X/ENS Physique MP 2025

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MERCREDI 16 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERE MP

-

Epreuve n° 5

PHYSIQUE (XULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 8 pages, numerotees de 1 a 8. L'usage des calculatrices n'est 
pas autorise. Les
resultats numeriques peuvent etre donnes avec un seul chiffre significatif.

La levitation electrique

Certains objets peuvent etre maintenus en levitation a l'aide de forces 
electriques, optiques,
magnetiques ou acoustiques. Stabiliser la levitation de particules de taille 
micrometrique represente
aujourd'hui un enjeu crucial en physique fondamentale, ainsi que pour le 
developpement de capteurs
de forces ultra-precis.
Dans cette etude, nous cherchons a identifier les regimes dans lesquels la 
levitation electrique est
stable, c'est-a-dire ou la particule reste a la meme position moyenne au cours 
du temps. Dans ce but,
il est essentiel que l'oscillateur harmonique, qui decrit le mouvement de la 
particule, soit suffisamment rigide pour resister aux perturbations, qu'elles 
soient intrinseques (comme les asymetries des
pieges) ou environnementales (par exemple, les collisions avec des particules 
de gaz ou le chauffage
provoque par le laser d'imagerie). Les particules etudiees possedent des 
electrons fixes a leur surface
par des liaisons chimiques. Nous supposons, pour l'ensemble de cette etude, que 
ces charges restent
immobiles a la surface des particules.
La derniere partie (concernant l'analogie mecanique) peut etre abordee de 
maniere independante
du reste de l'etude.

Donnees, notations et formulaire

La particule a pieger est une particule en diamant, de masse volumique m = 3,5 
× 103 kg · m-3 ,
parfaitement spherique, de centre C, de diametre d = 100 nm et de masse m = 2 × 
10-18 kg. Cette
particule est chargee negativement sur sa surface. Dans les parties 1 et 2, 
elle est supposee ne
porter qu'une seule charge electronique, q = -e.
Pour les applications numeriques, on adoptera les valeurs suivantes :
· La constante de Boltzmann : kB = 1,4 × 10-23 J · K-1
· La charge elementaire : e = 1,6 × 10-19 C
· La vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3,0 × 108 m · s-1
· L'acceleration de la pesanteur : g = 9,8 m · s-2
· La masse du proton : mp = 1,7 × 10-27 kg
· La masse de l'electron : me = 9,1 × 10-31 kg

Les derivees temporelles premiere et seconde d'une grandeur X(t) dependant du 
temps seront
notees respectivement X et X.
On rappelle l'expression du moment d'inertie I d'une particule spherique 
homogene, de diametre
d et de masse m, par rapport a un axe passant par son centre :
 2
2
d
I= m
.
5
2
Enfin, on rappelle la formule du double produit vectoriel :
~u  (~v  w)
~ = (~u · w)
~ ~v - (~u · ~v ) w
~
1

1

Le piege electrique

Figure 1: Schema d'un piege electrique en anneau. Un generateur delivrant une 
tension V est
connecte entre la masse et le fil a gauche du piege. Le schema de droite est 
une coupe du piege
dans le plan Ozx. L'axe vertical Oz est un axe ascendant.

1. On considere un piege electrique en forme d'anneau tel que celui montre a la 
Fig 1, place
dans le vide. On se donne un repere Oxyz tel que O est au centre du piege et Oz 
est l'axe de
symetrie de revolution de l'anneau. On note ~ux , ~uy et ~uz les vecteurs 
unitaires de ce repere.
On note par ailleurs l0 le rayon de l'anneau, en ignorant son epaisseur, 
exageree sur la figure.

A une position ~r de coordonnees (x, y, z) proche du centre du piege, ou x, y 
et z sont donc
tous tres petits devant l0 , le potentiel electrique Vel (~r), dans le vide, 
prend la forme
Vel (~r) =

V 2
(z + x2 + y 2 ),
l02

(1)

ou V est la tension appliquee entre le piege et la masse (supposee a une 
distance de celui-ci
grande devant l0 ), et  > 0 est un facteur sans dimension qui depend de la 
geometrie du
piege. On suppose jusqu'a la question 9 incluse que le fil (a gauche du piege) 
ou se connecte
le generateur perturbe peu le potentiel au centre du piege et qu'il y a 
invariance parfaite du
potentiel par rotation autour de Oz.
Determiner les coefficients  et .

