X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2016

Thème de l'épreuve Propagation dans les milieux non homogènes. Simulateur de conduite de véhicule à deux roues.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, physique quantique, mécanique du solide, asservissements
Mots clefs fibre optique, oscillateur quantique, milieu stratifié, approximation BKW, angles d'Euler, simulateur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2016 MP COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR ­ (X) (Durée : 4 heures) Les calculatrices ne sont pas autorisées pour cette épreuve. Les deux parties de l'épreuve sont indépendantes et elles-même composées de parties largement indépendantes ; on les traitera dans l'ordre de son choix. Il n'est pas demandé de démontrer les relations données dans l'énoncé. 1 Partie I : Propagation dans les milieux non homogènes Préambule Cette partie concerne la propagation d'ondes électromagnétiques lumineuses dans des milieux non chargés d'indice n = n (x, y, z) non uniforme spatialement. On admettra dans ce cas la - - - ---- ! 2 relation div n E = 0 = n2 div E + E · grad n2 ; cette relation montre que, en raison du terme dit - de dispersion spatiale (en bleu) div E n'est pas, en -général, nul. En régime harmonique de pulsation , la dépendance temporelle du champ électrique E est en exp (-i t). L'équation de propagation - du champ E d'une onde électromagnétique monochromatique prend alors l'une ou l'autre des formes équivalentes (les termes de dispersion spatiale sont sur l'accolade, en bleu) - E + n2 - E + n2 - - 2 - ---- E - grad div E = 0, 2 c {z } | - 2 - ---- n- ---- h 2 io E + grad E · grad ln n = 0. 2 c | {z } (1) (2) - Une pratique courante est cependant de poser que l'équation de propagation de E se déduit en force brute de l'équation de propagation dans un milieu homogène - équation de Helmholtz -, en y remplaçant l'indice constant par l'indice variable n (x, y, z) et en ignorant les termes de dispersion 2 , spatiale. On établit alors l'équation de propagation, définissant k0 = = c - E + n2 - - - 2 - E = E + n2 k02 E = 0 , 2 c (3) où c est la célérité de l'onde. On peut se demander si cette manière de faire est légitime. Tel n'est pas toujours le cas. Les deux cas traités ci-après sont cependant des exemples de réponse positive à cette question. 1 1.1 Fibre optique à profil parabolique d'indice et oscillateur quantique Une onde électromagnétique monochromatique se propage dans une fibre optique modélisée par un cylindre de rayon R, illimité dans la direction z et à l'intérieur duquel le profil radial d'indice est 2 n (r) = n20 A x2 + y 2 1- a2 B , avec a R R ' et 2n0 a. (4) Ci-dessus, a est une longueur qui définit la largeur du profil d'indice selon une section droite du cylindre ; cet indice varie donc peu sur une distance de l'ordre quelques longueurs d'onde : l'inégalité de la relation (4) signifie en effet Rayon du cylindre (un nombre de l'ordre de 10 - 20) × échelle de variation spatiale de l'indice. Dans la suite, on ne se préoccupera pas de conditions aux - limites et l'on se restreindra à la forme suivante du champ E , où la constante de propagation est réelle et strictement positive et y est le vecteur unitaire selon la direction y du repère de référence : - (5) E = E (x, y) y exp [j (z - t)] . On néglige provisoirement le terme de dispersion spatiale et l'on accepte l'équation de propagation - E + n20 A x2 + y 2 1- a2 B - 2 - E = 0. 