X/ENS Physique MP 2021

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

MERCREDI 14 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 5

PHYSIQUE (XULCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Thermodynamique de l'atmosphère

Ce sujet aborde la structure de l'atmosphère sous l'angle de la 
thermodynamique. Il comporte
trois parties. Bien que le contexte général soit établi dans la première 
partie, les trois parties du
sujet peuvent être abordées indépendamment. Certaines définitions et relations 
de thermody-
namique sont rappelées en annexe à la fin du texte, ainsi que les valeurs de 
certaines grandeurs
apparaissant dans les applications numériques. Les résultats des applications 
numériques seront
donnés avec un seul chiffre significatif, à l'exception des trois premières 
questions pour lesquelles
on donnera deux chiffres significatifs.

1 Structure verticale de l'atmosphère

On considère dans cette section des modèles d'atmosphères de complexité 
croissante, afin
d'isoler les processus physiques qui gouvernent le profil de température 
vertical de l'atmosphère.
On considère tout d'abord les processus radiatifs : on admet qu'un système plan 
infini à
température T émet par rayonnement un flux surfacique d'énergie @ = sT* (en 
watts par
mètre carré), le flux étant dirigé vers l'extérieur. Dans les situations 
considérées ci-après, ce
flux correspond à du rayonnement infrarouge. Le coefficient s -- 5,67 x 10° Wim 
°.K "est
appelé constante de Stefan. On néglige la courbure de la Terre dans cette 
première partie, et
on considère donc la surface de la Terre comme localement plate.

1) Dans un premier modèle, on considère que la surface terrestre absorbe un 
flux solaire incident
I -- 220 W.m *, considéré uniforme et indépendant du temps. A l'équilibre, la 
Terre ré-
émet l'intégralité de l'énergie reçue par rayonnement vers le haut. En déduire 
la température
d'équilibre de surface 7, de la Terre dans ce modèle. Faites une application 
numérique en vous
aidant de l'annexe. Commentez le résultat.

2) Un raffinement du modèle consiste à inclure une atmosphère infiniment fine 
située à une
hauteur h au-dessus de la surface de la Terre. Cette atmosphère est 
transparente au rayon-
nement solaire incident, mais elle est entièrement absorbante pour le 
rayonnement infrarouge
émis par la Terre. Elle atteint une température d'équilibre 7, si bien qu'elle 
rayonne elle aussi
un flux d'énergie sT% vers le haut, mais aussi un flux s7% vers le bas. 
Calculez la température
1, d'équilibre de l'atmosphère, ainsi que la nouvelle température d'équilibre 
7, de surface de
la Terre. Faites une application numérique en vous aidant de l'annexe. 
Commentez le résultat
obtenu. Comment s'appelle l'effet mis en évidence par ce modèle simple ?

On oublie un instant les modèles radiatifs précédents, pour se concentrer sur 
la thermody-
namique du fluide atmosphérique. On suppose que l'atmosphère est un gaz parfait 
diatomique.

3) Rappelez quels sont les deux constituants principaux de l'atmosphère ainsi 
que leurs pro-
portions. En déduire une valeur approchée de la masse molaire moyenne M de 
l'air.
On donne la différentielle de l'entropie du gaz parfait:
d$ = nC,d In (rs) | (1)

où 9, T', et P désignent l'entropie, la température et la pression du gaz. On 
désigne de plus
par ñn la quantité de matière (nombre de moles), et on définit 7 = C,/C,, où C, 
est la capacité
calorifique molaire à pression constante du gaz, et C, est sa capacité 
calorifique molaire à
volume constant. Ces deux grandeurs sont également reliées par la relation de 
Mayer, rappelée
en annexe.

4) On s'intéresse au modèle isentropique, pour lequel l'entropie du gaz est 
supposée indépendante
de la coordonnée verticale z. Ecrire tout d'abord l'équilibre hydrostatique 
d'une parcelle
d'atmosphère, puis calculer le profil de température T(z) associé à ce modèle, 
en fonction
de la température T4 à la surface z -- 0 de la Terre, de l'accélération g de la 
pesanteur (sup-
posée constante), de la capacité calorifique molaire C, de l'air (supposée 
constante également),
et de la masse molaire moyenne M de l'air.

5) Faites une application numérique pour le gradient de température l = d7'/dz 
dans ce modèle.
On pourra considérer l'air comme un gaz parfait diatomique.

