X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2014

Thème de l'épreuve À propos de l'émission de lumière
Principaux outils utilisés électrocinétique, physique des lasers, diffusion
Mots clefs photoluminescence, détection synchrone, conversion analogique numérique, semi-conducteurs, traitement du signal, conversion numérique analogique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR -- (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** A propos de l'émission de lumière Présentation L'objet de ce problème est une étude de la photoluminescence, qui est la radiation émise, en plus de l'émission thermique, par un système physique soumis a une excitation optique. L'excitation optique proviendra ici d'un laser fonctionnant en régime continu, de longueur d'onde dans le vide ÀO : --, où V0 est la fréquence du rayonnement et c est la célérité de la lumière ; l'énergie y d'un photon (constituant élémentaire du rayonnement) est EO : hy0, où h est la constante de Planck. Le système physique considéré ici est un semi--conducteur, qui, pour l'eoecitation, est modélisé par un système électronique a deux niveaux, dont la différence d'énergie, notée Eg, est nommée largeur de bande interdite; cela signifie, d'une part que l'énergie minimale a fournir a un électron pour son excitation est Eg, d'autre part que les mécanismes considérés seront strictement électroniques; les noyaux n'y interviendront donc pas explicitement. On pose que, a l'équilibre thermodynamique, le niveau haut contient des électrons en densité volumique uniforme no et le niveau bas contient des places libres en densité volumique uniforme pg, que l'on nommera trous. On admettra que les trous se comportent comme des particules fictives de charge positive qui rendent compte des places laissées vacantes par les électrons. La Figure 1 montre comment les divers processus conduisant de l'excitation a la photoluminescence, peuvent être décomposés. ("O) @ h V0 " h V /\/\I /\/V (190) @ . . Génération de Divers Émission et Exc1tat10n , . , . porteurs de charge mecamsmes detect10n FIGURE ] -- De l'eoecitation a la détection : le photon absorbé, d'énergie hm, (Excitation) crée une paire électron-trou (Génération de porteurs de charge) qui, après quelques péripéties (Divers mécanismes) se recombine en émettant un photon d'énergie hu < hV0 (Emission et détection). -- Chaque photon d'énergie hu0 est absorbé en créant dans le matériau une paire électron--trou excédentaire par rapport à l'équilibre thermodynamique. -- Cette paire électron--trou se recombine selon divers processus; certains de ces processus, dits radiatifs, donnent lieu a une émission de lumière. -- Le rayonnement de photoluminescence, d'énergie hu < Eg est partiellement réabsorbé a l'intérieur du matériau avant de sortir de ce dernier. Il est ensuite détecté et analysé. La Figure 2 schématise la configuration expérimentale standard et montre un spectre de photolumi-- nescence à basse température; chaque raie est associée à un processus caractéristique du matériau. "[" = 4 [{ a.u. : unités arbitraires lv ». . I 1512 1.513 1-514 1.515- 1.51E phûtùn enagy ïeU} ., .sî phalfilumM--EEEEHOE (a u} FIGURE 2 -- À gauche : Divers fluoe optiques (décalés verticalement pour une meilleure lisibilité) : le laser ercitateur (F,-), partiellement réfléchi (Fr), pénètre dans le matériau (Ft) et y crée des paires électron-trou qui, en se recombinant, émettent de la lumière; on détecte le signal de photo-- luminescence (FP/;) émis par la face avant de l'échantillon ; dans le modèle de ce problème, tous les faisceauoe se propagent le long du même are, de vecteur unitaire u}. À droite : Photolumi-- nescence d'un échantillon de GaAs. L'abscisse est en électron volt; d'après Ulbrich et Weisbuch, http .//www. sciencedirect. com/scienee/article/pii/SÛÛQQQ3] 399001 94 5. 