2 c (6) 1. Établir l'équation (scalaire) de propagation de E (x, y) ; posant q0 = n0 k0 puis µ = q02 - 2 a, q0 41 q0 2 exprimer cette équation en termes des variables réduites (, ) = (x, y). a L'équation de propagation du champ ressemble à l'équation de Schrödinger stationnaire d'un oscillateur harmonique 2D, de masse m et d'énergie propre EN 3 - 1 2 ~2 1 (x, y) + m 2 x2 + y 2 (x, y) = EN (x, y). 2m 2 (7) On admet que EN = (N + 1) ~, où N N. L'énergie de l'état de plus basse énergie est ainsi 3 41 5 6 " m 2 m ! 2 2 E0 = ~ ; il lui correspond la fonction d'onde normalisée 0 = exp - x +y . ~ 2~ ò m puis exprimer l'équation (7) en termes des variables réduites 2. Vérifier la dimension de ~ ò m (x, y). (u, v) = ~ 3. On impose à la solution de l'équation (6) la condition ÚÚ - ë E ë2 dx dy = V 2 , où V est un R2 réel positif, dont on donnera l'unité. Quel est le sens physique de cette normalisation ? q 2 - 2 4. Quelles sont les valeurs possibles de µ = 0 a, introduit à la question 1 ? Montrer que le q0 mode fondamental de propagation est gaussien, avec µ = µmin = 2. 5. Montrer que, pour une valeur donnée de µ, seuls les modes de pulsation supérieure à une certaine pulsation critique c pourront se propager. Quelle valeur de µ !peut-on choisir pour" la longueur d'onde c = 0, 6 × 10-6 m, lorsque n0 = 3 et a = 5 × 10-6 m c = 3 × 108 m · s-1 ? 2 6. On considère les modes d'ordre peu élevé (µ de l'ordre de quelques unités) et une longueur d'onde de l'ordre de 0, 6 × 10-6 m. Par définitions, la vitesse de phase de l'onde est v = et c d . Montrer que v > et que vg ne dépend pas de µ. la vitesse de groupe vg = d n0 7. A-t-il été-il légitime de négliger dans l'équation de propagation le terme de dispersion spatiale ---- h- ---- ! i 2 - grad E · grad ln n2 devant le terme de dispersion temporelle n2 2 E ? On pourra utiliser les c ---- f 1 f f + r + z, y = r sin + cos . coordonnées cylindriques et la relation grad f = r r z 1.2 Mode TE dans un milieu stratifié Dans un milieu stratifié l'indice optique n varie selon une direction notée z, portant le vecteur unitaire z. On note (xz) le plan de propagation (voir Figure 1) et l'on convient que les diverses Figure 1 ­ Propagation dans un milieu stratifié, où l'indice varie selon la direction z. grandeurs associées à l'onde, représentées de manière complexe, ne dépendent pas de y ; par suite de l'homogénéité de l'espace selon x, elles varient comme exp (ix), où est la constante de propagation, réelle et strictement positive. Pour le reste, nous reprenons les considérations et les notations du préambule. - Dans le mode Transverse Électrique (TE) E est dirigé selon y ; ses composantes sont notées Ex = Ez = 0, Ey = E (z) exp [i (x - t)] (8) de sorte que l'équation de propagation (3) se ramène à l'équation scalaire, définissant kz d2 E d2 E 2 2 2 n k - E = + + kz2 E. 0 dz 2 dz 2 (9) On introduit alors, formellement, d'une part le vecteur d'onde local, ~k (z) = [, 0, kz (z)], avec 2 2 . k 2 (z) = n2 2 = 2 + kz2 (z), d'autre part la longueur d'onde locale , (z) = c kz (z) - 8. Montrer que, dans un mode TE, B est entièrement contenu dans le plan de propagation (xz). 9. La relation E (z) = A (z) exp [ik0 S (z)] exprime l'inconnue E en termes du couple, non unique, des fonctions réelles A et S. Que devient l'équation (9), en termes du couple (A, S) ? On ordonnera le résultat selon les puissances décroissantes de k0 . Ce sera l'équation [B]. 