X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2005

Thème de l'épreuve Mise en évidence des ondes gravitationnelles par interférométrie optique
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, mécanique, asservissements

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP Option Physique et Sciences de l'Ingénieur CONCOURS D'ADMISSION 2005 COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** L'expérience Virgo Réduction de certaines causes de bruit de fond Introduction La théorie de la relativité générale prédit l'existence d'ondes gravitationnelles générées par des masses accélérées. Ces ondes se propagent a la vitesse de la lumière 0. L'expérience franco--italienne << Virgo >> tente de les mettre en évidence par les variations de chemin optique qu'elles engendrent : un gigantesque interféromètre, avec des bras de 3 km de long, doit pouvoir mesurer des variations de longueur relatives de l'ordre de 10--21, a des fréquences typiques d'ondes gravitationnelles, qui sont de l'ordre de 1 kHz. L'expérience vise a être sensible dans toute la gamme de fréquences comprises entre 10 Hz et 10 kHz. Une telle précision de mesure n'est pas facile à atteindre. On étudie dans ce problème quelques phénomènes parasites qui peuvent gêner la mesure et les méthodes utilisées pour réduire leur influence. Données numériques et formulaire : Constante de Planck h = 6, 62 >< 10_34 J - s Constante de Boltzmann kB : 1, 38 >< 10"23 J -K_1 Vitesse de la lumière (: = 3,00 >< 108 m - 5"1 Champ de gravitation g = 9, 81 m -- 5--2 Tous les coefficients de réflexion et de transmission concernent les amplitudes de l'onde lumi-- neuse. 1. Principe de l'expérience Préliminaire La taille exceptionnellement grande du dispositif interférométrique conduit à s'interroger sur l'homogénéité des effets de l'onde gravitationnelle puis sur les variations temporelles des chemins optiques qu'elle induit. Q 1.1 Compte tenu des caractéristiques indiquées dans le préambule, montrer qu'une onde gravitationnelle a une amplitude uniforme sur l'ensemble de l'interféromëtre. À quelle condition sur la période TOg d'une telle onde peut--on considérer que les perturbations induites par l'onde gravitationnelle sont quasi--statiques ? Interféromètre de Michelson On considère l'interféromètre représenté figure 1. Les miroirs A1 et A2, parfaitement réflé-- chissants, ont des coefficients de réflexion en amplitude T1 et T2 égaux à --1. La lame séparatrice semi--réfléchissante est supposée sans pertes; pour un faisceau lumineux incident a 45°, le co-- efficient de transmission en amplitude ts est indépendant du sens de la traversée, de valeur ts : l/\/Î ; toujours pour les amplitudes, le coefficient de réflexion << avant >> (côté source) 71, est l'opposé du coefficient de réflexion << arrière >> (côté miroir Al) ré, avec rs : --1/\/Î et r_'s : 1 / x/Î On désigne par 11 et l2 les longueurs des bras de l'interféromëtre, séparatrice -- miroir A1 et séparatrice - miroir A2. _ miroir A2 miroir A1 photodiode Figure 1 : Interfémmètre de Michelson L'onde incidente produite par un laser est monochromatique; en tout point du dispositif, l'onde se propage dans le vide et sera décrite par une onde plane scalaire; en notation complexe, son amplitude sera choisie, avec origine au niveau de la séparatrice, de la forme a,,-- exp i(wyf -- kw) pour une direction de propagation selon Oæ, avec [{ : wL/c. Q 1.2 Déterminer l'amplitude aout de l'onde sortant vers la photodiode en fonction de celle de l'onde incidente a..., de k, 11 et lg. Q 1.3 Exprimer la puissance R... du faisceau sortant en fonction de la puissance d'entrée