X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2013

Thème de l'épreuve Un transducteur électrodynamique: le haut-parleur
Principaux outils utilisés induction, électricité, optique ondulatoire, mécanismes, asservissements
Mots clefs haut-parleur, trancanneuse, passe-haut

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR -- (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Un transducteur électrodynamique : le haut--parleur Depuis son invention en 1925, le haut--parleur, qui est un transducteur électrodynamique, a subi peu de modifications fondamentales. Dans les années 70, des constructeurs ont cherché a améliorer son fonctionnement en y introduisant des asservissements destinés a corriger les défauts de restitution du son. Si les résultats techniques furent probants, la commercialisation en fut abandonnée, notamment pour des problèmes de coût. Aujourd'hui, la miniaturisation des capteurs pour appareils portables et l'exigence de qualité dans la reproduction du son suscitent un regain d'intérêt pour ces techniques. Ce problème s'intéresse a des modélisations du haut--parleur, de sa fabrication et des asservissements. Description et premières notations FIGURE 1 -- Vue en coupe et schéma de haut--parleur. 1 Membrane. 2 Suspension de centrage. 3 Bobine. 4 Saladier. 5 Aimant. 6 Suspension. 7 Cache-Poussière. Source : http ://autoson.fr/hp.php. Le haut-parleur électrodynamique (Figures 1 et 2) est principalement constitué d'un aimant permanent et d'une bobine mobile enroulée sur un cylindre en matériau isolant et assujettie a se déplacer dans la direction axiale, notée z. L'aimant, dont les pôles sont deux cylindres concentriques, génère une induction magnétique radiale Ë : Bu} (il} est le vecteur radial unitaire) de module uniforme au niveau du périmètre des spires de la bobine. Cette bobine est modélisée par un ensemble de spires circulaires identiques fermées de rayon a, parcourues par le même courant. On note EUR la longueur du fil soumis a Ë , REUR sa résistance et LEUR son inductance propre. Cette bobine est solidaire Bobine mobile ' ! 1 mobile " Membrane 4-- Aimant permanent î Suspensions élastiques FIGURE 2 -- À gauche : schéma de principe du haut-parleur électrodynamiqae. Le champ Ë est dirigé N --> S; a droite : modèle du HP dans le plan rz. d'une membrane, modélisée par un solide plan rigide et soumise a des forces de rappel par le biais de suspensions élastiques modélisées par des ressorts de raideurs respectives KT (radiale) et Ka (axiale). Lorsqu'elle est animée de la vitesse 17, la membrane subit une force de frottement F} : --h17 qui s'oppose au mouvement axial (h > 0). Cette force est réputée modéliser globalement les frottements mécaniques, la déformation des parties élastiques et le couplage de la membrane avec le milieu. Les deux extrémités du fil de la bobine sont branchées aux bornes de sortie d'un amplificateur dont la résistance de sortie est nulle et qui délivre la tension eg(t). On note i(t) le courant circulant dans le bobinage. La bobine est ainsi soumise aux forces de Laplace, le couplage électrodynamique résulte de la fem induite e(t), associée au mouvement de la bobine dans Ë . Nous adoptons la convention de signe de la Figure 3, e(t) étant en convention générateur. FIGURE 3 -- Conventions d'orientation des grandeurs algébriqaes. On nomme équipage mobile l'ensemble constitué du fil, du cylindre isolant, de la membrane et des suspensions qui se déplacent sous l'action des diverses forces; la masse de l'équipage est notée M E. Le modèle mécanique adopté pour ce dernier est représenté dans la partie droite de la Figure 2. En régime sinusoïdal, on note & l'amplitude complexe associée a a:(t) : a:(t) : %[ exp(jwt)], ainsi EQ pour la tension d'alimentation, £ pour l'intensité du courant et K pour la vitesse, mesurée selon Oz. 1 Fonctionnement de base 1 . 