X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2017

Thème de l'épreuve Modélisation et applications d'un transducteur électroacoustique. Étude d'une tour de très grande hauteur.
Principaux outils utilisés mécanique, optique ondulatoire, asservissements
Mots clefs transducteur électroacoustique, masse-ressort

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'usage de calculatrice n'est pas autorisé pour cette épreuve. Les résultats 
des applications numériques seront
donnés avec un chiffre significatif.
Les candidats indiqueront très clairement les références des questions abordées.
  
5

Cette épreuve comprend deux parties indépendantes. La première est consacrée à 
la physique et porte sur l'étude et la mise
en oeuvre d'un transducteur électroacoustique. La seconde est dédiée aux 
sciences de l'ingénieur et s'intéresse au comportement
mécanique de tours de grande hauteur et à la commande de leur ascensseur.
Partie Physique
Modélisation et applications d'un transducteur électroacoustique

10

Nous nous proposons d'étudier le principe et la mise en oeuvre d'un 
transducteur électroacoustique émetteur­récepteur. Une
première partie est consacrée à sa modélisation et sa caractérisation. Une 
seconde partie s'intéresse à son utilisation dans le cadre
de la mesure d'une vitesse d'écoulement puis dans celui de la localisation 
d'une cible. Ces deux parties peuvent être abordées
séparément.

Notations et données.
Permittivité diélectrique du vide : 0
Masse volumique de l'air :
a
Vitesse du son dans l'air :
c
Masse volumique du Mylar :

Épaisseur d'une feuille de Mylar : e
15

25

30

8,85 × 10-12 F · m-1
1, 2 kg · m-3
340 m · s-1
1,4 × 103 kg · m-3
10 µm

(1)

0 S
Capacité d'un condensateur plan, à air, de surface S et de distance 
inter-armature d : C =
(dans la limite d  S).
d
En vue des applications numériques, la figure (1) représente les fonctions 
Sinus et Cosinus.

I

20

=
=
=

=

Étude du transducteur électroacoustique.

Ce transducteur revêt l'apparence d'un condensateur plan dont l'une des 
armatures est rigide, l'autre étant une membrane
(ou film) déformable élastiquement. En fonctionnement en émetteur, cette 
déformation est causée par la différence de potentiel
appliquée entre les armatures. En fonctionnement en récepteur elle est causée 
par l'onde acoustique interceptée par la membrane.
La figure (2) représente sa structure et définit différentes grandeurs 
géométriques, mécaniques et électriques de l'étude.
La membrane est une feuille de polyester métallisée, commercialisée sous la 
dénomination de "Mylar", tendue sur un cadre
(formé par le séparateur isolant). En fonctionnement en émetteur, tout comme en 
récepteur, le condensateur est polarisé sous une
différence de potentiel continue 0 . En mode émission, un générateur de signal 
superpose une composante variable (t) à 0 .
En mode réception, ce sont les variations de (t) autour de 0 , induites par la 
déformation de la membrane, qui sont détectées à
l'aide d'une carte d'acquisition, d'un analyseur de signal ou d'un 
oscilloscope, selon les besoins.
Nous notons S la surface de la membrane (qui peut être un disque ou un carré) 
et e son épaisseur. Le comportement mécanique
de cette membrane est, a priori, considéré comme équivalent à celui d'une 
surface (S) plane et rigide, de masse m, soumise à
une force de rappel linéaire élastique -kx~ux (x = 0 pour  = 0 et F = 0). C(x) 
représente la capacité du condensateur plan
ainsi formé, pour une distance entre ses armatures égale à a + x(t). La force 
~F = F(t)~ux représente l'action mécanique de l'onde
sur la membrane (en émission comme en réception). Le système S que nous 
considérons est formé du condensateur. Il est en
interaction avec les systèmes extérieurs électrique () et mécanique (F).

­ Page 1/14 ­

Figure 1 ­ Fonctions Sinus et Cosinus.
Séparateur isolant

Armature fixe

Membrane déformable
(m,S,k)

R

F(t)
+Q

-Q

x
e

a

!(t)

i

Figure 2 ­ Structure du transducteur électroacoustique et notations (a 

S).

1. Exprimer l'énergie électromécanique E (x, x; Q) du système S . Rappeler la 
relation liant la charge Q à la différence de
potentiel  puis celle liant le courant i à cette charge. Exprimer la capacité 
C(x).
35

2. Écrire l'équation-bilan traduisant l'échange de puissance entre le système 
et l'extérieur.
3. Établir qu'elle conduit à l'équation différentielle :
1
dC
=F
mx + kx - 2
2
dx

(2)

Interpréter le troisième terme du membre de gauche de cette égalité. Nous 
noterons 02 = k/m.
· Étude statique.
Nous nous plaçons dans les conditions ( = 0 ; F = 0). Nous posons X =

0 S20
x
.
et A0 =
a
2ka3

4. Attribuer une signification physique au rapport A0 .
40

5. Écrire l'équation d'équilibre sous la forme X = A0 G(X).
6. Le figure (3) permet une interprétation graphique la condition d'équilibre.
Déterminer la valeur du paramètre A0 adoptée pour les tracés la figure (3). 
Estimer graphiquement la valeur maximale A0
autorisable de A0 . Discuter les conditions d'existence et de stabilité des 
éventuelles solutions X0 .

