 ­ F IGURE 5 ­ Élément [z, z + dz] du tube modélisant la membrane soumise à la différence de pression. F IGURE 6 ­ Géométrie du tronçon élémentaire. Les tensions linéiques T0 et T0 sont supposées indépendantes de z. 14. Nous identifions la longueur à vide a du ressort, introduite dans la partie précédente (figure (4)), à la distance entre le point de fixation M (ou N), et le sommet J du dôme formé par la membrane gonflée (figure (6)). Exprimer a en fonction de et R. 175 180 15. Exprimer a/ à l'ordre deux en /R. · On propose maintenant de déterminer la raideur du coussin ETFE gonflé, sous chargement de type neige. Considérons alors que le coussin ETFE gonflé est soumis à une charge linéique uniforme -q dz ~uy N · m-1 . Cette charge produit une déflexion de la membrane, par rapport à sa configuration sans charge. En vue de déterminer cette déflexion, nous considérons un modèle simplifié où la géométrie sans charge serait plane. La différence de pression P et la courbure sont simplement traduites par leur conséquence, c'est-à-dire la présence de tensions T0 dz et T0 dz appliquées aux extrémités d'un tronçon [z, z + dz] de membrane. On supposera ainsi que la charge de neige est négligeable devant la pression de gonflement, c'està-dire qP, afin que les tensions T0 dz et T0 dz soient identiques à celles trouvées en question 13. Sa déflexion est notée f = f (x), comptée positivement suivant -~uy . La figure (7) illustre le passage de la géométrie réelle courbe à la géométrie simplifiée plane de la membrane. La figure (8) détaille le système finalement étudié. La figure (9) isole un élément [x, x + dx] de ce système. F IGURE 7 ­ Simplification géométrique adoptée de la configuration de membrane sous chargement. 185 ­ Page 8/11 ­ F IGURE 8 ­ Déflexion f = f (x) du tronçon [z, z + dz] de membrane soumise à la charge linéique uniforme -qdz ~uy ~0 k = kT ~0 k). (avec kT F IGURE 9 ­ Élément [x, x + dx] du tronçon de membrane représenté figure (8). 16. Établir les relations d'équilibre de l'élément [x, x + dx] représenté figure (9). · Dans toute la suite, nous supposons || 1. 17. Démontrer que la tension linéique est uniforme. L'exprimer en fonction de P et R. 18. Exprimer la déflexion f = f (x) en fonction de x et des paramètres q, T0 et . 190 19. Exprimer la déflexion maximale fM en fonction de q, P, R et . 20. Nous identifions la déflexion maximale fM de la membrane au déplacement du point B sous l'action de la force ~F = -qL~uy (voir figures (3) et (4)). Déduire de cette analogie l'expression de la raideur k. On donnera cette expression en fonction de P, R, L, , h et D = R (1 - cos ) (voir figure (6)). On supposera fM D. 1.3 Analyse du système de contrôle­commande du gonflement du coussin ETFE. 195 200 205 Afin de maintenir le coussin ETFE dans un bon état de gonflement, en situation normale comme en situation dégradée, un système de contrôle­commande surveille et ajuste la quantité et la pression de l'air. En fonctionnement normal, cette régulation doit permettre de limiter l'effet de la dilatation thermique de l'air. En fonctionnement dégradé, par exemple lors d'un percement de la membrane, elle assure la sécurité des personnes situées sous la structure. On étudie ici la régulation dans le cas d'un percement de la membrane ETFE. Celui-ci peut être dû à un endommagement du tissu ETFE ou à une mauvaise régulation de la purge en air. Cette partie propose tout d'abord l'étude temporelle d'une régulation sans intervention d'un système de pompage. Ensuite, elle étudie cette réponse avec système de pompage. On néglige la compressibilité de l'air, aussi on modélisera, dans les schémas, le "fluide" emprisonné dans le coussin ETFE comme un fluide incompressible. Nous notons F(p) l'image, dans le domaine de L APLACE, d'une fonction f (t). 