10. Estimer la valeur de k0 dans le domaine optique. Dans quel sens peut-on dire que « k0 est grand » ? Une manière approchée de résoudre [B] est de supposer que aucun des coefficients de 3 k0 n'est exceptionnellement grand et d'en annuler séparément chaque terme, à commencer par le terme de plus haut degré en k0 . Quelle équation obtient-on ? Donner alors la relation entre dS , ce dernier étant choisi positif. n(z) et dz 11. Comment se simplifient les résultats ci-dessus lorsque n est constant ? Vérifier que l'on retrouve les résultats habituels. L'approximation de l'optique géométrique, étudiée ici, pose que le couple (A, S) effectif est celui où 2 et négligeables devant celles de S. les variations de A sont petites à l'échelle de 0 = k0 12. Montrer alors que, dans un voisinage de quelques 0 autour d'un point P (xp , zp ) où l'indice est n (xp , zp ) = np , c'est-à-dire pour x = xp + et z = zp + avec de l'ordre de 0 , l'onde est localement plane et progressive : toute composante X d'un vecteur du champ s'exprime sous la forme X (x, z, t) X0 (xp , zp ) exp [i (k0 np + - t)]. - - þ de composantes [, 0, k0 np ]. 13. Préciser le lien entre les vecteurs E , B et K 1.3 L'approximation semi classique en mécanique quantique ; une analogie Les fonctions d'onde des états stationnaires d'une particule de masse m et d'énergie E dans le « potentiel » unidimensionnel U (x) sont solutions de l'équation de Schrödinger - ~2 d2 + U (x)(x) = E(x). 2m dx2 (10) Dans les régions dites quasi classiques, U (x) E ; l'impulsion classique de la particule étant p2 (x) = 2m [E - U (x)], on définit, avec la relation de de Broglie, la longueur d'onde 3 par analogie 4 h h 2 locale par (x) = ~= et l'équation (10 ) se réécrit = p (x) k (x) 2 d2 + k 2 (x) (x) = 0. dx2 (11) L'optique géométrique se déduit de l'optique ondulatoire en considérant la limite 0 ; de la même manière, le régime quantique semi-classique est la solution lorsque, par la pensée, 5 3 limite de (10)46 ~ i on considère la limite ~ 0. On pose alors (x) = exp 0 (x) + 1 (x) , où 0 et 1 R. ~ i 14. L'approximation d'ordre zéro consiste à ne garder que 0 dans l'expression de ; déterminer la solution de 3 l'équation 4 (10) à l'ordre 0. Vérifier que, si p est constant (p = p0 > 0), alors p0 x (x) exp ±2i (on ne se préoccupera pas de normalisation). h 15. Établir que, C+ et C- étant des constantes complexes dont on ne se préoccupera pas, la solution d'ordre 1 est i C+ exp (x) = ð ~ |p (x)| 5 Ú x C- i p (u) du + ð exp - ~ |p (x)| 6 5 Ú x p (u) du 6 (12) 1 . Ce résultat est-il cohérent avec ce que, intuitivement, |p (x)| l'on peut dire de l'occupation de l'espace par l'oscillateur harmonique classique 1D ? 16. Il ressort de (12) que | (x)|2 4 2 Partie II : Simulateur de conduite de véhicule à deux roues Introduction aux simulateurs de conduite Les simulateurs de conduite à base mobile pour véhicules à deux roues fournissent des indices de mouvement en cohérence avec les mouvements réels du véhicule. Ils sont souvent constitués d'un bâti fixe et d'une partie mobile comprenant le châssis de la moto et des chaînes cinématiques mues par des actionneurs. Leur but est de restituer les mouvements transitoires, d'incliner la plateforme pour les mouvements lents et, lorsque la vitesse du véhicule virtuel est constante, de retourner à une position calibrée, dite position neutre. Les limitations de ces dispositifs sont partiellement compensées au moyen d'algorithmes qui réalisent des compromis entre fidélité de restitution du mouvement et limites physiques de la plateforme. La plateforme à structure parallèle étudiée ici est représentée dans les Figures 2, 3 et 4 1 . Figure 2 ­ Moto et plate forme. La rotation d'angle autour de Z, dite de lacet, détermine la trajectoire ; la rotation d'angle autour de X, dite de roulis, définit l'inclinaison de la caisse lors d'un virage ; la rotation d'angle autour de Y (max 10°) décrit le tangage, rencontré notamment dans les phases d'accélération et de freinage. Le triplet (, , ) est un exemple d'angles d'Euler. Figure 3 ­ Arrière de la plate forme : pour avoir une hauteur réglable, le châssis de la moto est lié à la glissière via une barre métallique rigide et une liaison rotule fixée à cette dernière. La translation de la glissière crée le mouvement de lacet et reproduit l'effet d'un dérapage de la roue arrière. Une glissière de type chariot mobile est fixée à l'arrière, sur la structure verticale du bâti (Figure 3). 