X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2004

Thème de l'épreuve Réacteur à plasma
Principaux outils utilisés équations de Maxwell, mouvement d'une particule chargée, asservissements, correcteurs, diagrammes de Bode
Mots clefs réacteur à plasma, automatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                                           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP Option Physique et Sciences de l'Ingénieur CONCOURS D'ADMISSION 2004 COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. Réacteur à plasma Plus de la moitié des opérations de fabrication des composants micro--électroniques, tels que les mémoires et les microprocesseurs, sont effectuées dans des << réacteurs plasmas >>. L'objectif de ce problème est l'étude et l'analyse des propriétés physiques et des méthodes de contrôle des deux principaux types de << réacteurs plasmas >> : les << réacteurs capacitifs >> et les << réacteurs inductifs >>. Dans ces deux types de réacteurs : (i) des champs électromagnétiques alternatifs transfèrent de la puissance à un gaz ionisé et génèrent ainsi des ions et des électrons; (ii) des champs électriques statiques extraient ces ions du gaz ionisé. Les ions ainsi générés et extraits sont utilisés dans les procédés de dépôt et de gravure qui constituent les différentes étapes de fabrication des composants micro--électroniques. La photographie ci--dessous (figure 1) présente un réacteur capacitif. La chambre cylindrique principale C, au centre de la photographie, est une enceinte à gaz ionisé. On peut distinguer deux bandes lumineuses claires, derrière le hublot, c'est le gaz ionisé ou plasma, P. Des mécanismes d'interaction champs--particules dans ce gaz ionisé sont étudiés dans les premières parties de cette composition. Au--dessus de cette chambre C, on distingue un boîtier vertical B, << la boîte d'accord >>, qui est un système électromécanique asservi du transfert de puissance dans le gaz ionisé. Les dernières parties de cette épreuve sont consacrées à l'étude de ce système qui joue un rôle essentiel dans la qualité des dépôts obtenus ou des gravures effectuées. À droite de ce boîtier B, le cylindre vertical A est une jauge permettant de piloter l'alimenta-- tion en gaz. À l'arrière, on aperçoit ce système d'alimentation en gaz D et D' ; enfin, le système de pompage est raccordé à la chambre principale C par les canalisations S. FIG. 1 : Réacteur a plasma de type capacitif. L'amélioration constante des performances de ces réacteurs conditionne la croissance et la productivité des industries micro--électroniques et plus généralement de tout le secteur des na-- notechnologies. En effet, la vitesse des procédés est proportionnelle a l'intensité du flux ionique extrait du gaz ionisé; les différents paramètres physiques et techniques conditionnant cette in-- tensité doivent donc être identifiés et les conditions d'optimisation du flux ionique clairement formulées. La mise au point de ce type d'appareil est donc extrêmement complexe et les problèmes qui doivent être résolus sont de nature scientifique et technique. Dans la première partie de ce problème nous étudierons l'interaction champs--gaz ionisé dans le cas d'un réacteur inductif. Dans la deuxième partie nous étudierons les mécanismes d'émission ionique d'un gaz ionisé. Dans la troisième partie nous construirons une modélisation électrique d'un réacteur capacitif. La quatrième partie est consacrée a l'analyse de l'optimisation du transfert de puissance entre un générateur et un réacteur capacitif. Enfin, la cinquième partie est centrée sur l'étude du système électromécanique asservi. La dynamique des champs sera traitée dans le cadre de l'approximation quasi--stationnaire et l'on se placera dans le cadre de la mécanique newtonienne pour l'étude de la dynamique des électrons et des ions. La charge des ions considérés sera prise égale à la charge élémentaire e, celle des électrons étant ----e. Les masses des électrons