1 Partie I : production du signal Le faisceau excitateur, qui provient d'un laser Hélium--Néon, pénètre en a: = 0 dans le matériau, où il est absorbé au fur et a mesure de sa propagation dans le demi--espace illimité 313 > 0; en raison de cette absorption, l'intensité lumineuse n'est pas uniforme dans l'échantillon et il en va donc de même des concentrations de porteurs de charge. À l'abscisse a: et au temps t, les concentrations locales d'électrons et de trous sont notées respectivement n* = no + n(oe,t) et p* : po + p(oe,t). Conformément aux schémas de la Figure 1, n(oe,t) : p(oe,t). On note N la densité de photons (nombre de photons par unité de volume; la densité volumique d'énergie est donc U (hu) : N (hu)) et F le flux de photons (nombre de photons traversant l'unité de surface dans l'unité de temps) ; ce sont des fonctions de a: et de t : (a:,t) |--> N(oe,t) et F(a:, t) . Notations et valeurs numériques Caractéristiques du laser Symbole Valeur Longueur d'onde À0 0, 6 mn Puissance PO 5 mW Section droite du faisceau o 1000 (um)2 1.1 Caractéristiques du matériau (GaAs) Symbole Valeur Largeur de bande interdite E9 1, 52 eV Coefficient d'absorption a À0 6 105 cm--1 Coefficient de réflexion a À0 ?" 0,2 Caractérisation de l'excitation . Calculer la densité surfacique de puissance de l'excitation et la densité surfacique de puissance correspondant au rayonnement du corps noir a 4K . La valeur numérique de la constante de Stefan est oSt % 5, 7 >< 10_8 W - m_2 - K _4. Montrer que, au vu de ces résultats et sous des hypothèses plausibles, il est légitime de négliger l'émission thermique devant la photoluminescence. C'est ce que nous ferons dans la suite. Exprimer le flux énergétique 3 en fonction de F, bug et du vecteur unitaire Ü... normal a la face d'entrée de l'échantillon et dirigé vers l'intérieur (voir Figure 2). L'identité de Poynting pour le rayonnement électromagnétique dans un milieu isolant s'écrit @ E2 32 É /\ (avec les notations standard) -- 60-- + -- + div 315 2 ZA... #0 termes du membre de gauche et en déduire une relation différentielle entre F (a:, t) et N (a:, t). ) = O. lnterpréter chacun des Génération de porteurs Vérifier que l'onde laser est effectivement susceptible de créer des paires électron--trou. La hc relation hu : î se traduit numériquement par (hu)eV : 1, 24/(À),... (1 eV % 1, 6 >< 10_19 J). Le coefficient d'absorption du faisceau excitateur est le taux de déclin de F en régime sta-- 1 dF tionnaire, dans la direction de propagation : 6 = ----d--. En supposant la section droite a: o constante, exprimer F (a:) a l'intérieur de l'échantillon en fonction de PO, a, bug, 6 et 7". On notera F0 : F (O_) le flux à l'extérieur de l'échantillon. Comment pourrait--on définir une profondeur de pénétration des photons dans le matériau ? F Quelle devrait être, en centimètre, l'épaisseur D d'un échantillon pour que F ((O+)) : 10_3 ? En considérant un bilan entre flux photonique excitateur et création de paires électron--trou dans l'intervalle a:, a: + da: entre les instants t et t + dt, montrer que le taux de génération d'électrons photoexcités par le laser (taux de génération eoeterne) est Fo Ge = fi(1 -- 7")h--V0 exp(--fiæ) = Go exp(--fiæ)- (1) La relation (1), qui définit Gg, entraînerait une augmentation linéaire de n avec le temps; le régime stationnaire n'est possible que si un processus de désexcitation limite cette croissance. Déduire de la relation (1) que, NT désignant la quantité totale de paires photocréées dans l'échantillon, on a dNT _ GQO' Ê_ @- <2) 1.3 Temps de vie des porteurs 9. Le bilan algébrique de génération-recombinaison (gr) de paires est caractérisé par la relation n* 3 * phénoménologique ( ) = ( p ) : --B (n*p* -- nopo), qui définit la constante Ôt g_,,, 315 g_,,, positive B. Quelle est la dimension de B ? 1 1 dn 10. On définit T(n) par fi : __OE° Expliquer pourquoi, si l'excitation est, dans un sens que 7' n n l'on précisera, suffisamment faible (approximation des petits signaux, ou linéaire), T(n) peut être considéré comme indépendant de n. Dans toute la suite, on supposera que T(n) : "7", indépendant de n; justifier qu'on le nomme dans ce cas temps de ...le. 1.4 Diffusion de porteurs Les électrons et les trous photocréés diffusent a partir de l'endroit où ils ont été produits; leur concentration est donc différente du profil d'intensité de la lumière dans le matériau. On ne s'intéresse dans ce qui suit qu'à la diffusion des électrons, en admettant que la densité locale de courant de diffusion, J (A - m_2), est proportionnelle à chaque instant au gradient de concentration, selon Ôn la relation J : --qDÔ--. Dans cette relation le coefiîcz'ent de difiusz'on, D, est lié a la mobilité 55 [EUR T ,a par la relation par la relation d'Einstein D = La, où kB est la constante de Boltzmann Q (kB : 1, 38 >< 10_23J - K_1). La mobilité ,a d'une particule est définie par 17 : ,uÊ, où 17 est la vitesse moyenne acquise par cette particule sous l'action d'un champ électrique E. Notations, valeurs numériques et relations de base pour les électrons Caractéristique Symbole Valeur Charge q = --c --1, 6 >< 10_19 C Mobilité ,u --0, 9 rn2 - V_1 - s--1 Temps de vie 7' 0,3 - 10_9 s 11. En effectuant un bilan du nombre d'électrons photocréés, établir l'équation de diffusion Ôn 8271 n --=D------+Gex --a:. 