X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2018

Thème de l'épreuve Étude d'un fusible réarmable. Étude du flambement d'une membrane fine gonflée.
Principaux outils utilisés diffusion thermique, électrocinétique, énergétique, statique, transformée de Laplace
Mots clefs fusible, flambement, minimum d'énergie, instabilité, groupe de pompage

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                    

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'usage de calculatrice n'est pas autorisé pour cette épreuve. Les résultats 
des applications numériques seront
donnés avec un chiffre significatif.
Les candidats indiqueront très clairement les parties et références des 
questions abordées.
  
Cette épreuve comprend deux parties indépendantes sur le thème de la stabilité 
d'équilibre. La première porte sur l'étude
d'un dispositif de protection électrique basé sur un effet de couplage 
électrique­thermique. La seconde s'intéresse au flambement des structures en 
coque mince. Les calculs relatifs à la section (3) de la première partie sont 
indépendants des résultats
des parties précédentes. Il est conseillé de ne pas consacrer plus de 2h00 par 
partie.
5

P REMIÈRE PARTIE
Étude d'un dispositif de protection contre les surintensités
Cette partie est consacrée à l'étude du fonctionnement d'un composant 
électrique commercialisé sous le nom de "fusible
auto-réarmable". C'est l'augmentation de sa résistance avec la température qui 
limite la durée de la surintensité dans les
circuits ou matériels électriques qu'il protège. Ce fusible particulier 1 offre 
l'avantage de rejoindre spontanément son état
faiblement résistif après disparition de la surcharge. La figure (1) présente 
un tel composant.

F IGURE 1 ­ Un type de fusible auto-réarmable (Bel Fuse, Inc. ­ 120 V 1 A) : 
20,1 × 11,5 × 4,1 mm3 (épaisseur,
hors du plan de la figure).
10

15

Nous modélisons ce composant par un dipôle ohmique (que nous appellerons 
indifféremment résistance), de forme parallélépipèdique, dont la conductivité 
électrique  dépend de la température T . Ce dipôle est alimenté par un 
générateur G de
résistance interne RG et de force électromotrice continue UG . La figure (2) 
représente ce système. La connexion (en A et B)
des fils avec le dipôle est assurée par deux électrodes métalliques planes de 
surface S. L'état du générateur est décrit par la
différence de potentiel U à ses bornes et le courant I qu'il débite. L'état du 
dipôle est défini par le champ spatio-temporel de
température T (x,t) et celui du champ électrique ~E = E(x,t)~ux . L'état du 
milieu extérieur est caractérisé par sa température
Te supposée constante et uniforme. Nous notons c la capacité thermique (à 
pression constante), par unité de volume, du
matériau constituant la résistance et  sa conductivité thermique. Ces deux 
grandeurs sont supposées indépendantes de la
température.

20

1 Équations de fonctionnement.
Nous allons établir les équations décrivant le fonctionnement couplé 
électrique­thermique du système.
1. Nous avons implicitement supposé que les grandeurs T et E décrivant l'état 
du dipôle sont invariantes selon les
directions orthogonales à l'axe (Ox). Préciser à quelles conditions on 
s'approche électriquement et thermiquement de
cette situation.
1. Le nom de "fusible" qui a été attribué à ce composant est donc impropre.

­ Page 1/11 ­

y

Electrodes
de contact

Surface S
O
z

A

B
x
(c,)

Te

Te

I
2a
U
G
F IGURE 2 ­ Système constitué du générateur G(UG ,RG ) et du dipôle ohmique 
soumis à la différence de potentiel
U = VA -VB  0 et traversé par le courant I. Le milieu extérieur est maintenu à 
la température Te .
25

2. Justifier que le courant I est indépendant de x. Nous noterons J = I/S le 
courant par unité de surface.
3. Préciser la symétrie spatiale que présentent la répartition de température T 
(x,t) et celle du champ électrique ~E(x,t).
On procédera avec rigueur en détaillant le raisonnement conduit.
4. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température en considérant 
sa dépendance temporelle. On fera apparaître
le courant par unité de surface J.

30

5. Établir la loi d'O HM pour le dipôle. En déduire l'expression de sa 
résistance R (sous forme d'une intégrale).
6. Écrire l'équation de fonctionnement du générateur reliant U à I.
7. Déduire des résultats précédents (questions (5) et (6)) l'expression du 
courant par unité de surface J en fonction de
UG , RG , R et S.

35

Cette relation, conjointe à l'équation thermique obtenue en réponse à la 
question (4), décrit le couplage électrique­
thermique sur lequel va reposer cette étude.

2 Étude du régime stationnaire.
Nous nous plaçons en régime supposé stationnaire et cherchons à caractériser le 
point de fonctionnement du système
générateur­dipôle (dans le milieu extérieur à Te fixée).