et des ions seront notées respectivement m et A! . --» On utilise une base orthonormée directe (éÏt, @, ez), un point étant repéré par ses coordonnées cartésiennes (:15,y, z). Équations de Maxwell : div Ê : --'Û-- div Ë : 0 50 rotÊ=--î--Î rotË=uoî+eouoî--Î Données numériques : permittivité du vide 50 = 8, 85 >< 10_12 C.m"1 perméabilité du vide ...) : 47r >< 10_7 F.m"1 masse de l'électron m = 9,1 >< 10--31 kg unité de masse atomique u = 1,66 >< 10"27 kg charge élémentaire e = 1, 6 >< 10--19 C. Partie I Interaction champs - gaz ionisé 1.1 Une plaque métallique conductrice de grandes dimensions, parallèle à yOz, est parcourue par un courant surfacique de densité donnée par JS : Jo(t)êy. 1 -- Montrer, par des considérations de symétrie correctement explicitées, que ce courant engendre en tout point un champ magnétique aligné selon é}, 2 - Montrer de plus qu'il est uniforme, à des distances faibles devant les dimensions de la plaque. 1.2 Un gaz ionisé occupe le demi-espace a: > 0 (figure 2). Les effets de bords le long des directions y et z seront négligés. Ce gaz ionisé, composé d'ions et d'électrons, est globalement neutre. La densité électronique n est uniforme. Les ions, compte tenu de leur inertie, restent immobiles. FIG. 2 Dans le demi-espace vide a: < 0, entre plaque et plasma, on suppose le champ magnétique uniforme, de la forme : B(t) = B0(t) é}, si oe { 0 . \V Dans le demi-espace occupé par le plasma (:D O) règne un champ : --+ B(oe,t) = B(oe,t) @ si a: > 0 . Ce champ magnétique variable engendre un champ électrique que l'on supposera dirigé le long de 03; : E (ac, 75) = E (a:, t) @ et qui accélère les électrons, dont on désigne par Ü(æ, t) la vitesse. 3 - Écrire les trois équations reliant dans le plasma B (a:, t), E (cc, t) et 17(:L', t). 4 - Ecrire les conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique à l'interface plasma-- vide. 5 - La force d'origine magnétique sur les électrons est négligée. Éliminer alors B(oe, t), et U(æ, t) des trois équations établies à la question 3 et montrer que E (a:, t) est solution de : 32É(oe,t) 1 "aî-- * Xî E 0 a chaque instant t, en fonction de BD (t). 7 - Application numérique : Évaluer la longueur caractéristique des variations spatiales des champs dans le demi--espace a: > 0 dans le cas d'un réacteur inductif où la densité électronique est de 1017 m"3. 1.3 À plus haute pression, les collisions modifient la réponse électronique. La << relation constitutive du milieu >> devient alors la loi d'Ohm : ; = 0Ê, où a est la conductivité du gaz ionisé. Comme précédemment, on suppose pour sc { 0, entre plaque et plasma, le champ magnétique uniforme donné par : Ë(t) = BD (t) é}. 8 - Établir dans ce régime collisionnel le système de trois équations régissant les dépendances spatio--temporelles des champs et du courant dans le demi-espace oe ; O. 9 - En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par B (a:, t). Comment appelle--t-on ce type d'équation ? Quelle est la dimension du coefficient 1/,u00 ? 10 - On suppose BO (t) sinusoïdal, soit BO (t) = BO exp(jwt) en notation complexe. On recherche une solution de l'équation établie à la question 9 sous la forme B (cc, t) = B(æ) exp(jwt). Établir l'équation différentielle vérifiée par B(a:). 11 - Résoudre cette équation et exprimer B (oe,t) à chaque instant et en tout point du demi-- espace oe ; O. 12 -- Quelle est la longueur caractéristique des variations spatiales des champs dans ce régime collisionnel ? 13 -- La conductivité 0 est reliée au temps moyen entre collisions 7' par 0 : neQT / m. Exprimer le rapport entre les deux longueurs caractéristiques des questions 5 et 12 en fonction (1 /7w)1/2. Établir un critère permettant de décider de la pertinence du modèle sans collision ou du modèle collisionnel en fonction de la fréquence du champ et des caractéristiques du gaz ionisé. 