Pin. Montrer que cette expression se met sous la forme : Pout = En 81112 k'(l1 -- l2) . L'onde gravitationnelle, détectable par l'interféromètre, provoque un léger changement des Ion-- 1 1 gueurs des bras ; les longueurs deviennent l1 + ähog l1 et lg -- --2--hog lg où hog caractérise l'amplitude de l'onde gravitationnelle. Comme ordre de grandeur, on prendra hog = 10"21 pour une fréquence de 1 kHz. Le dispositif expérimental doit donc être sensible aux variations de longueur relatives correspondantes. Q 1.4 Montrer que, lors du passage d'une onde gravitationnelle, la puissance de Sortie varie de ôPgrav donné par : 1 5Pgrav : äPink hog(l1 + lg) sin 2k(l1 -- lg) . Q 1.5 On pose @@ : 2k(l1 -- lg). Déterminer les valeurs de (10 pour lesquelles le signal |ôPgrav| est maximal. Q 1.6 Calculer numériquement la valeur maximale de |5Pgravl pour une expérience de la-- boratoire utilisant un interféromètre avec des bras de 1 m de longueur, le laser fournissant une puissance de 20 watts a la longueur d'onde 1, 06 pm. Commenter le résultat obtenu. Bruit statistique de photons Le faisceau de sortie est constitué de photons chacun d'énergie h1/ où V est la fréquence de l'onde laser et h la constante de Planck. Sa détection s'effectue à l'aide d'une photodiode qui compte les photons reçus avec un facteur d'efficacité 7], avec 0 < 77 < 1. Soit N le nombre de photons détectés durant un intervalle de temps At. Pour une puissance Po..., du faisceau de sortie et une durée de comptage At données, ce nombre N est une grandeur possédant des fluctuations statistiques dont l'écart--type aph est relié a la valeur moyenne {N ) par la propriété oph : (N ) Q 1.7 Exprimer {N ) en fonction de R.... Q 1.8 À la fluctuation statistique de N, en l'absence d'effet gravitationnel, on peut associer une fluctuation équivalente de R... dont l'écart--type est noté 5PSh0t. Evaluer 5PSh0t en fonction de P...... a l'aide de h,1/,At et 77. Exprimer alors ôPsh0t en fonction de P.... Q 1.9 En déduire la valeur du rapport << signal sur bruit » |5PgraVI/5PShOE. Pour quelles valeurs de k(11 -- lg) est--elle maximale? À quel réglage de l'interféromètre cela correspond--il? Préciser alors les valeurs de Pont et de ôPgrav ; commenter brièvement le résultat. Q 1.10 On définit la sensibilité de l'interféromètre comme la valeur hshot de hog correspondant a un rapport signal sur bruit de 1. Exprimer hshOt en fonction de h, e, 7), At, P..., À = c/ u, l1 et lg. Q 1.11 Pour détecter les variations temporelles de hog (t), At doit être inférieur aux périodes utiles. Soit f : 1/At la fréquence d'échantillonnage. Dans l'expérience de laboratoire envisagée en 1.6, exprimer hShOt en fonction de f et l'évaluer avec 77 = 0,8 et pour f allant de 10 Hz à 10 kHz. Quelle conclusion peut-on en tirer compte tenu du but à atteindre ? Amélioration du système optique Une première amélioration possible pour se rapprocher de la sensibilité souhaitée consiste a allonger les bras de l'interféromètre; celui de l'expérience Virgo a des bras de 3 km. On modifie de plus le système optique de chaque bras en y formant une << cavité optique >> par adjonction, près de la séparatrice, de miroirs Bl et B2, partiellement réfléchissant et identiques; leur coefficient de réflexion, côté séparatrice, ?" est réel positif; celui, côté miroir A1 ou A2, en est l'opposé, soit T' = --7". Ces miroirs sont supposés sans pertes avec r2 + t2 = 1 où t est leur facteur de transmission. La distance entre les miroirs, sensiblement la même dans chaque bras, est notée d (figures 2 et 3). A2: Cavités optiques photodiode Figure 2 : Interfe"mmètre avec cavité optique