On souhaite justifier la pertinence de ce modèle d'atmosphère isentropique. 
Dans ce but,
on considère une atmosphère ayant un profil de température initial T(z) 
quelconque (les profils
de densité p(z) et de pression P(z) se déduisent de ce profil de température 
par l'équilibre
hydrostatique et la loi des gaz parfaits). On isole une parcelle de fluide à 
l'altitude initiale z; qui
constitue le système fermé étudié. Ce système est initialement à la température 
T; = T(2;), et à
la pression P;, = P(z;). On suppose qu'une perturbation externe déplace la 
parcelle considérée
à l'altitude z; + dz, de façon adiabatique et quasi-statique (réversible), où 
dz représente un
déplacement infinitésimal. Le système s'équilibre donc rapidement à la pression 
P; = P(2;+d2).

6) Calculez la température T} du système à l'issue de cette transformation, en 
fonction de P,,
P f: T;. k et Cp.

7) Discutez le mouvement vertical ultérieur de la parcelle d'atmosphère, selon 
que T} < T2; + dz) ou T} > T(z,+dz2). Quelle situation correspond à une atmosphère stable ? à 
une atmosphère
instable ? On appelle ce phénomène l'instabilité convective.

8) Le cas où 7°; = T(2; + dz) s'appelle le cas "marginalement stable". Quel est 
le gradient de
température vertical l = d1'/dz de l'atmosphère dans cette situation 
marginalement stable ?
Commentez, en lien avec les questions 4) et 5).

On revient à un modèle purement radiatif, que l'on complexifie en prenant en 
compte
l'absorption et la ré-émission de rayonnement par chaque tranche élémentaire 
d'atmosphère.
Pour un profil donné du coefficient d'absorption de rayonnement infrarouge par 
l'atmosphère,
ce modèle conduit au "profil radiatif" de température représenté en figure 1.

9) Après avoir estimé le gradient de température dans les hautes et basses 
couches de ce modèle

10-

z [km]

220 240 260 280 300 320
Température [K]

Figure 1: Profil vertical de température issu d'un modèle purement radiatif 
prenant en compte
l'absorption et la ré-émission de chaque couche infinitésimale d'atmosphère.

d'atmosphère, indiquez approximativement quelle partie de l'atmosphère est 
stable, et laquelle
est instable, suivant ce modèle.

Le phénomène d'instabilité convective fait que le modèle purement radiatif de 
la figure 1
n'est pas satisfaisant. À terme, l'instabilité convective conduit à des 
mouvements erratiques
de l'air qui affectent fortement le profil de température mesuré dans 
l'atmosphère réelle. On
prend en compte ce phénomène en admettant qu'à toute altitude z où le profil de 
température
est instable, ces mouvements erratiques se produisent jusqu'à ce que le profil 
de température
retrouve localement un gradient de température proche (mais légèrement plus 
faible, comme
nous l'expliquerons dans les questions suivantes) du gradient marginalement 
stable déterminé à
la question 8). Cette région de l'atmosphère où l'instabilité convective joue 
un rôle prépondérant
s'appelle la troposphère. La couche d'atmosphère qui n'est pas affectée par 
cette instabilité
s'appelle la stratosphère.

10) Commentez alors l'allure qualitative du profil de température du modèle 
simplifié d'atmosphère
standard utilisé en aéronautique et fourni en figure 2, en lien avec le profil 
du modèle purement
radiatif de la figure 1. Identifiez en particulier la troposphère et la 
stratosphère.

Le gradient de température mesuré dans la troposphère est moins raide aux 
latitudes
équatoriales. La présence d'humidité dans l'atmosphère permet d'expliquer ce 
phénomène. On
considère alors un système fermé constitué d'une parcelle d'atmosphère 
contenant un mélange
air-vapeur d'eau. On note n, la quantité de matière (nombre de moles) de vapeur 
et n, le
nombre de moles d'air dans le système. Le rapport x, = n,/(na + n,) désigne la 
fraction
molaire de vapeur d'eau dans la phase gazeuse. Cette fraction est supposée très 
faible devant
1, x, EUR 1. On admet que lorsqu'il y a condensation, l'eau liquide apparaît 
sous la forme de
fines gouttelettes qui restent en suspension dans la parcelle d'atmosphère, et 
qui ne tombent
pas sous l'effet de la gravité.