14 - Application numérique : 7' est de l'ordre de 10_7 s dans les réacteurs industriels haute pression. La densité 77. est de l'ordre de n = 1017 m_3. La pulsation des champs est notée ou, avec w/27r : 13, 5 MHz. Quelle est la valeur de la longueur de pénétration collisionnelle des champs ? Partie II Emission ionique 2.1 Dans cette seconde partie, les champs électriques sont statiques. On considère un gaz ionisé, globalement neutre, constitué d'ions et d'électrons en nombres égaux. Pour les réacteurs utilisés dans les industries de microélectronique, le processus d'émission ionique entretenu est dominant. Dans ces réacteurs, les électrodes sont polarisées de manière à extraire un flux d'ions du gaz ionisé qui est ensuite accéléré dans une zone appelée gaine. La physique de cette zone est extrêmement complexe. Nous admettrons que la gaine ne contient que des ions qui s'écoulent entre une anode plane infinie située en a: = O, et une cathode plane infinie située en a: = D (figure 3). 0 D FIG. 3 Cet écoulement ionique est uni-dimensionnel et stationnaire le long de $. Les ions sont décrits par leur densité n(:c) et leur vitesse U(æ) ë}. Soit çb(oe) le potentiel électrostatique au point $. Les conditions aux limites de ce problème uni-dimensionnel sont, avec U positif : @(0)=0 çb(D)=--U> par le générateur qui alimente le système soit la plus faible possible. La capacité GP du réacteur dépend de ses conditions de fonctionnement et est susceptible de varier au cours du processus. On procède à sa << compensation >> en deux étapes. On ajoute une inductance L en série, pour s'assurer que cette branche du circuit soit inductive a la fréquence de travail (13,5 MHZ) et pour toute la plage de variation de Cp; puis on << accorde >> l'ensemble avec une capacité réglable C en parallèle (figure 5). Soit Z = R+ jX l'impédance de l'ensemble. I(t) L U(t) FIG. 5 35 - Exprimer Z _1 en fonction de L, Cp, Rp, C et w; déterminer la valeur Gad de C qui annule la partie réactive X de l'impédance Z. Cette condition étant réalisée, donner l'expression de Z, notée alors R0. 36 - Application numérique. On donne 1/ : w/27r : 13, 5 >< 106 Hz, Cp : 300 pF, Rp : 30 Q, L = 1 pH. Calculer Cad et R0. Au cours du temps, BP et Cp varient en raison des dérives thermiques et de la modification de l'épaisseur des gaines ioniques. À cela s'ajoutent des fluctuations plus rapides dues à des instabilités du plasma. Un fonctionnement satisfaisant du réacteur nécessite donc un dispositif assurant que la condition C' : Gad demeure vérifiée pendant toute la durée du processus de dépôt ou de gravure. 37 - On note 5C : C -- Cad l'écart de la capacité C a la valeur d'adaptation. Exprimer Z "' en fonction de R0, 5G et w. Quelle est la contrainte sur |5C | pour que la partie réactive X de l'impédance Z reste inférieure à 1% de sa partie résistive RO ? Le dispositif à capacité variable est obtenu en considérant la translation d'une plaque isolante S en PCV d'épaisseur égale à la distance inter--armatures d'un condensateur plan. Les armatures de ce condensateur restent fixes et parallèles à la plaque S (Figure 6). La plaque S glisse sans frottement dans l'espace inter--armatures. On obtient ainsi une capacité variable qui peut être ajustée a la valeur Cad par translation de S. Un condensateur plan, dont on néglige les effets de bord, a pour capacité CO lorsque l'espace inter-armatures est vide, et pour capacité CEUR lorsque l'espace inter--armatures est rempli d'un diélectrique, ces deux valeurs étant reliées par CE : EURTCO, où 5, est la constante diélectrique (permittivité relative). Si un condensateur est partiellement rempli avec un diélectrique, sa capacité peut être consi-- dérée comme la somme d'une capacité à vide, pour la partie vide, et d'une capacité en présence d'un diélectrique, pour la partie pleine de diélectrique. U") I(t) "VON Translation de la plaque FIG. 6 : Contrôle de l'adaptation. Un modèle fonctionnel de l'asservissement de la capacité qui assure l'adaptation de l'impé-- dance est donné par le schéma de la figure 7 Déphasage perturbateur Capacité . de c ' - Consr ne onsrgne " . , Conagne 9_ commande de position Po}srtron Capacrte , de phase de tensron reelle , Dephasage erreu A 'ssem t reelle C' 't + réel Conversron ". Correcteur Conversuon de position Conversron Electriqu- ". Tension mesurée Capteur de phase FIG. 7 : Schéma fonctionnel du système d'adaptation de l'impédance. Translation de la plaque Le C Armature 1 Armature 2 a: 0 FIG. 8 : Dispositif de variation de la capacité C . 