dans chaque bras miroir supplémentaire B miroir A Faisceau réfléchi {__-- [i Faisceau incident 4---- > d Figure 3 : Cavite' optique On admettra que, dans chaque bras, le système constitué des deux miroirs en regard est équivalent à un miroir unique dont le coefficient de réflexion global pour l'onde venant de la séparatrice est donné par : 7" -- exp(--2ikd) : __ 1 TFP 1 -- rexp(--2ikd) ( ) Q 1.12 Montrer que |7°FP| = 1; interpréter ce résultat. On pose 3 = 2kd; quelle est la périodicité de er(fl) ? d901 -- 72 1.13 On ose 7" = ex --7L . Montrer ue -- ------------------. uelle est la d variation de 90 pour [3 allant de ----7r + p27r a 7r + p27r, ]) entier? Exprimer d_Ë ; l'évaluer fi=p2vr dcp numériquement pour r- -- 0,98. Calculer de même-- dfifi fi=p27ri7r On s'intéresse à la variation de la phase de l'onde réfléchie produite par une modification ôd de la distance d due a l'onde gravitationnelle. On règle pour cela les systèmes optiques des bras à fi = p27r, p entier. Q 1.14 Montrer que ce système optique est alors équivalent à une longueur de bras d'un interféromètre simple que l'on précisera. Calculer cette longueur équivalente pour d = 3 km et 7° = 0,98. Quelle est l'amélioration de sensibilité par rapport à l'appareil de laboratoire dont les bras ont une longueur de 1m ? Q 1.15 Le maximum de sensibilité de l'interféromètre est obtenu lorsqu'il est réglé pour une puissance de sortie nulle. Où part l'essentiel de l'énergie lumineuse entrée dans l'interféromètre ? Il est possible de la << recycler >> pour augmenter la puissance lumineuse dans l'appareil. Avec un recyclage d'un facteur 100, atteint-on la sensibilité souhaitée ? 2. Réduction du bruit de fond sismique; le super-atténuateur Afin de déceler des valeurs de h0g de l'ordre de 10--21, une réduction du bruit sismique d'au moins un facteur 1010 est nécessaire. Pour cela, chaque composant optique de Virgo est suspendu à un système anti--sismique, appelé << Super--Atténuateur >> ; on se propose d'étudier dans cette partie l'atténuation des mouvements horizontaux. Principe On considère le pendule simple, modélisé figure 4, constitué d'une masse M suspendue par un fil de longueur L. Le point de suspension, attaché au sol, est soumis, par rapport au réfé-- rentiel Rg(:ïîg, ÿg, Eg) galiléen fixe, a un déplacement horizontal d'origine sismique oe0(t). Soit R5(Î5, fig, 25) le référentiel lié au sol et en translation selon ÎG par rapport a RG, Figure 4 : Pendule simple Q 2.1 Écrire l'équation du mouvement angulaire du pendule dans 725 ; la linéariser en effec-- tuant l'hypothèse de petits mouvements angulaires. Q 2.2 En déduire l'équation différentielle reliant le déplacement a:(t) de la masse M a celui æ(p) OE0(P) æ0(t) du sol. En déduire la fonction de transfert du pendule P(p) : . lnterpréter le résultat. Pré-isolation Le << Super--Atténuateur >> comporte un ensemble de pendules en série constituant un filtre (figure 5a), ce qui permet d'obtenir l'atténuation souhaitée dans la gamme de fréquence utile. La chaîne de pendules possède néanmoins des résonances internes dans la gamme de fréquence [0,2 Hz, 0,5 Hz]. Les mouvements sismiques sont amplifiés a ces fréquences de résonance et peuvent engendrer de grandes oscillations des miroirs. Afin d'atténuer l'intensité de ces vibrations, la chaîne de pendules est suspendue à un pré--isolateur, tripode dont les pieds identiques sont des pendules inversés (figure 5b). On limite l'analyse à un seul pendule inversé, représenté figure 6. L'effet du poids est contre-- balancé par un couple de rappel élastique F : --CÛÿS produit au niveau de l'articulation par un joint