X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2002

ÉCOLE POLYTECHNIQUE . FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Premier problème

L'objet du problème est d'étudier certains aspects du mouvement de trois corps 
en interaction
gravitationnelle. On désignera par Q la constante de gravitation universelle.

Deux masses ponctuelles m1 et m2 en interaction gravitationnelle forment un 
système isolé.
À l'instant t, elles sont situées res ectivement aux oints A1 et A2 re érés 
dans un référentiel
p P p

galiléen par R1= OA1 et R2: OA2, avec les vitesses V1 et V2; on pose 7°-- -- 
A1A2 et r- -- "FM.
1. Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction des deux masses.

2. Déterminer la position de leur centre d'inertie C . Quelle est la 
trajectoire de C '? Déter--
miner sa vitesse.

3. Calculer l'énergie cinétique des deux masses dans le référentiel 
barycentrique; montrer
qu'elle est égale à celle d'une masse ponctuelle de vitesse 17 = F et de masse 
,a que l'on déterminera
en fonction de m1 et m2.

4. Montrer que le mouvement relatif de m2 par rapport a m1, caractérisé par 
f'(t), est
équivalent à celui de cette masse ponctuelle soumise à une force que l'on 
explicitera et dont on
précisera les caractéristiques.

5. À quelle condition portant sur 7' et v : ||Ü|| les deux masses restent-elles 
& distance finie
l'une de l'autre ?

6.a) À quelle condition sur 7° et i) les deux masses restent--elles & distance 
fioee 7°0 l'une de
l'autre?

b) Déterminer dans ce cas la période T de leur mouvement, ainsi que la vitesse 
angulaire
Q, en fonction des masses, de 7"0 et Q .

II

On étudie un cas particulier du problème a trois corps << restreint >>, à. 
savoir :

. Deux masses m1 et m2 sont beaucoup plus grandes que la troisième m, soit m1 
>> m et
7712 >> m. La masse m est supposée ponctuelle comme m1 et m2.

0 Les deux masses m1 et m2, a distance constante l'une de l'autre, effectuent 
un mouvement
de rotation à la vitesse angulaire Q autour de leur centre d'inertie C . Ce 
mouvement, décrit au
I.6, n'est pas affecté par la présence de la troisième masse m.

On ne considère dans cette partie que les situations où les trois masses 
restent alignées au
-->

cours du temps. La masse m est située au point A. On prendra la direction A1A2 
comme axe
. - _} --» _) ---+ ----» --» - -
:IJ'COE d'or1g1ne C, avec CA1 --rleoe et CA2 = @ eæ, CÂ : a:eoe, eoe vecteur 
un1ta1re.

1. Exprimer, en fonction de a: et a l'aide des paramètres du système, la 
composante selon
æ'Cæ de la force totale qui s'exerce sur la masse m dans le référentiel 
tournant à la vitesse

angulaire Q.

2. Montrer que dans ce référentiel tournant cette composante dérive d'une 
fonction U (33) qui
joue le rôle d'une << énergie potentielle >>. Expliciter U (513)

3. Effectuer une étude qualitative de U ($) en fonction de $; par une analyse 
graphique,
montrer qu'il y a trois positions << d'équilibre >> possibles pour la masse m 
et les situer qualita--
tivement par rapport aux masses m1 et m2.

4. Discuter de la stabilité de ces positions--d'équilibre dans le référentiel 
tournant, vis--à--vis
des déplacements selon l'axe oe'Cæ.

III

1. Trois masses, a priori différentes, m1,m2 et m3 sont situées respectivement 
aux trois
sommets A1, A2, A3, d'un triangle équilatéral de côté d ; soit C' leur centre 
d'inertie.

F1 étant la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur la masse m1, 
montrer que :

f. : _G..._--

_)
CA1

2. En déduire que, si les masses tournent dans leur plan avec une certaine 
vitesse angulaire
commune O que l'on déterminera, elles sont en équilibre relatif.

On limite, dans toute la suite de cette partie, l'étude au cas où, comme en II, 
l'une des
masses, m3(= m), est beaucoup plus petite que les deux autres m1 et m2, dont le 
mouvement
circulaire n'est pas modifié par m. On prend la direction @; comme axe X ' CX . 
La masse m,
placée en A, est repérée par Ë(t) : CÎ de coordonnées (X, Y). On s'intéresse à 
la stabilité de la

masse m au voisinage du sommet A3 du triangle équilatéral de base A1A2, en 
limitant d'abord

l'étude aux mouvements dans ce plan. On oriente l'axe Y'CY de telle sorte que 
l'ordonnée de
A3 soit positive.