4.2 Modélisation Nomenclature VHC--V EURI'I'GUI'. Notation iÊ< iiiiiilf Modèles retenus Dans cette partie, on modélise les différents composants du système qui permettent de réaliser l'adaptation de l'impédance. 38 - Établir la relation donnant la capacité C en fonction de 513, longueur de l'armature sans plaque diélectrique, de lc, LG, 5, 50 et ar constante diélectrique de la plaque; l'air étant assimilé au vide (figure 8). 39 - Application numérique : eT = 5, 5 = lmm, lC = 6cm, LC = 12 cm. Calculer la distance oe = æe qui assure la valeur d'adaptation C = Cad = 200 pF. On s'intéresse maintenant aux petites variations autour de ce point d'équilibre et on pose : C=Cad--l--C, oe=oee+î:, etc. On note les transformées de Laplace : Cr(p) = L[C], Xr(p) = L[î:r], Xc(p) = L[£ÎJC], Cc = L[Cc] etc. On souhaite déterminer les fonctions de transfert de chacun des composants du système, linéarisé autour du point d'équilibre. Les fluctuations de la résistance du réacteur y sont modé-- lisées par un déphasage perturbateur. FIG. 9 : Modélisation linéarisée du système d'adaptation de l'impédance. N 40 - Exprimer la relation entre les variations C' et Î. En déduire la fonction de transfert G1(p) : Xc(p) C?" (P) et la fonction de transfert G2 (p) = . Préciser l'influence de ces deux _ Cc(p) Xr(p) fonct10ns de transfert sur la stabilité et les_performances du système. La fonction de transfert H (p) = qui modélise l'asservissement de la position de la Xc(p) plaque sera étudiée dans la partie V. Elle peut être assimilée à une fonction de transfert du second ordre avec les caractéristiques suivantes : gain statique unitaire, dépassement de 25% et temps de montée de 20 ms. la relation entre le premier dépassement Le temps de montée est défini en fonction de la pulsation propre wo et de EUR par : 7r t ___--___ m w0\/1----£2 Exprimer la fonction de transfert H (p) en explicitant les valeurs numériques des coefficients. On se propose maintenant de déterminer la fonction de transfert reliant la phase de l'impédance Z à la valeur de Ô. 42 -- Exprimer la variation @ de la phase en fonction de R0, Ô et w. Comparer cette expression au résultat donné par le graphe de la figure 10. Déduire de ce graphe la valeur numérique de Hc(p)- Variation de la phase [rad] '--25 --20 --1 5 --1 0 --5 0 5 10 15 20 25 Variation de la capacité [pF] PIG. 10 : Variation de la phase pour une variation de capacité. La phase peut être mesurée par un << comparateur de phase >>, qui mesure le déphasage entre le courant I et la tension U . Le conditionneur délivre une tension de 10 V pour une phase de 7r rad. 43 - En déduire la valeur numérique du gain de ce capteur. 4.3 Asservissement de la phase 4.3.1 Spécifications On souhaite asservir la phase à 0 rad et donc la tension VSO à 0 V avec les caractéristiques précisées dans le tableau suivant. Critères Niveaux . Stabilité Marge de gain MG = 8 dB; Marge de phase M$ : 25° Précision Erreur sur le déphasage inférieure à 0,03 rad Régulation Insensibilité en régime permanent aux perturbations Rapidité Bande passante a 0 dB de 250 rad/s 4.3.2 Correction avec un correcteur proportionnel Le correcteur est choisi de la forme : C11 (p) : KCorr 44 - Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte G BO (p) 45 - Tracer les graphes asymptotiques de Bode pour la fonction de transfert G BO (p) 46 - Déterminer la valeur du gain KCOTT : Ko qui permet de respecter les marges de stabilité du cahier des charges. 