1 Equation électrique 1. La vitesse @ étant mesurée selon Oz, établir, en précisant le contour d'intégration, l'expression de la fem induite e =% (BmÏ9) . (aûb) d9 : BÆo. (1) Contour 1.3 10. 11. 12. 13. 1.4 Établir l'équation différentielle, dite électrique et notée [E], reliant eg(t) a i(t) et a v(t) en fonction de Re, LEUR et de la grandeur oz : BÆ, caractéristique du dispositif. . Déduire de l'équation [E] de la question 2 que, lorsque la tension d'alimentation est sinusoïdale d'amplitude complexe E9 et de pulsation ou, on a EQ : âEUR£ -- ozK, en précisant l'expression de ze (l'indice @ affectant l'impédance âEUR signifie ici électrique). Equation mécanique Donner, en fonction de i et de oz, l'expression de la force de Laplace F L qui s'exerce sur la bobine et préciser l'orientation de cette force. Identifier par leur numéro, dans la partie droite de la Figure 1, les suspensions élastiques modélisées par des ressorts de raideurs respectives K,. et Ka. L'équipage mobile est soumis a la pesanteur (g = 9, 8 m.s_2). Calculer le défaut d'alignement maximal, noté 56, de la bobine dans l'entrefer, pour ME : 7 g et K,. = 2.106 N.m_1. À titre documentaire, l'amplitude des déplacements axiaux de la bobine est, pour le haut-parleur et le régime de fonctionnement qui nous intéressent ici, supérieure a 10_4 m. On considère ici le mouvement axial de la membrane. (a) A partir de la relation, que l'on vérifiera, FL=ÎLU+MEÆ+KOE vdt (2) établir l'équation différentielle, dite mécanique et notée [M], du problème. (b) Exprimer l'équation (2) en régime permanent sinusoïdal sous la forme EL : â...K en précisant l'expression de £... (l'indice m signifie ici mécanique). . Exprimer l'amplitude complexe, EL, de la force de Laplace en fonction de l'amplitude complexe . . V . . . Oz £ du courant dans la bobine; exprimer le rapport ? ; vérifier la dimension du rapport Z--. _ --'ÏÏL Pour quelle raison peut--on se limiter a l'étude du dispositif en régime sinusoïdal forcé ? Aspects énergétiques Déduire de l'équation [E] de la question 2 un bilan énergétique électrique. Déduire de la relation (2) de la question 7 (a) un bilan énergétique mécanique. Que peut--on dire du couplage électromécanique, c'est--à--dire du transfert énergétique entre la puissance électrique de la fem induite associée au mouvement de l'équipage et la puissance mécanique des forces de Laplace ? Détailler alors la manière dont la puissance délivrée par le générateur se répartit entre formes mécaniques, magnétique et dissipatives. Etablir que, en régime périodique (pas nécessairement harmonique), les valeurs moyennes dans le temps, calculées sur une période et notées (.), sont liées par la relation (egi) : (Rei2) + (hv2) . Phénoménologie de la suspension pneumatique en enceinte close Le haut-parleur est fixé sur une enceinte close, le caisson, de volume au repos Qg. La pression de l'air extérieur est notée PO. Lorsque la membrane, assimilée a une surface plane d'aire 2 se déplace de la petite quantité 75, la variation de pression a l'intérieur du caisson est notée p. L'évolution de l'air confiné dans le caisson est isentropique. 14. 15. Établir l'expression de la force pressante qui s'exerce sur la membrane sous la forme Fp : --kz en exprimant le en fonction PO, E, Qg et de l'indice isentropique v. Vérifier la dimension de le et, a partir d'estimations de Pg,E et QQ, estimer son ordre de grandeur. Comparer votre résultat a Ka : 1, 2.103 N.m_1. 2 Impédance électrique du haut-parleur En vue des asservissements, on veut caractériser le haut-parleur par des mesures simples, dont le principe est étudié ci--dessous. 2.1 16. 17. 