­ Page 2/14 ­

Figure 3 ­ Traduction graphique de la condition d'équilibre X = A0 G(X).
· Étude dynamique.
Les grandeurs d'équilibre, correspondant aux conditions statiques ( = 0 ; F = 
0), seront affectées de l'indice "0". Pour
conduire l'étude dynamique nous posons alors :
(
(t) = 0 + (t) avec | (t) |  | 0 |
(3)
x(t) = x0 + u(t) ; X(t) = x(t)/a = x0 /a + u(t)/a = X0 +U(t) avec | U(t) |  | 
X0 |
7. Établir que l'équation différentielle décrivant le comportement dynamique du 
transducteur s'écrit, au premier ordre :
U + 02 (1 - ) U =

45

0 S20
F
- B  où  = 3
ma
ka (1 + X0 )3

et

B=

0 S0
3
ma (1 + X0 )2

(4)

8. En revenant sur l'établissement de l'équation (4), expliquer pourquoi la 
condition de linéarité entrée­sortie du transducteur
rend nécessaire l'application d'une tension de polarisation 0 non nulle.
· Étude du fonctionnement en émetteur.
Nous adoptons, pour la différence de potentiel variable imposée par le 
générateur de signal et la force subie par la membrane de
la part de l'onde acoustique émise, les expressions :
(
(t) = 0 cos t
(5)
F(t) = -a cS x
9. Écrire l'équation (4) dans ces conditions de fonctionnement en émetteur. 
Préciser pourquoi le terme d'amortissement
apparaissant dans cette équation représente l'émission acoustique.
10. Nous notons Z e l'impédance perçue par le générateur électrique imposant le 
signal . En négligeant le terme d'émission,
elle s'écrit :
Ze =

1
2 - (1 - )
×
jC(x0 )0
(2 - 1)

où

 = /0

(7)

Au vu de cette expression, sur quel domaine cette approximation perd-elle 
nécessairement toute légitimité ?
50

11. Esquisser l'allure de la dépendance de Im(Z e ) avec . Interpréter le 
comportement du système électromécanique sur
chacun des domaines qui apparaissent.
12. En s'appuyant sur le tracé précédent et sur la constitution du système 
électromécanique, proposer un schéma électrique qui
lui serait équivalent, c'est-à-dire présentant le même comportement 
fréquentiel. Ce schéma fera intervenir deux condensateurs et une inductance. 
Aucun calcul n'est attendu.

­ Page 3/14 ­

· Étude du fonctionnement en récepteur.
Nous considérons que la membrane est soumise, de la part de l'onde acoustique, 
à une force de la forme :
F(t) = F0 cos t

55

(8)

Les variations (t) de la différence de potentiel sont détectées par un appareil 
de très grande impédance d'entrée. En choisissant
alors un dispositif de polarisation du transducteur approprié, le récepteur 
fonctionne sensiblement à charge fixée (sur son domaine
d'utilisation pratique, dans les hautes fréquences).
13. Écrire l'équation (4), pour la variable , dans ces conditions de 
fonctionnement.
14. Préciser le rôle joué ici par la polarisation 0 .
· Épilogue.
15. Commenter la comparaison du membre de gauche des équations différentielles 
pour l'émetteur et le récepteur. En particulier, expliquer pourquoi, pour le 
récepteur, ce membre n'implique que le seul système mécanique (m, k).

60

16. Nous disposons d'un générateur de tension pour assurer la polarisation 0 . 
Proposer un schéma de circuit (très simple
et nécessitant seulement une résistance et un condensateur) permettant de 
superposer (t) à 0 en mode émetteur, ou
d'extraire (t) de (t) en mode récepteur.
17. La masse m et la raideur k effectives de la membrane (disque de rayon R et 
d'épaisseur e), déduites de considérations
énergétiques, s'expriment :

eR2

m=
(9)
3

k = 2e0
où 0 est la contrainte radiale de pré­tension de la membrane (exprimée en Pa).
Exprimer 0 . Analyser ce résultat et ses implications en vue d'une utilisation 
du transducteur dans le domaine des hautes
fréquences acoustiques.

65

18. Calculer la fréquence caractéristique f0 = 0 /(2) correspondant à un 
transducteur de rayon R = 0,5 cm et dont la
membrane est soumise à la pré-contrainte 0 = 107 Pa.
70

II

Quelques applications du transducteur.
Pour le calcul de cosinus ou de sinus d'angles, ou de leur image réciproque, on 
utlisera la figure (1) donnée en début d'énoncé.

II.A

Caractérisation de l'émission/réception acoustique.

La surface de la membrane du transducteur est ici carrée, de côté d = 2R (avec 
R = 0,5 cm). La fréquence f = /(2) de
fonctionnement du transducteur est choisie égale à 50 kHz.
75

80

19. Dans ces conditions, exprimer l'angle caractéristique 2d d'ouverture (ou de 
divergence) du faisceau acoustique émis. On
indiquera, en l'argumentant, la relation utilisée. Justifier que ce résultat 
vaut également pour la réception. Déterminer la
valeur de 2d , exprimée en degré.
20. Afin de rendre l'émission plus directive, tout en conservant une fréquence 
caractéristique f0 suffisamment élevée (donc en
maintenant R réduit), on réalise un panneau émetteur, ou récepteur, en 
assemblant côte à côte une série de transducteurs.
Ces panneaux étant carrés, nous considérerons simplement un assemblage en ligne 
de N transducteurs contigus. Déterminer la valeur de N pour réduire l'angle 
d'ouverture 2d à 1 o . Nous considérerons alors que le panneau émet une onde
plane, de vecteur d'onde ~k portée par la direction centrale d'émission.
21. Le générateur de signal commandant le panneau possède N voies synchronisées 
(c'est-à-dire fonctionnant à la même
fréquence f ) mais dont la phase peut être arbitrairement fixée, pour chacune 
d'elles. L'émetteur numéro q (q  {1, · · · , N})
est ainsi soumis à la différence de potentiel :
q (t) = 0 cos[t + (q - 1) × g2] où

85

g = Cste ] - 1, +1[

(10)

Nous supposons le panneau en position verticale, l'émetteur le plus haut 
portant le numéro q = 1.
Exprimer le glissement g tel que la direction d'émission forme un angle  avec 
la normale au panneau émetteur (selon
la convention d'orientation trigonométrique, comme celle indiquée figure (4)). 
Calculer g pour  = 10 o . On choisira la
solution telle que | g | est minimale.