47 - Exprimer l'erreur en régime permanent de la sortie a une perturbation en échelon unitaire g0b(t) : F(t), où F(t) est l'échelon d'Heaviside. Quelle est la valeur maximale de l'amplitude de la perturbation que peut tolérer le système asservi, conformément au cahier des charges? Conclure quant a la pertinence d'une correction proportionnelle. 4.3.3 Correction avec un correcteur Proportionnel--Intégral On considère que le correcteur est de la forme : 1+T1p C2(P) = K1 T1p 48 - Justifier le choix de ce type de correcteur par rapport à un correcteur de type proportion- nel. ' 49 -- Déterminer la valeur de T1 pour imposer une marge de phase minimale de 250 a la pulsation wc : 250 rad / 8. Choisir judicieusement le gain du correcteur. 50 - Pour cette valeur de T1, calculer la valeur a conférer au gain K1 pour imposer une pulsation de coupure de wc : 250 rad / s. 51 - Pour ces réglages du correcteur, donner les tracés asymptotiques de Bode du système corrigé en boucle ouverte. Le cahier des charges est--il respecté ? Conclure. Partie V Asservissement du système électromécanique Dans cette partie, on se propose d'analyser le système qui réalise le déplacement de la plaque isolante, modélisé par la fonction de transfert H(p) (figure 9). 5.1 Description du système asservissant la position de la plaque Le déplacement de la plaque isolante est assuré par un système asservi dont un modèle de la chaîne de motorisation est donné par la figure 11 : une vis sans fin est solidaire de l'arbre d'un moteur électrique. Cette vis transmet le mouvement a une roue qui est associée à un système << bielle--manivelle >>, lequel permet de transformer le mouvement de rotation en un mouvement de translation. ÿ * ! : '. xz | ! f | : ï " | i / : ._ . 8 | ! : ° ! 3 | : D ' 4- ' PLAQUE ; = I O | _"_L__ & 1 __ FIG. 11 : Schéma cinématique de la chaîne de motorisation. Au bâti (O) est associé le repère R(Og, Î', Î, ?). La liaison entre (0 et la vis (1) est modélisée par une liaison pivot d'axe (OO, ÎE'). On associe et on pose 9 : (Î, fi). On note ] le point de contact entre la vis sans fin (1) et la roue. La liaison entre (0) et la manivelle (2) est modélisée par un pivot d'axe (A, 7). On associe a (2) un repère R2(À, 33--2', 'ÿä', ?) et on pose oz = (Î', QÎ5). La liaison entre (2) et la bielle (3) est modélisée par un pivot d'axe (B , 7). On associe a (3) un repère R3(A, :Î3Îg', @, ?) et on pose fl : (Î', 533). La liaison entre (3) et (4) est modélisêe par un pivot d'axe (C', TZ"), tel que le point C se déplace dans la direction Î'. On donne : OJ : 7", A] = R, AB : @, BC = b, 00 : :UA--oe" +yAÎ et OOÏÎ : EUR? + (yA -- h)Î. Le pas de la vis sans fin (1) est noté pv. Conversion Tension Vitesse Consigne de commande de rotation de tensmn Position de la plaque Consigne de position Bieile + Manivelle Roue + Vis sans fin FIG. 12 : Schéma fonctionnel du système asservi assurant le déplacement de la plaque. On se propose d'analyser le fonctionnement de la chaîne de motorisation adoptée, ainsi que la loi de commande utilisée. Le réglage initial de la position de la plaque est effectué en imposant une valeur de h. Les petites variations de la plaque autour de ce point d'équilibre sont réalisées à l'aide du système bielle/ manivelle décrit ci--dessus. Dans ce qui suit, on suppose que la distance h est constante (h = O) et on se limite à l'étude des petites variations autour d'un point d'équilibre de posi-- tion ace. 5.2 Modèles retenus 5. 2. 1 Nomenclature _-- ___ _-- __-- __-- _ M = _ tension de consigne tension de commande du moteur vitesse de rotation de l'arbre moteur _ vitesse de translat10n de la plaque Gain du capteur de pomt10n 0,3 V/ mm _-- avec ces notations : 5136 = 566 + @. Le comportement du système étudié peut être linéarisé autour d'un point de fonctionnement et son schéma fonctionnel se met sous la forme illustrée par la figure 13. Xc(P) Uc(P) 8(p) UM(p) Q1(lv) V(p) ' 1 X,(P) _"- "' Nr ; U...() ' FIG. 13 : Modélisation linéarisée de l'asservissement de déplacement. 5. 2. 