18. Schéma électrique équivalent du haut-parleur On bloque l'équipage mobile et on alimente la bobine, d'abord avec un courant continu, ensuite avec un courant sinusoïdal. (a) Montrer que l'on peut déduire de ces mesures les grandeurs Re et Le. (b) On trouve R6 = 4 Q et LEUR : 0,1 mH. Sur quelle plage de fréquences lZEURl s'écarte--t--il de plus de 1% de Re ? Le haut-parleur en question étant utilisé dans les graves, on ne tiendra désormais plus compte de Le, sauf à la question 24. 2 a --» On pose R... : Î' où l'on rappelle que oz : BÆ et Ff : --hiî. (a) Vérifier que la dimension de R... est celle d'une résistance. (b) Montrer que, en régime permanent sinusoïdal, l'impédance âB : EQ / l , s'écrit, en termes des paramètres w... et Q, dont on précisera l'expression et la signification physique E R w w ZB=--9=Re+--m, avec 6...=1+J'Q ___..._ (3) 1 5... w... w Dans le plan complexe, @... défini a la question 17 est représenté par une droite A parallèle a l'axe des imaginaires et d'abscisse unitaire. On admettra que l'inverse de 5... est représenté par le cercle de la figure 4. &? '.R FIGURE 4 -- L'inverse d'une droite parallèle à l'aæe des ordonnées est le cercle centré sur l'aæe des abscisses, passant par l'origine et tangent a cette droite. (a) Quelle est la partie utile de ce cercle ? (b) Quelle est l'intérêt de cette représentation pour l'étude de l'impédance âB ? w _ 1 19. Onposeoe=-- pu1sy=oe----. w... a: (a) Exprimer le module [ZB] et la phase gOB de ZB en fonction de y. (b) Donner les valeurs de y pour lesquelles [ZB] est extrémal et les expressions respectives, [âBlmm et lÂ31maoe de ces extrema; quelle est la phase associée a chacun de ces extrema? 2.2 Mesures électriques 20. La Figure 5 représente le schéma de principe de la mesure des deux composantes (lâBl, 903) de l'impédance du haut--parleur. L'amplificateur opérationnel (AO) parfait fonctionne en régime linéaire. La résistance RO est une impédance de référence. Le potentiomètre P permet d'ajuster la tension de la borne + de l'AG de telle manière que U AB soit constant, seule la fréquence varie. On note U 35 la tension aux bornes du haut-parleur et U AS la tension entre la masse et la sortie de l'AG. Les trois mesures sont faites avec trois voltmetres de même type. (a) Expliquer le principe de la mesure. (b) Justifier que) avec R0 = 10 Q et UAB = 0,1 V, on ait, a toute fréquence,]âä : 77[Qle, avec 77 = 100 A.m_1. (c) Déduire cos gOB de la mesure de UAE, UBS et UAS. + AO S S î ... ZB ÎUBB B __ _l__..._ _' _. _ \ l 0,4 \* 4 ') . . . . _ : . . . . . . . . _. . > . < \ ' A l , . . . 2 . f . . . "' .; \ ' . --0'4 ' \ " l 1 A l l A « | . l l .' 0.2 0,5 1.0 2.0 5.0 0.2 0.5 1.0 2.0 5,0 _ eu en fonctzon a: = --. wm FIGURE 6 -- Amplitude (& gauche) et phase normalisée 90--m (à droite) de Z... 7r O 21. La Figure 6 représente le résultat, après traitement, de mesures de la partie motionnelle de m l'impédance, z = -- R... et 5... ont été définis a la question 17 . "'° 5 (à?) m (a) Donner les expressions littérales des pulsations cul et @@ pour lesquelles la phase go... de cette grandeur vaut respectivement +7r/4 et --7T/4. (b) Comment déduire de ces deux pulsations la valeur du coefficient Q ? (c) Cette observation est--elle toujours possible ? 22. On dispose uniformément sur la membrane du haut-parleur un film souple de masse m. Justifier l'existence et donner l'expression de la nouvelle pulsation propre, notée w,,,, du système. 23. À partir des résultats des questions 17 a 22, déduire des données expérimentales l'ensemble des paramètres du système, a savoir M E, h, Ka et oz. Application numérique : f... = 50 Hz, Q : 1,m= 5 %, 'Z3'maoe _ 'âB'mzn : 6 Q et fm =45 HZ. 24. Les relations établies dans les questions précédentes de cette partie perdent de leur validité ou . . aux fréquences élevées (a: = -- >> 1 : déjà, on ne peut plus négliger le terme Lew dû a wm l'inductance propre de la bobine; on peut en revanche négliger -- devant se et, en référence aux 55 relations 3 de la question 17, convenir provisoirement que Rm Z = R + 'L au a: + --_. 