2. On place maintenant une particule supposee ponctuelle, de charge q = -e, au 
centre du piege.
Pourquoi ne peut-elle pas y leviter de maniere stable ?

3. Pour resoudre ce probleme, on impose une tension variable au cours du temps, 
de sorte que
la particule est maintenant soumise au potentiel dependant du temps
Vel (~r, t) =

V (t) 2
(z + x2 + y 2 ),
l02
2

ou V (t) = V0 cos(t). Ecrire l'equation du mouvement pour les trois composantes 
du vecteur
position ~r de la particule dans le repere Oxyz, soit ri = (rx , ry , rz ) = 
(x, y, z), sous la forme

ri + qi cos(t)

2
ri = 0,
2

(2)

en faisant apparaitre 3 parametres (qx , qy , qz ) que l'on ecrira qi = ni (/)2 
, ou ni  Z est
une constante numerique et  2 = eV0 /(ml02 ). On indiquera les valeurs de nx , 
ny et nz .

4. On suppose que   . On admet que la variable ri (t) peut alors s'exprimer 
comme une
somme de deux variables, ri (t) = Ri (t) + i (t), ou Ri (t) varie sur une 
echelle de temps
beaucoup plus grande que -1 et i (t) est un signal periodique de pulsation  tel 
que i (t)
et ses derivees sont de moyenne nulle sur une periode d'oscillation du 
potentiel. Montrer, en
justifiant soigneusement chaque etape du raisonnement, que
hRi i + qi

2
hi (t) cos(t)i = 0,
2

(3)

ou h·i represente une moyenne sur une periode d'oscillation, definie par
hXi =

2

Z 2/
X(t)dt

(4)

0

pour une grandeur X(t) quelconque dependant du temps.

5. Dans cette question, on neglige toutes les harmoniques de pulsation 
superieure ou egale a 2.

a - Quelle est la forme la plus generale de i (t) respectant les conditions 
specifiees ?
b - Exprimer ¨i (t) en fonction de , qi et Ri (t), puis en deduire l'expression 
de i (t) en fonction des memes grandeurs. On justifiera soigneusement le 
raisonnement.
c - Dans le regime   , que peut-on dire de i par rapport a Ri ?
6. Montrer que la variable lente Ri (t) a une dynamique qui se reduit a celle 
associee a un
potentiel harmonique effectif
1
Ueff (Ri ) = mi2 Ri2
2
qui ne depend pas du temps et dont on donnera la frequence propre i . Comparer 
i a .

7. Puisque le potentiel electrique donne a la question 3 est de moyenne 
temporelle nulle, on
aurait pu s'attendre a ce qu'il n'y ait pas de force de rappel. Expliquer, avec 
des dessins
montrant la dependance temporelle et spatiale de la composante Fz (~r, t) de la 
force electrique
selon la direction z, dans le regime qz  1, pourquoi la particule subit bien, 
en moyenne sur
une periode 2/, une force de rappel. On distinguera deux cas avec deux 
positions initiales
z0 > 0 et z0 < 0. Pour fixer les idees, on prendra V0 < 0, sachant que le meme raisonnement s'appliquerait pour V0 > 0.

8. Pourquoi faut-il que qi ne soit pas trop petit pour satisfaire aux criteres 
d'une levitation stable
definie dans l'enonce ?
3

9. On suppose que |qz |  [0,1 - 0,3] permet d'obtenir un bon confinement dans 
la direction z,
dans un piege ou l0 = 100 µm,  = 0,1, et  = (2)1 kHz 1 . La particule a 
toujours un electron
a sa surface. Pour quelle gamme de tension electrique V0 obtient-on un bon 
confinement dans
cette direction ?
10. On souhaite prendre en compte le fil qui permet de connecter le piege au 
generateur de tension
(voir Fig. 1) dans le modele. L'influence de ce fil peut etre modelisee par 
l'ajout au potentiel
d'un terme supplementaire, anharmonique, de la forme

