X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2007

Thème de l'épreuve Optique adaptative
Principaux outils utilisés optique ondulatoire et géométrique, asservissements
Mots clefs optique adaptative, diffraction, télescope

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP Option Physique et Sciences de l'Ingénieur CONCOURS D'ADMISSION 2007 COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Optique adaptative L'optique adaptative est une technique qui permet de corriger en temps réel les dégradations des images des astres dues a la propagation a travers la turbulence atmosphérique. Cette pro-- pagation introduit des différences de marche spatiales et temporelles aléatoires sur les faisceaux optiques. Les ondes incidentes sur le télescope, issues d'une source lointaine, ne sont donc plus des ondes planes et les dimensions des images formées au foyer ne sont plus déterminées par la diffraction de l'ouverture du télescope. Un système d'optique adaptative (figure 1) est constitué d'un analyseur de front d'onde qui est en charge de la mesure en temps réel des perturbations du faisceau lumineux, d'un miroir déformable permettant d'introduire sur le faisceau des différences de marche opposées a celles de la turbulence pour en assurer la correction en temps réel et enfin d'un calculateur effectuant le traitement du signal de l'analyseur pour le calcul de la correction et l'application des commandes au miroir déformable. La première partie traite de la formation d'une image, et présente quelques caractéristiques de la turbulence, pour estimer la dégradation de l'image due a cet effet perturbateur. Les propriétés du modèle de comportement d'un miroir modulable, élément de la chaîne d'optique adaptative pour corriger le front d'onde perturbé, sont développées en deuxième partie. La troisième partie expose deux techniques pour évaluer les déformations du front d'onde. La boucle de régulation d'un système d'optique adaptative est enfin décrite dans son environnement. Constantes physiques célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 m - s--1 constante du gaz parfait RGP = 8, 31 J - K_1 -mol_1 Lumière du Miroir télescope déformable Front d'onde déformé {___ | Lame | Ü séparatrice Système de controle Front d'onde | corrigé + | | , ! | | Image haute |___ résolution Analyseur de surface d'onde Figure ]. Chaîne d'optique adaptative 1. Formation d'image et turbulence 1.1. On considère une fente de largeur a et de longueur grande devant sa largeur; elle est éclairée7 sous une incidence voisine de la normale7 par une onde plane monochromatique de longueur d'onde À. On suppose de plus a >> À. 1.1.1. Donner un énoncé qualitatif du principe de Huygens--Fresnel. 1.1.2. Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse de la figure de diffraction << à l'infini >>) en fonction de l'angle & que fait la direction d'observation avec la direction de l'onde incidente. On désignera par 10 la valeur du maximum d'intensité. 1.1.3. Exprimer la position angulaire de la première frange noire en fonction de la longueur d'onde À et de la largeur a. Dans tout le problème7 on ne s'intéressera qu'à une description monodimensionnelle de la tache de diffraction d'un dispositif optique. On considérera que l'expression trouvée dimensionne convenablement le rayon du premier anneau sombre de la figure de diffraction à l'infini créée par un diaphragme circulaire. 1.2. L'étude suivante a pour but de mettre en évidence l'un des aspects de la dégradation de l'image d'une source ponctuelle par la turbulence. On considère deux fentes, de largeur &, séparées de la distance 19. On s'intéresse a la figure de diffraction << a l'infini >> de ce système. Les dimensions & et b sont très grandes devant la longueur d'onde À du rayonnement considéré. 1.2.1. On suppose que les fentes sont éclairées par une source monochromatique, donnant un front d'onde plan parallèle au plan des fentes. @) Donner l'amplitude puis l'intensité diffractées a l'infini dans une direction formant l'angle & avec la direction de l'onde incidente. b) Préciser le rôle des deux dimensions caractéristiques & et 19. 