3 815 Ôoe2 T 0 p( 5 ) ( ) 12. Résoudre l'équation (3) lorsque le régime est stationnaire, en introduisant la longueur de diffusion L = \/ DT. Une constante d'intégration se détermine en exprimant la continuité du courant de diffusion en a: = 0, ou en remarquant que chaque photon crée une paire électron--trou et en utilisant la relation (2) : établir l'expression n<æ> = % lfiL exp (--Î) -- exp<--fiæ>l . (4) 13. Calculer les valeurs numériques de L, 6--1 et de \/E (rappel : T = 4, 2 K). Justifier que l'on préfère généralement détecter la luminescence sortant par la face avant de l'échantillon, plutôt que celle qui émergerait par la face arrière. Les valeurs numériques justifient--elles le modèle unidimensionnel de cette étude ? 1.5 Recombinaison en surface Les propriétés de surface et de volume des matériaux ne sont pas les mêmes. En particulier, les propriétés de recombinaison en surface et au coeur du semi--conducteur diffèrent. Un modèle phénoménologique, dû a Shockley, caractérise ce phénomène en termes d'un coefficient S tel que a la surface de l'échantillon, et en raison de recombinaisons non radiatives en surface, le courant de diffusion dans un matériau où pg >> no, dirigé vers la surface de l'échantillon et discontinu en a: = O, vérifie la relation î : (O) = --q S n(0) u_æ> , où S est une constante positive et uÎË le vecteur défini a la question 2 et représenté dans la partie gauche de la Figure 2. On a donc maintenant --qD (Ê_Ï)OE=O = --an<0>. (5) 14. Quelle est la dimension de S ? 15. Interpréter la relation (5) en termes de source surfacique de recombinaison non radiative. 16. Exprimer la solution de l'équation stationnaire de diffusion (3) en introduisant la vitesse de recombinaison réduite EUR = ST / L. Retrouver la relation (4) pour EUR = O. n 17. Discuter l'allure des courbes n(a:), préciser en particulier n(O), (ci--) et l'abscisse du SC oe-O maximum de n selon les valeurs de EUR pour 0 $ EUR < oo. 1.6 Réabsorption de la lumière émise Avant d'être détectés a l'extérieur de l'échantillon, les photons émis dans le matériau parcourent une certaine distance jusqu'à la surface, en étant partiellement réabsorbés pendant leur propagation. Une conséquence de cette réabsorption est que le spectre détecté peut avoir une forme différente des raies d'émission dans le matériau (on admet cependant que cette réabsorption n'altère pas le profil des porteurs photocréés). Si le coefficient d'absorption donne des indications directes sur les phénomènes électroniques dans le matériau, sa mesure directe est difficile pour les transitions intenses (voir question 6). Les considérations ci--dessous visent a contourner cette difficulté expérimentale. 18. On note 04 le coefficient d'absorption correspondant à l'énergie hu. Montrer que le flux de photons OO générés dans l'échantillon à l'énergie hu est proportionnel à la quantité / n(a:) exp(--ozoe) ClSC. 0 19. La considération de l'équilibre thermodynamique du matériau et du rayonnement montre que, ] désignant une quantité proportionnelle a la puissance optique détectée, hu [(hu) oc (hu)3a(hy) exp (--ÎÇB--T) /ÛOO n(a:) exp(--ozoe) da:. (6) h Considérer le produit A(hu) : [(hu) exp (lg--VT) et montrer que, pour les faibles coefficients B d'absorption, dans un sens a préciser, en se référant à l'expression trouvée pour n(a:) a la question 16, A(hu) reproduit avec une bonne approximation la forme du coefficient d'absorption d'une raie suffisamment fine. 20. La Figure 3 montre quelques spectres d'intensité de photoluminescence et les fonctions A qui s'en déduisent, réputées ici représenter le spectre d'absorption et donc l'intensité des transitions dans le matériau; commenter ces figures, en indiquant les éventuelles erreurs d'interprétation associées a une lecture directe des spectres de photoluminescence. 11.21. A(yh V) .............. A(hv) : I(h v) exp(hv/IaT)lu ' 11 v h v FIGURE 3 -- Trois eæemples de traitement de spectre. Les courbes sont recalibrées et données en unité arbitraires (u.a.) Les courbes en pointillés sont des spectres typiques de photoluminescence et les courbes en trait plein les fonction A(fw). 