4 _B e .7 e m 1 + ]QCÛ ( ) Pour une certaine valeur 5133 de a:, on observe sur un oscilloscope fonctionnant en mode a:y (non représenté sur la Fig. 5) que le courant et la tension aux bornes du haut-parleur sont en phase. (a) Que voit--on alors sur l'écran de l'oscilloscope ? (b) Exprimer LEUR en fonction de R..., Q, w... et 553. 25. En raison de l'effet de peau, la relation (4) reste approchée : on considère pratiquement que, dans un conducteur de conductivité o et en régime sinusoïdal de fréquence f, seule la partie 15915 . . . . extérieure d'épaisseur (ô)mm : _ contribue a la conduction. La résistance effective 0 ' (f)kHz du fil est--elle augmentée ou diminuée du fait de l'effet de peau ? 2.3 Mesures interférométriques Pour mesurer la vitesse et le déplacement de la membrane sans perturber la masse du haut-- parleur, on utilise la technique sans contact de vibrométrie laser décrite ci--après. L'interféromètre de Michelson de la Figure 7 est réglé pour donner des anneaux. Un bloc séparatrice-- compensatrice, (SO), est inséré dans le dispositif, de telle sorte que les faisceaux réfléchis par (M) et le haut-parleur (HP) soient perpendiculaires. On s'efforce de faire en sorte que les différents faisceaux subissent le même nombre de réflexions et de réfractions et que les amplitudes dans cha-- cun des bras de l'interféromètre soient égales. On convient pour simplifier que l'indice dans l'in-- terféromètre est partout égal a 1, ce qui revient a confondre les chemins géométrique et optique. On note dâ' et dg les distances correspondant a la configuration de repos du système et l'on pose 47T \Ïfo = Î (d(1' -- d3) : 2q (d? -- dg) (ce qui définit q en fonction de la longueur d'onde, À, de la source monochromatique utilisée). 2.3.1 Analyse temporelle : mesure de l'amplitude vibratoire L'objet de la Figure 7 est la membrane du haut--parleur. A = Miroir (M) d. \ d: 4--9 | LASER } î Objet (Li) Bloc Séparatrice- compensatrice (SC) [:| Photodétecteur (:P) FIGURE 7 -- Principe de fonctionnement d'un vibromètre laser. L'ensemble laser--élargisseur de fais- ceau est symbolisé par une source ponctuelle placée au foyer objet d'une lentille convergente L1. Le faisceau de référence est dirigé vers le miroir fire (M) tandis que l'autre faisceau est envoyé en incidence normale vers le centre de l'objet. Dans la partie 2.3.1, cet objet est la membrane du haut--parleur; dans la partie 2.3.2, cet objet est un petit miroir plan. Le faisceau sortant de l'interfé-- romètre est détecté sur le photodétecteur (P), qui produit une tension VD proportionnelle à l'intensité lumineuse qu'il reçoit. 26. Commenter l'expression (5) ci--dessous de la tension de repos V3, en indiquant respectivement le sens et l'origine du coefficient m0 et celui de l'argument de la fonction cosinus. À quoi peut être due une valeur de m0 différente de 1 ? V3 = VO (1 + m0 eos \110) . (5) 27. La position au repos du dispositif étant, dans cette question seulement, telle que l'ordre d'in-- terférence en P soit nul, la membrane du haut-parleur est mise en vibration harmonique : d1 (t) = dä' + 51 cos(wt). Montrer que l'on peut déterminer 51 en comptant le nombre n de cycles complets (27T) de rotation de phase du signal VD produit par le photodétecteur au cours d'une période de vibration de la membrane. 28. Calculer 51 pour n = 28 et À = 0,65 um. 2.3.2 Analyse spectrale : mesure de la fréquence vibratoire Le haut-parleur de la Figure 7 est remplacé ici par un petit miroir plan. L'interféromètre est alors exposé a l'onde acoustique émise par le haut-parleur (mais il est isolé mécaniquement de ce der-- nier). Cette onde oscille harmoniquement a la pulsation w. On admet qu'elle introduit un déphasage supplémentaire \11 = sz cos(wt) dans l'expression de la phase relative entre les deux faisceaux de l'interféromètre, avec |zb...