40

8. Établir, à partir de chacune des équations thermique et électrique (obtenues 
questions (4) et (5)), l'équation d'énergie
(ou de puissance) qui lui correspond. Vérifier que les deux équations obtenues 
traduisent, conjointement, la conversion
de l'énergie électrique fournie par le générateur en chaleur reçue par le 
milieu extérieur.
· Nous envisageons ici une situation telle qu'il devient légitime d'écrire la 
conductivité électrique sous la forme d'un développement limité au premier 
ordre relativement à l'écart de température :

T - Te
T - Te
où
(T ) = e 1 + 
1
(1)
Te
Te
De plus, nous supposons que  varie modérément avec la température, c'est-à-dire 
que ||  1. Enfin, nous effectuons le
changement de variables :
(
X = x/a
J 2 a2
et posons K =
(2)
Te e
Y = Y (X) = (T - Te )/Te
9. Attribuer une signification physique au rapport K.
10. Établir que l'équation thermique et l'expression de R, avec ces nouvelles 
variables, au premier ordre relativement à
Y , deviennent :

d2Y

 2 - KY = -K
dX
^
(3)
2a 1

(1 - Y )dX
R =
Se 0

­ Page 2/11 ­

· Nous recherchons la solution de l'équation thermique sous la forme d'un 
développement limité au premier ordre par
rapport au paramètre  :
(
Y (X) = Y0 (X) + Y1 (X)
(4)
K = K0 +  K1
Dans la suite, l'indice "0" fera référence à la situation pour laquelle  = 0. 
Nous notons ainsi, toujours au premier ordre par
rapport à , R = R0 - R1 . Par ailleurs, nous adoptons la condition aux 
frontières T (±a) = Te .
11. Exprimer R0 et R1 (cette dernière, sous forme intégrale). On veillera à 
respecter la cohérence d'ordre des développements effectués.

45

12. En déduire l'expression de K0 en fonction de I0 , Te , S, a,  et e , puis 
celle de K1 en fonction de K0 , RG , R0 et R1 .
13. Établir le système d'équations différentielles dont sont solutions Y0 et Y1 
.
· L'intégration du système d'équations différentielles obtenu, respectant les 
conditions aux frontières adoptées, conduit à la
fonction Y :
Y (X) =

!

K2
K0
(1 - X 2 ) +  0 (1 - X 2 )  + X 2
2
24

où

 = 12

3R0 - 5RG
K1
-5 =
R0 + RG
K02

(5)

14. Exprimer  dans chacun des deux cas limites où le générateur G se comporte 
comme une source idéale de tension
(cas GU ) ou comme une source idéale de courant (cas GI ). On notera  
respectivement U et I .

50

· La résistance du dipôle, issue de cette modélisation, s'écrit :

K0
R = R0 1 - 
où K0  I02
3

(6)

15. Illustrer, dans le plan (x = I, y = U), la construction graphique du point 
de fonctionnement P adopté par le système
générateur­résistance dans le milieu extérieur. Nous supposerons  > 0.
16. Préciser la situation de la fonction Y (équation (5)) par rapport à la 
fonction Y0 , dans chacun des deux cas GU et GI .
Justifier physiquement ces résultats. On pourra raisonner sur la détermination 
graphique du point de fonctionnement
(question (15)) dans les situations GU et GI . Nous supposerons  > 0.

55

3

60

Analyse de la stabilité du point de fonctionnement.

L'équation (6) peut également s'écrire R = R0 (1 - hY0 i) où hY0 i désigne la 
moyenne de la fonction Y0 sur l'intervalle
[-1, + 1]. Dans un cadre moins restrictif que celui associé à l'équation (1), 
nous supposons que l'on peut encore écrire
R = R(hT i). Afin d'étudier les conditions de stabilité du point de 
fonctionnement nous adoptons la modélisation simplifiée
suivante :
· La température du dipôle est uniforme, égale à sa température moyenne, notée 
maintenant simplement T ;
· La résistance R du dipôle est une fonction de T ;
1 dR
;
R dT
· Le flux thermique par unité de surface traversant la frontière du dipôle, 
vers l'extérieur, s'écrit  = h(T - Te ). Le coefficient h (supposé constant) 
rend compte synthétiquement du processus complexe d'échange thermique à 
l'interface
solide­fluide.
· La dépendance R = R(T ) est caractérisée par le coefficient  = (T ) défini 
par :  =

65

Nous notons Z  une grandeur Z relative à l'état présumé stationnaire. En 
particulier, nous posons T = T  + .
17. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température T . On posera 
C = 2caS.
18. Établir que cette équation différentielle, développée linéairement dans le 
voisinage de l'état présumé stationnaire, fait
apparaître une équation algébrique (notée EQ ) définissant l'équilibre 
(grandeurs étoilées), que l'on précisera, ainsi
que l'équation différentielle associée :
)
(
d
1 (R - RG ) R I  2
+ 2hS
(7)
= -k  où k =
dt
C
RG + R
19. Commenter l'influence, sur la stabilité de l'équilibre supposé, des termes 
intervenant dans l'expression du facteur k.