20

15!

10!

z [km]

220 240 260 280 300
Température [K]

Figure 2: Profil vertical de température du modèle international d'atmosphère 
standard utilisé
en aéronautique.

11) On considère cette parcelle d'atmosphère à une altitude donnée dans le 
profil de température
marginalement stable calculé à la question 8). On suppose de plus que cette 
parcelle est initiale-
ment à la pression de vapeur saturante en vapeur d'eau. On imagine que cette 
parcelle subit un
léger déplacement vers le haut, de façon quasi-statique et adiabatique 
(réversible). Expliquez
qualitativement pourquoi, sous certaines conditions, la parcelle peut néanmoins 
continuer son
mouvement ascendant alors même que l'atmosphère environnante n'est pas instable 
vis-à-vis
du critère déterminé à la question 7). Que voit-on alors apparaitre dans le 
ciel ?

12) Proposez une expression approchée pour dx, en fonction de dn, et n,; 
uniquement, lorsque
la quantité de vapeur en phase gazeuse varie. On utilisera cette expression 
approchée dans ce
qui suit.

13) On étudie l'évolution de la parcelle au cours de son mouvement ascendant, 
toujours supposé
quasi-statique et sans transfert thermique avec l'atmosphère environnante, dont 
le profil de
température est maintenant considéré arbitraire. On considère toujours n,; & 
n,, si bien que
l'on peut continuer à décrire la phase gazeuse par la relation (1), dans 
laquelle on remplacera
n par nr, (on néglige donc la vapeur dans l'évaluation de la densité, de la 
quantité de matière
et de la masse molaire de la parcelle). Dans cette relation, la variation 
d'entropie est donnée
par dS = dHiona/T, Où dHiona > 0 est l'enthalpie libérée par la condensation. 
En combinant
cette relation avec l'équilibre hydrostatique, montrez alors que :
dry dT

-- Avant = Ca + M9, (2)
où Jet x, sont respectivement la température et la fraction molaire de vapeur 
dans la phase
gazeuse, lorsque la parcelle passe à l'altitude z. À,,, A est l'enthalpie 
molaire de vaporisation
de l'eau. Elle est considérée constante dans ce qui suit, de même que C, et g.

Au voisinage immédiat de l'océan équatorial, l'air se charge en vapeur d'eau 
jusqu'à satu-