­ Page 4/14 ­

II.B

90

Vélocimétrie ultrasonore.

Le transducteur électroacoustique étudié est mis en oeuvre dans un dispositif 
de mesure de vitesse d'un écoulement d'air. L'air
est, en amont de la zone de mesure, ensemencé 1 de particules assez fines pour 
être entraînées par l'écoulement, à sa vitesse.
C'est la manifestation de la diffusion de l'onde acoustique par les particules 
qui renseigne sur la vitesse de l'écoulement, au point
de mesure.
On dispose deux panneaux identiques dans un même plan, l'un émettant une onde 
plane dans la direction + et de vecteur
d'onde ~k1 , l'autre dans la direction - et de vecteur d'onde ~k2 (k~k1 k = 
k~k2 k = /c). Les deux faisceaux se croisent en formant
un domaine de mesure D int (voir figure (4)).

y
Domaine de mesure

k2

(2)

!
x

O
k1
(1)
V

Figure 4 ­ Dispositif d'émission à deux panneaux. Croisement des faisceaux 
acoustiques.
95

100

Une particule de diamètre b, convectée par un écoulement d'air, traverse le 
domaine D int avec la vitesse ~V = V ~uy (| V |  c).
Le rapport b/ est assez faible pour que la particule, soumise à l'onde 
acoustique, la ré-émette dans toutes les directions. Nous
considérons cette ré-émission comme sphérique.
22. Caractériser le système d'interférence apparaissant dans ce domaine. 
Exprimer son interfrange i (mesuré selon la direction
où il est minimal) en fonction de f , c et . Calculer i pour f = 50 kHz et  = 
10 o .
23. La particule traversant le domaine d'interférence ré-émet un signal 
acoustique dont l'amplitude est modulée (scintillement acoustique). Un 
détecteur fixe enregistre le signal s(t) correspondant. Illustrer graphiquement 
l'allure de ce signal.
Exprimer, en fonction de c, f ,  et V , sa période de modulation T mod .
24. Écrivons le signal s(t) détecté sous la forme :
s(t)  cos(t) cos(t)

105

0<1

(11)

Proposer une procédure de traitement analogique du signal s(t) permettant 
d'accéder à , et ainsi à V .
25. Sur un schéma, indiquer où il est préférable de placer le détecteur pour 
déceler et identifier le signal s dans de bonnes
conditions. On précisera les critères choisis.

II.C

110

où

Localisation acoustique d'une cible.

Le transducteur est utilisé ici dans un dispositif de localisation spatiale 
d'une particule (cible), supposée fixe. Le panneau
émetteur/récepteur est constitué de N transducteurs carrés de côté d = 2R = 1 
cm disposés selon une ligne, formant une antenne.
Nous notons d  la distance séparant les centres de deux transducteurs voisins 
(d   d) (voir figure (5)). L'antenne est en position
verticale, le transducteur le plus haut portant le numéro q = 1.
· Situation angulaire.
Nous cherchons d'abord à déterminer la latitude c de la cible. La particule est 
supposée émettre continûmement, dans toutes les
directions, un signal acoustique de fréquence f = 2/T = 15 kHz. Elle est située 
suffisamment loin du panneau pour que l'onde
lui parvenant soit sensiblement plane.
Le transducteur (ici récepteur) numéro q (q  1, · · · , N) convertit le signal 
acoustique qu'il reçoit en un signal électrique sq (t).
À la réception, les N signaux électriques sq (t) délivrés par chacun des 
récepteurs sont enregistrés simultanément, pendant la
durée R = 10 × T . On effectue ensuite les G sommes :
N

Si (t) =

q=1

sq (t + q,i )

où q,i = (q - 1)

d
gi
c

; gi ] - 1, +1[

; i  {1, · · · , G}.

1. Un dispositif d'injection permet de disperser des particules au sein de 
l'écoulement, de façon contrôlée.

­ Page 5/14 ­

(12)

d

q=1
d'

!
L

x

q=N

Figure 5 ­ Antenne formée de N transducteurs en ligne, d'envergure L = (N - 1)d 
 + d.
115

Le retard q,i introduit sur chaque signal dépend d'un terme de glissement gi 
que l'on fait balayer une plage de G valeurs discrètes.
Il dépend également de la distance (q - 1)d  au premier transducteur.
La figure (6) représente la dépendance du maximum SM (i) de la somme Si (t) 
avec le glissement gi .

Figure 6 ­ Dépendance du maximum de la somme Si (t) avec le glissement gi pour 
f = 15 kHz, N = 40 et des
transducteurs contigus (L = 40 × d).
26. De la figure (6), déduire la valeur de l'amplitude ae des signaux 
électriques sq (en unité arbitraire ua).
27. Indiquer dans quelle condition générale le maximum SM (i) est atteint. 
Établir alors la relation que doit vérifier gi .
120

28. Déduire alors de la figure (6) la valeur de c .
29. Pour la même situation de la cible, la figure (7) correspond au cas où le 
nombre de transducteurs est réduit à N = 20 mais
en demeurant contigus (L = 20 × d).
Argumenter la comparaison des résultats présentés sur les figures (6) et (7).