| << 1. L'origine de cette modulation de phase inclut la modulation des trajets optiques. On pose ainsi VD = VO [1 + m0 eos (\110 + ibM cos wt)] . (6) 29. Comment l'analyse de VD renseigne--t--elle sur l'état vibratoire de la membrane ? 3 Fabrication d'une bobine multi--couches 3.1 Principe d'une Machine de bobinage Le trancannage consiste ici a enrouler automatiquement un fil, spire par spire, sur une bobine. La Figure 8 montre un dessin de trancanneuse. La Figure 9 représente le schéma cinématique d'une trancanneuse multicouches, la légende en décrit le principe. FIGURE 8 -- Vue d'artiste d'une trancanneuse. Source : http ://vis-trancannage.com lÜl'iariot de tranoannage {1} Tambour {ï} Bobine Fil e bobine:- .Ëu*bre (E} Liaison poulietoourroie crantée D--l Bâti ro: Arbre moteur {4} l'a. .? l_'> x FIGURE 9 -- Schéma cinématique du trancannage. Le chariot (1) est guidé en translation par une liaison pivot glissant associée en parallèle à un système de guidage assurant la transformation du mouvement de rotation de l'arbre d'entrée (3) en un mouvement de translation de ce chariot par rapport au bâti (O). Le diamètre des poulies est noté D,, avec i = 1, 2,3 et 4. Moteur Le graphe des liaisons entre les éléments numérotés du schéma cinématique de la Figure 9 est donné, a titre indicatif, Figure 10. Le système de guidage (Figure 11) est composé de trois roulements précontraints de façon à assurer un contact ponctuel en trois points de l'arbre (3). Ces trois roulements sont inclinés alterna-- tivement par rapport à l'axe de l'arbre, selon des angles opposés et réglables notés respectivement 6 et --Ô . Un système mécanique permet de changer instantanément le signe de cet angle pour chaque roulement, donc le sens de translation du chariot dès que ce dernier arrive en butée de fin de course. On note R3 le rayon de l'arbre et w3 sa vitesse de rotation orientée dans le sens trigonométrique dans le plan (y, z). 30. Soient A le point de contact entre l'arbre (3) et la bague intérieure (5) d'un roulement (cf. Fig. 11) --> et O le point sur l'axe de rotation tel que OA : --R3ÿ' et Q(3/Ol = --w3aÊ'. a) En exprimant la condition de non--glissement en A des solides en contact, exprimer la vitesse Poulie/ courroie Tambour (2) Hélicoïdale Paul ie / courroie glissant Chariot (1) Arbre moteur (4) FIGURE 10 -- Graphe des liaisons de la Figure 9. (1) (5) (3) Point de contact N'fl FIGURE 11 -- Guidage assurant la transformation rotation/translation. Le repère (oe,y,z) est lié au bâti. L'efiort sur les roulements est noté F dans le haut de la Figure. Source http ://www.uhing.corn/en/rolling-ring-driue/ de glissement V(A(1/O) ) en fonction de £, R3 et w3. On pourra trouver avantageux d'introduire le vecteur unitaire .z_5> : sin(fl)Î + cos(fl)Y. b) Vérifier que le changement de signe de 5 inverse le sens de déplacement du chariot. 31. Justifier l'assimilation du système de transformation de mouvement a une liaison hélicoïdale a pas réversible et réglable. Préciser le pas p' de cette liaison équivalente. 32. Justifier succinctement l'intérêt de ce choix de transformation de mouvement par rapport a des solutions classiques de réalisation de liaison hélicoïdale de type vis--écrou. 3.2 Réglage du système en fonction du diamètre du fil On suppose dans tout ce qui suit que la bobine est a spires jointives. 33. Donner l'expression de la vitesse de déplacement du chariot de trancanage, notée u, en fonction de la vitesse de rotation w2 du tambour et du pas pf de l'enroulement du fil de bobine (distance entre les centres de deux spires successives). En déduire une relation entre p' et pf. 34. Déduire des questions précédentes la relation permettant de régler l'angle 6 pour la réalisation d'une bobine constituée d'un fil de diamètre d. 35. Calculer l'angle 6 permettant de réaliser une bobine constituée d'un fil de diamètre d = 0, 8 mm. On donne R3 = 10 mm, D1 : 64 mm, D2 : 16 mm, D3 : 80 mm et D4 : 16 mm. 36. Le système de réglage fait que l'angle 6 ne peut prendre que des valeurs discrètes. Quelles modifications peut--on apporter au système et/ou sur quels composants mécaniques peut--on facilement agir afin d'adapter le mouvement de trancannage au diamètre du fil ? 