1. La plupart des figures de cette partie est reproduite ou adaptée du mémoire doctoral de M. Lamri Nehaoua, avec son aimable autorisation. 5 La Fig. 4 montre comment on impose un déplacement symétrique des deux pivots mobiles liant les deux vérins au bâti (points B1 et B2 de la Fig. 5). Les notations étant celles de la Fig. 5, les Figure 4 ­ À gauche : vérins de tangage et de roulis. À droite : fixation et liaisons. Figure 5 ­ Description cinématique. Les points P1 , P2 et P3 sont respectivement les points d'attaches supérieurs des deux vérins avant et de la glissière arrière (non représentée dans la Figure) avec la plateforme. Les points B1 , B2 et B3 sont les points d'attaches correspondants avec le bâti. distances Om P1 = Om P2 = sont constantes, alors que B1 O = B2 O = d (t), où d (t), représenté à gauche dans la Fig. 5, est variable ; par exemple, le cartouche en haut à droite de cette figure montre que, pour un roulis pur d'angle , d = cos . Le déplacement des points B permet de conserver approximativement le parallélisme des deux vérins. Les angle et sont indépendants ; par contraste, l'angle de lacet génère un tangage et un roulis résiduels, car la plateforme ne possède pas d'axe de rotation propre autour d'un axe porté par ~k. Pour des raisons de coût, les déplacements longitudinal et latéral sont ignorés, seule la grandeur articulaire verticale h3 (t) est variable. Définitions et modèle Outre les mouvements de translation selon trois axes orthogonaux, le véhicule est soumis aux trois rotations décrites Figure 2. Un espace articulaire est un espace qui 6 a pour référence le repère lié à chaque articulation motorisée. Les coordonnées associées sont les coordonnées articulaires. L'espace opérationnel a pour référence le repère lié à l'organe terminal de la plateforme. Nous nous intéresserons successivement aux -- modèle géométrique, reliant les coordonnées articulaires et opérationnelles, -- modèle cinématique, reliant les vitesses articulaires et opérationnelles -- et à une esquisse de description de la commande de la plate forme. La géométrie inverse définit les coordonnées articulaires des différents actionneurs en fonction des coordonnées et de l'orientation de la plateforme. On introduit pour ce but un repère R(O,~i, ~, ~k) lié au bâti et un repère mobile Rm (Om ,~im , ~m , ~km ) lié à la moto de la manière suivante (Figure 6) : ~ ~ -- La rotation de lacet () autour de k donne le repère R1 O,~i1 , ~1 , k1 , avec ~k1 = ~k. -- La rotation de tangage () autour de ~1 donne le repère R2 O,~i2 , ~2 , ~k2 , avec ~2 = ~1 . -- La rotation de roulis () autour de ~i2 donne le repère Rm Om ,~im , ~m , ~km , avec ~im = ~i2 . Figure 6 ­ Repères pour lacet, tangage et roulis. Les axes de rotation sont représentés en rouge. Les rotations font passer des « vecteurs noirs » aux « vecteurs bleus ». Dans le repère mobile Rm , les coordonnées des divers points P sont définies par ------ Om P1 = m = [0 0]T - Om P2 = - m = [0 - 0]T - ------ - Om P3 = -3 i m - h3 (t) k m = [-3 0 - h3 ]T - ------ La matrice de rotation définissant l'orientation du repère mobile Rm par rapport au repère fixe R e = (rij ). L'axe de roulis est dans le plan de symétrie vertical de la moto et le déplacement est notée R de Om selon l'axe ~ est nul (ym = 0). La partie