­ Page 3/11 ­

70

20. Compléter cette analyse en étudiant les cas limites où le générateur fixe 
la tension U (cas GU ) et celui où il fixe le
courant I (cas GI ).
· Nous nous proposons maintenant d'étudier le cas général pour lequel le 
générateur ne fixe ni la tension, ni le courant. Nous
supposons  = Cste > 0. Nous notons Re = R(Te ) et posons r = R/RG en adoptant 
re = Re /RG < 1 (par exemple re = 1/4,
pour fixer un ordre de grandeur).
21. En explicitant la constante A (en fonction de U G , RG , h et S) et la 
fonction f , écrire l'équation différentielle obtenue
en réponse à la question (17) sous la forme :
ca dT
= F(T ) où
h dt

75

80

1
F(T ) = A f (r) - (T - Te ) (on choisira f telle que f (1) = )
4

(8)

22. Justifier, au vu de la dépendance de la fonction f avec r, que la 
température est nécessairement bornée.
23. Justifier que la construction graphique relative à la question (15) 
corrobore ce résultat.
· Il s'agit maintenant d'étudier l'évolution de la température à partir de 
l'instant de "branchement" du générateur. Nous
allons illustrer graphiquement cette évolution, depuis la situation initiale (T 
(t = 0+ ) = Te , r(t = 0+ ) = re ), immédiatement
après branchement du générateur, vers la situation d'équilibre (T  , r ), dans 
le repère à quatre cadrans représenté figure (3).
Notons que l'axe vertical ascendant porte une double échelle : à droite elle se 
rapporte à A f (r) (fonction de r ­ cadrant
(2)), à gauche à T - Te (fonction de T ­ cadrant (3)). Le cadrant (1) 
représente la fonction r = r(T ). Le cadrant (4) permet
simplement le report de la température de l'axe vertical descendant sur l'axe 
horizontal gauche.

T-Te Af(r)
(3)

(2)

T

0
Te
(4)

Te
T1
T2

re

T

r

1
(1)
r=r(T)

F IGURE 3 ­ Repère à quatre cadrans permettant d'illustrer l'évolution de la 
température T depuis la situation
initiale (Te , re ) (immédiatement après branchement du générateur) à la 
situation d'équilibre (T  , r ). L'évolution
représentée dans le cadrant (2) est paramétrée par la constante A.

85

90

95

100

24. Exprimer la dépendance de r avec T . On fera apparaître Te et re .
25. Reproduire le graphe à quatre cadrans de la figure (3). Pour les trois 
températures Te < T1 < T2 qui y sont repérées,
représenter les points correspondants dans les cadrans (1), (2) et (3) (légende 
:  pour Te ,  pour T1 , · pour T2 ).
26. En déduire la situation d'équilibre dont on repérera par une étoile () les 
points correspondants dans chacun de ces
trois cadrans. On précisera le raisonnement ayant conduit à sa détermination.
27. Déterminer à quelle condition r > 1.
28. Ce couplage thermique­électrique (dans le cas  > 0) est mis à profit pour 
réaliser des fusibles auto-réarmables (voir
le paragraphe introductif). Le dipôle résistif est alors placé en série avec la 
charge à protéger des surintensités. Nous
supposons maintenant que la résistance RG joue le rôle de cette charge (le 
générateur G devenant alors idéal). Justifier
le choix re < 1 et, idéalement en pratique, re  1.
29. Imaginons que la surintensité est due à une élévation accidentelle de UG . 
En s'appuyant sur les réponses apportées
aux questions (25) et (26), expliquer le principe de fonctionnement d'un tel 
fusible.
· À titre d'information, le matériau constituant un fusible auto-réarmable se 
présente comme une matrice polymérique
chargée de particules de carbone. À basse température, cette matrice adopte une 
structure cristalline qui offre l'ordre et la
proximité nécessaires à ces particules pour assurer efficacement la conduction 
électrique. À plus haute température, la structure transite vers une phase 
amorphe qui ne présente plus ces qualités. La figure (4) représente la 
dépendance expérimentale
de la résistance d'un tel composant avec sa température. On remarquera que 
cette dépendance particulière de sa résistance
avec la température lui permet de très bien assurer sa fonction (identifée en 
réponse à la question (29)).

­ Page 4/11 ­

F IGURE 4 ­ Variation de la résistance d'un fusible auto-réarmable avec sa 
température (sur un domaine restreint
de variation de sa résistance).