3. Écrire, dans le référentiel tournant, << l'énergie potentielle >> U (X , Y) 
dont dérive la
somme des forces gravitationnelles et d'inertie d'entraînement agissant sur la 
masse m; on

posera ll/OEH = d1(X, Y) et ||OE|| = dg(X, Y).

4. Ecrire l'expression vectorielle de l'accélération 5 de la masse m dans le 
référentiel tour--
nant, a l'aide du vecteur rotation Q, de la vitesse Ü(væ, vy) dans ce 
référentiel et de grad(u) où

u(X,Y) = U(X,Y)/m.

Ôu(X, Y)
ÔX

32u(X, Y)

' uXY(X'Y) : ÔXÔY

Dans la suite, on notera uX (X, Y) = , etc..

5. En vue d'étudier la stabilité de m au voisinage du point A3, on pose X = X0 
+ oe, Y =
YO + y, où (X...Yg) sont les coordonnées du point d'équilibre A3 de la masse m, 
dont on ne
demande pas le calcul explicite.

Ecrire les équations du mouvement, en se limitant aux termes du premier ordre 
en au et y.
Pour alléger l'écriture, on notera : uXX = uXX(XO,YO) uXY = uXY(XO,YO) etc...

6. On cherche des solutions du type : :r = aexp(Àt), y = bexp(Àt), où a et b 
sont des
constantes.

Montrer que À doit vérifier l'équation caractéristique :

À4 + À2(492 + "XX + uYY) + (uxxuyy _ "2 >= 0

XY

7. On admet que si l'on pose :
À : À'Q 7711 : CY(TÏL1 + 7712) 7712 = (]. -- OE)(TÏL1 + 777.2)

et que l'on évalue les dérivées partielles figurant dans l'équation 
caractéristique de la question
III.6, la variable À'2 vérifie l'équation du second degré suivante :

27
À'4+À'2+îa(l--a) =0.

Soit A le discriminant de cette équation.
a) Que conclure sur la stabilité de la position d'équilibre si A > 0 ?
b) Même question si A < 0.
c) En déduire les valeurs de a pour lesquelles la position d'équilibre est 
stable.
8. Pour le système Lune -- Terre, le rapport de la masse légère m1 a la masse 
totale (m1 +m2)
est oz = 0,012. En considérant ce système comme isolé, quelles conclusions en 
tirez-vous quant

à. la stabilité de la position d'équilibre d'un petit objet dont la position 
formerait un triangle
équilatéral avec les centres de la Terre et de la Lune ?

Même question pour le système Jupiter - Soleil pour lequel oz : 0,001. 
L'observation des
<< planètes troyennes >>, de même période de révolution que Jupiter autour du 
Soleil et faisant
avec lui et le Soleil un triangle équilatéral, conforte--t-elle votre 
conclusion ?

9. Par une analyse qualitative des forces s'exerçant dans le référentiel 
tournant, étudier la
stabilité de la position A3 vis--à--vis de petits mouvements orthogonaux au 
plan X CY.

Deuxième problème

Quelques propriétés des gaz réels et des mélanges sous deux phases

Dans tout le problème, la température reste fixée et est notée T. R désigne la 
constante des
gaz parfaits.

1. On considère un système formé d'un seul constituant.

&) Établir la relation entre l'enthalpie libre a la pression 191 notée G(p1), 
l'enthalpie libre
a la pression pg notée G(pg) et le volume V du système.

b) Que devient cette relation dans le cas où le système est un solide ou un 
liquide peu
compressible ?

c) Que devient la relation dans le cas où le système est constitué par n moles 
de gaz parfait ?
En déduire l'expression du potentiel chimique (enthalpie libre molaire) ,u du 
constituant à la
pression p en fonction du potentiel chimique standard ,u° et de la pression 
standard po.

2. Dans le cas d'un gaz réel la forme de l'expression précédente du potentiel 
chimique est
conservée à condition de remplacer p par la fugacité f, fonction de p. On se 
propose de trouver
le lien entre f et p.

&) Établir la relation entre f , p, T , le volume molaire V... du gaz réel et 
le volume molaire
VÆ du gaz parfait associé. On utiliserale fait que, lorsque la pression tend 
vers 0, le gaz réel se
comporte comme un gaz parfait.

b) On appelle Z le facteur de compressibilité, qui représente un écart du 
comportement
du gaz réel par rapport au gaz parfait associé :

_ me
_ RT

f =pexp ([ Z--(p}%_--ldp')

c) On propose comme équation d'état d'un gaz réel l'équation de Van der Waals :

Z (19)

Montrer que f peut s'écrire :

& RT

p+ËZÇ V...--b

dans laquelle a et b désignent deux constantes caractéristiques du gaz étudié. 
Quelle interpréta--
tion physique peut--on donner de ces constantes ?

()
ap et --E calculer

R2T2 RT '

En effectuant un développement limité de V... au premier ordre en

une expression approchée de f.