4 Asservissements du haut-parleur 37. Quels phénomènes physiques, ignorés ici, peuvent--ils altérer la fidélité de la réponse du haut-- parleur par rapport a son alimentation électrique ? Dans ce qui suit, nous intéresserons a des principes d'asservissement par gain (sans correcteur), sans nous préoccuper des types de capteurs qui les réalisent, ni des critères de choix en faveur de tel ou tel type, ni du lien précis entre la grandeur détectée par les capteurs et l'état vibratoire de la membrane. 4.1 Préliminaire : Courbe de réponse de la membrane La grandeur provisoirement considérée ici comme pertinente pour la restitution du signal sonore est l'accélération de la membrane, notée a dont l'amplitude complexe est notée A. En considérant V d'une part l'expression de ? obtenue a la question 8, d'autre part celle 23 obtenue a la question 17, on trouve (et l'on admettra) que, en termes de la variable de Laplace s, l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte H A(s) : A/ Eg est Hoes2 ÿ : A(S) 82--l--2Ç0me--I--wäl' (7) 1 m avecHoe=RîM et ÇO=Ë(1+ÎÈEUR)° N 1 38. Donner l'allure de lHA(jw)l pour CD = --2. Pour un haut--parleur, est--il avantageux que la courbe de gain soit plate ou piquée ? 4.2 Asservissement de vitesse Conformément au principe et au schéma fonctionnel représentés Figure 12, un capteur externe détecte la vitesse de la membrane et réinjecte en contre--réaction a l'entrée la grandeur électrique représentant cette vitesse. On note K1 (en V.s.m_1) la valeur du gain en contre--réaction. 39. Exprimer la fonction de transfert ÎÏ21(3) : Â/Ëg en boucle fermée sous la forme N H182 HA1 : 2 2 . 8 --l--2C1wis--l--w1 (8) 40. Comparer H1, Ç1 et cul respectivement aux grandeurs Hoc, CO et au... de la relation (7). En déduire les modifications apportées par cet asservissement par rapport au fonctionnement en boucle ouverte, tant pour la courbe de réponse harmonique que pour la réponse transitoire a un échelon. 10 Capteur Eg ... V A de v1tesse H V 8 --' Ki FIGURE 12 -- Principe et schéma fonctionnel de l'asseruissement en vitesse du haut-parleur. 41. La partie droite de la Figure 12 montre que l'accélération se déduit de la vitesse par le biais d'un filtre dérivateur. Cette manière de faire vous semble--t--elle pratiquement avantageuse ? 4.3 Asservissement d'accélération On réalise a présent une contre--réaction en détectant l'accélération. On note K 2 la valeur du gain de la boucle en contre--réaction. 42. Représenter le schéma fonctionnel du système. En déduire la fonction de transfert ÎÏÂZ en boucle fermée sous la forme N H252 HA2 : 2 2 . 8 --l-- 2Ç2oe28 --l-- w2 43. Comparer H2, @ et @@ aux grandeurs Hoe, CO et au... de la relation (7). En déduire les modi-- fications apportées par cet asservissement par rapport au fonctionnement en boucle ouverte, tant pour la courbe de réponse harmonique que pour la réponse transitoire a un échelon. 4.4 Asservissement mixte par matériaux actifs Il est avantageux, pour augmenter la bande passante, sans modifier l'amortissement, de combiner les deux systèmes d'asservissement des deux parties précédentes. Pour ce but, un matériau actif est collé sur la membrane du haut--parleur. lf'r 4:=KV KI " ' Ë:a u=ü : K2-£â FIGURE 13 -- Membrane de haut-parleur recouverte d'un matériau actif. Oe matériau (Figure 13) délivre, après traitements électroniques appropriés, deux tensions en sortie : uv : K1V et ua : K2A, où les coefficients K sont respectivement les efficacités en vitesse et en pression. On réalise la contre--réaction mixte en injectant la tension u : uv + ua a l'entrée du haut--parleur. 