1.2.2. On suppose maintenant que la partie de l'onde arrivant sur l'une des fentes possède un décalage de phase @. Quelle influence ce déphasage induit--il sur la figure de diffraction? 1.2.3. Oe déphasage @ varie au cours du temps. Quelle condition sur @ assure la visibilité des franges (déplacement très inférieur a la largeur d'une frange d'interférence) ? 1.2.4. On suppose que le déphasage @ varie rapidement, en induisant des variations sur le front d'onde plus grandes qu'une longueur d'onde. Un détecteur plan placé a grande distance enregistre le rayonnement diffracté durant un certain laps de temps (temps de pose). Quelle est l'allure de l'image obtenue avec un temps de pose plus court que le temps carac-- téristique des variations de w ? Même question avec un temps de pose long devant ce temps caractéristique 1.3. L'étude précédente est complétée ici par une analyse plus fine. À l'abscisse a:, la phase de l'onde, qui fluctue rapidement, est considérée comme une variable aléatoire de valeur 90 (a:, t) a l'instant t, on suppose sa valeur moyenne temporelle nulle, soit  : 0. On pose @ (a: + 5, a:, t) = 90 (a: + 5, t) -- 90 (a:, t). Oe déphasage est aussi une variable aléatoire, sa variance D.{) (5) :  est supposée stationnaire et uniquement fonction de l'écart 5 (invariance par translations temporelle et spatiale). 1.3.1. Reprendre le calcul effectué en 1.2.1.a avec deux fentes séparées de b pour obtenir l'amplitude, puis l'intensité [ (oz, 15). 1.3.2. Pour une variable aléatoire f (15) dont la statistique est donnée par une gaussienne et de valeur moyenne nulle, on montre que  : exp {--% ]. Les fluctuations de phase étant dues a un très grand nombre de paramètres, on admettra qu'elles obéissent a ce type de statistique. En déduire l'intensité moyenne 1 (a) = <] (oz, t)) en fonction de D@(b). Im x _ [min 1.3.3. On suppose & << 19. On définit un facteur de visibilité des franges F par F : Iaî max min où [max et [min sont les intensités d'un maximum et d'un minimum voisins. Exprimer F a l'aide de Dfi(b). 1.3.4. Une analyse théorique des fluctuations prévoit une variance de la forme 5/3 D./) (5) = ((S--) où 50 est une dimension caractéristique. Calculer en fonction de 50 la va-- leur Æ de b pour laquelle F = 0,1. Quel est l'intérêt de la comparaison de cette valeur avec le diamètre du miroir du télescope ? 1.4. Les perturbations dues a la turbulence sont liées aux variations d'indice de réfraction de l'air. Cet indice dépend de sa masse volumique p, via la relation empirique de Gladstone : n--1=Kp. 1.4.1. Exprimer n en fonction de la température T et de la pression p; on suppose que l'air, de masse molaire M, obéit a l'équation d'état du gaz parfait. Déterminer numériquement la constante K, sachant que, dans les conditions normales de pression et température (1, 013 >< 105 Pa, 293 K), 77. = 1, 00029. 1.4.2. Par rapport a une situation d'équilibre de l'atmosphère décrite par T(z) et p(z), des fluctuations de température et de pression se manifestent respectivement par des écarts (ST et 539. Exprimer la relation entre ces fluctuations et celles 577. de l'indice qu'elles induisent. A.N. On admet que l'équilibre en pression est, au regard des phénomènes étudiés, quasiment instantané. Quelle fluctuation d'indice découle d'une fluctuation de température 5T de 0,1 K d'une part au niveau de la mer (20°C), d'autre part a l'altitude correspondant a une pression de 100 hPa (--50°C) ? Pourquoi les couches les plus basses de l'atmosphère apportent-elles la plus forte contribution aux fluctuations d'indice ? 1.4.3. On suppose que l'essentiel de la perturbation d'indice (5n) provient d'une seule couche turbulente, de faible épaisseur h a l'altitude z0b3. Etablir l'expression de 5£, surcroît de chemin optique dû a 577. lors d'une traversée verticale. A.N. On mesure un décalage (% de l'ordre de 1 nm pour une perturbation limitée a une couche localisée près du sol de hauteur 30 m. En déduire la fluctuation relative de température associée a cette perturbation. 