V (t) bx 2
2
2
Va (~r, t) =
(5)
x + by y + bz z x
3
l13
ou l1 est une longueur dont on ne precise pas la signification ici. En quoi ce 
potentiel respectet-il la symetrie du piege incluant le fil ?
11. La presence du fil, et donc du terme anharmonique, modifie egalement 
l'expression de la
partie harmonique du potentiel de l'Eq.(1), c'est-a-dire que les valeurs des 
coefficients ne sont
plus necessairement celles trouvees alors. On ecrit donc cette partie 
harmonique sous la forme
plus generale :
V (t)
Vel =
(az z 2 + ax x2 + ay y 2 )
l02
Quelles sont les deux equations que doivent verifier les coefficients (ax , ay 
, az ) et (bx , by , bz ) ?

2

Quelques perturbations externes

12. Le mouvement de la particule peut etre traite comme celui d'un oscillateur 
harmonique a
l'equilibre avec le gaz environnant a une temperature T = 300 K. Quel est 
l'ecart-type de
l'amplitude du mouvement dans la direction x dans le cas ou qx = 0,2 et  = (2)1 
kHz?
13. Est-il alors possible de confiner cette particule dans un piege avec l0  
100 µm?
14. On n'a considere jusqu'a present qu'une particule portant une unique charge 
elementaire.
On admettra que notre approche est valable pour une particule portant une 
charge q plus
importante en valeur absolue, et que la pulsation z est proportionnelle a cette 
charge. On
prend alors une particule avec une charge suffisante pour que z = (2)1 kHz. 
Determiner la
position z0 d'equilibre du centre d'inertie de cette particule dans la 
direction z, en presence
de la gravite terrestre, dont la direction est indiquee sur la Fig. 1.
15. On considere que la particule levite dans une chambre a vide ou regne une 
pression residuelle
P = 1 hPa. On peut distinguer deux regimes d'ecoulement selon la valeur d'un 
nombre sans
dimension, dit nombre de Knudsen, Kn = l /d, ou d est le diametre de la 
particule et l le
libre parcours moyen. Lorsque Kn < 1, le regime d'ecoulement est dit continu multiphasique alors que lorsque Kn > 1, l'ecoulement est dit libre.
1

Cette notation indique que le membre de droite, hors parentheses, donne la 
frequence du signal, et la totalite du
membre de droite donne la pulsation en radian par seconde. Donc ici :  = 
(2)1kHz = 2 × 103 rad · s-1 .

4

On suppose le gaz parfait monoatomique et on donne le libre parcours moyen
l = 

1
2a2 n

(6)

ou n est la densite d'atomes du gaz et a  10-10 m est une longueur qui 
caracterise les
collisions entre atomes du gaz.
Dans lequel des deux regimes decrits ci-dessus la particule se trouve-t-elle a 
cette pression ?

16. Calculer la vitesse quadratique moyenne vqm des atomes du gaz, en supposant 
qu'il n'y a que
du diazote dans une enceinte a 300 K.

17. On considere que la particule en levitation est en diamant, de capacite 
calorifique massique cm = 500 J · K-1 · kg-1 . Un laser de puissance P0 = 1 mW 
est utilise pour mesurer la
position de la particule. Cette puissance, focalisee sur la particule en 
levitation, est modulee
dans le temps a la pulsation m , de sorte que P` (t) = P0 [1 + cos(m t)]. On 
considere que 10%
de la puissance de ce faisceau est absorbee et transmise a la particule sous 
forme de chaleur,
de sorte que la puissance lumineuse absorbee par la particule est Pabs (t) = P` 
(t)/10.
On cherche a estimer la temperature T (t) de la particule en fonction du temps.

Les echanges thermiques entre la particule et l'environnement sont d'une part 
l'apport d'energie
par le laser et d'autre part une fuite thermique vers le gaz thermostate.
Quelle est la quantite d'energie perdue par unite de temps, notee , en fonction 
du coefficient
de transfert thermique de surface h, des temperatures T0 du gaz et T de la 
surface du diamant,
et de la surface S de la particule ?