4
z=h un OR DRRRRRRRRn nn nnnnanmu

To D» 7 < T Surface océanique, z=0 + | | ® 4: 30°S 0° 30°N latitude Figure 3: La circulation de Hadley correspond aux mouvements atmosphériques dominants dans un plan méridional (latitude - altitude). La température de surface au niveau de l'océan est supérieure au voisinage de l'équateur (T;) qu'aux latitudes subtropicales (75 < T;). Les flèches illustrent la direction dominante du vent. ration. La fraction molaire en vapeur d'eau initiale, et) est alors de 4%, et la température de l'ordre de 30 °C. Cette atmosphère humide consiste en de nombreuses parcelles isolées d'atmosphère, identiques au système précédent, qui ont un mouvement ascendant depuis le niveau de la mer 2 -- 0 jusqu'au sommet de la troposphère, à une altitude À -- 10 km. On suppose que toute la vapeur est condensée lorsqu'une telle parcelle atteint l'altitude A. 14) Calculez alors le gradient de température moyen l} = (T(h) -- T(0))/h en fonction de M, 9; Cp: À, Avap/1, et et). l', est appelé le "gradient de température de l'atmosphère humide". 15) Donnez la valeur numérique du gradient de température de l'atmosphère humide l'}, en considérant l'atmosphère comme un gaz parfait diatomique. On donne l'enthalpie de vapori- sation de l'eau : A, AH = 4,1 x 10% J.mol-!. Commentez le résultat, en lien avec le profil du modèle international d'atmosphère standard fourni en figure 2. 16) On représente sur la figure 3 la circulation de Hadley, qui est le principal courant méridional de l'atmosphère au voisinage de l'équateur. Pourquoi la température de surface est-elle supérieure au voisinage de l'équateur (71), par rapport aux latitudes subtropicales (75 < T1)? Com- mentez alors la structure de cette circulation : direction des mouvements d'air, présence de précipitations équatoriales, etc. On souhaite établir la dépendance de la pression de vapeur saturante de vapeur d'eau Px(T) avec la température. Pour cela, on considère un système fermé, formé uniquement d'eau liquide et de vapeur d'eau en co-existence (sans air). On note Gn(T, P) l'enthalpie libre molaire de la phase liquide et Gy; m(T, P) celle de la phase vapeur. De même, on note VimtT, P) et Vim(T, P) les volumes molaires de ces deux phases, et S,,(7, P) et Sum(T, P) leurs entropies molaires. 17) Exprimez la différentielle de Gim(T, P) en fonction de WA(T, P), Sim(T, P), et des diffé- 9 rentielles de T'et P. Exprimez de même la différentielle de G, (1°, P) en fonction de V,, (7, P), Sum(T, P), et des différentielles de T'et P. En utilisant l'extensivité de l'enthalpie libre G du système complet, donnez son expression en fonction de Gim(1, P), Gym(T, P), de la quantité de matière en phase vapeur n, et de la quantité de matière totale n. 18) On considère la situation où T' et P sont imposées par un thermostat et un réservoir de pression. On admet que G est un potentiel thermodynamique dans cette situation. Exprimez alors la condition d'équilibre liquide-vapeur en fonction de Gym EURt Gim- 19) On considère deux points sur la courbe de coexistence liquide-vapeur, de coordonnées (T', Pix (T7) et (T + AT, Px(T + dT)). Ecrire la condition d'équilibre liquide-vapeur aux deux points considérés en fonctions des enthalpies libres molaires des deux phases. Soustraire ces deux conditions d'équilibre pour obtenir la relation de Clapeyron : d'Ésat _ Avyap 1 (3) dr TV m Vi m) En déduire le sens de variation de la pression de vapeur saturante avec la température. 20) On néglige le volume molaire de la phase liquide devant celui de la phase gazeuse, et on assimile la vapeur à un gaz parfait à la pression Fix. On considère de plus que A,4,, A est indépendante de la température. Montrez alors que la pression de vapeur saturante s'exprime sous la forme : PT : : NÉUIRTER) o Fiat (T5) To T où 7, est une température de référence arbitraire, et où vous donnerez l'expression de C. 21) On considère que l'eau existe dans l'océan et l'atmosphère sous deux formes, HO et HO, formées respectivement avec les isotopes 16 et 18 de l'oxygène. Ces deux isotopes sont stables du point de vue de la radioactivité. Les deux types de molécules d'eau se caractérisent par des enthalpies molaires de vaporisation différentes, et donc des pressions de vapeur saturante différentes. Expliquez comment la fraction de H20Y% dans les calottes glaciaires fournit un historique de la température de l'atmosphère terrestre. 2 La troposphère vue comme une machine thermique On se propose de modéliser le courant atmosphérique représenté sur la figure 3 par une machine thermique cyclique. La thermodynamique nous permet alors de déterminer une borne supérieure sur la fraction du transfert thermique incident qui est transformée en travail mécanique sous la forme de vents. Dans ce but, on revient dans un premier temps sur le fonc- tionnement et le rendement des moteurs dithermes cycliques. Pour les applications numériques demandées dans les deux dernières questions de cette partie, on considèrera la Terre comme une sphère dont le rayon vaut approximativement 6400 km. 22) On considère tout d'abord un moteur ditherme cyclique en interaction avec un thermostat chaud de température T4 et un thermostat froid de température 7};. Défnissez le rendement £ de ce moteur. Etablissez la valeur théorique maximale £. de ce rendement (le rendement de Carnot), atteinte si les transformations associées au cycle sont réversibles. Une machine thermique entièrement réversible n'est pas un bon modèle d'une machine réelle : les processus mis en jeu doivent être infiniment lents, en particulier les transferts thermiques. Si le travail fourni par la machine est non nul, ce travail est fourni en un temps infini ! Autrement dit, la puissance engendrée (travail fourni par unité de temps) tend vers zéro dans la limite de transformations parfaitement réversibles. Pour résoudre ce problème on considère la situation représentée sur la figure 4. La machine comprend un fluide, le système JF à l'intérieur du cadre pointillé, qui subit de façon cyclique 4 transformations : 1. Une étape isotherme, à température 7, pendant laquelle le fluide reçoit un transfert thermique algébrique Q, depuis le thermostat chaud, à température T,. Le thermostat est connecté au système par une résistance thermique À. Cette étape est supposée durer un temps 7. On notera que la température au voisinage immédiat du système F (au bord du domaine pointillé) est bien 7: : c'est la température effective de la source chaude pour le système F. 2. Une détente adiabatique rapide du fluide. Si nécessaire, une telle détente peut être ef- fectuée rapidement tout en restant réversible (il suffit que le temps soit long devant le temps de propagation des ondes sonores dans le fluide). Sa durée est donc négligeable par rapport au temps 7. 3. Une étape isotherme, à température 7, pendant laquelle le fluide reçoit un transfert thermique algébrique Q:, à travers une résistance thermique À, depuis un thermostat froid à température 7}. Cette étape dure un temps 7 égal à celui de l'étape 1. On notera encore une fois que la température au voisinage immédiat du système Æ est T; : c'est la température effective de la source froide pour le système F. 4. Une compression adiabatique rapide du fluide (qui peut néanmoins être réversible, si nécessaire), dont la durée est négligeable par rapport au temps r. On note W le travail algébrique reçu par le système pendant un cycle. Les températures des thermostats T° et T°}; sont fixées, mais on suppose que l'on peut ajuster les températures de fonctionnement 71; et 1; du moteur pour obtenir un fonctionnement optimal. 23) Donnez les signes de Q:1, Q2 et W dans ce qui vous semble être le régime de fonctionnement normal du moteur. Ordonnez les températures Te, T}, Ti et T2 dans ce régime de fonction- nement, en justifiant très brièvement. On supposera cet ordre des températures respecté dans la suite. 24) Exprimez les transferts thermiques algébriques Q1 et Q2 reçus par le système Æ pendant les étapes 1 et 3, en fonction de À, Ti, T2, Te, Tfet T. travail -W Système À. |. D" >
résistance 2 | résistance
thermique _ : : thermique
source JT: T': @ G : T2 T Source
chaude 2  R| | R. ; froide
1 2
@ |