1.5. L'analyse effectuée en 1.3 permet de modéliser la couche turbulente par une juxtaposition de zones, appelées cellules, de taille caractéristique EUR (figure 2). On s'intéresse a la propagation d'une onde initialement plane, monochromatique de longueur d'onde À. Chaque cellule intro-- duit lors de la propagation un déphasage (par rapport au vide) fluctuant et incohérent avec les déphasages des cellules voisines. L'observation a lieu a une distance L de la couche turbulente. front d'onde cellules de la zone plan de perturbat10n F Zgure 2. Modélisation d'une couche turbulente 1.5.1. Quel étalement angulaire la diffraction par la cellule de taille caractéristique EUR va--t--elle provoquer ? 1.5.2. Montrer qu'aux distances plus grandes qu'une longueur de l'ordre de Æ2/À, il y a superposition des fronts d'onde issus de cellules voisines. A.N. Calculer cette longueur pour À : O, 5um et EUR = O, 1 m. 1.5.3. Le temps caractéristique T de l'évolution de la turbulence est lié a la vitesse @ des vents en altitude. Exprimer T en fonction des grandeurs pertinentes. A.N. Évaluer T pour une vitesse @ de l'ordre de 20 m - s_1. 1.6. Les observations réalisées au télescope CFHT, a Hawaï, de diamètre du miroir primaire (miroir collecteur) D = 3,6 m, montrent un étalement de l'image d'un objet ponctuel (une étoile) de l'ordre de 0,5" dans les meilleures conditions, en lumière visible a la longueur d'onde À : O, 5 nm. 1.6.1. Quelle est l'origine physique de cet étalement ? En déduire une estimation de EUR. 1.6.2. Pour un télesc0pe de miroir primaire de diamètre D et dans des conditions de tur-- bulences caractérisées par EUR, quelle amélioration en résolution angulaire peut--on attendre si on équipe le télescope d'une optique adaptative ? Figure 3. Image stellaire d'une même source ( a gauche, temps de pose très court; a droite, temps de pose long) 1.6.3. La figure 3 montre une tache image stellaire enregistrée dans deux situations distinctes ; la première image résulte d'une pose très courte, plus brève que T ; la deuxième correspond a une pose très longue par rapport a r. Expliquer l'allure de chacune des images, et leur différence. 2. Fonction de transfert d'un miroir déformable Le miroir déformable nécessaire a la correction du front d'onde perturbé est composé d'une membrane mince, réfléchissante sur sa partie supérieure (le miroir lui-même) a l'arrière de laquelle sont fixés des actionneurs qui viennent pousser ou tirer sur celle--ci (figure 4). On peut prévoir la réponse temporelle du miroir déformable d'une optique adaptative en étudiant le comportement d'une cellule élémentaire de ce miroir considérée comme découplée des autres et composée de la portion circulaire de la membrane comprise entre les actionneurs les plus proches autour d'un actionneur central (figure 4). De plus, ici nous réduirons le problème a une seule dimension : le déplacement a:(t) de la membrane selon l'axe perpendiculaire a celle--ci au droit de l'actionneur central. Figure 4. Photographie et schéma de principe de la membrane et des actionneurs ( le cercle représente une cellule élémentaire ) 2.1. Modélisation de la membrane Du point de vue mécanique, le comportement de la membrane de la cellule élémentaire peut être simplement modélisé par un système constitué d'une masse m, d'un ressort de raideur k et d'un amortisseur de coefficient visqueux ,u (figure 5). L'action mécanique de l'actionneur central --» sur le système est modélisée par un glisseur d'axe (0, a?) de résultante f (15) L'objet de l'étude est --» de déterminer le déplacement a:(t) par rapport a la position d'équilibre 5170, en fonction de f (15) m T--> X(t) f(t) XO _ 0 Figure 5. Modèle de la membrane du miroir 2.1.1. Écrire l'équation du mouvement du système. 