élastique, conduisant à une position d'équilibre verticale. On considère dans un premier temps que la tige de longueur [ est sans masse. Q 2.3 Écrire, dans le référentiel 725 lié au sol, l'équation du mouvement angulaire du pendule. En déduire, dans le cas de faibles amplitudes angulaires, l'équation différentielle reliant dans RG le déplacement oe(t) de la masse M a celui a:0(t) du sol. 4---- pendule inversé filtre constitué de pendules , en cascade {___ tige joint élastique «__---- cloche miroir (___ contrepoids \ :î ? t --:_'i_}*} <_ sol a) vue d'ensemble b) détail d'un des trois pendules inversés Figure 5 : Super--Atténuateur Figure 6 : Pendule inversé OE(p) Q 2.4 Donner l'expression de la fonction de transfert du pendule inversé [(p) = ( ). 350 P La masse m de la tige n'est plus négligée. On désigne par J le moment d'inertie de l'ensemble masse plus tige par rapport à l'axe de rotation et par a la distance de son centre d'inertie G a cet axe. Q 2.5 Montrer que, dans R5, le moment par rapport à l'axe des forces d'inertie est égal à celui d'une force unique --Mt0tàêo Î5 appliquée en G, avec Mt0t : M + m. Écrire l'équation du mouvement du pendule dans R5 et la linéariser. En déduire la nouvelle fonction de transfert I'(p) = OE(p)/OEo(p)- Q 2.6 Calculer lim I ' (jtd) en fonction de m,M et l, le moment d'inertie de la tige par w-->oo 1 rapport à l'axe de rotation étant äm12. Esquisser le diagramme asymptotique de I ' ( jeu) et en déduire les propriétés de ce pendule. Le comportement à haute fréquence du pendule inversé, étudié précédemment, est indésirable. Pour palier ce problème, on munit le pendule d'un contrepoids en dessous de la liaison sphérique (figure 5b). On arrive ainsi par un choix judicieux à reporter les effets indésirables au--delà de la bande de fréquences à atténuer [0,2 Hz, 5 Hz]. Contrôle inertiel Avec ces diverses améliorations, le << Super--Atténuateur » constitue un atténuateur passif des vibrations sismiques très performant dans la gamme de fréquence utile. Cependant, à basse fréquence, les vibrations sismiques, amplifiées par les résonances internes, engendrent des dépla-- cements des miroirs trop importants pour être corrigés par le contrôle global du système étudié dans la partie 3. Un contrôle local est donc réalisé pour réduire ces vibrations. On reprend les notations et hypothèses des questions 2.3 et 2.4. La masse de la tige est négligée. Un actionneur relié au sol exerce un effort de contrôle Ë' = --FÎ5 sur le sommet du pendule inversé (figure 7). Figure 7 : Pendule inversé soumis à un efiort de contrôle Q 2.7 Montrer que le mouvement du pendule inversé est régi par l'équation : OE(p) = K?) lOEo(p) -- aF(19)l et exprimer oz en fonction des données du problème. En plus de l'actionneur, on implante sur le sommet du pendule inversé un capteur dont la sortie pilote l'actionneur. On étudie tout d'abord le cas où le capteur mesure l'écart entre les positions de la masse et du sol (figure 8). Pour améliorer l'atténuation, l'effort est du type : Figure 8 : Boucle de rétroaction pour un capteur de position Q 2.8 Exprimer la fonction de transfert A(p) de l'actionneur, puis la fonction de transfert G(p) = .r(p) /æg (p) Quelle est l'influence de 77 sur l'amortissement des résonances du << Super-- Atténuateur >> ? Montrer l'influence de 77 en donnant l'allure du diagramme asymptotique de Bode du gain pour différentes valeurs de ce paramètre. Que peut--on en déduire concernant l'atténuation des effets des mouvements sismiques lorsque 77 --> oo. On considère maintenant le cas où le capteur est un accéléromètre fixé sur le sommet du pendule