125

30. Pour la même situation de la cible, la figure (8) représente la dépendance 
du maximum de la somme Si (t) avec le glissement
gi pour N = 20, mais en maintenant l'envergure d'antenne à L = 40 × d. 
Interpréter l'apparition d'un second pic.

­ Page 6/14 ­

Figure 7 ­ Dépendance du maximum de la somme Si (t) avec le glissement gi pour 
f = 15 kHz, N = 20 et des
transducteurs contigus (L = 20 × d).
31. Pour une incertitude sur l'estimation de gi fixée à ±g, déterminer 
l'incertitude ±c correspondante sur l'estimation de
l'angle c . Préciser la valeur de l'angle pour lequel l'incertitude est 
minimale.
· Éloignement.
La cible (supposée ici ne plus émettre) étant maintenant localisée 
angulairement, il reste à déterminer sa distance Dc au panneau.
Ce dernier émet d'abord un train d'onde de fréquence f = 2/T et d'une durée e = 
10 × T . Il passe ensuite aussitôt en mode
réception, pendant une durée acq (acq  e ), afin de détecter le signal d'écho 
(nous supposons que les conditions sont telles
que la source ré-émet dans toutes les directions). Émission et réception 
s'effectuent dans la direction c . Nous notons e1 (t) le
signal électrique commandant le premier transducteur et r1 (t) le signal 
électrique qu'il délivre, en réception. Ces signaux sont
simultanément enregistrés. On définit ensuite la fonction F, de la variable , 
par l'intégrale :
F() =

^

0

e +acq

e1 (t - )r1 (t) dt

avec e1 (t) = 0 pour t  [-acq , 0]

S

(13)

(  [0, acq ])

[e , e + acq ] et r1 (t) = 0 pour t  [0, e ].

32. Représenter les signaux e1 (t) et r1 (t) pour une certaine distance de 
cible, en les considérant de même amplitude.
130

33. En déduire l'aspect graphique de la fonction F. Indiquer comment on 
détermine alors la distance Dc de la cible au panneau.
34. Indiquer comment il serait possible de distinguer, à la réception, le 
signal émis par la cible de celui qu'elle réfléchit lors
de la séquence de mesure de sa distance.

­ Page 7/14 ­

Figure 8 ­ Dépendance du maximum de la somme Si (t) avec le glissement gi pour 
f = 15 kHz, N = 20 et des
transducteurs espacés de telle manière à former une antenne d'envergure L = 40 
× d.

­ Page 8/14 ­

Partie Sciences de l'Ingénieur
Étude d'une tour de très grande hauteur
135

140

Dans cette seconde partie, nous nous proposons d'étudier différents aspects des 
tours de très grande hauteur. Ces tours sont
définies dans le cadre de la réglementation actuelle comme étant des 
établissements dont la hauteur entre le rez-de-chaussée et
le dernier étage accessible est supérieure à 200 mètres. Nous centrerons notre 
étude sur leur comportement statique sous les
chargements de vent. Nous étudierons également leur comportement sismique. 
Enfin, nous nous intéresserons à la commande et
au contrôle des ascenseurs en service dans ces tours exceptionnelles.

Notations et données.
Hauteur de la tour :
Nombre d'étages de la tour :
Pression du vent au sommet de la tour :
Largeur du côté de la tour exposé au vent :
Masse totale de la tour :
Accélération de la pesanteur :
Pourcentage d'amortissement critique :
Raideur en rotation équivalente :

m11

m12
..
.

...

m1N

Hc
Nf
pm
b
Mt
g

kr

=
=
=
=
=

=
=

250 m
80
9 000 N · m-2
40 m
1,5 × 108 Kg
10 m · s-2
2%
2,5 × 1012 N · m

(1)

 m21
 est une matrice carrée de dimension [NxN],
· M=

 .

 ..
mN1 m2N . . . mNN
 
U1
 U2 
 
· U =  .  est un vecteur de dimension N.
 .. 
UN

I
145

150

155

Étude des déplacements de la tour sous chargements extérieurs.

Dans cette partie, nous étudierons les déplacements de la tour sous des 
chargements extérieurs hautement probables. Ces
chargements sont identifiés dans le calcul aux États Limites de Service (ELS) 
définis dans les Eurocodes (code règlementaire de
la construction et du calcul de structures au niveau européen). Parmi les 
chargements extérieurs étudiés, nous considérerons les
chargements liés à l'action du vent sur les façades de la tour ainsi qu'au 
poids propre de la tour. Nous étudierons l'impact de ces
chargements sur le déplacement latéral de la tour. Ce critère est utilisé pour 
vérifier un certain niveau de confort dans les étages
et respecter des règles de sécurité sur la tenue des façades de la tour.
Ce deuxième critère est lié à un déplacement horizontal relatif entre deux 
étages et au déplacement maximal du sommet de
la tour. On considérera que le déplacement maximal relatif autorisé entre deux 
étages consécutifs est um = 1,5 cm. Nous nous
intéresserons à l'impact et la précision de différents modèles sur les 
déplacements observés au sommet de la tour. Cette grandeur
est l'un des critères d'évaluation de la tenue de la tour aux ELS. Pour cela, 
nous étudierons différents niveaux de discrétisation
de la structures : système à 1 degré de liberté (une masse et un ressort), puis 
à N degrés de liberté (N masses et N ressorts), ainsi
que différents niveaux de précision dans les chargements appliqués : étude en 
petits déplacements sans changement de géométrie
ou étude du type P- (les efforts verticaux créent un moment de rotation 
complémentaire du fait de l'inclinaison de la tour).