2.1.2. À partir de cette équation, exprimer la fonction de transfert du système D(p) : X (p) / F(p) Mettre cette expression sous forme canonique; donner son ordre et l'ex-- pression des paramètres caractéristiques. La raideur de la membrane est de la forme : k : 4E e3/R2 où e est l'épaisseur de la mem-- brane, R la distance entre deux actionneurs proches et E le module d'Young du matériau. Pour une membrane en nickel : E = 2,1 >< 1011 N - m_2 et sa masse volumique : p= 8,9 >< 103 kg- m--3. On considère deux configurations différentes : -- la configuration numéro 1 pour laquelle : e = 1 mm, R = 0,8 cm et ,u = 10 N m_1 s -- la configuration numéro 2 pour laquelle : e = 0,08 mm, R = 1, 5 cm et ,u = 0,5 N m_1 s. 2.1.3. Pour les deux configurations, représenter sur un même graphe, le diagramme asymp-- totique de Bode de la fonction de transfert D(p), en précisant les valeurs numériques caractéris-- tiques. Donner l'allure des courbes réelles. Déterminer, le cas échéant, le coefficient de qualité. Commenter les différentes zones en pulsation de ces diagrammes. Quelle zone retenir pour le système ? 2 14. Quelle membrane choisir pour pouvoir commander le miroir jusqu'à des fréquences d'au moins 1 kHz ? Afin d'atténuer la résonance de ce miroir, on se propose de placer un filtre du deuxième ordre H (p) au sein de la boucle de commande en force de l'actionneur : donner l'expression de la fonction de transfert globale du nouveau système. Trouver les paramètres caractéristiques du filtre (de gain statique égal a 1) a choisir pour obtenir une atténuation de la résonance d'au moins 40 dB tout en conservant les moyens d'atteindre une commande jusqu'à 1 kHz. 2.2. Modélisation de l'association actionneurs--membrane Pour tenir compte de l'influence des actionneurs périphériques, le comportement de la cellule est maintenant modélisé par un système constitué d'une masse m, d'un ressort de raideur k, et de quatre actionneurs en parallèle modélisés chacun par un amortisseur de coefficient visqueux ua en série avec un ressort de raideur ka (figure 6). L'action mécanique de l'actionneur central sur --» le système est modélisée par un glisseur d'axe (0, a?) de résultante f (15) Les quatre actionneurs périphériques sont passifs. On s'intéresse toujours au déplacement de la membrane au droit de l'actionneur central a la cellule. A _4 actionneurs X3(t)jÎ passifs X30 actionneur A 8Ctlf X2(Û __ A k X20 . . . descr1pt1on des act10nneurs m Êt)T X1(Ü ;:_ X10 _» XA Ma ka 0 F igure 6. Modèle de l'association actionneurs-membrane 2.2.1. Écrire le système de trois équations décrivant le mouvement des trois abscisses : a:1(t), 51305) et 51305) définies par rapport aux positions d'équilibre, respectivement cr..., 51720 et 51:30. Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. En déduire la fonction de transfert du miroir D(p) avec D(p) : X1(p)/F(p). Montrer que D(p) peut s'écrire sous la forme canonique : 1 1 + T1}? T7; p (Tâp2 --l-- 2Z'7'2P + 1) D(p) = Identifier les différentes constantes en fonction des caractéristiques du modèle. 2.2.2. Pour les deux cas limites de la valeur du coefficient visqueux (,ua --> 0 et ua --> oo), exprimer la fonction de transfert, interpréter le résultat et donner l'expression de la raideur équivalente du modèle étudié. 2.2.3. La raideur de la membrane est donnée) comme précédemment) par la relation k : 4E eB/R2 et la raideur d'un actionneur par l'expression : avec da : 5mm et La : 40 mm. On considère la membrane de dimensions : e = 1 mm et R = 0, 8 cm et on retient comme matériau pour l'actionneur, le PZT qui a comme caractéristiques : Ea : 5 >< 1010 N - m_2. Le coefficient visqueux pour la liaison membrane actionneur est égal a : ,ua : 1000 N - m_1 s. Calculer les différents paramètres caractérisant la fonction de transfert D(p). Tracer le diagramme asymptotique de Bode en notant les grandeurs caractéristiques. Com-- ment évolue ce diagramme si l'on augmente la valeur du coefficient visqueux? 