S ECONDE PARTIE
Étude du flambement, sous chargement extérieur, d'une membrane fine gonflée

105

110

115

120

Nous nous proposons d'étudier une instabilité pouvant apparaître sur les 
structures en coque mince. Ces structures, de faible
épaisseur par rapport à leurs autres dimensions, sont très utilisées pour leur 
intérêt architectural. Elles peuvent être en béton,
acier, bois ou encore en toile tendue. Dans ce dernier cas, la forme de la 
toile peut être déterminée par les conditions sur
ses frontières. Elle peut également être contrôlée et ainsi s'adapter aux 
nécessités d'usage, ou prévenir les instabilités dues
aux chargements climatiques. Les dispositifs de contrôle agissent 
principalement sur la tension de la toile pour maîtriser, à
chaque instant, sa forme.
Parmi les procédés récents utilisant un contrôle, les membranes en Ethylène 
Tétrafluoroéthylène, encore appelée ETFE,
ont apporté un renouveau dans les formes architecturales. Elles sont légères, 
thermiquement isolantes et adaptables à des
géométries variées. Ces éléments de toiture, ou de façade, sont composés de 
deux membranes formant une chambre gonflée, fixées à leurs périphéries sur une 
structure porteuse. On appelle un tel élément gonflé un coussin ETFE. La 
pression
intérieure du coussin est contrôlée en permanence afin de maintenir une 
géométrie stable, assurer l'étanchéité et compenser
d'éventuelles fuites d'air. Parmi les projets emblématiques réalisés avec cette 
technologie citons le centre national aquatique de Pékin construit pour les 
jeux olympiques d'été de 2008, la couverture du bâtiment de CentraleSupelec ou 
encore la
couverture de la station du RER E Rosa Parks (voir figure (1)).
L'objet de cette partie est d'étudier le comportement d'un coussin ETFE et, en 
particulier, l'adaptation de sa pression de
gonflement pour éviter les risques de flambement, y compris en cas de faible 
fuite d'air. Nous étudierons dans un premier
temps un modèle simplifié de flambement de coques minces, puis nous 
améliorerons le modèle mécanique pour identifier
les paramètres du modèle initial, enfin nous étudierons le contrôle commande de 
stabilisation de la forme. La figure (2)
schématise la structure d'un coussin ETFE.

1 Modèle simplifié de flambement de coque.

125

Dans cette partie, nous étudions le comportement mécanique d'un élément de 
toiture ETFE. Celui-ci est soumis aux
chargements extérieurs tels que le vent, la neige ou d'autres sollicitations 
ponctuelles comme les charges de maintenance.
Nous limitons notre étude à l'analyse du comportement mécanique de la membrane 
supérieure d'un coussin ETFE. Celleci subit les chargements extérieurs sur sa 
face supérieure et la différence de pression entre la pression de gonflement et 
la
pression de l'atmosphère.

­ Page 5/11 ­

F IGURE 1 ­ Exemple de couverture en membrane ETFE.

F IGURE 2 ­ Schéma d'un coussin ETFE : 1- membrane supérieure, 2- membrane 
inférieure, 3- cadre de fixation
du coussin, 4- système d'injection d'air, 5- système de purge d'air en cas de 
surpression.
1.1 Première approche du flambement : déplacement du sommet de la coque mince 
modélisée par un
système à 1 degré de liberté.
130

135

Nous nous intéressons au premier mode de flambement de la membrane supérieure, 
sous chargement uniforme, correspondant à son affaissement. Nous considérons la 
partie supérieure du coussin ETFE et restreignons l'étude de sa déformation au
déplacement de son sommet. Sur la figure (3), la structure est modélisée par 
deux ressorts de raideur k et de longueur à vide
a et est soumise à la charge verticale 2~F = 2F~uy .
Compte-tenu de la symétrie de cette structure, nous réduisons son modèle à un 
seul ressort, comme le représente la figure
(4). Ce ressort est fixé à une extrémité par une rotule, au point A. Son autre 
extrémité, le point B, peut glisser sans frottement
exclusivement suivant l'axe (O,~uy ) de la glissière. La projection orthogonale 
du point A sur cet axe définit le point O. Nous
~ = y ~uy .
~ =  ~ux et OB
notons AO
1. Nous considérons d'abord le cas F = 0. Établir l'équation d'équilibre du 
système à partir d'un raisonnement énergétique.

140

2. Discuter la situation des positions d'équilibre du système selon la valeur 
du rapport a/. On commentera brièvement
ces résultats.
3. Étudier la stabilité des positions d'équilibre.
· Nous supposons dorénavant a/ > 1 et que la force ~F (|~F| =
6 0) appliquée à la structure est indépendante de la position du
point B.

145

4. Construire, à partir d'un bilan énergétique, la grandeur W (y) dont le 
minimum caractérise l'état d'équilibre du système.
W (y)
1
F
et (Y ) =
5. Nous posons Y = y/, A = a/ (A > 1), E  = k2 ,  =
. Exprimer la grandeur  à l'aide de Y ,
2
k
E
A et .

­ Page 6/11 ­

F IGURE 3 ­ Modèle élastique pour l'étude du flambement de la membrane 
supérieure du coussin ETFE.

F IGURE 4 ­ Modèle élastique réduit à un seul ressort.

150

6. Donner l'allure de la représentation graphique de  pour deux valeurs 
(positives) du paramètre  illustrant les deux
types de situation envisageables.
7. Écrire l'équation d'équilibre sous la forme (Y ) = .
8. Préciser l'équivalent de  pour Y  ± et celui pour Y  0. Exprimer les zéros 
de cette fonction.
9. En s'appuyant sur ces résultats, esquisser l'allure de la représentation 
graphique de .
10. Indiquer comment résoudre graphiquement l'équation d'équilibre.

