X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2012

Thème de l'épreuve Pompe à chaleur
Principaux outils utilisés machines thermiques, mécanique du solide, asservissements
Mots clefs pompe à chaleur, diagramme de Mollier, bielle-manivelle, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2012 MP COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR ­ (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Pompe à chaleur La pompe à chaleur est un dispositif qui, en mode "chauffage" puise l'énergie thermique dans l'air, dans le sol ou dans l'eau des nappes phréatiques, pour la transférer vers le local à réchauffer. Elle est constituée d'un circuit fermé dans lequel circule un fluide caloporteur à l'état liquide, gazeux ou biphasé selon les éléments qu'il traverse. La circulation se fait en régime permanent ; on néglige les variations d'énergies cinétique et de pesanteur. Les trois parties de l'épreuve sont indépendantes et traitent successivement de la thermodynamique de la pompe à chaleur, d'une étude mécanique du compresseur et de la régulation thermique de l'installation. 1 Thermodynamique de la pompe à chaleur 1.1 Diagramme de Mollier Le diagramme de Mollier (figure 1) représente le logarithme de la pression p en fonction de l'enthalpie massique h du fluide caloporteur et permet ainsi de représenter l'évolution de l'état thermodynamique du fluide au cours du cycle de la pompe à chaleur. 1. Montrer qu'à pression constante, la température T est une fonction croissante de h. Est-elle strictement croissante ? 2. Comment lit-on sur ce diagramme ce qui se nommait autrefois la chaleur latente massique de vaporisation à la pression p ? 3. Cette question concerne les courbes isothermes dans le diagramme de Mollier. 1 " Point ln(p) critique Vapeur humide Zone de changement d'état Ligne d'ébullition Ligne de vapeur saturée h FIG. 1: Diagramme de Mollier simplifié. @) Quelle est a priori leur allure pour la phase liquide, supposée incompressible et indilatable ? b) Quelle est a priori leur allure pour la phase gazeuse, modélisée comme un gaz parfait ? c) Quelle est a priori leur allure dans la zone de changement d'état ? 4. Rappeler l'expression de la différentielle de l'enthalpie massique h, considérée comme fonction de l'entropie massique s et de la pression p. On notera U le volume massique. 5. Montrer que, dans le diagramme de Mollier, la pente des courbes isentropiques est positive. 6. Montrer que, sur une courbe isenthalpique du diagramme de Mollier, l'entropie est une fonction décroissante de la pression. 7. On note hA et hB les enthalpies massiques du fluide aux points A et B du circuit. Le fluide reçoit d'une part le travail massique utile, fourni par le compresseur, w (et qui ne comprend donc pas le travail des forces de pression nécessaire pour faire entrer et sortir le fluide du volume de contrôle), d'autre part l'énergie thermique q. Montrer que hB -- hA : w + q. 1.2 Cycle de la pompe à chaleur Le cycle de la pompe à chaleur se compose de quatre étapes (figure 2), en dehors desquelles les échanges thermiques ou mécaniques sont supposés nuls : -- Compression : le gaz subit une compression adiabiatique et réversible qui l'amène de l'état @ (p1,T1) à l'état @ (pg, T2). On note w le travail massique reçu par le fluide. -- Condensation : le gaz se liquéfie totalement à pression constante pg jusqu'à la température T3. Il cède de l'énergie à la source chaude, et l'on note (123 < 0 l'énergie massique échangée. -- Détente : le fluide traverse un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges ther-- miques. La pression du fluide redescend jusqu'à p1 et sa température vaut alors T4. P1 p2 191 T1 Compresseur T2 p2 C141 6123 :> Évaporateur Condenseur l:{> p4 : p1 T4 T3 193 = p2 @ Détendeur @ FIG. 2: Cycle frigorifique d'une pompe à chaleur; les flèches épaisses indiquent le sens des trans- ferts énergétiques. -- Éuapomtion : le liquide s'évapore totalement a pression constante 101 jusqu'à la température T1. Il reçoit l'énergie massique 6141 > 0 de la source froide. 