supérieure mobile du simulateur est repérée dans R par les coordonnées cartésiennes (xm , ym , zm ) de Om dans R et les angles d'Euler (, , ). ~ dans le repère R sera noté X ~ Dans toute la suite, le triplet des composantes du vecteur X ; R ---- ----- ------ ainsi, la relation intrinsèque OP3 = OOm + Om P3 entraîne-t-elle la relation algébrique entre les coordonnées cartésiennes de l'origine Om et les angles d'orientation de la plate forme mobile (dans ce cas particulier, ym = 0) : --- OP 3 R ----- = OOm R ------ + R Om P3 Rm , (13) -L xm -3 xm = -L + r11 3 + r13 h3 3 = -r21 3 - r23 h3 soit 3 = ym + R 0 , de sorte que z -h3 zm h m = h + r31 3 + r33 h3 . Les variables articulaires xm , ym , zm et 3 ainsi déterminées, reste à trouver les variables articulaires des deux vérins avant, notées respectivement 1 et 2 , qui définissent la longueur de chaque vérin en ---- ---- 2 fonction de l'orientation de la partie supérieure mobile : i = Bi Pi · Bi Pi . 7 2.1 Modèle géométrique et cinématique inverses de la plateforme du simulateur 17. On se propose de déterminer la course de chacun des trois vérins, permettant de respecter les caractéristiques géométriques de chaque degré de liberté, telles que données dans le tableau ci-après (le débattement est le double de la valeur maximale). Degré de liberté Lacet Tangage Roulis 10 10 72 90 30 360 Valeur maximale (degrés) ! Vitesse angulaire maximale degrés · s-1 Pour ce but, on adopte les valeurs numériques L = lm = 1, 2 m, l = d = 0, 2 m, l3 = 1, 1 m, h = 0, 5 m et h3 = 0, 4 m. En s'appuyant sur des schémas et en utilisant la courbe de la Fig. 7, déterminer la course de chacun des trois vérins, d'abord dans le cas du roulis, ensuite dans le cas du lacet. Vérifier enfin que les valeurs trouvées sont compatibles avec la valeur maximale de l'angle de tangage. Figure 7 ­ Sinusoïde. ---- 18. Exprimer Bi Pi R ---- (i = 1, 2) en fonction de Bi O ---- que la composante sur y des Bi Pi R R ----- , OOm R ------ , Om Pi Rm et R. Considérant est nulle, montrer que d = r22 . Introduisant les vecteurs ---- - unitaires ui = Bi Pi , montrer que la vitesse articulaire des vérins avant est i --- - - i = Bi Pi · ui . (14) La cinématique inverse, qui consiste à déterminer les positions et rotations d'articulations permettant d'atteindre un objectif donné, se fait à partir des paramètres des articulations. Conformément à la ~ = ~k + ~1 + ~i2 le vecteur rotation de la plateforme (aussi Figure 6, on note, respectivement, nommé vecteur de la vitesse angulaire), ~q = , , et l'on admet que, dans R(O,~i, ~, ~k) lié au bâti, 0 - sin cos cos ~ = E ~q = 0 cos cos sin ~q. 1 0 - sin 8 (15) A B þ Le torseur cinématique de la plateforme par rapport au bâti, exprimé en Om est W = ---- - . OOm 19. Indiquer soigneusement, mais sans effectuer les calculs, la méthode conduisant à la relation 15 ; on précisera, notamment, le paramétrage des angles. --- - 20. En considérant un résultat obtenu à 1la question 18, exprimer B Pi (i = 1, 2) dans R en fonction i - ----- 2 - -- - - ---- - å Om Pi de Bi O , OOm dans R et de R . Rm 21. Établir la relation 3 1------2 - å Om P3 3 = OOm · j + R ----- - Rm j 4 - · = 3 1------2 å Om P3 R - Rm j 4 - · . (16) 22. Le résultat établi à la question 20 conduit aux deux relations 3 1------2 ---- - - - - å Om Pi i = Bi O · ui + OOm · ui + R - --- è--éT On définit Ai 5 3 1------2 - å Om Pi i = OOm · ui + R ----- 1------2 å Om Pi = R - Rm ui 6T Rm ui 4 - · . - · ui , (17) (18) (uþ3 = þ). Vérifier que è--éT [1 , 2 , 3 ] = 2.2 - Rm 4 A1 è--éT A2 è--éT Ai - - T u1 u2 W. -T - - T (19) j Introduction à la perception Les accélérations du véhicule ne pouvant être reproduites à l'identique, une commande est nécessaire, transformant la trajectoire du véhicule simulé en un mouvement réalisable par la plateforme, tout en prenant en compte les caractéristiques de la perception. 