3. Analyse du front d'onde perturbé La boucle d'optique adaptative inclut un analyseur de front d'onde qui en mesure les défauts. Deux modes de mesure des défauts sont analysés dans cette partie. Mesure de pentes sur le profil du front d'onde Le principe de l'analyseur de front d'onde de type Shack--Hartman est représenté par la figure 7. Une fraction du signal optique est prélevée et traverse une galette de N microlentilles. Chaque microlentille est de taille carrée, de côté a... de distance focale f. Les N microlentilles pavent un cercle de diamètre q : a.../4N/7r. F igure 7. Dispositif de Shaok-Hartman 3.1. Pour éclairer la galette de microlentilles7 le faisceau incident collecté par le miroir pri-- maire du télescope a été mis en forme par une optique secondaire. L'ensemble primaire + secon-- daire est modélisé par un montage afocal équivalent constitué de deux lentilles minces conver-- gentes, formant une lunette de grandissement angulaire G ; soit D le diamètre de la première lentille (égal au diamètre du miroir primaire). On suppose le diamètre de la seconde suffisamment grand pour n'intercepter aucun rayon ayant traversé la premiére. 3.1.1. La galette de microlentilles est placée dans le plan conjugué de la première lentille a travers la seconde. Justifier ce choix. 3.1.2. L'onde incidente étant inclinée d'un angle io, que devient l'inclinaison @ en sortie du montage afocal? Faire un schéma. 3.1.3. Quelle relation nécessaire et suffisante doit vérifier le grandissement G du montage afocal, pour un éclairement total de la galette, sans perte de lumière ? Faire un schéma. A.N. La turbulence est caractérisée par i0 : 0,8". L'optique adaptative alimente une galette de 200 microlentilles, chacune de côté au : 1 mm. Le miroir collecteur a un diamètre D = 3, 6 m. Calculer G et i. 3.2. On suppose qu'une microlentille analysant une fraction du front d'onde perturbé reste éclairée par une onde localement plane. 3.2.1. Montrer sur un schéma les différentes positions possibles de l'image dans le plan focal de la galette de microlentilles, générées par un front d'onde plan initialement orthogonal a l'axe, puis localement incliné d'un angle @ suite a la turbulence. En déduire le principe de la mesure. 3.2.2. Pour une longueur d'onde de 2um, comparer la dispersion angulaire de diffraction associée a une microlentille et celle due a la turbulence caractérisée par l'angle i, en utilisant les valeurs numériques de 3.1.3. En déduire la valeur maximale de la focale f,, des microlentilles, qui évite la confusion entre l'information donnée par deux microlentilles adjacentes, et la calculer. Mesure de courbure du profil du front d'onde Le dispositif présenté a la figure 8 permet de mesurer directement la courbure du front d'onde incident. Lorsqu'il est non perturbé, le front d'onde plan incident est focalisé au foyer F de la lentille. Un détecteur plan intercepte le faisceau alternativement en amont et en aval du foyer, sa position étant rapidement modulée d'un pas d de part et d'autre de F. V Figure 8. Capteur de courbure 10 3.3. Le faisceau incident, perturbé, n'est plus localement plan, il possède au niveau de la lentille une courbure C analogue a celle d'une calotte sphérique de rayon }) : C : 1/3), p étant algébrique et compté du sommet de la calotte vers le centre. 3.3.1. En quelle position p' , comptée a partir de la lentille, le faisceau converge--t--il ? Par la suite, on notera Ap' : p' -- f' , f' étant la distance focale image de la lentille. 3.3.2 . Le faisceau incident illumine en totalité la lentille d'aire A0. On néglige dans un premier temps tout effet diffractif. En déduire dans ce cas que les aires éclairées pour les deux positions du détecteur valent respectivement : dïAp' 2 Ai = A°(f+--Ap) ' 3.3.3. On ne néglige plus la diffraction. Montrer qu'alors il faut un pas de modulation suffi-- sament grand pour avoir un effet sensible. Déterminer la valeur d* de d en deçà de laquelle le rôle de la diffraction devient prépondérant, pour le cas Ap' : O. L'exprimer en fonction de la longueur d'onde À et du nombre d'ouverture NO : f'/a0, où dg est le diamètre de la lentille. A.N. Calculer d* dans le cas d'un nombre d'ouverture de 10 a la longueur d'onde de 2,0 ,um. Dans la suite, on suppose être dans le cas d >> d*. 3.3.4. Pour un éclairement uniforme, comment le flux collecté par unité de surface du détec-- teur, Î, varie--t--il en fonction de Ai ? 3.3.5. On note A : (+ -- _)/(CI>+ + CIL) la différence relative entre les flux collectés par unité de surface. Exprimer A en fonction de d et Ap' . 