inversé (figure 9) et donnant un signal proportionnel à d2æ/dt2. actionneur capteur Figure 9 : Boucle de rétroaction pour un capteur d'accélération Q 2.9 Exprimer la fonction de transfert C (p) du capteur7 puis la fonction de transfert A(p) permettant d'obtenir un effort de contrôle << visqueux >> de la forme : dæ(t) F(t)=+n dt . Q 2.10 Déterminer la nouVelle fonction de transfert G(p) : oe(p)/oeo(p). Étudier l'influence de 77. Donner les avantages de ce contrôle par rapport au contrôle utilisant un capteur de position. Q 2.11 Justifier l'intérêt d'ajouter dans l'effort un terme proportionnel à $. 3. Contrôle global Une fois les bruits atténués, on souhaite concevoir un système d'asservissement propre à amener et maintenir le système dans sa position de fonctionnement optimale : cavités optiques des bras en résonance et Michelson avec puissance de sortie nulle. Oet asservissement, appelé contrôle global, est réalisé en agissant à la fois sur la fréquence du laser et sur la position des composants optiques du système. Il nécessite plusieurs signaux de commande construits à partir de plusieurs signaux d'erreur. On analyse une méthode de construction d'un tel signal d'erreur permettant soit l'asservissement du laser soit unasservissement de position. Création d'un signal d'erreur Q 3.1 On souhaite asservir la fréquence du laser et les différentes cavités de l'expérience. Dans un cas général où l'on dispose d'un signal V(wL) dépendant de la pulsation wL du laser, on peut envisager de construire un signal d'erreur e(wL) : V(wL) -- V(w0) et d'asservir la cavité interne du laser à partir de ce signal pour qu'il oscille a um. Peut-on utiliser pour cela directement un signal continu V(wL) qui passe par un extremum pour wL : wo ? Q 3.2 Pour asservir malgré tout le laser à la pulsation cm en utilisant un signal V(wL) extrémal pour @@ = wo, une solution est de moduler la fréquence wL du laser selon la loi wL : wc + acos(Qt) avec la condition Q/a << 1. Cette condition implique que wL varie suf-- fisamment lentement pour que l'on puisse utiliser la même fonction wL l--> V(wL). On mesure à. l'aide d'un détecteur adéquat l'amplitude SQ de la composante de V a la pulsation Q. Développer V(wL) au second ordre autour de l'extremum, et montrer que SQ est proportionnel à a(wC -- wo). Peut--on asservir le laser sur ce signal d'erreur? Quel est l'inconvénient de cette méthode si la largeur de la résonance est très étroite ? Q 3.3 On utilise en pratique une méthode un peu différente. On module la phase de l'onde incidente, ce qui donne a l'entrée de la cavité (oe : O) : E,... : EO exp i(wyî+bsin Qt) avec b << 1. Montrer, en développant cette expression au premier ordre en b que ce signal se décompose en une << porteuse >> de pulsation wL et deux << bandes >> latérales de pulsations ou L :t Q. À d fixé, le coefficient de réflexion rFP : exp(--igo) de la cavité optique (cf. expression (1) et 1.13) dépend de wL par l'intermédiaire de fi(wL) : 2kd : 2de/c. On choisit Q tel que fi(wL i Q) soit proche de p027r i 7r, pg entier. Q 3.4 Montrer a l'aide des résultats numériques de 1.14, que l'on peut prendre rFP(wL i Q) : 1. Etablir alors l'expression au niveau du miroir B de l'onde réfléchie par la cavité en fonction de EQ, 1), ca,, Q,t et < O, 24 rad - s"'. On note respectivement :UA et 333 les positions des miroirs A et B, oe0A et OE0B celles de leur point d'attache, évaluées algébriquement selon l'axe du faisceau incident (figure 11). L'amortissement de chaque miroir est modélisé par l'introduction, dans l'équation de son mouvement, d'un terme en :Ï3A ou 5533, avec un paramètre d'amortissement