2 Spécifications L'asservissement de la position de la plaque doit respecter les caractéristiques décrites dans le tableau ci--dessous. Critères Stabilité Marge de gain Mg : 12 dB _-- Rapidite Pulsation de coupure a 0 dB de 160 rad/s Premier dépassement inférieur à 25% . On se propose de modéliser les différents composants du système d'asservissement de la position de la plaque isolante. 5.2.3 Modélisation du Moteur 90 80 70 -P 01 (D O O 0 Vitesse du moteur [rad/s] 00 O 10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Temps [3] PIG. 14 : Réponse indicielle du moteur électrique. L'entraînement est assuré par un moteur à courant continu commandé en tension. Le relevé de la réponse indicielle du moteur pour un échelon en tension d'amplitude de 10V est donné par la figure 14. 52 - À partir de cette réponse indicielle, proposer un modèle analytique pour la fonction de Q transfert HM (p) -- 1(p) . Identifier les paramètres de ce modèle. _ UM(P) 5.2.4 Modélisation de la chaîne de transmission mécanique 53 - L'orientation du filet de la vis est telle qu'un sens positif de 9 correspond a un sens négatif de oz. Exprimer l'amplitude de rotation de la roue (2) pour une rotation d'un tour de la vis (1). En déduire la relation entre la vitesse de rotation 9 de la vis et celle à de la roue. 54 - Exprimer les vitesses Y(B, 2/R0) et Y(C,4/Rg) en fonction de a, b, à et 5. 55 - Donner la relation géométrique entre les angles 04 et 5 en fonction de a, b et h. 56 -- En utilisant cette relation, exprimer (: en fonction de (34, 04, 6 et a. On suppose que la vis (1) tourne d'un petit angle 59 autour d'un point d'équilibre défini par l'angle 9... On note de et fle les valeurs à l'équilibre de oz et 6 dans ce cas. 57 - En déduire 6c, le petit déplacement du point C suivant l'axe ? en fonction de R, p... a, b, de, h et (59. 58 - Pour optimiser le gain mécanique, on choisit comme point d'équilibre la situation de : 90°. 6 Calculer le pas de la vis qui permet d'obtenir --3 = N,... = O, 35 mm/ rad pour une valeur de 59 CL=Î. 5.2.5 Modélisation du capteur de position Le capteur de position est un capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer), U...(p) : K L. Xr(p) modélisé par un gain : 5.3 Synthèse de la correction On donne N,... = O, 35 mm/rad. 5.3.1 Correction avec un correcteur proportionnel C (p) : Kp 59 -- Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte H BO (p) -- 60 - Donner les tracés asymptotiques de Bode du module et de la phase de H BO (p) 61 - Déterminer la valeur a conférer au gain Kp : K 2 du correcteur pour imposer une pulsation de coupure a 0 dB de 160 rad/s. XT (19) Xc(p) est une fonction 62 -- Montrer que la fonction de transfert en boucle fermée H B F (p) : du second ordre. 63 -- Calculer le coefficient d'amortissement de H BF(p) et en déduire la valeur du premier dépassement (on pourra utiliser les relations données a la question 41). Oonclure. 5.3.2 Correction avec un correcteur par avance de phase La figure 15 donne les tracés asymptotiques et réels de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte H BO (p) avec un correcteur C A p (p). Module [dB] Pulsation [rad/s] --100 -110 --120 Phase [deg] | a 0 L A c> --150 ----1 70 --180 10 Pulsation [rad/s] FIG. 15 : Tracés fréquentiels du module et de la phase : réel (en pointillé) et asymptotique (en trait continu). 64 - Préciser l'intérêt de ce type de correcteur par rapport a un correcteur de type proportionnel. 65 - À partir des tracés asymptotiques, pr0poser un modèle pour la fonction de transfert de CAP(p) et en identifier les paramètres. 66 - Proposer une modification du modèle du correcteur qui annule l'effet de perturbations éventuelles. 5.4 Amélioration des performances du système à deux boucles d'asservissement Le système d'asservissement de position étudié ci--dessus est intégré au système global réali-- sant l'adaptation de l'impédance (figure 7). Ainsi, le système complet est constitué de deux boucles d'asservissement imbriquées : -- Une boucle externe étudiée dans la quatrième partie, dont le correcteur est synthétisé a la section 4.3 -- Une boucle interne étudiée dans la cinquième partie, dont le correcteur est analysé a la section 5.3. 