2.2.1 Modélisation des capteurs ; algorithme du pire cas Le principe de la cinématique inverse est représenté dans la Figure 8. Comme le montre la Figure 9, page 10, les grandeurs de référence sont d'abord calibrées, ce qui permet de réduire d'autant les déplacements du simulateur. La composante transitoire de l'accélération est détectée derrière le filtre passe-haut FPH1. La composante basse fréquence de l'accélération ne pouvant être restituée par un déplacement de la plateforme, la technique dite de tilt (inclinaison de la plate forme) est utilisée pour récupérer une composante de la gravité qui sera perçue comme étant une accélération linéaire par le système de capteurs d'accélérations, situé dans l'oreille interne ; en effet, ce système, incapable dans ces conditions de distinguer une rotation d'une translation, est leurré. La sortie du filtre passe-bas FPB contribue ainsi à définir l'angle d'inclinaison de la plateforme par rapport à la verticale. Ci-après on notera X(p) la transformée de Laplace de la grandeur x(t). 9 Figure 8 ­ Correspondance entre le mouvement d'un véhicule réel et le mouvement du simulateur. MCA signifie Motion Cueing Algorithm - Algorithme de Restitution du Mouvement. Figure 9 ­ Élément de l'algorithme de restitution du mouvement. Tilt = inclinaison. Noter la contribution du canal BF d'accélération à la position angulaire du simulateur. 23. Expliquer comment l'on peut, à partir de données d'accélération et de vitesse angulaire, accéder algorithmiquement à la position désirée du simulateur. Les différents filtres passe haut utilisés pour déterminer la position de la plateforme à partir de la partie transitoire de l'accélération sont d'une importance décisive pour la qualité du simulateur. En particulier, il est nécessaire que le simulateur soit ramené en position neutre lorsque le signal d'entrée est un créneau de vitesse. On note av l'accélération longitudinale du véhicule réel, as l'accélération à produire sur le simulateur et l'on considère que av est l'échelon d'amplitude Avm . 24. Avec un filtre passe-haut du deuxième ordre, la position P (p) de la plateforme est liée à l'accélération du véhicule par une relation du type K P (p) = 2 p + 2n p + n2 Av (p) ( > 1, K > 0) . (20) En déduire que l'effet de ce filtre est de déplacer la plateforme vers la position P , dont on 10 donnera l'expression en fonction de K, Am et n . Conclure en expliquant pourquoi des filtres du premier ou du deuxième ordre sont inadaptés. 25. Soit Pm le déplacement linéaire maximal disponible sur le simulateur ; comment choisir n ? 26. Un filtre du troisième ordre assure le retour en position neutre. On identifie, dans sa fonction de transfert (21), la partie Filtrage de la relation (20) et la partie Retour à la position neutre. F P H(s) = As (p) p p2 . · =K 2 2 p + 2 p + p + f Av (p) n n (21) Comment choisir f de manière à avoir un retour rapide en position neutre ? On pourra s'appuyer sur une analyse de la Figure 10. Les données de déplacement dans cette Figure sont-elles en accord qualitatif avec vos réponses sur la course des vérins (question 17) ? Figure 10 ­ Position de la plateforme (en m) en fonction du temps (en s), lorsque l'entrée est un échelon d'accélération, pour K = 1, = 2 et n = 1 rad · s-1 . La courbe en pointillés correspond à f = 0 ; pour une meilleure lisibilité, son amplitude a été divisée par 2. Par amplitude maximale décroissante, les courbes correspondent respectivement à f = 1, f = 2 et f = 4. 