2 Partie II : détection du signal La lumière sortant par la face avant de l'échantillon est envoyée dans un monochromateur, qui sélectionne en sortie la gamme la plus étroite possible de longueurs d'onde au voisinage d'une longueur d'onde donnée, À. Cette longueur d'onde est déterminée par la position angulaire d'un système dispersif, H(t), laquelle varie lentement dans le temps. Après détection, le signal est donc représenté par une tension lentement variable, s(t), d'où l'on déduit facilement l'intensité émise a une longueur d'onde donnée, I(À). La détection directe de ce signal présente des inconvénients, aux premiers rangs desquels on peut citer le bruit et la dérive des divers appareils. Le signal doit donc être traité. 2.1 Détection synchrone (analogique) 2.1.1 Principe de la détection synchrone La détection synchrone pallie partiellement ces problèmes. Dans cette méthode, le phénomène physique représenté par s(t) est modulé sinusoïdalement en amplitude a la fréquence angulaire wo choisie de telle manière que 3 peut être considéré comme constant sur la durée TO : 27r/w0 ; le signal de sortie s'exprime alors par S (t) = F s(t) cos(wot) + b(t), où F est un réel positif et b(t) est un bruit. Pour extraire s de S, on produit électroniquement le produit P(t) : S (t) cos(wot -- go), où go est le déphasage accordable d'un générateur pilote. Le signal P traverse ensuite un filtre sélectif, qui donne t en sortie le signal rn (t, T,) = / P(u) du. t--T, S(t) P(t} : Sortie s[tj + bruit I _ P(_u)da --* ":." F cos{ OEüf,l cos(oeÛ: -- çzr) FIGURE 4 -- Schématisation d'un détecteur synchrone. 21. Justifier qualitativement que, dans un domaine fréquentiel donné, l'on puisse assimiler un filtre passe--bas a un intégrateur. Exprimer rn (t, T,) sous forme de la somme de deux intégrales, l'une faisant intervenir s(t) et l'autre, notée B (t), faisant intervenir b(t); on rappelle la relation 1 cospcos q = 5 [cos(p + q) + cos(p -- q)]. Que peut--on dire de B (t, T,) ? 22. La figure 5 représente les spectres fréquentiels de s(t), du bruit b(t) et de S (t) Représenter qualitativement les spectres fréquentiels du signal après passage dans le filtre sélectif puis après l'intégrateur. |A...«;(æ)| " | AS((O) | .*-- Sigm1 [\ [\ | | \ --w...--.Ql 'l--(oU+Q (oO--Q ,! '. am+Q .* « " ; \l.'.../ \.../ _Q_/VOVLQ --(00 0 (ou (b Bruit V 00 FIGURE 5 -- Le spectre fréquentiel d'un signal u(t) est défini par A(w) : / u(t) exp(iwt) dt. Le --00 module du spectre de s, [As(w)l, est représenté à gauche; on lui a donné une forme symétrique sur la bande étroite, centrée en 0, [--Q, Q]. Le spectre du bruit est « plat ». La figure de droite représente le spectre de la partie utile de S(t) : le bruit n'y est pas représenté. 23. Quel compromis réaliser sur T,- pour que m (t,T,) reproduise le plus fidèlement possible la forme de s(t) ? Exprimer m (t, T,) dans ces conditions, en fonction de F, s(t) et go, en supposant B (t, T,) négligeable. Comment choisir go ? 2.1.2 Réalisation d'une détection synchrone Pratiquement, la modulation est réalisée en utilisant un hacheur mécanique, tel que la roue ajourée représentée Figure 6, interposée entre le laser et l'échantillon. . l\ Largeur max1male des ouvertures u(t) Dai) Q>Oâ : : : To --H t Ajustement et largeur des ouvertures ...q _(_'1 -4 FIGURE 6 -- La roue du modulateur mécanique est percée de p quadrants identiques régulièrement répartis et de largeur ajustable; une photodiode et un photorécepteur placés de part et d'autre de cette roue produisent le signal rectangulaire de référence, symbolisé dans la partie droite de la figure. Si cor 7T 27r est la vitesse angulaire de rotation, on note TO : = --. pwr QO Ce dispositif permet d'obtenir électriquement le signal rectangulaire périodique u(t), nommé signal de 00 'ÏL £ (_1) cos {27r (2n + 1) i} . 7T n=O 2n --|-- 1 T 0 Le signal de photoluminescence s, d'amplitude positive, est ainsi haché périodiquement, avec une période TO. On note S (t) le produit (obtenu électroniquement) du signal périodique u et du signal 3, porteur de l'information a traiter. La démodulation consiste à extraire ce dernier de S . référence dont la décomposition en série de Fourier est u(t) : 24. Montrer que tout se passe comme si le signal 3 était modulé par une infinité de porteuses sinusoïdales, dont on donnera les fréquences respectives. 