18. On suppose que la temperature de la particule est homogene. Ecrire 
l'equation differentielle
regissant son evolution temporelle T (t). On posera Pabs,0 = P0 /10 et K = hS.

19. Resoudre cette equation differentielle en considerant qu'au temps t = 0, la 
temperature de la
particule est T0 . Exprimer la solution comme la somme de trois contributions.

20. Donner l'allure de T (t) sur un graphe.

21. Quel est le temps caracteristique  de passage du regime transitoire au 
regime permanent ?
On fera l'application numerique en prenant h = 100 W · K-1 · m-2 et on rappelle 
ici que
cm = 500 J · K-1 · kg-1 et que la particule est une sphere de diametre d = 100 
nm et de masse
m = 2 × 10-18 kg.

22. Apres un temps suffisamment long devant  , montrer que la mesure de 
l'amplitude de la
variation de T (t) a differentes pulsations m de la modulation du laser permet 
d'acceder a la
valeur de la capacite thermique de la particule, connaissant sa surface S et le 
coefficient h.

5

3

La rotation de la particule

On tient maintenant compte du fait que la particule n'est pas ponctuelle et 
qu'elle peut etre
sujette a des rotations.
On commence par supposer que ces rotations sont limitees au plan Oxy 
perpendiculaire a
l'axe Oz de symetrie de revolution du piege, en reperant l'orientation de la 
particule dans ce
plan par un angle algebrique . On suppose, jusqu'a la question 25 incluse, que 
la particule
est suffisamment bien confinee selon Ox, Oy et Oz pour que son centre d'inertie 
C soit
constamment confondu avec l'origine O. On note I le moment d'inertie de la 
particule par
rapport a l'axe Oz, qui est donc dans cette configuration un axe de symetrie de 
la particule.

23. Les collisions avec le gaz discutees aux questions 15 et 16 donnent lieu a 
un couple visqueux
de la forme -I . Dans le regime libre introduit a la question 15, on peut 
montrer que
=

40P d2
3mvqm

ou m est la masse de la particule, P la pression dans la chambre a vide et vqm 
la vitesse
quadratique moyenne des atomes du gaz. Que vaut  pour les valeurs numeriques 
deja
evoquees de ces grandeurs physiques ?

24. On suppose que l'angle  oscille autour d'une position d'equilibre et que 
son evolution temporelle en l'absence de ce couple visqueux peut etre decrite 
comme celle d'un oscillateur
harmonique de pulsation propre  = (2)10 kHz. A partir du resultat precedent, 
calculer le
facteur de qualite Q de cet oscillateur tenant compte du couple visqueux.

~ l = Cl ~uz .
25. On met la particule en rotation au moyen d'un laser exercant un couple C
A quelle vitesse angulaire maximale max = max peut-on faire tourner la 
particule avec ce
couple ? On negligera ici le couple de rappel, on utilisera le resultat de la 
question 23 et on
fera l'application numerique pour un couple de module Cl = 10-19 N · m et en 
supposant la
particule homogene et spherique. On prendra comme valeurs numeriques de m et d 
celles
deja mentionnees.

26. L'objet des questions suivantes de cette partie (i.e. des questions 26 a 
31) est d'etudier les
regimes dans lesquels la particule est stabilisee angulairement grace au piege 
electrique.
Pour ce faire, on considere desormais que la particule porte deux charges -e 
fixees a sa
surface en deux points P1 et P2 diametralement opposes. Desormais, le centre 
d'inertie C de
la particule n'est plus necessairement confondu avec O, et on le repere par ses 
coordonnees
x, y, z dans le repere Oxyz, comme on reperait la particule ponctuelle dans la 
premiere partie.
On pose
--
--
CP 1 = -CP 2 = (x) ~ux + (y) ~uy + (z) ~uz .
Enfin on suppose que la particule n'est soumise a aucune autre force que les 
forces electriques
du piege, et on ignorera les effets d'anharmonicite induits par la presence du 
fil.
Montrer que le mouvement du centre de masse de la particule est regi par les 
memes equations
que celles de la question 3, a condition de multiplier par deux la charge de la 
particule.