g=0,5. suspension B suspension A faisceau incident Figure 11 : Cautte' optique suspendue Q 3.7 Soit do la distance entre les points d'attache en l'absence de toute perturbation. On note Aæo(t) : oe0A -- :EOB ---- do la variation de leur distance. Afin d'asservir la distance a:A -- 5133 entre les miroirs A et B à. une valeur donnée, un effort Ë' = F (t)f est appliqué sur le miroir A. On note Aæ(t) = oeA -- a:B -- d0 . Montrer que Aoe(p) : G(p) [G0Aæo(p) + F(p)]. Exprimer G(p) et GO en fonction de M , w... et EUR . Figure 12 : Asserutssement final La modélisation de la boucle d'asservissement est schématisée figure 12. Aoec est la consigne. C (p) désigne la fonction de transfert du correcteur et K un paramètre lié aux propriétés d'un actionneur électromagnétique. On considère dans un premier temps que K est un gain pur qui vaut K = 2 >< 10_2 N - A_1. Les performances attendues pour l'asservissement sont données dans le tableau 1. CRITÈRES NIVEAUX Erreur statique relative 58 < 10"3 pour une entrée en échelon Rapidité Temps du premier maximum T ... < 300 ms Marge de phase Md> > 45° Marge de gain Mg > 6 dB Tableau 1 - Performances attendues pour l'asservissement en position des miroirs Q 3.8 Aa:(p) peut se mettre sous la forme Aoe(p) : Hc(p)Aoec(p) + Hg(p)Aæg (p) Exprimer Hc(p) et Hg(p) en fonction de C(p), K, GO et C(p). On se propose, dans le cas où la perturbation est négligée, soit Aa:0 (p) = 07 de dimensionner successivement un correcteur proportionnel puis un correcteur proportionnel intégral. Correction proportionnelle On note C (p) : C0 le correcteur proportionnel. 8(19) AOEc (p) de précision. Calculer CO avec les valeurs numériques données précédemment. Q 3.9 Déterminer . Exprimer la condition sur CO qui permet de satisfaire le critère AOE(p) . Calculer les marges de 609) Q 3.10 Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte phase et de gain. Peut-on atteindre les performances attendues ? Correction proportionnelle intégrale 1+TOP le correcteur proportionnel intégral. TOP On note C(p) : C1 Q 3.11 Donner l'allure et commenter les diagrammes asymptotiques de Bode du gain et de la phase du correcteur C (p) Expliquer en le justifiant l'intérêt de placer ce correcteur dans la boucle d'asservissement. On admettra que le temps de montée du système en boucle fermée T ... est lié a la pulsation de coupure à 0 dB du système en boucle ouverte, notée wOC, par la relation «00ch : . Q 3.12 Calculer la pulsation de coupure {.doc qui respecte le critère sur le temps de montée. Calculer TO afin de respecter le critère de stabilité sur la marge de phase. Calculer enfin C1 afin d'obtenir effectivement la pulsation de coupure déterminée précédemment. Sensibilité auæ perturbations sismiques Pour limiter l'influence des perturbations sismiques Aoe0 sur la régulation, on retient le prin-- cipe du feed-forward qui consiste à mesurer les perturbations et a les injecter a un autre endroit de la boucle d'asservissement (figure 13). Figure 13 : Asservissement final avec feed--forward Q 3.13 Montrer que Aoe(p) peut se mettre sous la forme A£L'(19) = Hé(p)Aoec(p) + H6(p)Aæo(p) -- Choisir le correcteur Cf(p) qui annule l'effet de la perturbation. Q 3.14 Montrer que l'implantation du feed--forward n'influence pas l'asservissement précé-- demment déterminé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2005 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par Julien Borghetti (ENS Cachan) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'étude de quelques aspects du projet Virgo, expérience francoitalienne visant à mettre en évidence les ondes gravitationnelles