155

11. Commenter, à partir de cette analyse graphique, les différentes situations 
d'équilibre du système.
12. Notons 1 une valeur de  telle qu'il n'existe qu'une seule position 
d'équilibre Yeq1 , avec Yeq1 > 0. Donner l'aspect
graphique de la dépendance de Yeq (de l'équilibre stable) avec  lorsque ce 
paramètre évolue de 1 à -1 . Le
phénomène de saut qui apparaît sur ce tracé est la manifestation d'une 
instabilité appelée flambement.

1.2 Détermination des paramètres du modèle élastique.
160

165

170

Nous considérons la membrane supérieure du coussin ETFE en vue d'identifier les 
paramètres (k, a, F) intervenant dans
le modèle développé dans la partie précédente. Dans un premier temps, nous 
analyserons le lien entre la tension dans la
membrane et la différence de pression entre la pression de gonflement et la 
pression atmosphérique, ainsi que le lien entre a
et le rayon de courbure de cette membrane. Enfin, nous identifierons la raideur 
k du coussin ETFE gonflé.
La géométrie (idéalisée) du coussin ETFE se présente comme un secteur de 
cylindre d'ouverture angulaire 2, de longueur
L (assez grande pour pouvoir s'affranchir des effets de bord) selon son axe ~uz 
, de rayon R et de distance 2 entre les deux
lignes de fixation. Sa courbure résulte de la différence, notée P, entre la 
pression intérieure
(pression de gonfle au coussin

ment) et la pression atmosphérique extérieure. En réaction à P, une tension 
linéique T N · m-1 apparaît sur le pourtour
de cette membrane. La figure (5) représente un tronçon de longueur dz du 
secteur de cylindre, à l'équilibre mécanique. La
figure (6) précise sa géométrie.
13. Déterminer l'expression de chacune des tensions linéiques T0 et T0 
apparaissant sur les frontières de la membrane
(figure (6)), en fonction de la différence de pression P et des paramètres 
géométriques du coussin.

­ Page 7/11 ­

F IGURE 5 ­ Élément [z, z + dz] du tube modélisant la membrane soumise à la 
différence de pression.

F IGURE 6 ­ Géométrie du tronçon élémentaire. Les tensions linéiques T0 et T0 
sont supposées indépendantes de
z.
14. Nous identifions la longueur à vide a du ressort, introduite dans la partie 
précédente (figure (4)), à la distance entre
le point de fixation M (ou N), et le sommet J du dôme formé par la membrane 
gonflée (figure (6)). Exprimer a en
fonction de  et R.
175

180

15. Exprimer a/ à l'ordre deux en /R.
· On propose maintenant de déterminer la raideur du coussin ETFE gonflé, sous 
chargement
de

 type neige. Considérons
alors que le coussin ETFE gonflé est soumis à une charge linéique uniforme -q 
dz ~uy N · m-1 . Cette charge produit une
déflexion de la membrane, par rapport à sa configuration sans charge. En vue de 
déterminer cette déflexion, nous considérons
un modèle simplifié où la géométrie sans charge serait plane. La différence de 
pression P et la courbure sont simplement
traduites par leur conséquence, c'est-à-dire la présence de tensions T0 dz et 
T0 dz appliquées aux extrémités d'un tronçon
[z, z + dz] de membrane. On supposera ainsi que la charge de neige est 
négligeable devant la pression de gonflement, c'està-dire qP, afin que les 
tensions T0 dz et T0 dz soient identiques à celles trouvées en question 13. Sa 
déflexion est notée
f = f (x), comptée positivement suivant -~uy . La figure (7) illustre le 
passage de la géométrie réelle courbe à la géométrie
simplifiée plane de la membrane. La figure (8) détaille le système finalement 
étudié. La figure (9) isole un élément [x, x + dx]
de ce système.

F IGURE 7 ­ Simplification géométrique adoptée de la configuration de membrane 
sous chargement.
185

­ Page 8/11 ­

F IGURE 8 ­ Déflexion f = f (x) du tronçon [z, z + dz] de membrane soumise à la 
charge linéique uniforme -qdz ~uy
~0 k = kT
~0  k).
(avec kT

F IGURE 9 ­ Élément [x, x + dx] du tronçon de membrane représenté figure (8).
16. Établir les relations d'équilibre de l'élément [x, x + dx] représenté 
figure (9).
· Dans toute la suite, nous supposons || 1.
17. Démontrer que la tension linéique est uniforme. L'exprimer en fonction de P 
et R.
18. Exprimer la déflexion f = f (x) en fonction de x et des paramètres q, T0 et 
.
190

19. Exprimer la déflexion maximale fM en fonction de q, P, R et .
20. Nous identifions la déflexion maximale fM de la membrane au déplacement du 
point B sous l'action de la force ~F =
-qL~uy (voir figures (3) et (4)). Déduire de cette analogie l'expression de la 
raideur k. On donnera cette expression
en fonction de P, R, L, , h et D = R (1 - cos ) (voir figure (6)). On supposera 
fM D.