I.A

Première approche de dimensionnement : calcul du déplacement latéral de la Tour 
modélisée par un
système à 1 degré de liberté.

En première approche, nous modélisons la tour par un système à 1 degré de 
liberté du type masse-ressort en rotation. La masse
ponctuelle Mt est positionnée à une extrémité d'une barre rigide de longueur Hc 
. L'autre extrémité de la barre est connectée à un
^ Hc
z
ressort en rotation de raideur kr . Les efforts appliqués sur la tour sont 
modélisés par une force horizontale W =
pm b dz
H
c
0
représentant le chargement dû au vent et une force verticale correspondant au 
poids de la tour P = Mt g. La variable z représente
l'altitude d'un point, sur un axe vertical ascendant. On oriente les angles et 
les moments selon le sens trigonométrique. En se

­ Page 9/14 ­

reportant à la figure (1), la relation entre le moment extérieur Mres appliqué 
à un ressort avec amortisseur en rotation et l'angle 
formé entre ses deux extrémités, par rapport à leur situation d'équilibre, 
s'écrit :
(2)

Mres = -kr  - cr 
Notons que kr s'exprime en N · m et cr en N · m · s.

Figure 1 ­ Un moment extérieur est appliqué créant un angle entre les deux 
brins extrêmes d'un ressort en rotation, à
partir d'une position de repos à  = 0.
160

La figure (2) représente le modèle à un degré de liberté de la tour.

Figure 2 ­ Modéle à 1 degré de liberté.
1. Établir l'équation d'écrivant la dynamique du système. On appellera A cette 
équation.
Mext
.
I
et I et préciser leur signification. On note B cette équation linéarisée.

2. En considèrant des angles  petits, montrer que l'équation A peut s'écrire 
sous la forme  + 20  + (20 - 2g ) =
Identifier chacun des paramètres 0 , g , , Mext

3. Déterminer l'angle d'équilibre linéarisé 0 de la tour.

165

4. On suppose qu'à l'instant t = 0, le système est au repos. Déterminer la 
réponse du système à la charge de vent W .
Déterminer l'angle maximal 1 . Comment cet angle évolue-t-il lorsque 
l'amortissement de la tour croît ?

I.B

Étude statique non linéaire du comportement de la tour.

Dans cette partie on se place en régime stationnaire pour des angles  pouvant 
être grands.
170

5. Réécrire l'équation A sous ces conditions. Illustrer graphiquement la 
détermination de l'angle d'équilibre. Analyser ce
résultat.
6. Déterminer une solution approchée de l'équation non linéaire en effectuant 
un développement limité à l'ordre de 1 autour
de l'angle 0 solution de l'équation statique linéarisé B. On pose  = 0 +  avec 
|  |  1. On appelle 2 cette solution.

­ Page 10/14 ­

I.C
175

180

Comportement statique discrétisé de la tour.

I.C.a Calcul du déplacement latéral de la tour modélisée par un système à N 
degrés de liberté.
Dans cette partie, nous représentons plus finement le comportement statique de 
la tour (étude stationnaire). La tour est modéMt
lisée par un système à N degrés de liberté du type masse-ressort en rotation. 
Chaque masse ponctuelle Mi =
est positionnée
N
Hc
à une extrémité de la ieme barre rigide de longueur h =
. L'autre extrémité de la barre est connectée à un ressort en rotation
N
i
de raideur ki = Nkr . Ainsi, au repos, la masse Mi est positionnée à une 
altitude hi = Hc . Les efforts appliqués sur la tour
N
sont modélisés par des forces horizontales appliquées sur chaque masse 
ponctuelle. Le chargement appliquée à la ième masse est
^ Hi
z
pm b dz, et une force verticale correspondant
composé d'une force horizontale représentant le chargement de vent Wi =
H
c
Hi-1
au poids de la masse ponctuelle Pi = Mi g. Notons que l'intensité de la force 
du vent dépend de la masse ponctuelle considérée
puisque cette force varie avec l'altitude.
Dans un premier temps, nous considérons de grands déplacements.
7. En considérant la jonction entre les barres i et i - 1 représentée dans la 
figure (3), traduire l'équilibre en rotation de la ième
barre rigide pour i  [2, N - 1]. Que devient cette équation pour les masses i = 
1 et i = N ?

185

Figure 3 ­ Détail de l'élément i.
8. Linéariser à l'ordre 1 le système précédent en considérant | i (t) |  1. On 
obtient un système matriciel linéaire de la
forme K  = B. Donner les expressions de la matrice K et du vecteur B.

I.C.b Application au cas N = 3.
Dans cette partie, on limitera notre analyse au système à 3 degrés de liberté 
représenté figure (4).

190

9. Écrire la matrice K et le vecteur B pour ce système à 3 degrés de liberté.
10. Application numérique : Calculer le vecteur  solution du système linéaire 
précédent. En déduire le déplacement en tête
de la tour et le déplacement inter-étage maximum (soit le maximum des 
déplacements inter-étages obtenus sur chacun des
Mt gHc
 1.
3 tronçons de tour). On notera que
27kr
195

200

II

Étude sismique du comportement discrétisé de la tour.

Dans cette partie, nous nous intéressons au comportement global de la tour 
soumise à un chargement sismique. Cette partie
est indépendante de la précédente. La tour est modélisée par un système de 2 
masses et 2 ressorts horizontaux avec amortisseur
représenté dans la figure (5). Les ressorts horizontaux modélisent le 
comportement en flexion de la tour. La conception classique
des tours de grande hauteur consistant à réduire la taille de poteau avec 
l'altitude, on obtient une raideur en flexion et une masse
plus importante pour la première moitiè de la tour. On modélisera l'excitation 
sismique sous la forme d'un déplacement horizontal
ug (t) du support. Les notations matricielles et vectorielles utilisées dans 
cette partie sont précisées au début de la partie Sciences
de l'ingénieur.
11. Écrire les équations décrivant la dynamique du système.