Application numérique. On donne pour l'ammoniac les valeurs numériques 
suivantes :
a, = 0,42 Pa m6 mol_2 , b = 37 >< 10_6 m3 mol--1 .

Calculer f pour p = 106 Pa et T = 298,15 K. On prendra R = 8,31 J K_1 mol--1. 
L'un des
deux paramètres & et () joue--t-il un rôle prépondérant ? Comment cela se 
traduit--il sur le volume
molaire Vm ?

3. On étudie le comportement d'un mélange de constituants en équilibre sous 
deux phases
liquide et gazeuse.

On peut établir (mais ce n'est pas demandé) pour le constituant @ l'expression 
suivante pour

la fugacité f,-- :
PÎat Z-( '.) _ 1 1 Pi
L t 2 p L
ft = az-- pî--" exp (fo --------Ï'ÿ2 dp£) exp (_RT /,,... %...dpâ)

?,

dans laquelle pîat désigne la pression de vapeur saturante du constituant 75 
pur, V,,{;, son volume
molaire à l'état liquide, af son activité dans la phase liquide, 19,-- sa 
pression dans la phase gazeuse,
Z, son facteur de compressibilité.

Que devient cette expression dans les cas suivants :
a) Le liquide est incompressible sur l'intervalle de pression étudié.
b) Le volume molaire du constituant i liquide est négligeable.

c) La condition de la question précédente est réalisée et la phase gazeuse est 
un mélange
idéal de gaz parfaits.

d) Les conditions de la question précédente sont réalisées et le liquide est un 
mélange idéal
où oe,L désigne la fraction molaire du constituant 13 dans la phase liquide.

4. La relation de la question 3.d) est vérifiée pour les constituants du mélange
benzène (1)--toluène (2) aux pressions faibles et modérées. {E,-L et a:,Y 
désignent les fractions
molaires du constituant @ dans la phase liquide et dans la phase gazeuse 
respectivement. On
donne les pressions de vapeur saturante à 90°C : 19?" = 136,1 >< 103 Pa et päat 
= 54, 2 >< 103 Pa.
Établir les courbes isothermes d'ébullition et de rosée sur le diagramme 
représentant p en fonc--

tion respectivement de 513% et oeY a 900 O.

X Physique 2 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin et Jean-David Picon (École 
Polytechnique) ; il a été relu par Hicham Qasmi (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck 
(ENS Ulm).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants, l'un de physique, l'autre
de chimie, ne contenant pas de difficulté calculatoire mais nécessitant une 
connaissance solide du cours.
· Le premier est consacré au problème à trois corps, célèbre notamment en 
mécanique céleste. Dans une première partie, on parcourt, dans le cas général, 
le
problème à deux corps. Dans les deuxième et troisième parties, on étudie deux
configurations particulières du problème à trois corps.
La résolution de ce problème nécessite essentiellement le principe fondamental
de la dynamique, notamment dans un référentiel non galiléen. Toutefois, une
bonne connaissance du cours de mécanique céleste est une aide précieuse.
· Le deuxième problème est consacré aux gaz réels et à leur mélange sous deux
phases. Dans un premier temps, on établit l'expression du potentiel chimique
d'un gaz parfait. Dans un deuxième temps, on introduit le concept de fugacité 
d'un gaz réel et on en calcule une valeur approchée pour un gaz de Van
der Waals. Enfin, on s'intéresse aux mélanges de gaz et à la fugacité de leurs
constituants. On applique les résultats à la construction des courbes de rosée
et d'ébullition du mélange toluène-benzène.

Indications
Premier problème
-

-
-- --
d2 OC
I.2 Calculer
en décomposant OC à l'aide de OA1 et OA2 .
2
dt
--
--
--
-
dCA1
I.3 Calculer
en décomposant CA1 à l'aide de OA1 et OC.
dt
---
-- --
I.4 Décomposer A1 A2 en -OA1 + OA2 .
I.5 Une particule soumise à une force centrale a une trajectoire liée si et 
seulement
si son énergie mécanique est strictement négative.
I.6.a Décomposer l'accélération dans le repère de Frenet.
II.1 Ne pas oublier les forces d'inertie !
II.3 L'énergie est croissante puis décroissante sur chacun des trois 
intervalles.
Les positions d'équilibre sont les maximums locaux de ces trois courbes.
III.2 Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel 
tournant.
À l'équilibre, l'accélération dans ce référentiel et la force de Coriolis sont
nulles.
III.3 La force d'inertie d'entraînement qui s'écrit ici :
-