1.3 Analyse du système de contrôle­commande du gonflement du coussin ETFE.
195

200

205

Afin de maintenir le coussin ETFE dans un bon état de gonflement, en situation 
normale comme en situation dégradée,
un système de contrôle­commande surveille et ajuste la quantité et la pression 
de l'air. En fonctionnement normal, cette
régulation doit permettre de limiter l'effet de la dilatation thermique de 
l'air. En fonctionnement dégradé, par exemple lors
d'un percement de la membrane, elle assure la sécurité des personnes situées 
sous la structure.
On étudie ici la régulation dans le cas d'un percement de la membrane ETFE. 
Celui-ci peut être dû à un endommagement
du tissu ETFE ou à une mauvaise régulation de la purge en air. Cette partie 
propose tout d'abord l'étude temporelle d'une
régulation sans intervention d'un système de pompage. Ensuite, elle étudie 
cette réponse avec système de pompage. On
néglige la compressibilité de l'air, aussi on modélisera, dans les schémas, le 
"fluide" emprisonné dans le coussin ETFE
comme un fluide incompressible.
Nous notons F(p) l'image, dans le domaine de L APLACE, d'une fonction f (t).

1.3.1 Modèle sans groupe de pompage.
Le système de régulation de l'air est représenté schématiquement dans la figure 
(10). Le coussin est modélisé par un
réservoir de section S et de hauteur h = h(t) sur laquelle le contrôle est 
effectué. La hauteur consigne est notée hc . En bas
du réservoir, une purge permet une vidange avec un débit d2 (t). Le réservoir 
est rempli selon le débit d1 (t) contrôlé par une
vanne régulée de manière proportionnelle à la différence hc - h, avec des 
conditions de limitation supérieure et inférieure,
soit :

hc < h(t),
 d1 (t) = 0,
d1 (t) = K (hc - h(t)) , h  h(t)  hc (K > 0),
(30)

d1 (t) = D,
h(t) < h où h = hc - D/K (D > 0).
21. Établir l'équation, en grandeurs de L APLACE, décrivant ce dispositif de 
régulation pour h  h(t)  hc .

­ Page 9/11 ­

F IGURE 10 ­ Schéma du système de régulation du réservoir sans groupe de 
pompage.
22. Représenter le schéma fonctionnel correspondant.
23. Le réservoir est initialement plein (h(0) = hc ). On étudie la réponse du 
système à un créneau de vidange défini par la
séquence :

d2 (t) = 2D, t  [0,],
(33)
d2 (t) = 0,
t
/ [0,].

210

où  = S/K représente le temps caractéristique du système. Exprimer la 
dépendance temporelle de l'évolution h = h(t)
pour t  [0,]. On précisera le temps T1 pour lequel le débit maximal de 
remplissage est atteint ainsi que la hauteur
d'eau minimale hmin .
24. En déduire l'évolution temporelle de h(t) pour t  [, + ]. On précisera le 
temps T2 à partir duquel le débit de
remplissage est inférieur au débit maximal.

215

25. Esquisser la courbe de la réponse temporelle à ce créneau de vidange. 
Donner les valeurs frontières pour S = 2 m2 ,
K = 2 × 10-3 m2 · s-1 , hc = 2 m et D = 2 × 10-3 m3 · s-1 , avec ln(2)  0,7.

1.3.2 Modèle avec groupe de pompage.
Le système inclut maintenant un groupe de pompage qui régule le débit de 
remplissage d1 en fonction du niveau d'eau h
du réservoir. Ce groupe de pompage est composé d'un système électronique de 
mesure de la hauteur d'eau et d'un groupe
motopompe. Le système électronique convertit la différence entre la hauteur 
d'eau h(t) et la hauteur consigne hc en un angle
de rotation consigne c selon une relation intégratrice de constante B  R+ :
c (p) =

220

225

B
(Hc (p) - H(p))
p

(43)

Le groupe motopompe est composé de deux parties : un moteur et un système de 
pompage hydraulique. Le comportement du
moteur est complexe et dépend notamment du couple résistant qu'oppose l'eau 
pompée. Ainsi, nous proposons un modèle
simplifiée du fonctionnement du moteur résumé dans le schéma fonctionnel 
représenté figure (11). Dans ce modèle intervient
le moment d'inertie J du rotor du moteur autour de son axe ainsi qu'une 
constante de "frottement" positive f . Le couple
résistant opposé par les frottements internes et l'eau pompée s'écrit alors f . 
La régulation du moteur se fait en position pour
un angle consigne c avec un contrôle proportionnel de coefficient A  R+ .
Enfin, l'angle de rotation du moteur met en mouvement le système de pompage 
hydraulique qui assure un débit de remplissage du réservoir d1 (t) 
proportionnel à la vitesse de rotation du groupe motopompe. Ainsi, le débit de 
remplissage du
réservoir est donné par : d1 (t) = C(t). La figure (12) représente le système 
étudié. Dans un premier temps, nous étudierons
la régulation propre du groupe de pompage. Puis, nous l'intégrerons dans le 
système global de régulation du réservoir. Enfin,
nous étudierons la réponse de ce système à une fuite de faible débit constant.
26. Exprimer la fonction de transfert T (p) = (p)/c (p) du groupe de pompage 
dont le schéma fonctionnel est représenté figure (11).