­ Page 11/14 ­

Figure 4 ­ Modèle de la tour à 3 degrés de liberté.
Uu2
Uu1
Uug

2k

k
2M

2c

M
c

Figure 5 ­ Modélisation simplifiée du comportement sismique de la tour sans 
isolateur parasismique.
12. Écrire cette équation sous forme matricielle M U(t) + C U(t) + K U(t) = -M 
Ug (t). Déterminer les valeurs propres et
205

vecteurs propres de la matrice M -1 K. On nommera respectivement 1 et 2 les 
valeurs propres et 1 et 2 les vecteurs
propres en supposant 1 < 2 . On normalisera les vecteurs propres en considérant 
un déplacement unitaire pour u1 .
13. On pose 1 = 21 et 2 = 22 . Quelle est la dimension de 1 et 2 ? À quoi 
correspondent physiquement 1 et 1 , ainsi
que 2 et 2 ?
14. En se servant de l'orthogonalité des vecteurs propres et en écrivant U(t) = 
1 q1 (t) + 2 q2 (t), montrer que l'équation de
la dynamique peut s'écrire sous la forme ci-dessous, en identifiant les 
variables , 1 et 2 :

  2

q1 (t)
q1 (t)
q1 (t)
0
21
1 0
1
u (t)
+
+
=
-
(32)
q2 (t)
0
22
q2 (t)
q2 (t)
2 g
0 22

210

215

15. La réponse 
de la tour
 à la sollicitation sismique a lieu uniquement suivant le premier mode propre 
d'oscillation de la tour.
U1 (t)
= q1 (t) 1 .
On a ainsi :
U2 (t)
Résoudre l'équation différentielle du deuxième ordre en q1 (t) en utilisant un 
déplacement sismique du type sinusoïdal
Ag
ug (t) = 2 sin(t) (relation définissant Ag ). La tour est initialement au repos 
et on néglige la réponse transitoire de la

structure. En déduire le déplacement U2 (t) en tête de la tour.
5
16. Calculer l'amplitude maximale U2,max du déplacement U2 (t) en adoptant les 
valeurs de paramètres : Ag = m · s-2 ,
3
 = 1,0 rd · s-1 , k = 4,0 × 108 N · m-1 et m = 5,0 × 107 Kg. On remarquera que  
<< 1.

­ Page 12/14 ­

III

220

Étude du contrôle­commande d'un ascenseur.

Cette partie est indépendante des autres. Nous y étudions différentes 
modélisations des ascenseurs de la tour. L'organisation
verticale de la tour donne une grande importance au temps de trajet en 
ascenseur, notamment pour les étages les plus élevés.
L'objectif du contrôle­commande est de répondre à un double objectif : assurer 
la sécurité et le confort des passagers tout en
réduisant au maximum le temps de transport (temps d'attente et temps de 
trajet). Nous nous intéressons au trajet entre le rez-dechaussée et le dernier 
étage de la tour situé à Hc . Nous supposerons que l'ascenseur est muni d'un 
contre-poids annulant l'effet
de la gravité sur le temps de trajet de la cabine de l'ascenseur. D'une manière 
générale, f (t) représentera un signal temporel et
F(p) son correspondant dans le domaine de Laplace.

III.A Étude d'automates simplifiés.
225

· Modélisation par un système du premier ordre.
Dans cette première approche, on néglige la masse du système. Le déplacement de 
la cabine est alors imposé par la vitesse
d'enroulement du câble porteur. Le contrôle­commande est modélisé par une 
boucle de rétroaction proportionnelle du premier
ordre. Figure (6), on donne le diagramme de fonctionnement où Zc (p) représente 
la consigne de position et Z(p) la position de
la cabine (dans le domaine de Laplace).
Zc(p)

G

+

-

1/p

Z(p)

G

Figure 6 ­ Diagramme simplifié du comportement de la cabine d'ascenseur au 
premier ordre.
230

Z(p)
.
Zc (p)
On suppose que le signal de consigne est du type échelon :

pour t < 0
zc = 0
zc = Hc pour t  0
17. Écrire la fonction de transfert H(p) =

(41)

18. Donner l'expression de ce signal dans le domaine de Laplace. Vérifier que 
la position d'arrivée à t   est bien Hc .
19. Déterminer la réponse temporelle z(t) au signal d'entrée zc (t), en 
supposant que le système est initialement au repos.

235

20. On appelle  le temps de réponse à (100 × ) % : soit le temps à partir 
duquel le signal de réponse reste dans l'intervalle
[(1 - )u , (1 + )u ] où u est la limite du signal de réponse pour un temps 
infini. Exprimer  correspondant à ce
système du premier ordre.
21. Pour des raisons de sécurité, la vitesse de déplacement maximale de la 
cabine est limitée à V0 . Ce critère de sécurité est
directement implémenté dans le contrôle­commande de l'ascenseur via le 
coefficient G. Exprimer le temps minimal pour
atteindre la position de consigne en fonction de V0 , supposée atteinte pour 
0,001 .
22. Calculer 0,001 pour Hc = 250 m et V0 = 5 m · s-1 . On donne ln(10)  2, 3.