3.3.6. La courbure mesurée est toujours très faible. Simplifier l'expression précédemment obtenue et l'exprimer en fonction de C , conclure. 4. Boucle d'asservissement de l'optique adaptative 4.1. Fonction de transfert des principaux éléments de la boucle Le schéma de la boucle d'optique adaptative est donné a la figure 9. L'entrée Xt(p) est le front d'onde turbulent arrivant sur l'instrument, la sortie Xr(p) est le front d'onde résiduel aprés la correction effectuée par le miroir déformable. En effet, ce front d'onde résiduel est la variable pertinente pour déterminer la qualité de l'image qui sera observée au foyer de l'instrument. Les fonctions de transfert de l'analyseur du front d'onde, du calculateur et du miroir déformable sont notées repectivement A(p), C(p) et D(p). 11 Nous ne nous intéresserons ici qu'à un cas mono--variable, c'est--à--dire a un seul des degrés de liberté du système d'optique adaptative. Pour chaque degré de liberté, une fonction de transfert pourrait être établie, en négligeant le couplage éventuel entre les degrés de liberté. Xt(p) X,(p) Xl(p' F) %>) A(p) Figure 9. Schéma de principe d'une boucle fermée d'optique adaptative 4.1.1. En analysant le schéma de la figure 9, expliquer pourquoi la mesure de l'erreur par l'analyseur du front d'onde est pertinente pour l'objectif de l'optique adaptative. 4.1.2. Quelle fonction de transfert inclure dans le calculateur pour assurer une correction par le miroir déformable représentative de la turbulence ? 4.2. Analyseur de front d'onde Du point de vue temporel, l'analyseur doit tenir compte de l'effet du temps de pose nécessaire pour enregistrer sur le détecteur la répartition de l'intensité lumineuse permettant la mesure du front d'onde. Il réalise donc la moyenne du signal d'entrée entre l'instant t -- Ta de début de la pose et l'instant t de fin de la pose. 4.2.1. Montrer que, dans ces conditions, la mesure faite par l'analyseur u(t) est un produit de convolution entre la grandeur instantanée a:,(t) et une fonction porte H(t ), avec H(t ) : 1/Ta pour t E]O,Ta ] et H(t) -- --0 en dehors. On rappelle que la valeur moyenne sur Ta de e(t ) est donnée par : (( )Ta =T--a --/ÎTae 4.2.2. Calculer la transformée de Laplace U (p) de u(t) et en déduire la fonction de transfert de l'analyseur A(p) : U(p)/XT (p) 4.2.3. Mettre A(jw) sous la forme a(wTa) exp(--jçb(wTa)). Montrer que pour les pulsations petites devant 2 / T... A(p) se réduit a un terme proportionnel a un retard pur. Montrer que ce retard vaut Ta / 2. 4.2.4. Calculateur temps réel Le calculateur permet d'implanter un correcteur dans la boucle. Le correcteur le plus simple, retenu ici est un intégrateur pur multiplié par un gain K / Ta. De plus, en raison du volume de calculs a effectuer, le calculateur numérique introduit un retard supplémentaire TC dans la boucle, dû aux pas de calcul. Donner l'expression de la fonction de transfert équivalente du calculateur C(r)- 12 4.2.5. Miroir déformable Nous avons vu dans 2.1.4 que la fonction de transfert du miroir D(p) est modélisée par une fonction du quatrième ordre. Cependant le modèle de comportement sur la bande passante souhaitée peut être assimilé a un second ordre. Exprimer cette fonction de transfert dans sa forme canonique avec un gain statique unitaire et préciser la fréquence de coupure. Montrer que, quand la pulsation du signal d'entrée est faible devant la pulsation propre, on peut simplifier considérablement l'expression de la fonction de transfert du miroir D(p). 4.3. Fonction de transfert de la boucle 4.3.1. Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte H (p) du système représenté figure 9. En déduire la fonction de transfert T(p) : X,(p)/Xäp). 4.3.2. Dans le cas des faibles pulsations, montrer que l'expression de H (p) peut s'écrire : K T H = l-- (--" T.) 1 - (}?) Tap exp 2 + }? Identifier les deux paramètres de H (p) Tracer l'allure du diagramme de Bode de H (p) dans le cas TC : Ta. Dans le cas général, donner l'expression de K en fonction de TC et Ta pour que le système soit stable. Trouver la valeur du gain K qui assure la stabilité de la boucle avec une marge de phase de 45°. 