277%(J'OE) 25. Quelle est la nature du filtre de transmittance complexe fi ( jar) : A _ 2 _ , 1 --l-- (327) --l-- 2m(goe) oùA / ° . w / / 0 a . et rn sont reels pos1t1fs et a: = -- une frequence redu1te ? Esqu1sser, pour rn < 1, le d1agramme wc de Bode, en amplitude et en phase, de cette transmittance. % FIGURE 7 -- Filtre de Sallen-Kay. L'AO, supposé parfait, fonctionne en régime linéaire. La transmit- Vs jRCC«J \ R1 ==K _ _ 2,ouK=1--l----. & 1+ (3--K)3RCw+ (3R0w) R2 tance est alors fi(jw) = 26. La transmittance complexe du Filtre de Sallen--Kay de la Figure 7 est du type de celui de la 1 question 25. Exprimer A, Q = 2-- et wc en fonction des composants R1, R2, R et C de ce filtre. rn 27. Le filtre de la Figure 7 est alimenté par le signal rectangulaire représenté dans la partie droite de la Figure 6. Comment choisir les composants pour une utilisation optimale du filtre ? 2.2 Échantillonneur bloqueur (numérique) Un signal numérique est moins sensible aux perturbations qu'un signal analogique et surtout, il se prête bien plus facilement au traitement (numérique !). Pour ces raisons, on choisit de convertir le signal analogique issu du détecteur en signal numérique binaire. La chaîne de transmission des données est représentée Figure 8. @-- Ûaptt"r " CAN Traitement CNA _ Utilisatinn analugmue -- _ FIGURE 8 -- Chaine de traitement de signal. CAN : Convertisseur Analogique Numérique. La boite Capteur analogique peut contenir des éléments de traitement analogique. 2.2. 1 Échantillonnage La conversion analogique numérique commence par l'échantillonnage, transformation du signal continu analogique en signal discontinu. L'élément réalisant cette transformation (Figure 9) est essentiellement un interrupteur commandé par une tension périodique e(t) de fréquence FEUR : 1/TEUR (T8 est la période de fermeture de l'interrupteur). La durée de fermeture est très petite devant T6. Le signal de commande e(t) est modélisé par une suite périodique de pics d'amplitude constante et de largeur temporelle & très petite devant TEUR (voir Figure 10) ; le pic centré sur l'instant t : nTEUR 00 étant noté 5 (t -- nTe), la tension de commande s'exprime alors par e(t) : Z 5 (t -- nTe). n-O 28. Exprimer la tension de sortie ue(t). EUR(t) V Ru i--/ E l i [Fe] ° © . i V(t) E FIGURE 9 -- Principe d'un échantillonneur; le commutateur KC est un multiplieur commandé de gain KO entre e(t) et le signal V(t). Le circuit d'utilisation est modélisé par la résistance Ru. " V(t) ve(t) Signal .. numérisé t: t: A {l .............................................. e(t) % , _____ %Â1W\ JllΣ ll _)Lg deux ics consécutifs ll|llll||lllllllg||g|lll||r ' ll l .L , ""'" nTe (n + l)Te FIGURE 10 -- Échantillonnage. Le cartouche en haut a droite donne l'allure de ue(t), tension aux bornes de Ru ; l'allure de la courbe originale est préservée, mais le pointé du sommet est imprécis. Le convertisseur analogique numérique doit conserver (bloquer) la valeur a convertir pendant le temps nécessaire a cette conversion. On transforme pour cela le circuit de la Figure 9 en circuit de mémorisation formant ainsi un échantillonneur bloqueur. Le schéma électrique de principe du dispositif est représenté sur dans la partie gauche de la Figure 11. TDM @ K v(t) C :: vu(t) Ru W , % / FIGURE 1] -- À gauche : Échantillonneur bloqueur; la résistance Ru modélise le circuit d'utilisation. A droite : Echantillonneur blogueur avec AO parfait. La résistance R représente l'ensemble des résistances en amont, lorsque l'interrupteur est fermé. 29. En position fermée, la résistance de sortie du générateur fournissant la tension V(t) (à laquelle s'ajoute celle de l'interrupteur de commande) est assimilable a une résistance de valeur RS. Donner l'expression du temps au bout duquel la tension aux bornes du condensateur atteint 95% de sa valeur limite, supposée constante pendant la charge. 30. Que se passe--t--il lorsque l'interrupteur K bascule en position ouverte ? 31. 32. 2.3 Quel est l'intérêt d'intercaler entre la charge Ru et l'échantillonneur bloqueur un étage à Amplificateur Opérationnel (AO), tel que représenté dans la partie droite de la Figure 11 ? Représenter l'allure du signal obtenu à la sortie de l'échantillonneur bloqueur. On notera ta le temps d'acquisition et th le temps de maintien de la charge du condensateur. Restitution du signal après traitement On suppose a présent disposer du signal traité numériquement, que l'on veut remettre sous forme analogique. Le Convertisseur Numérique Analogique (CNA) réalise cette opération. Le principe d'un CNA est représenté Figure 12; les impédances des divers générateurs e;.EUR sont nulles. FIGURE 12 -- Un CNA dit a échelle comprend autant de sources qu'il y a de bits dans le signal numérique; par convention, l'état de fermeture d'une commutateur (borne reliée au générateur de tension) correspond a la valeur binaire ek : 1 du générateur correspondant et l'état d 'ouuerture (borne reliée à la masse} a la valeur ek : 0. Le circuit à A0 dans le cadre en pointillés fournit en sortie la grandeur analogique étudiée. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. Quelle est la résistance de l'ensemble du circuit a la droite du point A1 de la figure 12 ? En déduire que le courant immédiatement a droite de ce point est égal au i1 de la figure 12. Toujours avec les notations de la figure 12, montrer que . Vref 60 61 en_1 en 28: R (2--otz--1+"'+zn--ltz--n)- ") Quel est, écrit en base 2, le nombre représenté en base 10 dans la relation 7? Quelle doit--être la valeur minimale de n si l'on veut obtenir au moins 250 valeurs différentes de la tension de sortie ? Quelle est la fonction du circuit encadré en pointillés dans la Figure 12 ? Le signal analogique de sortie reste, en réalité, quantifié (Figure 13). Par quel genre de traitement électronique pourrait-on, a partir de ce signal constant par morceaux, obtenir une courbe continûment dérivable ? 10 Vsa(t) 1 1 1 110 101 100 011 010 001 t FIGURE 13 -- Un eæemple de conversion pour n = 3 du spectre de la Figure 10. On obtient en sortie le signal constant par morceaur représenté en trait gras. Cet discrétisation est caricaturalement fruste : on perd a priori la structure a deuæ bosses de l'original, représenté en pointillés. 2.4 Quelques aspects pratiques 2.4.1 Bruit de quantification La quantification linéaire par défaut réalise la codification du signal e(t) EUR [ng ; (n + 1)q] l--> ng. La quantité 6 : e(t) -- ng est supposée être uniformément répartie entre 0 et g : 0 S EUR < g. Tout se passe donc comme si l'on substituait au signal e le signal ng + &, somme du signal déterministe ng et d'un signal aléatoire, d'où le nom de bruit de quantification donné a e. La valeur moyenne d'une _ 1 q _ 2 fonction F(e) est par définition ici F = -- / F(e)de; l'écart type 0 est donné par 02 = (F -- F) . Q 0 40. Après avoir vérifié le résultat évident EUR = q / 2, calculer l'écart--type de e 41. Dans la quantification linéaire centrée, on codifie par e(t) EUR [(2n -- 1)q/2 ; (2n + 1)q/2] l--> ng; le bruit de quantification est uniformément réparti entre --q/ 2 et q/ 2. Calculer la valeur moyenne et l'écart type du bruit de quantification. 42. Lequel de ces deux modes de quantification vous apparait--il plus avantageux que l'autre ? 2.4.2 Bruits d'origine physique Il ne saurait y avoir de signal sans fluctuations aléatoires, que l'on nomme bruit. La valeur moyenne de ce bruit est nulle ; son écart type ne l'est pas. Un filtre passe bas (ou un passe--bande) a pour effet de couper les hautes fréquences, éliminant une partie du bruit et diminuant sa valeur efficace. Il est donc nécessaire d'indiquer la bande passante d'analyse du signal. Un concept utile de ce point de vue est la 00 bande passante équivalente, Beg, d'un filtre de transmittance fi ( jw) : Beq : 1 fi ( jw)12 dau, 27T1fiM12 /0 où lfiMl est le maximum de \fil ; voir Figure 14. 43. Interpréter le sens physique de Beg. 1 1 + jwr' °° a:2 da: 71" 45. Sachant que / 2 = --, calculer Beq pour le filtre de Sallen--Kay de la 0 (1 -- 372) + 4rn2a:2 4rn question 25. Pour rn << 1, comparer Beq a la largeur a mi hauteur de ce filtre. 44. Calculer Beq pour fi(jw) : Le détecteur de lumière est un photomultiplicateur (Figure 15) dont la surface sensible (cathode), lorsqu'elle est éclairée, libère des électrons ; ces électrons, constituant un courant, (valeur typique pour 11 h..--o--..-...-.----- ---------- [ A A A A 1 : 3 --' 5 Ù Ü Ü.5 l.Ü ] ." FIGURE 14 -- Bandes passantes équivalentes : a gauche d'un filtre passe bas, a droite d'un filtre passe bande. Les graduations des ares sont linéaires. un signal de photolumineseenee : i K % 10_12 A) sont focalisés par un dispositif d'optique électronique sur des plaques multiplicatrices d'électrons (dynodes) : le gain G de la chaîne est de l'ordre de 106, de sorte que le courant de signal au niveau de l'anode (iA % Gi K = 10_6 A) est finalement recueilli sur une résistance de charge (Ra oe 103 Q). La tension aux bornes de cette résistance est ainsi e % 1mV. Ü}-'nudes I'llllli-'Ùnl |"r "------- "ll % --"'/?