240

245

· Boucle de rétroaction proportionnelle du second ordre.
Les résultats obtenus dans l'étude d'une boucle de rétroaction du premier ordre 
ne permet pas de représenter la dynamique du
système mécanique, notamment par la présence d'une discontinuité en vitesse à t 
= 0. On propose donc d'étudier le comportement
d'un modèle du second ordre en considérant encore une boucle de rétroaction 
proportionnelle. Le système global de traction est
modélisé par une inertie M, une raideur K et un amortissement C équivalents . 
La boucle de rétroaction proportionnelle agit sur
la position avec un coefficient de proportionnalité K. Le système est 
représenté, dans le domaine de Laplace, sur la figure (7).
Z(p)
.
23. Écrire la fonction de transfert de ce système H(p) =
Zc (p)
On suppose que le signal de consigne est du type échelon :

zc = 0
pour t < 0
(50)
zc = Hc pour t  0

­ Page 13/14 ­

Zc(p)

K

+

Z(p)

1/(Mp2)

-

K + K + Cp

Figure 7 ­ Schéma d'une boucle de rétroaction d'ordre 2.
24. Donner l'expression de ce signal dans le domaine de Laplace. Préciser à 
quelle condition portant sur K la position d'arrivée
z , pour t  , est effectivement Hc .
25. Déterminer la réponse temporelle z(t) au signal d'entrée zc (t), en 
supposant que le système est initialement au repos.
250

26. Le signal de réponse est de forme oscillante. Exprimer zi , position du 
ieme pic.
27. La durée  a été définie à la question (20). Ici, dans le cas du signal 
z(t), on approximera cette durée par l'instant ti du
pic à partir duquel tous les pics suivants sont dans l'intervalle [(1 - )z , (1 
+ )z ]. Écrire une expression simplifiée de
l'inégalité permettant de trouver  . En déduire une inégalité sur i.
28. Le tracé de la réponse à un signal échelon est donné dans la figure (8). 
Identifier : le temps de réponse 0,1 et la vitesse
maximale. On utilisera la définition de  de la question précédente. Quel 
paramètre du contrôle commande peut être
modifié pour diminuer le temps de réponse 0,1 ?

0

50
45
40

Altitude de lascenseur (m)

255

35
30
25
20
15
10
5
0
0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

temps (s)

Figure 8 ­ Réponse de l'ascenseur à un signal d'entrée échelon.

­ Page 14/14 ­

160

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2017
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ;
il a été relu par Cyril Ravat (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur 
en
CPGE).

L'épreuve de physique et sciences de l'ingénieur est constituée de deux grandes
parties indépendantes. La partie physique s'articule en deux temps, autour de la
modélisation puis de l'utilisation d'un transducteur électroacoustique.
· Il s'agit tout d'abord d'établir les équations de fonctionnement en émetteur 
et
en récepteur. Après un bilan énergétique, on cherche les positions d'équilibre
puis on étudie comment celles-ci sont perturbées par l'émission ou la réception
d'une onde acoustique.
· Ensuite, on s'intéresse à deux applications du transducteur, la vélocimétrie
et la localisation d'une cible. Les connaissances sur la diffraction et sur les
interférences sont utilisées. Le sujet propose finalement une courte partie de
traitement du signal, qui est originale en prépa.
La partie sciences de l'ingénieur est consacrée aux bâtiments de grande hauteur.
On distingue ici encore trois parties largement indépendantes.
· On débute par l'étude du déplacement d'une tour soumise au vent et à son
poids. Plusieurs modèles sont proposés, du plus simple au plus élaboré. Citons
notamment la mise en équation matricielle du mouvement de la tour discrétisée
en N étages.
· Le sujet aborde ensuite le comportement de la tour soumise à une excitation 
sismique. Le passage d'une base de coordonnées réelles à une base de coordonnées
modales est au centre des questions.
· Enfin, dans la dernière partie, sans doute plus abordable que les autres avec
des questions très proches du cours, on étudie le contrôle et la commande d'un
ascenseur, avec des modèles d'asservissement d'ordre 1 puis d'ordre 2.
Cette épreuve comporte de nombreuses parties indépendantes, ce qui permettait
au candidat bloqué sur une question de poursuivre sur un autre thème. Elle 
balaie
une large part du programme de physique, de sciences de l'ingénieur et même de
mathématiques. La difficulté des questions est très variable, allant de la 
question
de cours à des développements matriciels fastidieux. L'épreuve est peu guidée ; 
elle
permettait de bien identifier les candidats ayant à la fois du recul sur le 
programme
et une bonne maîtrise des raisonnements.