8. Montrer que la phase de détente est isenthalpique. 9. Représenter sur un diagramme de Mollier (ln p, h) les quatre étapes du cycle, ainsi que les quantités (123, (141 et w. 10. Quelle est relation liant les quantités (123, (141 et w? Représenter ces quantités sur le schéma de la question 9. 11. Justifier la définition de l'efficacité de la pompe a chaleur 77 : --q23/w et montrer que 77 > 1. 12. Le Document Réponse représente le diagramme de Mollier d'un fluide caloporteur cou-- rant. Dans la perspective de vos réponses a la question 3, la phase liquide y apparaît--elle incom-- pressible et indilatable ? La phase gazeuse y apparaît--elle comme un gaz parfait ? 13. On donne 101 = 0,3 MPa, pg : 1 MPa, T1 : 5°C et T3 : O°C. Représenter le cycle correspondant dans le Document Réponse, à rendre avec votre copie. Pour chacun des points @ a @ du cycle, indiquer dans un tableau les valeurs numériques respectives de l'enthalpie massique, la pression et la température. Indiquer aussi l'état du fluide en chacun de ces points. 14. À partir du diagramme de Mollier, estimer numériquement l'efficacité de la pompe a chaleur. Comparer la valeur trouvée a celle qui correspondrait a un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures. 15. Calculer le débit massique du fluide permettant d'assurer une puissance de chauffage de 4 kW. 1.3 Cycle du compresseur Fig. 3: Schéma de principe d'un compresseur (ici, en phase d'aspiration). Les éléments constitutifs en sont le cylindre, le piston, le clapet d'aspiration (A), le clapet de refoulement (R), la bielle et le volant. Le compresseur, supposé parfaitement calorifugé, assure la circulation du fluide caloporteur entre les circuits basse pression et haute pression (figure 3). Le cycle du compresseur, supposé réversible, s'effectue en trois temps : ­ Aspiration : Le clapet (A) est ouvert et le clapet (R) fermé. Le piston, de section S, descend, le fluide pénètre dans le cylindre. ­ Compression : Les deux clapets sont fermés. Le piston monte. La pression du fluide augmente. ­ Refoulement : Lorsque la pression dans le cylindre atteint la pression p2 , (R) s'ouvre et le fluide est évacué sous la pression p2 , jusqu'au moment ou le piston atteint la fin de sa course. On suppose alors qu'il n'y a plus de fluide dans le cylindre (le volume dit mort est nul). Puis, le clapet de refoulement se ferme et un nouveau cycle commence. On suppose que la fermeture de (R), l'ouverture de (A) et la chute de la pression de p2 à p1 sont instantanées et simultanées. 16. En notant v1 et v2 les volumes massiques au début et à la fin de la phase de compression, représenter dans un diagramme (p, v) les trois phases de fonctionnement du compresseur. 17. Comment détermine-t-on, sur ce diagramme, le travail massique fourni au cours d'un cycle ? 18. La phase de compression est isentropique ; le fluide est considéré comme un gaz parfait dont les capacités calorifiques massiques isobare cp et isochore cv sont constantes. Déterminer 4 le travail reçu par ce fluide pour un aller-retour du piston en fonction de p1 , v1 , p2 , v2 et de = cp /cv . 19. On donne p1 = 0, 3 MPa, p2 = 1 MPa, T1 = 5 C et = cp /cv = 1, 12. Calculer T2 . Comparer avec la valeur déterminée graphiquement à la question 13. 2 Différentes technologies de compresseur 2.1 Dispositif bielle manivelle "classique" La figure 4 présente certains éléments de la modélisation du système de compression : la rotation autour de O du volant manivelle (1) par rapport au bâti (0) est paramétrée par l'angle 1 , celle autour de B de la bielle (2) est paramétrée par l'angle 2 que fait cette dernière avec l'axe ~x0 . En B se trouve une articulation entre la bielle et le piston (3) dont la translation rectiligne est paramétrée par la distance OB, notée x3 . On pose OA = e, (c'est l'excentrique) et AB = . On introduira au besoin les quantités sans dimension k = piston est noté D. L'origine des temps t est telle que 1 (0) = 0. e x3 et X3 = . Le diamètre du Fig. 4: Schéma de compresseur classique. 