2.2.2 Vers un réglage pratique des paramètres, dans le pire des cas Dans des conditions modérées de conduite, un filtre du deuxième ordre suffit (c'est la situation dite du pire cas). La réponse impulsionnelle du filtre intervenant dans la relation (20) est considérée représenter la position de la plate forme et c'est h(t) = K [exp (p1 t) - exp (p2 t)] , p 1 - p2 (22) où p1 et p2 sont les zéros du polynôme p2 + 2n p + n2 , avec p2 < p1 < 0. On posera = cosh a. del'instant T 27. Quelle est, dans l'équation (22), la dimension de K ? Déterminer l'expression K a exp - où h atteint sa valeur maximale, H. Admettant la relation H = , donner et n tanh a commenter l'allure graphique de h(t) et celle de T (a). 28. Le canal tilt de la Figure 9 est-il utile pour ce simulateur ? 11

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 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2016 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) ; il a été relu par Cyril Ravat (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants, l'un portant sur l'électromagnétisme et la physique quantique, l'autre sur les sciences de l'ingénieur, avec de la mécanique du solide et des asservissements. · Le premier sujet se compose de trois parties distinctes qui traitent de propagation dans des milieux inhomogènes. Il s'agit tout d'abord d'étudier une onde électromagnétique dans une fibre optique dont l'indice varie légèrement avec le rayon. Ensuite, les questions portent sur un milieu stratifié, c'est-à-dire dont l'indice varie selon une seule direction. On cherche à montrer que l'onde a localement la structure d'une onde plane. Enfin, la dernière partie porte sur l'analyse de l'équation de Schrödinger dans l'approximation semi-classique. · Le deuxième sujet porte sur un simulateur de conduite de véhicule à deux roues. L'étude cinématique est assez ardue et nécessite une bonne compréhension des trois pages consacrées à la description du système. La fin du sujet présente différents aspects de l'asservissement en position du simulateur. Il s'agit plus ici de questions de compréhension que de longs calculs. Les deux sujets sont équilibrés en longueur et en durée compte tenu du temps nécessaire pour s'approprier la partie mécanique. La partie sciences physiques, bien qu'étiquetée électromagnétisme, reprend beaucoup de résultats de physique quantique et pouvait surprendre les candidats. Indications Partie I - 1 Simplifier le laplacien du vecteur E proposé par l'énoncé en utilisant les coordonnées cartésiennes. 3 La densité volumique d'énergie électrique est proportionnelle au carré de la norme du champ électrique. 4 Les équations étant analogues, déduire le résultat sur µ des propriétés de N, rappelées dans l'énoncé. De même, le mode fondamental du champ électrique E0 (x, y) est analogue à celui de la fonction d'onde 0 (x, y). 5 Pour que l'onde se propage, il faut que son nombre d'onde soit réel. 6 Utiliser la définition de µ et sa positivité pour obtenir la propriété sur la vitesse de phase. Pour exprimer la vitesse de groupe, négliger q0 devant 1/a, comme l'indique l'énoncé. 7 Calculer le gradient et comparer chacun de ses termes avec q0 2 , sachant que r < R a et 1/a q0 . 8 Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday. 12 Développer A(z) et S(z) à l'ordre 1 en z et, à l'échelle de , négliger les variations de A(z). 13 Simplifier l'équation de Maxwell-Faraday en utilisant la forme de E proposée. 15 Réécrire l'équation (10) avec 0 (x) et 1 (x) et ne conserver que les termes de plus bas degrés en ~. Partie II 17 Utiliser les schémas de la figure (5) dans le cas d'un roulis pur puis d'un lacet pur, sans tangage. 