4.3.3. Dans le cas des faibles pulsations, donner l'expression de T (p) Tracer l'allure générale de son amplitude. Déterminer la pulsation de cassure en fonction des paramètres de H (p) Comment faire varier K pour minimiser les résidus de front d'onde en sortie? Est--ce compatible avec la stabilité ? Quelle valeur de K choisir pour un fonctionnement optimal ? Donner la valeur de la pulsation de cassure de T(p) en considérant le gain statique K trouvé pour assurer la stabilité. Comment choisir T a pour minimiser l'erreur. 4.3.4. Quelle est la valeur de la pulsation de coupure wc a 0 dB en fonction des paramètres de H (p) dans le cas des faibles pulsations? Faire l'application numérique pour Ta : 1 ms et les deux cas TC : Ta et TC : 0, en prenant en compte le gain assurant la stabilité. Comment maximiser la bande passante ? 4.3.5. Calculer l'erreur statique pour une entrée indicielle. Le résultat trouvé semble--t--il conforme a l'objectif fixé a une optique adaptative? Quel élément de la boucle permet d'as-- surer ce résultat ? 4.3.6. Quel correcteur ajouter dans le calculateur pour accroître la bande passante tout en assurant la stabilité de la boucle ? Le justifier et donner son expression. 13

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 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2007 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet propose d'étudier quelques aspects de l'optique adaptative. Cette technique est devenue indispensable, depuis son émergence il y a vingt ans, pour tous les grands systèmes terrestres d'observation. Les aberrations dues aux turbulences atmosphériques limitent la résolution des grands télescopes et doivent donc être compensées pour profiter au mieux de la taille des instruments. · Le problème débute par l'étude de la formation des images. Les questions soulevées sont la diffraction et les variations d'indice inhérentes aux couches atmosphériques turbulentes. Il apparaît des variations de phase aléatoires sur le front d'onde, à l'origine des tavelures observées sans correction. · La deuxième partie est l'occasion de modéliser le miroir déformable et son actionneur pour obtenir la fonction de transfert qui lie la force appliquée au déplacement de la membrane. La modélisation se fait en deux temps, à partir de ressorts et d'amortisseurs. Elle conduit à deux fonctions de transfert, selon les caractéristiques géométriques précisées, dont une est à retenir après l'étude des diagrammes de Bode. · L'élément clef de l'optique adaptative est l'analyseur de front d'onde. La troisième partie propose l'étude de deux de ces dispositifs optiques : le ShackHartman et le capteur de courbure. Les questions portent surtout sur de l'optique géométrique. · Dans la quatrième partie, on examine la boucle d'asservissement dans son ensemble en modélisant essentiellement l'analyseur de front d'onde et un correcteur proportionnel intégral avec retard. On termine par la caractérisation de la fonction de transfert de la boucle, de sa stabilité et de l'erreur statique résiduelle. La première partie est très longue et traite de problèmes variés, largement indépendants les uns des autres. La modélisation de la membrane dans la deuxième partie est l'occasion de calculs et de diagrammes de Bode fastidieux qui ne sont peut-être pas très rentables en termes de points. La troisième partie traite d'optique géométrique et doit être faite rapidement. En dehors des question 4.3.3 et 4.3.4 qui sont assez confuses au premier abord, l'étude de la boucle d'asservissement est assez simple et ne requiert pas la maîtrise du cours correspondant. Le sujet est plutôt long et de difficulté inégale ; il peut permettre de faire le point sur l'optique. Indications Partie 1 1.2.1.a Utiliser à nouveau la formule de Huygens-Fresnel avec une pupille ouverte de -a/2 à +a/2 puis de (b - a/2) à (b + a/2). 1.3.1 Considérer que les variations de phase sont négligeables à l'échelle de a. 1.3.2 Exprimer la moyenne du cosinus, décomposé en exponentielles. 1.4.1 La masse molaire de l'air vaut 29 g.mol-1 . 