44. Quel est l'avantage de disposer d'un capteur de pression directement sur la membrane, plutôt qu'à une distance finie de celle--ci ? 45. Représenter le schéma fonctionnel du système. 11 46. Un calcul standard montre que l'expression de la fonction de transfert ÎÎ23 en boucle fermée 47. 48. entre l'accélération A et la tension d'entrée EQ est N  H382 HA3 : î : 2 27 _ 8 +2Ç3w33+w3 aVEURC 1 Hoo w2 Ç0wm + äK1HOO H3 : _, wâ : _... et Ç3W3 = 1+K2HOO 1+K2HOO 1+K2HOO (9) (10) Comparer le gain) la fréquence de coupure et le coefficient de qualité obtenus ici avec les expressions obtenues en boucle ouverte. K2 étant donné) comment déterminer K1 pour que le coefficient de qualité reste inchangé du fait de la contre--réaction ? La fonction de transfert en boucle ouverte fait intervenir Hoc, w... et Cg. Est--il possible d'ajuster la fonction de transfert en boucle fermée de manière a pouvoir obtenir) pour un but donné7 tOut jEURU(Hi, wi, Ci) ? 12

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 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2013 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) ; il a été relu par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm). L'épreuve a pour thème le haut-parleur et présente différents aspects de son fonctionnement, en se focalisant sur les améliorations pouvant lui être apportées. · La partie 1 est classique. Elle propose l'étude électromécanique du haut-parleur afin de déterminer les équations de fonctionnement, qui seront utilisées dans les parties suivantes. · Dans la partie 2, des méthodes pratiques, électriques et interférométriques, sont exposées, qui ont pour but de trouver les grandeurs caractéristiques du hautparleur. Les questions ne sont pas classiques au sens strict mais ne surprendront pas le candidat à l'aise en travaux pratiques. · La partie 3, typée sciences de l'ingénieur, s'intéresse à une machine de bobinage, qui peut avoir été vue en TP. Cette trancanneuse permet l'enroulement multicouche du fil avec inversion de sens de translation automatique. · Enfin, la dernière partie aborde brièvement les asservissements qui permettent une fidélité plus grande du haut-parleur, à travers deux chaînes de retour, sur la vitesse ou sur l'accélération. Les questions posées dans ce sujet sont variées et abordables en quatre heures. La première partie doit permettre d'assurer une note minimale alors que la deuxième nécessite d'avoir plus réfléchi sur l'électricité et l'optique ondulatoire. Les candidats n'ayant négligé ni la mécanique ni la partie de cours sur les asservissements pouvaient faire la différence dans les parties 3 et 4 qui, sans aller trop loin, demandent un peu de temps et de réflexion. De nombreuses questions pratiques et qualitatives sont disséminées tout au long du sujet et distinguaient les candidats ayant le plus de recul sur le programme. Indications Partie 1 2 Dessiner un schéma électrique équivalent et utiliser la loi des mailles. 5 Les suspensions sont identifiées dans le texte pages 1 et 2 et sur la figure 1. 6 Appliquer le principe de la statique en projection sur un axe vertical. . 7.a Projeter le principe fondamental de la dynamique sur l'axe - u z 10 Multiplier l'équation [E] par l'intensité. 11 Multiplier l'équation [M] par la vitesse. 13 La moyenne de la dérivée d'un signal périodique est nulle. 14 Utiliser la loi de Laplace pour les gaz parfaits et en effectuer un développement limité pour une petite variation de pression et de volume z. 18.b Les résistances Re et Rm sont indépendantes de la pulsation et la représentation permet de passer facilement de m à 1/ m . Partie 2 20.c Exprimer le module au carré de la tension UAS avec la somme de UAB et UBS . 