­ Page 10/11 ­

F IGURE 11 ­ Schéma fonctionnel du groupe motopompe.

F IGURE 12 ­ Structure générale du dispositif de régulation du niveau h avec 
groupe de pompage.
27. Exprimer la fonction de transfert du système de régulation du réservoir 
définie par le rapport :
U(p) =
230

Hc (p) - H(p)
D2 (p)

(46)

28. Représenter le schéma fonctionnel du système global de régulation du niveau 
du réservoir en notation de L APLACE.
29. Déterminer la limite pour t   de la hauteur h en réponse à un échelon de 
débit de fuite tel que :
(
d2 (t) = 0
pour t ] - , 0[
d2 (t) = D > 0 pour t  [0, + [

(51)

30. Commenter le résultat précédent. Proposer une modification simple du 
système de régulation afin que cette limite se
fixe sur hc .

­ Page 11/11 ­

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2018
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (professeur agrégé en école 
d'ingénieurs)
et Nicolas Courrier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Cyril Ravat 
(professeur
en CPGE), Jérôme Didier (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur en
CPGE).

L'épreuve est constituée de deux grandes parties indépendantes.
La première s'intéresse à un fusible auto-réarmable. La résistance d'un tel 
composant peut augmenter fortement avec la température, ce qui protège un 
circuit en
cas de surintensité. On commence par des questions relativement classiques et on
termine par l'interprétation physique et la détermination graphique des 
résultats.
Il faut prendre de la hauteur pour ne pas se perdre dans les notations.
· Dans un premier temps, les questions visent à établir les équations de 
fonctionnement du dipôle, mettant en oeuvre des méthodes vues en diffusion de la
chaleur et en électrocinétique.
· Ensuite, on s'intéresse au régime stationnaire pour une température du dipôle
légèrement supérieure à la température extérieure. Le sujet se perd un peu dans
des changements de variables qui brouillent le sens physique des équations.
· Enfin, le sujet aborde la stabilité du point de fonctionnement du dipôle, 
encore
une fois à travers des développements autour de sa température moyenne. Le
but final est de comprendre pourquoi ce dispositif peut protéger un circuit.
La seconde partie porte sur l'instabilité statique d'une membrane fine gonflée :
le flambement. Ce phénomène, conduisant à la déformation de la membrane, est
souvent destructeur lorsqu'une répartition d'efforts est imposée.
· La première sous-partie est une introduction à ce phénomène par analogie avec
un ressort. C'est l'occasion d'aborder différents aspects du phénomène.
· La deuxième étude a pour but d'identifier les paramètres du problème simplifié
vus dans la première sous-partie avec ceux de l'étude de la membrane.
· Le dernier point consiste à étudier l'asservissement du gonflage de la 
membrane.
Ce problème est ramené à l'étude d'un remplissage d'un cylindre.
Cette partie est difficile par manque d'indications dans le sujet, notamment 
dans
les deuxième et troisième sous-parties.

Indications
Partie I
I.1 Pour négliger les effets de bords, il faut que le dispositif soit « grand ».
I.2 Utiliser l'équation de conservation de la charge.
I.4 La variation d'énergie dans une tranche infinitésimale de dipôle est due aux
entrées et sorties de flux thermique et au chauffage par effet Joule.
I.8 Intégrer l'équation de diffusion thermique sur tout le volume du dipôle.
I.12 En partant de la densité J, effectuer des développements limités au premier
ordre en  pour simplifier l'écriture de K.
I.16 Comparer les caractéristiques statiques à  = 0 et  > 0, en les reliant, en
fonction du type de générateur, à une augmentation ou diminution de puissance
consommée.
I.17 Effectuer un bilan d'énergie sur tout le dipôle, puisque sa température est
uniforme. L'échauffement par effet Joule est contrebalancé par l'équilibre avec
le milieu extérieur.
I.18 Développer les expressions de R, I puis R I2 au premier ordre en .
I.24 Reprendre la définition de , constante d'après l'énoncé.
I.26 Il faut F(T) = 0 pour que la température se stabilise. Chercher alors 
l'égalité
entre Af (r) et (T - Te ).
I.27 Chercher la condition sur  pour que F(T) soit encore positive lorsque r = 
1.
I.29 Quand UG augmente, Af (r) augmente également.
Partie II
II.1 Exprimer l'énergie élastique.
II.3 Exprimer le travail de la force et en déduire l'énergie potentielle.
II.6 Penser au fait qu'il existe différentes situations d'équilibre.
-
-

II.13 Exprimer au préalable les vecteurs MJ et JN ainsi que l'angle  en fonction
de  et R. Cette étude est utile par la suite.
II.15 Effectuer
deux développements limités en supposant 2 /R2 petit devant 1, celui
p
de 1 - 2 /R2 doit être effectué à l'ordre 2.
II.16 Utiliser le théorème de la résultante statique.