par l'intermédiaire d'un gigantesque interféromètre. La mise en place d'une telle expérience pose quelques difficultés et ce problème essaye de montrer de façon progressive comment atteindre la sensibilité proche de 10-21 nécessaire à la détection d'ondes gravitationnelles. On trouve de nombreux documents traitant du sujet sur Internet. Signalons l'adresse du site officiel, http://www.virgo.infn.it . · Dans la première partie, on étudie les propriétés optiques du dispositif pour caractériser l'amplitude du signal détecté. L'étude statistique du bruit photonique permet ensuite d'évaluer la sensibilité de l'appareil pour montrer que l'utilisation d'un interféromètre simple avec des bras de trois kilomètres de long ne suffit pas. Il faut améliorer le système en utilisant une cavité optique dans chaque bras, pour en agrandir la longueur apparente. · La deuxième partie s'attache à montrer comment réduire le bruit sismique. En effet, avec un dispositif de cette taille, la moindre perturbation tellurique engendre un déphasage supplémentaire indésirable. C'est l'occasion d'étudier mécaniquement divers pendules et d'établir les caractéristiques des boucles de contrôle mises en oeuvre pour réduire le bruit et ainsi améliorer la sensibilité de l'appareil. · Enfin, dans un souci de maintenir le dispositif dans un état de fonctionnement optimal, on propose une stratégie de contrôle global dans la troisième partie. Il faut en effet asservir la dimension des cavités optiques et la pulsation du laser. Un signal d'erreur doit donc être élaboré, corrigé et introduit dans la structure de contrôle. Le problème débute par de l'optique ondulatoire, assez classique au début et calculatoire sur la fin. Dans la deuxième partie, afin d'établir des schémas d'asservissement, on modélise les atténuateurs de bruit par des pendules. Après des calculs de mécanique relativement simples, on établit des fonctions de transfert afin de dimensionner une boucle de contrôle local des vibrations sismiques. L'élaboration d'un signal d'erreur dans la troisième partie est l'occasion de questions plus exotiques. Le dimensionnement des correcteurs à la fin du problème ne pose en revanche pas de difficultés particulières. Indications Partie 1 1.2 L'onde incidente d'amplitude complexe ain = ai exp i(L t - k x) se sépare en deux avant de se recombiner en aout . Écrire alors les amplitudes complexes de ces deux ondes au moment de la recombinaison. 1.4 Développer Pgrav au premier ordre en hog et simplifier l'équation obtenue. 1.7 Sommer la contribution de chaque photon à la puissance du faisceau. q 2 hX2 i - hXi . 1.8 On rappelle que l'écart type d'une grandeur X vaut : X = L'écart-type de kN est égal à l'écart-type de N multiplié par k. 1.12 Calculer le module au carré du nombre complexe rFP . 1.13 Exprimer d/d = d/drFP × drFP /d. Il y a une erreur dans l'énoncé ; l'expression à trouver est d 1 - r2 = d (1 - r)2 + 4r sin2 (/2) 1.14 Développer au premier ordre en . est un déphasage supplémentaire qui s'ajoute dans l'expression obtenue à la question 1.2. Partie 2 2.1 Faire un bilan des forces dans le référentiel non galiléen RS et utiliser le théorème du moment cinétique. 2.5 Calculer le moment par rapport à l'axe des forces d'inertie comme la somme des moments élémentaires le long de la tige et du moment en la masse. La relation définissant la distance a du centre d'inertie à l'axe (Mtot a = m /2 + M ) apparaît naturellement dans ce calcul. Partie 3 3.1 Si V(L ) passe par un maximum et si le signal d'erreur décroît, faut-il augmenter ou diminuer la consigne ? 