20. Le volant (1) est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante . a) Établir la relation, dite loi entrée sortie, qui relie x3 à 1 . 1 b) Tracer l'allure de x3 (1 ) sur un tour du volant pour k = . 2 c) Exprimer littéralement la cylindrée V de la pompe (volume balayé par le cylindre). 21. Exprimer la vitesse v3 du piston par rapport au bâti en fonction de 1 , de et des grandeurs géométriques pertinentes. En déduire l'expression du débit instantané q du fluide refoulé par la pompe ; tracer l'allure de q (1 ) en précisant les phases de refoulement et d'aspiration. 22. Le volant est entraîné en rotation à une vitesse = 1800 tr.mn-1 , générant un déplacement alternatif du piston à une fréquence élevée, ce qui ne va pas sans difficulté même pour un piston de masse M = 640 g. La pression durant la phase de refoulement est p = 1 MPa. 5 L'excentrique e vaut 20 mm et le diamètre D du piston est de 40 mm. a) En précisant chaque fois les hypothèses que vous serez conduit à formuler, faire le bilan des actions mécaniques agissant sur le piston. b) Évaluer numériquement les actions dues respectivement à la pression et à l'accélération. Conclure sur l'importance relative des forces de pression et des effets dynamiques. c) Peut-on déterminer totalement l'action mécanique de la bielle sur le piston avec ce seul bilan ? Proposer un isolement supplémentaire afin d'obtenir ce résultat. 23. Compte tenu de la valeur de rapport k, quelle est la valeur maximale de l'angle entre la bielle et le piston ? Discuter les éventuels problèmes que l'action de contact "en biais" peut engendrer. 2.2 Dispositif à piston oscillant Le système à piston oscillant représenté figure 5 permet de réduire le problème dû à l'angle résiduel entre la bielle et le piston (2). La rotation de l'ensemble oscillant {piston-cylindre} est paramétrée par l'angle 2 de la figure. L'articulation entre le cylindre (3) et le bâti (0) se fait au point B. La translation relative entre (2) et (3) est paramétrée par la distance AB notée x32 . La e longueur OA= e et la distance OB= h sont constantes. On pose q = . h Fig. 5: Schéma de compresseur à piston oscillant. 24. Établir la relation reliant x32 à 1 . Tracer l'allure de x32 (1 ) pour q = 2.3 1 et 0 1 2. 2 Comparaison des deux dispositifs On note a3 l'accélération du piston classique et a32 l'accélération relative du piston oscillant par rapport au cylindre ; cette dernière grandeur se réfère donc à un repère non galiléen. La figure 6 représente a3 et a32 en unité adimensionnée et pour un tour de volant (0 1 2). 25. Commenter la figure 6. Le dispositif à piston oscillant est-il avantageux du point de vue cinématique ? Sans développer aucun calcul, proposer une manière de quantifier l'intérêt du 6 FIG. 6: Gauche : accélération du piston par rapport au bâti ( en unité réduite ) en fonction de 91. Droite : accélération relative du piston par rapport au cylindre ( en unité réduite), en fonction de 91. système {piston et cylindre} oscillants du point de vue des actions mécaniques exercées sur le cylindre. 3 Contrôle en température Le local, de capacité calorifique constante CT, est chauffé par une pompe a chaleur dont la puissance de chauflfe est notée PQ. La température extérieure est constante, on la note T0. L'utilisation de la pompe nécessite une boucle d'asservissement du régime de fonctionnement a la température du local. Il faut pour ce faire considérer le système de transfert thermique, le système électrique qui pilote PQ et le couplage de ces deux systèmes. Notations pour toute la suite. Les grandeurs temporelles et leurs transformées de La-- place seront désignées par le même symbole, ces dernières étant surmontées d'un tilde (...) : la transformée de Laplace de Z (t) sera ainsi notée É (p) On supposera que les conditions initiales des grandeurs temporelles sont nulles (Z (O) = 0), ce qui, sans nuire a la généralité du problème, rend plus commode l'écriture des transformées de Laplace des diverses dérivées. 