II.22 Exprimer la variation de hauteur dans le réservoir grâce au principe de 
conservation de la matière.
II.23 Attention à ne pas utiliser les équations de Laplace pour répondre à cette
question car les conditions initiales sont non nulles.
II.27 Remarquer que dans le cas où hc (t) est une constante, il est alors 
possible
d'écrire
d[h(t) - hc (t)]
dh(t)
=
dt
dt

I. Étude d'un dispositif de protection
contre les surintensités
I.1 Si les dimensions selon (Oy) et (Oz) sont grandes devant a, les conditions 
aux
limites étant les mêmes de part et d'autre de ces dimensions, alors on peut 
considérer
que la température et le champ varient suffisamment peu pour les supposer 
invariants
selon ces directions, orthogonales à (Ox).
D'après les dimensions données dans la légende de la figure 1, on n'est pas
vraiment dans ces conditions.
I.2 D'après la question I.1, I et J ne dépendent que de x et t. Dans 
l'approximation
des régimes quasi-stationnaires, la conservation de la charge s'exprime

-
1 I
J
=
=0
div J = 0
soit ici
x
S x
Le courant I est indépendant de x.
I.3 Le dipôle est soumis à la température Te en x = -a et x = a. De plus, le 
plan
(yOz) est un plan de symétrie géométrique. La densité de courant, source d'effet
Joule, ne dépendant pas de x, on conclut que
La température T est symétrique par rapport au plan (yOz).
Le plan (yOz) est un plan de symétrie géométrique et le dipôle est soumis à
une différence de potentiel entre ses deux faces. Ainsi, le plan (yOz) est un 
plan
d'antisymétrie du champ électrique.

-
Le champ E présente une répartition antisymétrique vis-à-vis du plan (yOz).
I.4 Effectuons un bilan d'énergie entre les instants t et t + dt sur une 
tranche de
dipôle de volume dV = S dx. La variation d'énergie interne de cette tranche 
s'écrit
T
dU = c S dx [T(t + dt) - T(t)] = c S dx
dt
t
Notons JQ la densité surfacique de courant thermique, Q (x) et Q (x + dx) les 
flux
thermiques respectivement en x et x + dx. L'énergie qui entre en x vaut
Q (x) dt = JQ (x) S dt
et celle qui sort de la tranche, en x + dx,
Q (x + dx) dt = JQ (x + dx) S dt
Dans cette tranche, l'énergie électrique convertie en énergie thermique s'écrit
 -
-

J · E dV dt
 -
-

Puisque J · E = J E, en utilisant la loi d'Ohm locale J = E, on obtient
J2
S dx dt

Le bilan d'énergie se met alors sous la forme
J E S dx dt =

c

T
J2
S dx dt = JQ (x) S dt - JQ (x + dx) S dt +
S dx dt
t

=-

JQ
J2
S dx dt +
S dx dt
x

Utilisons à présent la loi de Fourier sur la diffusion thermique
T
x
pour établir l'équation différentielle vérifiée par la température
JQ = -

c

T
 2 T J2
=
+
t
x2

I.5 Le potentiel électrique dérive du champ électrique selon
dV
dx
La tension aux bornes du dipôle est définie d'après la loi d'Ohm locale selon
Z A
Z A
Z B
Z B
J
U = VA - VB =
dV = -
E dx = +
E dx =
dx
B
B
A
A 
--
-

E = - grad V

soit ici

E=-

Avec J = I/S uniforme, on a la loi d'Ohm pour ce dipôle :
Z
I a1
U=
dx
S -a 
et, par définition de la résistance,
1
R=
S

1
2
dx =
S
-a 

Z

a

Z

a
0

1
dx

La conductivité  n'étant pas uniforme, on ne peut pas écrire  = 2a/(S).
I.6 Le générateur est modélisé par une force électromotrice continue UG et une 
résistance interne RG .
Son équation de fonctionnement est donc

I
UG

U = UG - RG I

RG I
U

I.7 Par définition, I = J S et d'après les questions I.5 et I.6,
U = R I = UG - RG I
donc

J=

UG
S (RG + R)

I.8 La puissance électrique délivrée par le générateur vaut
U I = R I2
L'équation différentielle vérifiée par la température écrite à la question I.4 
met
en oeuvre des puissances volumiques. En régime stationnaire, la dérivée 
temporelle
s'annule. Intégrons alors l'équation simplifiée sur tout le volume du dipôle :
Z a
Z a 2
2T
J
0=

dx S +
dx S
2
x
-a
-a 
Z a
T
T
1
2 1
= S
- S
+ (J S)
dx
x x=a
x x=-a
S -a 
On reconnaît, avec la loi de Fourier, les flux thermiques Q en x = a et x = -a :