21.a Le complexe d'argument /4 a sa partie réelle égale à sa partie imaginaire. On doit résoudre deux équations du second ordre et ne garder que les solutions positives. 27 La définition de la fréquence comme nombre de cycles par unité de temps permet de conclure en remarquant que cos t parcourt quatre fois l'intervalle [0; 1] sur une période. 29 Puisque | m | est faible, effectuer un développement limité de VD . Partie 3 30.a Écrire la composition des vitesses entre les solides (1), (3) et (5). Utiliser la condition de roulement sans glissement entre les solides (3) et (5). Identifier les solides en translation et rotation pour écrire simplement la vitesse du point A. 33 La vitesse du chariot et la vitesse de translation du fil sont égales. 34 Le pas d'enroulement du fil doit être égal au diamètre du fil pour que les spires soient jointives. Partie 4 38 Étudier la fonction de transfert aux limites (pulsation nulle ou infinie). 48 Trouver les domaines de variation possible de (H3 , 3 , 3 ) lorsque K1 et K2 varient. Un transducteur électrodynamique : le haut-parleur 1. Fonctionnement de base 1.1 Équation électrique 1 Un circuit électrique en mouvement dans un champ magnétique permanent est le siège d'un champ électromoteur dit de Lorentz de la forme - - - Em = v B D'un bout à l'autre du circuit, ce champ électromoteur se manifeste par une force électromotrice telle que I - - e= Em · d circuit Le champ magnétique étant radial, le champ électromoteur est contenu dans le plan , - ). Or, la portion de circuit d- est orthoradiale. Le produit scalaire (- u u = a d - u z implique que seule la composante de la vitesse selon l'axe Oz contribue à la force électromotrice dans la bobine, partie mobile du circuit. Z Z - - ) · (a - ) d e= (- v B) · d = (B v - u u bobine bobine et e = Bv 2 Le circuit électrique équivalent au haut-parleur est constitué de la source de tension idéale eg , de la résistance Re , de l'inductance Le et de la force électromotrice exprimée à la question précédente e = B v = v. Re i Le di dt i eg e = v En appliquant la loi des mailles, on obtient l'équation électrique, eg + v = Re i + Le di dt [E] La force électromotrice est toujours fléchée en convention générateur : dans le même sens que l'intensité. 3 Lorsque la tension d'alimentation est sinusoïdale et le circuit linéaire, on peut exprimer l'équation [E] en utilisant le formalisme complexe : Eg = Re I + j Le I - V d'où Eg = Ze I - V 1.2 avec Ze = Re + j Le Équation mécanique - 4 La force de Laplace qui s'exerce sur un élément de bobine de longueur d s'écrit - - - dFL = i d B = -i B a d - u z Ainsi, - = -i - FL = -i B - u u z z Cette force est dirigée dans le sens opposé à la vitesse de la bobine. 5 La suspension de raideur Kr est dite de centrage et porte le numéro 2 et celle de raideur Ka est identifiée par le numéro 6. 6 Appliquons le principe fondamental de la statique à l'équipage mobile, en projection sur un axe vertical. Seuls le poids et le ressort de raideur Kr interviennent verticalement ce qui conduit à 0 = -Kr e + ME g soit e = ME g = 3.10-8 m Kr Le défaut d'alignement de la bobine dans l'entrefer est négligeable devant l'amplitude des mouvements axiaux. 7.a Les forces suivantes sont dirigées selon l'axe Oz : - - · la force de frottement Ff = -h v ; - · la force de Laplace FL exprimée à la question 5 ; . · la force de rappel de la suspension -K (z - z ) - u a 0 z z0 est la position de l'équipage mobile au repos.Aucune autre action mécanique ne possède de composante selon l'axe Oz. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit, en projection sur l'axe Oz, Z t d- v - K (z - z ) - = -h - - -K - ME = -h - v - i- u u v - i u v dt z a 0 z z a dt t0 On retrouve ainsi l'équation (2), en notant z(t0 ) = z0 et z(t) = z, Z t - - d v - - - dFL = h v + ME + i uz + Ka v dt dt t0 (2)