6

27. La presence de deux charges electriques a la surface suggere qu'un couple 
de forces electriques
peut exister, influencant la rotation de la particule. Cette rotation n'est a 
priori plus contrainte au seul plan Oxy.
a - Calculer le moment ~O,i de la force electrique exercee par le piege sur la 
charge -e situee
en Pi , pour i  {1, 2}, par rapport au centre O du piege.
b- En deduire le moment total des forces electriques par rapport a O, note ~O .

28. Le moment total ~O apparait comme la somme de deux termes. Lequel est 
responsable de la
rotation instantanee de la particule autour d'un axe passant par C ? On le 
notera ~C . Que
decrit l'autre terme ?

29. Nous allons maintenant etudier la rotation de la particule, en se donnant 
un repere OXY Z
defini ainsi :
· Les axes de ce nouveau repere sont fixes a la particule

---
· L'axe OZ pointe a chaque instant dans la direction du vecteur ~v = P2 P1 /d.

Les composantes d'un vecteur quelconque dans le repere OXY Z peuvent etre 
obtenues a
partir de celles de ce meme vecteur dans Oxyz a l'aide de deux angles 1 et 2 , 
variant au
cours du temps, et a l'aide de matrices de rotations (que l'on n'explicitera 
pas ici).
Nous allons supposer que le vecteur unitaire ~v pointe toujours au voisinage de 
~uz . On admettra
qu'on peut alors ecrire
~v = ~uz + 1 (t)~ux - 2 (t)~uy .
avec |1 |  1 et |2 |  1.
De plus, on admettra que I 1 = ~C · ~uy et I 2 = ~C · ~ux , ou l'on rappelle 
que I est le moment
d'inertie de la particule par rapport a un axe quelconque passant par son 
centre. Ecrire les
equations differentielles verifiees par 1 (t) et 2 (t). On negligera les 
frottements avec l'air.

30. Comparer les deux equations differentielles obtenues pour 1 et 2 avec 
celles obtenues pour
les variables x, y et z a la question 3. On fera apparaitre trois constantes 
{q1 , q2 } et r
jouant le meme role que {qx , qy , qz } et  dans les equations obtenues la 
question 3.

31. On suppose dans cette question que    et r  .

a - En deduire que les angles 1 et 2 subissent un couple de rappel autour de la 
valeur nulle
sous l'action du piege electrique.
b - Calculer, pour une meme particule avec deux charges -e diametralement 
opposees, le
rapport entre la frequence effective du mouvement de son centre de masse dans 
la direction
z (calculee a la question 6, mais pour une particule avec une seule charge) et 
la frequence
effective associee a son confinement angulaire.

7

4

Une analogie mecanique

On se propose d'etudier une analogie mecanique du confinement electrique du 
centre de masse.
Une balle (traitee comme un point materiel dans toute cette partie) de masse m, 
non chargee,
peut se deplacer sur une surface courbee, de rayon de courbure R > 0 dans la 
direction x et
-R < 0 dans la direction y, la direction z correspondant a la verticale. On peut considerer que la balle, placee sur cette surface dans le champ de pesanteur, est soumise au potentiel U (x, y) = mg 2 1 (x - y 2 ) = m 2 (x2 - y 2 ) 2R 2 32. On fait tourner la surface autour de l'axe Oz, a la vitesse angulaire constante , par rapport au referentiel galileen R0 du laboratoire, l'origine O etant supposee fixe. Rappeler les forces d'inertie qui apparaissent lors de la description du mouvement d'une particule de vitesse ~v dans le referentiel tournant R attache a la surface en rotation. On notera ~r la position de la balle dans ce referentiel. 33. Ecrire les equations du mouvement pour les coordonnees x et y dans le referentiel tournant R. On supposera que le vecteur position de la balle est quasi-orthogonal au vecteur rotation a chaque instant, c'est-a-dire que la courbure est faible. 34. Chercher des solutions de la forme x(t) = x0 exp(rt) et y(t) = y0 exp(rt) et en discuter la stabilite. Tracer un diagramme de stabilite dans le plan (, ). 8