3.1 Première modélisation 26. La boucle d'asservissement est telle que la tension d'alimentation du moteur, VC, est proportionnelle à e, écart entre la température cible, TC, et la température instantanée du local, TL, supposée uniforme : VC : K C R (TC ---- TL) ; d'autre part, un modèle simplifié de moteur établit que la puissance fournie au local par le condenseur de la pompe a chaleur s'écrit PQ : onC, de sorte que, en posant 5 == dKCR, PQ(É) =fi(Tc--Tt(t)) - (1) La puissance des fuites thermiques, ®, est supposée être proportionnelle à l'écart entre TL et T0; notant H (H > O) le coefficient de proportionnalité, on a donc @ : (TL -- T0). a) Établir l'équationdifférentielle relative à TL(t) et représenter le schéma--bloc du système faisant apparaître la contre-réaction. Préciser à quelle condition sur le système est stable. b) Exprimer l'erreur statique S du dispositif (réponse à une consigne échelon). Comment la réduire ? À quoi cela correspond-il physiquement ? 27. Quel élément correcteur insérer dans le schéma-bloc de la question 26, et à quel endroit, pour ramener cette erreur statique à 0 ? 3.1.1 Deuxième modélisation Convention. Dans tout ce qui suit, l'origine des températures sera T0 ; en d'autres termes, ce que l'on nommera désormais température T sera en réalité la différence entre la température vraie T et T0 ; on peut aussi bien dire que la température extérieure est fixée à 0 C. Avec cette convention, la puissance des fuites thermiques s'écrit = HTL . Le moteur électrique alimentant le compresseur (figure 7) est caractérisé par quatre grandeurs : le couple moteur Cm (t) (valeur algébrique de la projection du moment des forces de Laplace sur l'axe de rotation), la vitesse angulaire (t), la tension d'alimentation Vc (t) et le courant i(t). Ce moteur est le siège d'une tension induite E (t). On note R la résistance électrique du circuit (comprenant notamment celle de l'induit), J le moment d'inertie des parties mobiles ramené à l'axe de rotation et Cr (t) l'ensemble des couples exercés sur l'axe de rotation par les éléments autres que le moteur. Aucun autre moment utile résistant n'interviendra dans les équations écrites en variable de Laplace (en particulier, le moment utile Cu lié à l'action de la pression dans le compresseur est considéré comme constant en moyenne sur un tour ; il n'interviendra donc pas en variable de Laplace). On admet les relations constitutives suivantes, où les constantes K et fr sont positives : Vc (t) = E (t) + Ri (t) E (t) = K (t) Cm (t) = Ki (t) Cr (t) = fr J d dt = Cm - Cr (-Cu ) . Fig. 7: Schéma électrique simplifié du moteur. La puissance PQ du moteur est proportionnelle à la vitesse de rotation , ce que l'on note, 8 en introduisant la constante positive A, (2) PQ (t) = A(t) . 28. Établir l'expression de la fonction de transfert tension-vitesse sous la forme ke (p) , = 1 + e p Vc (p) (3) en exprimant ke et e en fonction des données. Que devient cette fonction de transfert dans la limite R 0 ? Préciser alors la nature du modèle simplifié de la question 26. 29. Un correcteur (C) (cf. question 27), de fonction de transfert C (p), établit le lien 1 Vc (t) = Kc (t) + Ti Zt (u) du , (4) où Kc et Ti sont, à ce stade, des paramètres libres. Exprimer C (p). 30. Exprimer PQ (p) en fonction de Tc (p) et de TL (p). 31. Exprimer le bilan thermique de la question 26 a en termes de variable de Laplace. 32. En régime harmonique, le carré du module de la fonction de transfert du système en boucle fermée est TL (j) |F (j)| = Tc (j) 2 2 . (5) Calculer Kc et Ti de telle sorte que le dénominateur de cette grandeur soit (à une constante Å ã4 multiplicative près) D() = 1 + . 0 33. Exprimer 0 , préciser la réponse indicielle du système ainsi réglé et indiquer l'intérêt d'un tel dénominateur pour la stabilité du système. 