Indications
Partie Physique
1 Exprimer l'énergie cinétique et les énergies potentielles élastique et 
électrique.
2 Le système est le condensateur, en interaction avec le générateur électrique 
et la
force acoustique.
6 Quel est l'effet d'une modification de A0 sur la courbe A0 G(X) ? Pour 
l'étude de
la stabilité des positions d'équilibre, interpréter l'équation statique en 
termes de
forces et déterminer le sens de la résultante des forces qui s'exercent après un
petit déplacement.
dC
7 Développer au premier ordre le produit 2
.
dx
2
8 Montrer qu'un terme en  remplace un terme en .
10 On peut négliger le terme d'émission lorsque l'impédance n'est pas trop 
élevée
puisque l'émission est liée à l'amortissement.
13 Repartir du bilan de puissance fait à la question 2, avec une charge 
constante.
19 Utiliser directement les résultats de la diffraction.
21 Il s'agit d'un système analogue à un réseau de diffraction. Lorsque tous les 
signaux
individuels sont en phase, le signal résultant est maximal.
 --
-
22 Le retard de phase dû à la propagation vaut k · OM. Le déphasage est la 
différence
entre les retards de phase des deux ondes.
24 Il faut procéder à une démodulation d'amplitude par détection synchrone.
30 Exprimer le déphasage entre les signaux issus de deux transducteurs voisins. 
Il doit
être nul à 2 près pour que les interférences soient constructives.
33 La fonction F est obtenue en déplaçant le signal émis le long de l'axe 
temporel
avant de calculer l'intégrale. Pour simplifier, raisonner en faisant varier 
discrètement  pour calculer F lorsque e1 et r1 sont en phase et ont 1, 2 puis N 
périodes
en commun.
Partie Sciences de l'ingénieur
1 Appliquer le théorème du moment cinétique au modèle proposé.
4 Remarquer qu'il s'agit d'un système d'ordre 2 pseudo-périodique.
6 Exprimer  en fonction de 0 et des autres paramètres du problème.
7 Faire le bilan des actions mécaniques sur la tige considérée.
10 Inverser la matrice K en utilisant par exemple la méthode du pivot de Gauss.
11 La figure 5 est erronée. Les déplacements u1 et u2 sont les écarts à la 
position
d'équilibre des masses. Penser à préciser le référentiel d'étude.
14 Multiplier l'équation matricielle à sa gauche par la transposée d'un des 
vecteurs
propres et utiliser les M- et K-orthogonalités des vecteurs propres.
15 Utiliser le formalisme complexe pour résoudre le problème posé en régime 
sinusoïdal forcé.
18 Le théorème de la valeur finale permet de répondre.
26 Dériver la position pour obtenir les instants pour lesquels la vitesse 
s'annule et
en déduire la hauteur des pics.

1. Physique
1 Le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique, cinétique et 
élastique
via sa membrane déformable. Son énergie électromécanique s'écrit
E(x, x; Q) =

1
1 Q2
1
m x2 +
+ k x2
2
2 C(x) 2

Par définition de la capacité d'un condensateur, on a
Q = C
et l'intensité du courant vaut

i=

dQ
dt

En utilisant la formule de l'énoncé, donnant la capacité d'un condensateur plan,
C(x) =

0 S
a+x

2 Le système S est en interaction avec les systèmes extérieurs électrique () et
mécanique (F), desquels il reçoit de la puissance. L'effet de la gravité est 
négligé
devant celui des autres forces. La variation d'énergie E entre les instants t 
et t + dt
est due au travail des forces extérieures :
E(t + dt) - E(t) = WF + W
On obtient le bilan de puissance en divisant par la durée dt :
dE
= PF + P
dt
3 Exprimons les différentes puissances. Par définition, celle de la force F 
s'écrit
PF = F x
et la puissance électrique

P = i  =

dQ

dt

Or, par définition de la capacité, on a
dQ
d(C )
dC
d
dC
d
=
=
+
C=
 x +
C x
dt
dt
dt
dt
dx
dx
Par conséquent, la puissance électrique extérieure vaut
dC 2
d
 x +
C x 
dx
dx
Ensuite, grâce à la question 1, on écrit
P =

dE
1 d(x2 ) 1 d(C 2 ) 1 d(x2 )
= m
+
+ k
dt
2
dt
2
dt
2
dt
1
dC
d
= m x x + 2
+ C
+ k x x
2
dt
dt
dE
1
dC
d
= m x x + 2
x + C 
x + k x x
dt
2
dx
dx

Avec le bilan de puissance, on conclut
1
dC
d
dC 2
d
x + C 
x + k x x = F x +
 x +
C x 
m x x + 2
2
dx
dx
dx
dx
1
dC
=F
m x + k x - 2
2
dx

donc

Cette relation est le principe fondamental de la dynamique appliqué à la 
membrane
souple. Trois forces entrent en jeu : l'action mécanique F de l'onde sur la 
membrane,
le rappel élastique de la membrane souple et l'interaction électrique liée aux 
charges
présentes sur les armatures.
Le terme

1 2 dC

est la force d'origine électrostatique subie par la membrane.
2
dx

À partir d'une approche énergétique, on retombe sur le principe fondamental
de la dynamique, qu'on n'aurait jamais pu exprimer aussi rapidement en
faisant le bilan des forces puisque celle d'origine électrostatique ne s'exprime
pas simplement.
4 Les énergies potentielles élastique et électrique s'écrivent respectivement
Ek =

1 2
kx
2

et

E =

0 S  0 2
2(a + x)

Le rapport de ces deux énergies est sans dimension. Exprimé en x = a, il est 
égal à A0 .
Le terme A0 compare les énergies potentielles élastique et électrique en x = a.
5 Réécrivons l'équation obtenue à la question 3 dans le cas statique, avec F = 
0 :
kx =

1 2 dC
0 S  0 2

=-
2
dx
2(x + a)2

0 S  0 2

x 2
2k a2 1 +
a
x
0 S  0 2
En posant, comme l'invite l'énoncé, X = et A0 =
, on obtient
a
2k a3
soit

x=-

X = A0 G(X)

avec

G(X) =

-1
(1 + X)2

Ce résultat correspond bien à la fonction tracée à la figure 3 de l'énoncé.
6 Puisque G(X = 0) = -1, on lit, au signe près, la valeur A0 lors du croisement 
de
la courbe avec l'axe des ordonnées :
A0 = -A0 G(0) = 0,1
Augmenter A0 correspond grossièrement à dilater la courbe A0 G(X) vers le bas.
Pour qu'une solution existe, il faut que cette courbe coupe la droite y = X. 
Graphiquement, en dilatant la courbe vers le bas, le point de tangence se situe 
autour de
X = -0,4 soit pour
-0,4 = -

A0 
(1 - 0,4)2

ou encore

A0  = 0,4 × 0,62 = 0,14