1.3.1 Modèle sans groupe de pompage. Le système de régulation de l'air est représenté schématiquement dans la figure (10). Le coussin est modélisé par un réservoir de section S et de hauteur h = h(t) sur laquelle le contrôle est effectué. La hauteur consigne est notée hc . En bas du réservoir, une purge permet une vidange avec un débit d2 (t). Le réservoir est rempli selon le débit d1 (t) contrôlé par une vanne régulée de manière proportionnelle à la différence hc - h, avec des conditions de limitation supérieure et inférieure, soit : hc < h(t), d1 (t) = 0, d1 (t) = K (hc - h(t)) , h h(t) hc (K > 0), (30) d1 (t) = D, h(t) < h où h = hc - D/K (D > 0). 21. Établir l'équation, en grandeurs de L APLACE, décrivant ce dispositif de régulation pour h h(t) hc . ­ Page 9/11 ­ F IGURE 10 ­ Schéma du système de régulation du réservoir sans groupe de pompage. 22. Représenter le schéma fonctionnel correspondant. 23. Le réservoir est initialement plein (h(0) = hc ). On étudie la réponse du système à un créneau de vidange défini par la séquence : d2 (t) = 2D, t [0,], (33) d2 (t) = 0, t / [0,]. 210 où = S/K représente le temps caractéristique du système. Exprimer la dépendance temporelle de l'évolution h = h(t) pour t [0,]. On précisera le temps T1 pour lequel le débit maximal de remplissage est atteint ainsi que la hauteur d'eau minimale hmin . 24. En déduire l'évolution temporelle de h(t) pour t [, + ]. On précisera le temps T2 à partir duquel le débit de remplissage est inférieur au débit maximal. 215 25. Esquisser la courbe de la réponse temporelle à ce créneau de vidange. Donner les valeurs frontières pour S = 2 m2 , K = 2 × 10-3 m2 · s-1 , hc = 2 m et D = 2 × 10-3 m3 · s-1 , avec ln(2) 0,7. 1.3.2 Modèle avec groupe de pompage. Le système inclut maintenant un groupe de pompage qui régule le débit de remplissage d1 en fonction du niveau d'eau h du réservoir. Ce groupe de pompage est composé d'un système électronique de mesure de la hauteur d'eau et d'un groupe motopompe. Le système électronique convertit la différence entre la hauteur d'eau h(t) et la hauteur consigne hc en un angle de rotation consigne c selon une relation intégratrice de constante B R+ : c (p) = 220 225 B (Hc (p) - H(p)) p (43) Le groupe motopompe est composé de deux parties : un moteur et un système de pompage hydraulique. Le comportement du moteur est complexe et dépend notamment du couple résistant qu'oppose l'eau pompée. Ainsi, nous proposons un modèle simplifiée du fonctionnement du moteur résumé dans le schéma fonctionnel représenté figure (11). Dans ce modèle intervient le moment d'inertie J du rotor du moteur autour de son axe ainsi qu'une constante de "frottement" positive f . Le couple résistant opposé par les frottements internes et l'eau pompée s'écrit alors f . La régulation du moteur se fait en position pour un angle consigne c avec un contrôle proportionnel de coefficient A R+ . Enfin, l'angle de rotation du moteur met en mouvement le système de pompage hydraulique qui assure un débit de remplissage du réservoir d1 (t) proportionnel à la vitesse de rotation du groupe motopompe. Ainsi, le débit de remplissage du réservoir est donné par : d1 (t) = C(t). La figure (12) représente le système étudié. Dans un premier temps, nous étudierons la régulation propre du groupe de pompage. Puis, nous l'intégrerons dans le système global de régulation du réservoir. Enfin, nous étudierons la réponse de ce système à une fuite de faible débit constant. 26. Exprimer la fonction de transfert T (p) = (p)/c (p) du groupe de pompage dont le schéma fonctionnel est représenté figure (11). ­ Page 10/11 ­ F IGURE 11 ­ Schéma fonctionnel du groupe motopompe. F IGURE 12 ­ Structure générale du dispositif de régulation du niveau h avec groupe de pompage. 27. Exprimer la fonction de transfert du système de régulation du réservoir définie par le rapport : U(p) = 230 Hc (p) - H(p) D2 (p) (46) 28. Représenter le schéma fonctionnel du système global de régulation du niveau du réservoir en notation de L APLACE. 29. Déterminer la limite pour t de la hauteur h en réponse à un échelon de débit de fuite tel que : ( d2 (t) = 0 pour t ] - , 0[ d2 (t) = D > 0 pour t [0, + [ (51) 30. Commenter le résultat précédent. Proposer une modification simple du système de régulation afin que cette limite se fixe sur hc . ­ Page 11/11 ­