9 [fifi/m] "mm 099 0179 ou 009 0817 0917 01717 0z17 0017 08EUR 095 0175 cm 005 osz 0% 0% 0zz 00z 081 091 0171 09'1 017'1 0z'1 00'1 = S 091 0171 %; 001 03 09 017 015 0 0257 0177 06'0 08'0 0L'0 09'0 os'0 010 050 oz'0 01'0 = X 09'0 ' , ' / / ; 0154 - | ' 09 ° ' È"); 09 0 oç'o » -- 7777777777777777777 7 f -- 77777777777 7--7' > ,} * A ... ... ..._A, --... "** -- ' --7 7 77 ...... ' -- -------------- ..._..._î'..._ OL'O ' =07«° 7 ÿ,» ; os:o 017 0 / 0£-- -- -< ç\'° . | -- 06'0 ' '" ' // ' fè)» 00 I 0£'0 g\'°/) : /fl' / ÛZ °$ÜQ) 113 © OZ'0 'Q/ ' 01 Q®Üj/ OO'Z 1'0 ; ,) ,; S \ / Q5V°° © ' ... .... , ( ' _--_M:, A? A ; ..._ ' 0 * MMM» » Q/çÜGÙJVW " KWùkÿü « "237 MW 00EUR 023'8 «» & , 3 ;» ' OO'V "" '" , ' " 1... 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 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2012 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) ; il a été relu par Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet traite différents aspects de la pompe à chaleur, un dispositif qui permet de chauffer un local en prenant la chaleur disponible dans l'air extérieur, le sol ou l'eau des nappes phréatiques. · La partie 1 est consacrée à l'étude thermodynamique de la pompe à chaleur. Elle s'appuie sur un document professionnel, un diagramme de Mollier, qu'il convient de bien analyser pour distinguer les six types de courbes qu'il présente : isothermes, isentropiques, isotitres, isenthalpiques, isobares et isochores. Les questions sont assez simples et proches du cours. · Dans la partie 2, on compare un système bielle-manivelle classique à un système qui intègre un piston oscillant. Sans aller très loin en mécanique du solide, il s'agit d'accéder au débit instantané de la pompe dans les deux cas. · La partie 3 s'intéresse au contrôle en température et propose deux modèles assez proches, dont il faut établir le schéma de fonctionnement avant de dimensionner un correcteur proportionnel intégral, sans aucune valeur numérique. Le sujet est plus court que d'habitude, sans doute faisable en quatre heures, d'autant que les questions sont assez classiques. Les concepts de sciences de l'ingénieur, peu développés, ne posent guère de difficultés, mais demandent parfois des calculs qui, sans être compliqués, s'avèrent plutôt fastidieux. La partie thermodynamique peut être abordée dès la première année. Indications Partie 1 1 Quelle est l'expression différentielle de l'enthalpie à pression constante en fonction de la température ? L'enthalpie varie-t-elle lors d'un changement d'état ? 4 Exprimer le travail et le transfert thermique élémentaires pour une évolution infinitésimale en fonction des variables voulues. 7 Effectuer un bilan d'énergie en régime permanent sur le volume de contrôle situé entre les points A et B. 8 Reprendre l'égalité obtenue à la question précédente. 9 À pression constante, la variation d'enthalpie est égale au transfert thermique reçu. Lors d'une transformation adiabatique, la variation d'enthalpie est égale au travail autre que celui des forces de pression. 10 L'enthalpie est une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle. 12 Les courbes isothermes sont représentées sur le document réponse, de manière incomplète à gauche, sur la courbe de rosée, avec la température associée (de -40 à 100 C). Elles sont complètes à droite de la courbe d'ébullition et rejoignent la graduation en température en bas à droite. 13 Prendre T3 = 20 C. Les isentropiques sont figurées sur la partie droite, avec la valeur d'entropie massique associée. 15 La chaleur massique -q23 est récupérée par le local à réchauffer. Elle s'exprime en J.kg-1 ou W.s.kg-1 , ce qui permet de retrouver le lien avec le débit. 18 Utiliser la loi de Laplace p v = Cte . 19 Utiliser la loi de Laplace p1- T = Cte . Partie 2 20.a Utiliser les relations trigonométriques dans le triangle OAB. 20.b Pour tracer l'allure de x3 (1 ), il est plus simple de s'intéresser à la course réelle du piston plutôt qu'à l'aspect mathématique de la fonction. 21 Le débit est la variation de volume par unité de temps. 