1.4.2 Calculer la dérivée logarithmique de l'expression obtenue à la question 1.4.2. 1.5.2 Faire un dessin. 1.6.1 1 degré correspond à 3 600 secondes d'arc. Partie 2 2.1.3 La zone à retenir est celle pour laquelle le déplacement de la membrane est proportionnel à la force appliquée. 2.1.4 La fonction de transfert présente une résonance aux environs de 14 kHz et le système doit rester commandable jusqu'à 1 kHz. Comme le filtre atténuateur doit atténuer correctement la résonance, sa fréquence de coupure doit être une décade en dessous. Partie 3 3.1.2 Un montage constitué de deux lentilles minces convergentes est afocal lorsque le foyer image de la première coïncide avec le foyer objet de la seconde. 3.3.1 Chercher d'où semble provenir le faisceau. 3.3.2 Faire un dessin précis et utiliser le théorème de Thalès. Partie 4 4.2.1 On rappelle la définition du produit de convolution, Z + (u v)(t) = u(t ) v(t - t ) dt - 4.2.2 La transformée de Laplace d'un produit de convolution de deux fonctions est le produit simple des transformées Z de ces deux fonctions. Calculer ensuite la + (t) e -p t dt. transformée de Laplace (p) = 0 4.3.2 La stabilité d'un système est assurée si le gain est inférieur à l'unité lorsque la phase atteint -180. Pour obtenir une marge de phase de 45 , il suffit de remplacer le -180 précédent par -135. 4.3.3 La valeur optimale de K est choisie pour une marge de phase de 45 . Trouver alors la pulsation pour laquelle la phase est égale à +135. 4.3.4 Chercher la pulsation de transition, pour laquelle |T()| = 1, au lieu de la pulsation de coupure à 0 dB, ce qui est une notion confuse. 4.3.5 Utiliser le théorème de la valeur finale. Optique adaptative 1. Formation d'image et turbulence 1.1.1 Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point d'une surface atteinte par une onde lumineuse peut être considéré comme une source ponctuelle secondaire de même fréquence que la source primaire, d'amplitude complexe proportionnelle à celle de l'onde incidente et à l'élément de surface en ce point. Les ondes issues des sources secondaires situées sur une même surface d'onde primaire sont cohérentes entre elles. 1.1.2 On considère une fente F de largeur a et de longueur grande devant sa largeur, éclairée sous une incidence voisine de la normale. x - ki M a/2 O F - k -a/2 Traduisons mathématiquement le principe de Huygens-Fresnel pour exprimer l'amplitude complexe émise par la fente ZZ - - -- A() = K exp[i( k i - k ) · OM] dM F Avec une longueur de fente grande devant sa largeur, on peut considérer que l'onde ne sera diffractée que dans le plan perpendiculaire à - ey . En outre, l'onde incidente est - - -- quasiment normale à la fente, ce qui implique ( k i - k )· OM = -k x sin . Considérons enfin suffisamment petit pour que sin = , on obtient alors, avec k = 2/, Z a/2 2 A() = K exp -i x dx -a/2 exp -i a - exp i a soit A() = K 2 -i Ainsi, en introduisant la fonction sinus cardinal définie par sinc (u) = (sin(u))/u, A() = K a sinc a 2 L'intensité est définie par I() = |A()| , avec I0 la valeur du maximum d'intensité, ce qui conduit à I() = I0 sinc 2 a I/I0 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -2/a /a 0 -/a 2/a 1.1.3 La première frange noire est obtenue lorsque a / = + - et donc pour =+ - a D'après l'énoncé, cette expression dimensionne convenablement le rayon du premier anneau sombre de la figure de diffraction à l'infini créée par un diaphragme circulaire. En réalité, le calcul de l'intégrale pour une pupille circulaire est plus compliqué et fait intervenir les fonctions de Bessel. Le rayon réel est ainsi égal à 1,22/D, où D est le diamètre du diaphragme. Le facteur, proche de 1, n'a aucune influence qualitative et l'approximation est justifiée. 1.2.1.a On considère à présent deux fentes larges de a et distantes de O1 O2 = b x b + a/2 - k - ki O2 F2 b - a/2 a/2 - ki - k O1 F1 -a/2 En toute rigueur, l'énoncé stipule que les fentes sont séparées de la distance b. Considérons que b est la distance entre les centres des fentes, ce qui ne modifie pas les résultats, d'autant plus que dans la suite on estime que b est très supérieur à a.