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 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2018 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et Nicolas Courrier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Cyril Ravat (professeur en CPGE), Jérôme Didier (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE). L'épreuve est constituée de deux grandes parties indépendantes. La première s'intéresse à un fusible auto-réarmable. La résistance d'un tel composant peut augmenter fortement avec la température, ce qui protège un circuit en cas de surintensité. On commence par des questions relativement classiques et on termine par l'interprétation physique et la détermination graphique des résultats. Il faut prendre de la hauteur pour ne pas se perdre dans les notations. · Dans un premier temps, les questions visent à établir les équations de fonctionnement du dipôle, mettant en oeuvre des méthodes vues en diffusion de la chaleur et en électrocinétique. · Ensuite, on s'intéresse au régime stationnaire pour une température du dipôle légèrement supérieure à la température extérieure. Le sujet se perd un peu dans des changements de variables qui brouillent le sens physique des équations. · Enfin, le sujet aborde la stabilité du point de fonctionnement du dipôle, encore une fois à travers des développements autour de sa température moyenne. Le but final est de comprendre pourquoi ce dispositif peut protéger un circuit. La seconde partie porte sur l'instabilité statique d'une membrane fine gonflée : le flambement. Ce phénomène, conduisant à la déformation de la membrane, est souvent destructeur lorsqu'une répartition d'efforts est imposée. · La première sous-partie est une introduction à ce phénomène par analogie avec un ressort. C'est l'occasion d'aborder différents aspects du phénomène. · La deuxième étude a pour but d'identifier les paramètres du problème simplifié vus dans la première sous-partie avec ceux de l'étude de la membrane. · Le dernier point consiste à étudier l'asservissement du gonflage de la membrane. Ce problème est ramené à l'étude d'un remplissage d'un cylindre. Cette partie est difficile par manque d'indications dans le sujet, notamment dans les deuxième et troisième sous-parties. Indications Partie I I.1 Pour négliger les effets de bords, il faut que le dispositif soit « grand ». I.2 Utiliser l'équation de conservation de la charge. I.4 La variation d'énergie dans une tranche infinitésimale de dipôle est due aux entrées et sorties de flux thermique et au chauffage par effet Joule. I.8 Intégrer l'équation de diffusion thermique sur tout le volume du dipôle. I.12 En partant de la densité J, effectuer des développements limités au premier ordre en pour simplifier l'écriture de K. I.16 Comparer les caractéristiques statiques à = 0 et > 0, en les reliant, en fonction du type de générateur, à une augmentation ou diminution de puissance consommée. I.17 Effectuer un bilan d'énergie sur tout le dipôle, puisque sa température est uniforme. L'échauffement par effet Joule est contrebalancé par l'équilibre avec le milieu extérieur. I.18 Développer les expressions de R, I puis R I2 au premier ordre en . I.24 Reprendre la définition de , constante d'après l'énoncé. I.26 Il faut F(T) = 0 pour que la température se stabilise. Chercher alors l'égalité entre Af (r) et (T - Te ). I.27 Chercher la condition sur pour que F(T) soit encore positive lorsque r = 1. I.29 Quand UG augmente, Af (r) augmente également. Partie II II.1 Exprimer l'énergie élastique. II.3 Exprimer le travail de la force et en déduire l'énergie potentielle. II.6 Penser au fait qu'il existe différentes situations d'équilibre. - - II.13 Exprimer au préalable les vecteurs MJ et JN ainsi que l'angle en fonction de et R. Cette étude est utile par la suite. II.15 