Figure 4: Une machine cyclique est connectée aux sources chaude et froide par 
le biais de
résistances thermiques. Le système Æ subit alors de façon cyclique les 4 étapes 
décrites dans
le texte, représentées schématiquement par les chiffres entourés.

25) Définissez la puissance motrice P fournie par le moteur. Exprimez P en 
fonction de À, Ti,
T2, T$ et Te.

26) À l'aide du second principe de la thermodynamique, établir une inégalité 
entre T3, D, T}
et T,. Pour simplifier les calculs, on admet que le rendement maximal est 
obtenu lorsque les
transformations sont réversibles pour le système F. On remplacera alors cette 
inégalité par une
égalité dans ce qui suit.

27) A l'aide des réponses aux deux questions précédentes, éliminez T; pour 
exprimer la puissance
P sous la forme :

Te
P= x x (An), (5)

où l'on à introduit les paramètres X = 75/T. et n = T;/T.

28) À l'aide des réponses aux questions précédentes (en particulier la question 
23), montrez que
X > 1/2.

29) En pratique, les moteurs réels fonctionnent dans un régime où 7; (et donc 
72) est choisie
pour maximiser la puissance motrice délivrée, à Te et T; fixées. Calculez la 
valeur X, de X
associée à ce maximum, en fonction de 7. Donnez la valeur du maximum de 
puissance en
fonction de À, T, et n.

30) Donnez l'expression du rendement £ du moteur en fonction de X et 7. Montrez 
que le
rendement du moteur à puissance maximale vaut £(X,) -- 1 -- nl/2. Comment cette 
expression
du rendement se compare-t-elle au rendement de Carnot ?

31) La différence de valeur entre ces deux rendements signifie que certains 
processus apparais-
sant sur la figure 4 sont irréversibles. Quels sont-ils ? On définit le taux de 
création d'entropie
S comme le rapport de l'entropie créée par ces processus irréversibles pendant 
un cycle divisée
par la durée d'un cycle. En appliquant le second principe de la thermodynamique 
à un système
judicieusement choisi, calculez $ en fonction de À et 7 dans le régime de 
fonctionnement à
puissance maximale du moteur.