3.4 Utiliser les résultats numériques obtenus à la question 1.13 et faire un développement limité de rFP au premier ordre en . 3.7 Chaque miroir se comporte comme un oscillateur amorti dont l'équation différentielle caractéristique doit être connue. En outre, il faut ajouter les termes supplémentaires en x0 et F comme lors de la question 2.2. La masse M du pendule est notée Mm dans le préambule de cette question. 1. Principe de l'expérience 1.1 La longueur d'onde représente la distance caractéristique des variations de l'onde gravitationnelle. Or, la longueur d'onde est reliée à la fréquence de l'onde par la relation = c/f , où f désigne la fréquence de l'onde gravitationnelle. On a ainsi, avec f = 10 kHz dans le cas le plus défavorable, = 3.104 m = 3.103 m La longueur d'onde gravitationnelle étant très supérieure à l'extension géométrique caractéristique = 3 km de l'interféromètre, on peut considérer qu'une onde gravitationnelle a une amplitude uniforme sur l'ensemble de l'interféromètre. En outre, si l'on veut que les perturbations induites par l'onde gravitationnelle soient considérées comme quasi-statiques, la période Tog de cette onde doit être très supérieure au temps mis par l'onde lumineuse pour effectuer un aller retour dans le bras de l'interféromètre, soit Tog 2 = 20 µs c Cette relation est effectivement vérifiée avec Tog compris entre 10-4 s et 10-1 s. 1.2 Soit a1 (resp. a2 ) l'amplitude complexe de l'onde lumineuse après parcours aller retour du bras 1 (resp. du bras 2). Cette onde, dont l'origine de la phase est prise au niveau de la séparatrice, a parcouru 2 1 (resp. 2 2 ), en traversant la séparatrice et en se réfléchissant au niveau du miroir puis de la séparatrice. On obtient ( a1 = ts r1 rs ai exp i(L t - k x - 2 k 1 ) a2 = rs r2 ts ai exp i(L t - k x - 2 k 2 ) Or, pour une direction de propagation selon Ox, ( ain = ai exp i(L t - k x) aout = a1 + a2 Avec ts r1 rs = -1/2 et rs r2 ts = 1/2, on a alors ain aout = exp(-2 i k 2 ) - exp(-2 i k 1 ) 2 1.3 Avec aout le complexe conjugué de aout , on a 1 aout aout 2 1 1 = ain ain × exp(-2 i k 2 ) - exp(-2 i k 1 ) exp(2 i k 2 ) - exp(2 i k 1 ) 2 4 1 = Pin × 1 + 1 - exp(2 i k (1 - 2 )) + exp(-2 i k (1 - 2 ) 4 1 = Pin × 1 - cos 2 k (1 - 2 ) 2 Pout = Pout Soit Pout = Pin sin2 k (1 - 2 ) (1) 1.4 Évaluons la variation de la puissance de sortie : 1 1 2 - Pin sin2 [k (1 - 2 )] Pgrav = Pin sin k 1 + hog 1 - 2 - hog 2 2 2 1 1 1 = Pin - cos 2k (1 - 2 ) + hog (1 + 2 ) - Pin sin2 [k (1 - 2 )] 2 2 2 1 1 Pgrav = Pin - cos [2k(1 - 2 )] cos [k hog (1 + 2 )] 2 2 1 + sin 2k(1 - 2 ) sin k hog (1 + 2 ) - Pin sin2 [k (1 - 2 )] 2 En développant au premier ordre les termes en hog , on obtient 1 1 1 Pgrav = Pin - cos [2k(1 - 2 )] + k hog (1 + 2 ) sin [2k(1 - 2 )] 2 2 2 -Pin sin2 [k (1 - 2 )] d'où Pgrav = 1 Pin k hog (1 + 2 ) sin 2k(1 - 2 ) 2 Une méthode plus rapide consiste à différentier l'expression originale : Pout Pout Pgrav = 1 + 2 1 2 Pgrav = 2kPin sin [k(1 - 2 )] cos [k(1 - 2 )] (1 - 2 ) 1 = 2kPin sin k(1 - 2 ) cos k(1 - 2 ) hog (1 + 2 ) 2 1 = Pin k hog (1 + 2 ) sin 2k(1 - 2 ) 2 1 1.5 Avec 0 = 2k(1 - 2 ), on obtient Pgrav = Pin k hog (1 + 2 ) |sin 0 |, qui est 2 maximal pour 0 [] 2 1 et 2 étant des valeurs proches et élevées, on travaille ici à (1 +2 ) constant et (1 - 2 ) variable car les variations de (1 + 2 ) sont négligeables devant (1 + 2 ) tandis que l'on n'a pas le droit de négliger (1 - 2 ) devant 0. 1.6 Pour un interféromètre de laboratoire avec des bras de 1 m de longueur, |Pgrav | max = 0, 12 pW Si la détection se fait sur une frange lumineuse, les variations relatives de flux lumineux à détecter sont de l'ordre de |Pgrav | max 1,2.10-13 = = 10-14 Pin 20