Effectuer deux développements limités en supposant 2 /R2 petit devant 1, celui p de 1 - 2 /R2 doit être effectué à l'ordre 2. II.16 Utiliser le théorème de la résultante statique. II.22 Exprimer la variation de hauteur dans le réservoir grâce au principe de conservation de la matière. II.23 Attention à ne pas utiliser les équations de Laplace pour répondre à cette question car les conditions initiales sont non nulles. II.27 Remarquer que dans le cas où hc (t) est une constante, il est alors possible d'écrire d[h(t) - hc (t)] dh(t) = dt dt I. Étude d'un dispositif de protection contre les surintensités I.1 Si les dimensions selon (Oy) et (Oz) sont grandes devant a, les conditions aux limites étant les mêmes de part et d'autre de ces dimensions, alors on peut considérer que la température et le champ varient suffisamment peu pour les supposer invariants selon ces directions, orthogonales à (Ox). D'après les dimensions données dans la légende de la figure 1, on n'est pas vraiment dans ces conditions. I.2 D'après la question I.1, I et J ne dépendent que de x et t. Dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires, la conservation de la charge s'exprime - 1 I J = =0 div J = 0 soit ici x S x Le courant I est indépendant de x. I.3 Le dipôle est soumis à la température Te en x = -a et x = a. De plus, le plan (yOz) est un plan de symétrie géométrique. La densité de courant, source d'effet Joule, ne dépendant pas de x, on conclut que La température T est symétrique par rapport au plan (yOz). Le plan (yOz) est un plan de symétrie géométrique et le dipôle est soumis à une différence de potentiel entre ses deux faces. Ainsi, le plan (yOz) est un plan d'antisymétrie du champ électrique. - Le champ E présente une répartition antisymétrique vis-à-vis du plan (yOz). I.4 Effectuons un bilan d'énergie entre les instants t et t + dt sur une tranche de dipôle de volume dV = S dx. La variation d'énergie interne de cette tranche s'écrit T dU = c S dx [T(t + dt) - T(t)] = c S dx dt t Notons JQ la densité surfacique de courant thermique, Q (x) et Q (x + dx) les flux thermiques respectivement en x et x + dx. L'énergie qui entre en x vaut Q (x) dt = JQ (x) S dt et celle qui sort de la tranche, en x + dx, Q (x + dx) dt = JQ (x + dx) S dt Dans cette tranche, l'énergie électrique convertie en énergie thermique s'écrit - - J · E dV dt - - Puisque J · E = J E, en utilisant la loi d'Ohm locale J = E, on obtient J2 S dx dt Le bilan d'énergie se met alors sous la forme J E S dx dt = c T J2 S dx dt = JQ (x) S dt - JQ (x + dx) S dt + S dx dt t =- JQ J2 S dx dt + S dx dt x Utilisons à présent la loi de Fourier sur la diffusion thermique T x pour établir l'équation différentielle vérifiée par la température JQ = - c T 2 T J2 = + t x2 I.5 Le potentiel électrique dérive du champ électrique selon dV dx La tension aux bornes du dipôle est définie d'après la loi d'Ohm locale selon Z A Z A Z B Z B J U = VA - VB = dV = - E dx = + E dx = dx B B A A -- - E = - grad V soit ici E=- Avec J = I/S uniforme, on a la loi d'Ohm pour ce dipôle : Z I a1 U= dx S -a et, par définition de la résistance, 1 R= S 1 2 dx = S -a Z a Z a 0 1 dx La conductivité n'étant pas uniforme, on ne peut pas écrire R = 2a/(S). I.6 Le générateur est modélisé par une force électromotrice continue UG et une résistance interne RG . Son équation de fonctionnement est donc I UG U = UG - RG I RG I U I.7 Par définition, I = J S et d'après les questions I.5 et I.6, U = R I = UG - RG I donc J= UG S (RG + R) I.8 La puissance électrique délivrée par le générateur vaut U I = R I2 L'équation différentielle vérifiée par la température écrite à la question I.4 met en oeuvre des puissances volumiques. En régime stationnaire, la dérivée temporelle s'annule. Intégrons alors l'équation simplifiée sur tout le volume du dipôle : Z a Z a 2 2T J 0= dx S + dx S 2 x -a -a Z a T T 1 2 1 = S - S + (J S) dx x x=a x x=-a S -a On reconnaît, avec la loi de Fourier, les flux thermiques Q en x = a et x = -a :