21 Le produit mixte est invariant par permutation circulaire de ses membres : - - - - - -c - a b ·- c = a · b = b - c · a 24 Le théorème de la valeur finale avec une entrée en échelon conduit au résultat. 25 Considérer que le dépassement du filtre complet vaut P . 27 Dériver la position h(t). On rappelle les définitions des fonctions hyperboliques : cosh a = exp(a) + exp(-a) 2 et sinh a = exp(a) - exp(-a) 2 1. Propagation dans les milieux non homogènes 1 Pour établir l'équation scalaire de propagation de E(x, y), exprimons tout d'abord le laplacien du champ électrique : - - - - 2 E 2 E 2 E E = + + x2 y 2 z 2 2 E 2E 2 = exp[j(z - t)] + exp[j(z - t)] - E exp[j(z - t)] yb x2 y 2 Ainsi, l'équation vectorielle (6) devient, en éliminant le terme exponentiel, 2E 2E x2 + y 2 2 2 2 + + n0 k0 1 - - E=0 x2 y 2 a2 Or, avec = (q0 /a) et de même x et = (q0 /a) y, on a q 12 E E E 0 = = soit x x a E E q0 12 E = = soit y y a 2E q0 2 E = 2 x a 2 2E q0 2 E = y 2 a 2 Posons alors q0 = n0 k0 et µ = (q0 2 - 2 )a/q0 pour obtenir successivement 2E 2E x2 + y 2 2 2 2 0= + + n0 k0 1 - - E x2 y 2 a2 q0 2 E q0 2 E a 2 + 2 2 2 = + + q 1 - - E 0 a 2 a 2 q0 a2 i q0 2 E q0 2 E h 2 q0 2 2 2 = + + q - - ( + ) E 0 a 2 a 2 a 2E 2E a 2 2 2 2 = + + (q - ) - ( + ) E 0 2 2 q0 et enfin 0= 2E 2E + + µ - ( 2 + 2 ) E 2 2 2 La constante de Planck réduite ~ a la dimension d'une énergie multipliée par un temps, comme l'indique la relation E = h = ~ On retrouve la dimension de l'énergie avec la relation qui donne l'énergie cinétique : "r Par conséquent, r [E] = [mv 2 /2] = M · L2 · T-2 # m M · T-1 = = L-1 ~ M · L2 · T-1 m a la dimension de l'inverse d'une longueur. ~ p Remarquons que q0 /a a également la dimension de l'inverse d'une longueur. Les variables réduites (, ) et (u, v) sont ainsi effectivement adimensionnées. Réécrivons l'équation de Schrödinger stationnaire d'un oscillateur harmonique en utilisant les variables réduites proposées : ~2 1 2 2 2 + m x + y EN = - 2m 2 ~2 1 2 2 2 + m x + y d'où (N + 1) ~ = - 2m 2 Rassemblons tous les termes dans le membre de droite : ~2 1 0= + (N + 1)~ - m 2 x2 + y 2 2m 2 2 2 2 i ~ ~ h m 2 = + + 2(N + 1) - x + y2 2 2 2m x y 2 ~ 2 2 ~ ~ + + 2(N + 1) - (u2 + v 2 ) = 2 2 2 u v 2 0= 2 2 + + 2(N + 1) - (u2 + v 2 ) 2 2 u v On retrouve une équation analogue à celle obtenue à la question 1. 3 La condition de normalisation du champ électrique traduit la constance de la densité linéique d'énergie électrique sur une section de fibre perpendiculaire à la direction de propagation. En effet, la densité volumique d'énergie électrique est proportionnelle au carré de la norme du champ électrique. La relation de normalisation correspond à l'intégration de cette densité volumique sur une section droite de la fibre. La normalisation traduit une énergie électrique finie. Le champ électrique s'exprime en V · m-1 donc V s'exprime en volt. 4 Puisque l'équation portant sur la fonction d'onde (x, y) est analogue à celle qui porte sur l'amplitude E(x, y), ses résultats lui sont transposables, à condition de remplacer µ par 2(N + 1). Or,N > 0 implique 2(N + 1) > 2 donc µ N\{0, 1} Le mode fondamental de propagation correspond ainsi à µ = 2. En procédant par analogie en remplaçant m/~ par q0 /a dans la fonction d'onde 0 , on obtient, à une constante multiplicative C près, h q i 0 E0 (x, y) = C exp - x2 + y 2 2a Le mode de propagation fondamental est bien gaussien. 5 Pour que la propagation soit possible, il faut que la constante de propagation soit réelle non nulle donc que 2 > 0, ce qui impose q0 q0 2 - µ >0 a µ donc q0 = n0 > c a µc et > c = a n0 Cette relation conduit à l'inégalité suivante