67 - Comparer les temps de réponse des deux boucles d'asservissement. Quelle est la conséquence de cette hiérarchie des temps de réponse sur les marges de stabilité de la boucle externe ? On souhaite garantir une marge de phase de 450 sur la boucle externe. Pour ce faire, on peut modifier le correcteur de la boucle externe, Ccorr(p), et / ou le correcteur de la boucle interne, C(p) 68 - Proposer, sans entreprendre de calcul, les modifications à apporter au correcteur de la boucle interne pour garantir cette nouvelle valeur de la marge de phase de la boucle externe. 69 - Proposer, sans entreprendre de calcul, les modifications à apporter au correcteur de la boucle externe pour garantir cette nouvelle valeur de sa marge de phase, sans modifier la boucle interne.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2004 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Le sujet porte sur l'étude de réacteurs à plasma, qui sont utilisés dans les procédés de dépôt et de gravure qui servent à la fabrication des composants microélectroniques. · La première partie porte sur l'interaction entre le champ électromagnétique et le gaz ionisé. Le but est de calculer les longueurs caractéristiques d'influence du champ dans le plasma. Deux modèles sont présentés : un modèle sans collision dit « basse pression » et son pendant « haute pression », dont la relation caractéristique est la loi d'Ohm. · La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'émission ionique. Mélange de mécanique et d'électromagnétisme, elle est plutôt calculatoire. On veut établir la relation caractéristique courant-tension en fonction de l'épaisseur de la gaine d'émission des ions. · La troisième partie s'attache à construire la modélisation électrique d'un réacteur capacitif à partir de considérations mécaniques, dans le but d'obtenir l'impédance équivalente du système. · La quatrième partie s'intéresse à l'optimisation du transfert de puissance entre un générateur et un réacteur capacitif. Elle débute par de l'électrocinétique pour établir des modèles de fonctionnement qui serviront à une étude d'asservissement. La fin est ainsi axée sur le dimensionnement de correcteurs. · L'étude de l'asservissement du système se poursuit dans la cinquième partie, qui est l'occasion de calculs mécaniques pour définir les tenants de l'asservissement électromécanique et dresser une sorte de bilan du dispositif, en termes d'asservissement. Ce problème est plutôt calculatoire et aisé au début, traitant d'électromagnétisme et d'électrocinétique. Il se corse à l'attaque des parties traitant du programme d'automatique. Les calculs de mécanique du solide (questions 53 à 58) ne sont pas trop compliqués. Indications I. Interactions champs - gaz ionisé 2 Éliminer deux dépendances spatiales puis appliquer le théorème d'Ampère. 3 Deux équations proviennent des équations de Maxwell et la dernière est l'équation du mouvement. 4 Existe-t-il des distributions surfaciques de charges et de courants dans le plasma ? - 6 Le champ E peut-il diverger ? 2 - 11 Le champ B peut-il diverger ? Utiliser j = (1 + j)/ 2 . II. Émission ionique 15 L'énergie mécanique d'un ion se conserve (il n'y a pas de collision dans cette partie). 16 Retrouver l'équation de Poisson en combinant l'équation de Maxwell-Gauss et la -- - relation E = - grad . 17 Multiplier les deux membres de l'équation obtenue à la question 16 par et -- - penser à E = - grad pour trouver la deuxième condition initiale. 20 La masse d'un ion 12 C vaut M = 12 u. 21 Écrire l'équation de Poisson. III. Modélisation d'un réacteur 32 Faire le rapport des impédances inductive et résistive. IV. Optimisation du transfert de puissance 42 Linéariser la relation et utiliser le graphe pour déterminer la valeur du gain. 45 Faire en sorte que la phase reste entre et - et soit continue. 