\ ä -!'- {T:-' H '-- ..-ç=" _ * . ."=ËË \\ ML ï & l:lff_ Enrtie ' ES . .L: . |||. # H ;.- r "= " =|-* r:|.__ E _ | | . l=l "' . J ._ + _ * Fhfltüûflï.hüdü FIGURE 15 -- Photomultiplicateur. Un photoélectron arraché de la cathode photosensible est démultiplié par une batterie de dynodes polarisées. La résistance de charge Ra recueille le courant anodique d'électrons secondaires (ES). Source : wikimedia.org/wiki/File :Photomultiplier schema de.png. En réalité, s'ajoutent à cette dernière tension un certain nombre de signaux de bruit, parmi lesquels : d'une part un bruit dit de scintillation, isc, qui existe en l'absence de signal et qui est dû a des émissions d'électrons << dans le noir >> : isc : G (2eidBeq)1/2, où id oe 10--15A, d'autre part une tension aléatoire aux bornes de la résistance de charge, VJ : (41EURngRaBEURq)1/2 (bruit de Johnson). 46. Vérifier l'homogénéité des relations de définition de iso et de VJ. 4lEUR3TBEURCI 1/2 ) , comparer isc et i J a la Ra 47. Le courant associé au bruit de Johnson étant i J = ( température ambiante. 48. Au signal de photocathode i K est associé le bruit ib : G (2eiKBeq)1/2. Calculer le rapport Signal _ i K - _ . . . 1 2 BN...  / donnant une valeur raisonnable de Beg. et commenter le résultat obtenu, en se signal sur bruit défini par 12

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 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2014 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) ; il a été relu par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Le thème de ce sujet est la photoluminescence et le traitement du signal spécifique qui lui est appliqué. Rappelons que la photoluminescence est l'émission de lumière par un dispositif préalablement excité, ce dernier pouvant revêtir plusieurs formes. Ici, l'excitation est réalisée par un rayon laser. La photoluminescence se décompose en fluorescence et phosphorescence, selon le délai entre excitation et réémission. Deux grandes parties sont proposées. · La partie 1 cherche à quantifier le nombre de photons réémis. Si elle aborde la théorie des semi-conducteurs, aucune notion dans ce domaine n'est supposé connue. Il s'agit de savoir faire des bilans de particules, en utilisant les résultats habituels du cours sur la diffusion, et de raisonner par homogénéité. Cette partie est assez peu classique et teste le sens physique. · Dans la partie 2, on s'intéresse au traitement du signal, étudié en trois sousparties. Tout d'abord, on considère un dispositif de détection synchrone, dont le but est de distinguer le signal du bruit, par un traitement analogique. Ensuite, on travaille sur un traitement numérique du signal : conversion analogiquenumérique par échantillonneur-bloqueur puis conversion numérique-analogique par réseau R-2R. Enfin, le sujet s'achève sur la comparaison de différentes sources de bruit. En dépit de quelques modélisations hasardeuses, cette partie est abordable. Ce sujet est assez atypique. La partie physique reste limitée et s'attache surtout aux principes les plus simples. Elle évalue essentiellement le sens physique et la capacité de compréhension. La deuxième partie ne relève pas des sciences de l'ingénieur mais plutôt de la physique appliquée. Les questions y sont relativement bien guidées, mais certaines sont mal posées ou comportent des erreurs. À l'exception des questions faisant appel à un amplificateur opérationnel, ce sujet est conforme à l'esprit (et au contenu) du programme en vigueur depuis la rentrée 2014. Indications Partie 1 4 Se demander si les photons incidents ont une énergie supérieure à la largeur de bande interdite. 5 Supposer constant, résoudre l'équation différentielle constituée par sa définition. 7 Considérer l'évolution des photons qui entrent dans un volume infinitésimal. Le nombre de paires électrons-trous créés par unité de temps est égal au taux de génération d'électrons photoexcités. Erreur d'énoncé : le facteur 1/h0 ne devrait pas être présent dans l'expression (1). 10 Simplifier l'expression fournie à la question 9 en supposant n n0 + p0 . 11 La variation du nombre d'électrons dans un volume infinitésimal résulte de l'entrée et de la sortie d'électrons par diffusion, de la génération et des recombinaisons. 14 Le coefficient de diffusion a la dimension d'une surface par unité de temps. 16 Le flux n'est plus continu en x = 0 : les électrons sont consommés en surface. 