22.b Évaluer l'ordre de grandeur de l'accélération, en donnant un équivalent de la vitesse pour une valeur de 1 bien choisie. Partie 3 26.a Effectuer un bilan de puissance, qui évalue la variation de chaleur dans le local à réchauffer en fonction des puissances apportées et perdues. 26.b Exprimer la fonction de transfert du système, dans le domaine de Laplace, puis appliquer le théorème de la valeur finale. 27 Pour annuler l'erreur statique, il faut augmenter la classe du système. 32 À quoi doit ressembler F(p), en fonction de 0 , pour obtenir le dénominateur ? 33 Que vaut le facteur d'amortissement du système réglé ? Pompe à chaleur 1. Thermodynamique de la pompe à chaleur 1.1 Diagramme de Mollier 1 À pression constante et hors changement d'état, la différentielle de l'enthalpie massique s'exprime en fonction de celle de la température : dh = cp dT Or, la capacité thermique massique à pression constante est positive par définition. À pression constante, la température est une fonction croissante de l'enthalpie. Ce n'est pas une fonction strictement croissante puisque, lors d'un changement d'état, alors que la température reste constante, l'enthalpie varie car la composition du système varie. Lors d'un changement d'état, l'enthalpie peut varier à température constante. 2 Ce qui se nommait autrefois chaleur latente massique de vaporisation est désormais appelé enthalpie massique de vaporisation, à la pression p. On la lit horizontalement sur le diagramme de Mollier : c'est la différence d'enthalpie hv = hgaz - hliq entre la courbe d'ébullition et la courbe de vapeur sèche, à une pression p donnée. ln p hv hliq hgaz h 3.a La phase liquide est supposée incompressible et indilatable. L'enthalpie ne dépend donc que de la température. Pour la phase liquide, les courbes isothermes sont des droites verticales. 3.b La phase gazeuse est modélisée comme un gaz parfait. L'enthalpie massique ne dépend alors que de la température. Pour la phase gazeuse, les courbes isothermes sont des droites verticales. 3.c Le changement d'état isotherme d'un corps pur se fait à pression constante. En conclusion, dans le diagramme de Mollier, Dans la zone de changement d'état, les isothermes sont des droites horizontales. 4 La seconde identité thermodynamique s'écrit dH = T dS + V dp En passant aux grandeurs massiques, on aboutit à dh = T ds + v dp 5 D'après la question précédente, à entropie constante, dh = v dp et par conséquent p h = s 1 >0 v Or, le logarithme étant une fonction strictement croissante, le signe de d ln p/dh et de dp/dh est le même. La pente des courbes isentropiques est positive. 6 D'après l'expression différentielle de l'enthalpie massique exprimée à la question 4, à enthalpie constante, 0 = T ds + v dp ce qui implique s p =- h v <0 T Sur une isenthalpique, l'entropie est une fonction décroissante de la pression. 7 Effectuons un bilan d'énergie sur le volume de contrôle situé entre les points A et B du circuit, sachant qu'en régime stationnaire, les masses qui entrent et sortent du volume de contrôle doivent être égales. w+q B A pA dm dm pB La masse dm entre en A, dans le volume de contrôle, en apportant l'énergie uA dm, poussée par la pression qui fournit un travail pA dVA = pA vA dm. Cette masse dm reçoit ensuite un travail w dm et une énergie thermique q dm. Enfin, elle sort du volume de contrôle en B, emportant une énergie uB dm. Cette sortie est effectuée contre la pression pB , qui prélève ainsi un travail pB dVB = pB vB dm. En régime permanent, l'énergie du volume de contrôle ne varie pas et il est précisé que les variations d'énergie cinétique et de pesanteur sont négligées. On obtient finalement le bilan massique suivant 0 = uA + pA vA + w + q - uB - pB vB soit hB - hA = w + q 1.2 Cycle de la pompe à chaleur 8 Lors de la phase de détente, le fluide traverse un tuyau indéformable qui ne permet pas les échanges thermiques. Le fluide ne reçoit donc ni travail, autre que celui des forces de pression aval et amont, ni transfert thermique. En reprenant l'expression obtenue à la question précédente, on parvient à h = 0. La phase de détente est isenthalpique.