46 Choisir un gain de correcteur K0 négatif. La marge de gain est la valeur du gain pour une phase de -. La marge de phase est l'écart entre et la phase pour un gain unité. 47 Utiliser le théorème de la valeur finale. 49 Choisir K1 négatif. V. Asservissement du système électromécanique 52 Essayer un modèle du premier ordre. 53 Le pas pv de la vis est tel que, pour une rotation de la vis de , on obtient une translation de pv . - - - 55 Projeter l'égalité CB = CA + AB sur - y. 56 Dériver l'expression obtenue à la question 55. 57 Utiliser la relation établie à la question 55 pour éliminer tan . 65 Repérer les sauts de phase sur le diagramme de Bode et déterminer lesquels sont dus au correcteur. Une fonction du type 1 + p provoque un saut de phase de /2 centré sur la pulsation 1/ . I. Interaction champs - gaz ionisé - 1 Le vecteur axial B en un point M est perpendiculaire au plan de symétrie (xMy) - de la distribution de courant JS = J0 (t) - ey . Le champ magnétique en M est donc - dirigé selon ez . Citons le principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. » 2 La source à l'origine du champ magnétique est invariante par translation selon - ey et - ez , pourvu que soient parcourues des distances faibles devant les dimensions de la plaque. Le champ magnétique ne dépend donc ni de y, ni de z. C - B - JS - ez - ey - ex x1 x2 Ceci permet d'appliquer le théorème d'Ampère au contour C ci-dessus, qui n'enlace pas de courant : I - - B · d = B(x1 ) + 0 + 0 - B(x2 ) = 0 On a alors B(x1 ) = B(x2 ) pour x1 et x2 quelconques mais situés du même côté de la plaque. Le champ magnétique est donc uniforme de chaque côté de la plaque, à des distances faibles devant ses dimensions. Il n'a cependant pas la même valeur de chaque côté ; on a en effet la relation de passage, du côté 1 au côté 2, B1 - B2 = µ0 JS . 3 De la même manière que pour la question 2, l'invariance par translation selon - ey - et ez permet d'affirmer que les grandeurs importantes ne dépendent que de x et de t. Par ailleurs, les ions étant immobiles, on utilisera - (x, t) = -n e- v (x, t) dans les égalités à venir. On a alors, en reprenant tout d'abord l'équation de Maxwell-Faraday, E - B - ez = - ez x t - - Exprimons à présent rot B en coordonnées cartésiennes : /x 0 - - B - - - rot B = B = /y 0 = - ey x /z B(x, t) (1) L'équation de Maxwell-Ampère est alors écrite dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires comme le précise l'énoncé : - B - ey = -µ0 n e- v x (2) Exprimons l'équation du mouvement d'un électron sur lequel s'exercent les forces de Coulomb et de Lorentz : - - - v = -e E - e- v B m (3) t On a ici un champ de vitesse eulérien mais le terme d'accélération convec tive est nul. En effet, comme - v = v- ey , - - - v · grad = v y En outre, v ne dépend que de x et de t, d'où -- - (- v · grad )- v = 0 Il ne faut pas chercher de cohérence dans ces équations car les direc - - tions de E et B ont été artificiellement imposées. En effet, - v est selon - ey , - - sa dérivée v /t aussi mais un terme en ex apparaît dans la troisième équation, terme qui sera négligé dans la suite du problème... - - Les deux équations de Maxwell non utilisées, div B = 0 et div E = 0, sont quant à elles bien vérifiées. 4 Rien n'empêchant les électrons de passer la paroi fictive qui limite le plasma, ils ne s'y accumulent pas, et il n'y a donc pas de courant surfacique ni de charges - - surfaciques à l'interface plasma/vide. On a alors continuité de E et de B et en particulier - B (0, t) = B0 (t) - ez 5 La force d'origine magnétique sur les électrons est désormais négligée. Dérivons d'abord l'équation (1) obtenue à la question 3 : 2E 2B 2B B = - = - = - x2 x t t x t x 2E v = -µ0 n e x2 t 2 2 E µ0 n e n e2 = E= E 2 x m m 0 c2 Combinons avec l'équation (2), puis l'équation (3), s En posant p = n e2 2E p2 (pulsation de plasma), on a = E et dès lors m 0 x2 c2 2 E(x, t) 1 = 2 E(x, t) x2 avec = c p Le sujet utilise le terme « fréquence de plasma » mais on préférera parler de « pulsation de plasma » pour p .