18 Raisonner de la même manière que dans la question 5 afin de calculer le flux élémentaire créé par une tranche infinitésimale de matériau. Sommer ensuite tous ces flux élémentaires au niveau du détecteur. 19 Utiliser l'expression de n(x) obtenue à la question 16. Partie 2 21 Pour obtenir une moyenne, on calcule une intégrale. 22 L'effet de la modulation est de répliquer les spectres autour de la porteuse. 25 Étudier le comportement asymptotique du module de la transmittance. 33 Éteindre les générateurs et partir du dernier noeud An pour calculer les résistances équivalentes. 35 Erreur d'énoncé : il manque un facteur 2 au dénominateur. Exprimer in en fonction de i0 puis utiliser la loi des noeuds à la borne moins de l'amplificateur opérationnel monté en additionneur. 43 Penser à la définition de la valeur efficace sous forme intégrale. 45 Pour calculer la largeur à mi-hauteur du filtre, utiliser le fait que l'amortissement est très faible (m 1) pour considérer la bande passante relative x très faible devant 1 et ainsi effectuer des développements limités. 1. Production du signal 1 Supposons que la puissance P0 émise par le laser se répartisse uniformément sur la section du faisceau. La densité surfacique de puissance de l'excitation vaut alors P0 = 5.106 W.m-2 La loi de Stefan-Boltzmann donne la valeur maximale de la densité surfacique de puissance PS émise par un corps noir porté à la température T : PS = St T4 = 1,5.10-5 W.m-2 Il est légitime de négliger l'émission thermique devant la photoluminescence. 2 Soit F le nombre de photons frappant la face d'entrée de l'échantillon par unité de temps. Chacun de ces photons porte l'énergie h0 . Le flux énergétique s'écrit alors - = F h 0 - u x 3 L'identité de Poynting est un bilan local de puissance électromagnétique. Le terme E2 B2 + 2 2µ0 est la densité volumique d'énergie électromagnétique dans le vide, milieu considéré ici, et s'exprime en J.m-3 . Notée U dans ce problème, elle vaut N h 0 . Sa dérivée est la densité volumique de puissance. Le vecteur de Poynting s'écrit, par définition, - - - EB R = µ0 Il s'agit du vecteur densité surfacique de puissance sortante. Sa norme s'exprime en - W.m-2 . Il est noté ici et a été exprimé à la question précédente. La divergence - div a pour unité des W.m-3 et représente la densité volumique de puissance sortant d'un volume élémentaire. D'après la question précédente, (F h 0 ) - div = x En remplaçant les termes de l'identité de Poynting, on aboutit alors à 0 (N h 0 ) (F h 0 ) + =0 t x et N F + =0 t x Cette relation traduit localement la conservation des charges. 4 Comparons l'énergie d'un photon incident à la largeur de bande interdite : (h 0 )eV = 2 eV > Eg = 1,52 eV Les photons ont suffisamment d'énergie pour promouvoir un électron du niveau bas au niveau haut, ce qui permet la création d'une paire électron-trou. 5 Supposons le coefficient d'absorption uniforme dans le matériau, ce que suggère l'énoncé en fixant sa valeur à 105 cm-1 . Par définition, =- d'où 1 dF d ln(F) =- F dx dx F(x) = F(0+ ) exp(- x) Le flux de photons juste après l'entrée dans le matériau est précisement F(0+ ). Par définition du coefficient de réflexion, si F0 = F(0- ) représente le flux de photons juste avant réflexion, F(0+ ) = (1 - r)F0 Comme la puissance incidente vaut P0 = F0 h 0 , F(x) = (1 - r)F0 exp(- x) Remplaçons F0 par son expression : F(x) = (1 - r) P0 exp(- x) h 0 La grandeur 1/ est homogène à une longueur et représente la profondeur caractéristique de pénétration des photons dans le matériau. 6 D'après ce qui précède, F(D) = exp(- D) = 10-3 F(0+ ) soit D= 3 ln 10 = 0,7 µm 7 Effectuons un bilan de photons dans un volume élémentaire dS dS sur un intervalle de temps dt. Les = F(x + dx, t) photons entrant en x peuvent soit F(x, t) = Ge sortir en x + dx, soit disparaître en créant une paire électron-trou. x x + dx Le flux de photons est noté F. Le taux de génération de paires électron-trou Ge correspond au nombre de photons absorbés par unité de volume et de temps. Dès lors, traduisons qu'une partie des photons qui entrent ressortent et que l'autre partie est absorbée : F(x) dS dt = F(x + dx) dS dt + Ge dx dS dt soit 0= F dx dS dt + Ge dx dS dt x d'où F + Ge = 0 x Or, F = - F = -(1 - r) F0 exp(- x) x et par conséquent Ge = F0 (1 - r) exp(- x) = G0 exp(- x) (1) Le facteur 1/h0 présent dans l'expression (1) fournie par l'énoncé est en trop. Sa présence rend cette expression inhomogène.