Fe = m 2 -
r
dérive de l'énergie potentielle :
Ue = -m 2

r2
2

III.5 Les termes uX (X0 , Y0 ) et uY (X0 , Y0 ) sont nuls car le point X0 , Y0 
est un point
d'équilibre.
III.6 Le système de deux équations à deux inconnues a et b obtenu en remplaçant
x et y par leur expression en fonction de  doit avoir un déterminant nul pour
que l'on ait des solutions non triviales.
Deuxième problème
1.c Le potentiel chimique d'un gaz parfait s'exprime en fonction de G et n par :
µ=

G
n

2.a Exprimer f à partir de la relation obtenue à la question précédente et 
introduire le potentiel chimique du gaz parfait par :
µréel - µ = µréel - µparf + µparf - µ
Utiliser ensuite la relation dµ = Vm dp.
RT
2.c Introduire  tel que Vm =
(1 + ) et développer alors l'équation d'état
p
ap
bp
au premier ordre en , 2 2 et
.
R T
RT

Premier problème
Partie I
Cette partie permet d'établir des résultats de cours sur le problème de
deux masses en interaction gravitationnelle dans un référentiel galiléen. 
Toutefois, on ne se place pas dans l'approximation classique où l'une des 
masses,
bien plus grande que l'autre, est immobile dans ce référentiel.
On applique donc le principe fondamental de la dynamique aux deux
masses ce qui conduit à un système d'équations couplées. Il faut donc découpler 
les deux équations c'est-à-dire trouver deux variables indépendantes
dont les évolutions le soient aussi.
I.1 L'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle entre les deux masses 
séparées d'une distance r s'écrit :
EP = -

G m1 m2
r

-
I.2 On veut déterminer OC(t) ; or, on ne peut pas appliquer le principe 
fondamental
de la dynamique directement à C car le point n'est pas associé à un système 
matériel.
-
L'idée est donc de décomposer OC.
Par définition du barycentre
-
--
--
(m1 + m2 ) OC = m1 OA1 + m2 OA2
--
--
-
d2 OA1
d2 OA2
d2 OC
= m1
+ m2
donc
(m1 + m2 )
dt2
dt2
dt2
On applique ensuite le principe fondamental de la dynamique aux deux masses m1
et m2 . En utilisant au choix la symétrie du problème, la conservation de la 
quantité
de mouvement ou le principe de l'action et de la réaction,

-

-
f m2 /m1 = - f m1 /m2

--

-

d2 OA1

m
 1 dt2 = f m2 /m1
Ainsi

--

-
d2 OA2

m1
= f m1 /m2
2
dt
-
2

-

-

-
d OC
donc
(m1 + m2 )
= ( f m2 /m1 + f m1 /m2 ) = 0
dt2
Le barycentre C des deux masses a un mouvement rectiligne uniforme. Sa 
trajectoire dans un référentiel galiléen est une droite.
Il reste à déterminer sa vitesse. Calculons
-
--
-- !
dOC
1
dOA1
dOA2
=
m1
+ m2
dt
m1 + m2
dt
dt
donc

-
-

-

dOC
m1 V1 + m2 V2
=
dt
m1 + m2

I.3 Par définition du référentiel barycentrique, l'énergie cinétique ECb1 de la 
particule m1 dans ce référentiel est égale à
-- !2
m1 dCA1
ECb1 =
2
dt
--
- !2
m1 dOA1
dOC
-
=
2
dt
dt
-

-
 !2
 m1 V1 + m2 V2
m1 -
=
V1 -
2
m1 + m2
 -

1 m1 m2 -
ECb1 =
(V1 - V2 )2
2 m1 + m2
Par symétrie,
d'où

ECb2 =

 -

1 m1 m2 -
(V2 - V1 )2
2 m1 + m2

ECb2 = ECb1 = EC

On retrouve dans cette expression la masse réduite µ = m1 m2 /(m1 + m2 ).
En remarquant de plus que
---
-
 -

dA1 A2

-
v =
= V2 - V1
dt
on voit que l'énergie cinétique EC précédente est égale à celle d'une masse 
ponctuelle µ

de vitesse -
v.
EC =

µ v2
2

---

I.4 Pour obtenir l'équation d'évolution de -
r , on décompose A1 A2 en passant par O.
---
--
--
d2 A1 A2
d2 OA2
d2 OA1
=
-
dt2
dt2
dt2

1 -
1 -
=
f
-
f
m2 m1 /m2 m1 m2 /m1
---

d2 A1 A2
1-
= f m1 /m2
2
dt
µ

-
d2 -
r
= f m1 /m2
dt2
La force exercée par la masse m1 sur la masse m2 est donnée par

d'où

µ

-

G m1 m2 -

f m1 /m2 = -
r
r3
Cette force se retrouve facilement à partir de l'énergie potentielle 
d'interaction entre les deux masses trouvée à la question I.1 :

-
--
f m1 /m2 = - grad Ep
(r,,)