On souhaite appliquer le modèle précédent aux courants atmosphériques. Le 
système est la
totalité de la troposphère, que l'on considère comme une couche de fluide de 
hauteur À = 10 km
à la surface de la Terre, et de densité p -- 1 kg.m * considérée constante pour 
ces calculs d'ordre
de grandeur. Le transfert thermique Q; recu par la troposphère est dû au 
rayonnement solaire
incident qui atteint la surface terrestre. Ce rayonnement a une intensité Z -- 
220 W.m * en
moyenne sur une journée et sur toute la surface de la Terre. Q correspond alors 
au transfert
thermique sous forme de rayonnement infrarouge émis au niveau du sommet de la 
troposphère
(on néglige la stratosphère), tandis que |W{ est l'énergie qui est transformée 
en travail moteur
sous la forme de vents, ou courants atmosphériques. La température moyenne au 
niveau du

sol est 7; -- 290 K, tandis que la température moyenne au sommet de la 
troposphère est
T1 = 220 K.

32) En supposant que le système fonctionne à puissance maximale, calculez 
approximativement
l'énergie cédée aux vents et courants atmosphériques par unité de temps.

33) On admet que les courants atmosphériques ainsi engendrés dissipent leur 
énergie cinétique
à un taux D (énergie dissipée par unité de temps), de l'ordre de D = 0,05 x 
MU*/h, où M
est la masse totale de la troposphère et Ü la vitesse typique des courants 
atmosphériques. En
déduire un ordre de grandeur de U. Commentez.

3 Nucléation et formation des nuages

On s'intéresse à la formation des nuages, et on considère donc un système 
constitué d'eau
liquide et d'un mélange gazeux air-vapeur d'eau. On note PF, la pression 
partielle de vapeur
dans le gaz, et P.4(T) la pression de vapeur saturante.

34) Donnez la relation entre le potentiel chimique /4(T°) de l'eau liquide, 
supposé ne dépendre
que de la température, et le potentiel u,[T, P, = Pix(T)] de la vapeur d'eau à 
la pression de
vapeur saturante ?

On considère maintenant une pression de vapeur quelconque, et on s'intéresse à 
l'évolution d'une
gouttelette d'eau liquide dans l'atmosphère. L'existence d'une interface de 
surface À entre le
liquide et le gaz conduit à un terme d'énergie de surface supplémentaire, o À, 
qu'il convient
d'ajouter à l'énergie du système (ou au potentiel thermodynamique considéré). 
Le coefficient
o est une constante positive appelée tension de surface. Son unité est le 
kg.s_*. Le système
considéré contient un nombre fixe de molécules d'air, et un nombre total fixe 
ny = 7 + n, de
moles d'eau, où n, est le nombre de moles d'eau liquide et n, le nombre de 
moles de vapeur

d'eau. Le système est maintenu à pression et température constante.

35) Exprimez la différentielle de l'enthalpie libre du système en fonction de 
©, À, {uy, Lu, n
atmosphère

particule (air+vapeur d'eau)

solide

eau liquide

Figure 5: Une particule fine solide comporte une cavité conique ouverte sur 
l'extérieur. On
considère la possibilité que de l'eau liquide apparaisse sous la forme d'un 
domaine conique au
fond de la cavité.

et/ou leurs différentielles.

36) On suppose que la phase liquide consiste à tout instant en une gouttelette 
d'eau sphérique
de rayon r et de masse volumique constante po -- 1000 kg.m *. Exprimez la 
différentielle de
l'enthalpie libre en fonction de Ju, y, po, r, o, Mio et dr, où WMy,o est la 
masse molaire de

l'eau.

37) Intégrez cette relation pour obtenir l'enthalpie libre G(r) (à une 
constante près, qui ne joue
pas de rôle dans ce qui suit). Tracez l'allure de G(r) pour y et u, fixés. On 
distinguera les cas

Hi < Hu EÙ Li > y:

38) Discutez l'évolution de la gouttelette suivant son rayon initial, en 
distinguant à nouveau
les cas zu < y et lu > ,. Quand cela est pertinent, on identifiera une valeur 
remarquable
r. de r, dont on donnera l'expression en fonction des mêmes paramètres qu'à la 
question 36).
On définira également une "énergie d'activation" pour l'apparition de la phase 
liquide, lorsque
l'on part uniquement d'un mélange gazeux air-vapeur d'eau, dont on donnera 
l'expression en
fonction de ces mêmes paramètres.

39) On modélise la phase gazeuse comme un mélange de gaz parfaits. A l'aide de 
l'expression du
potentiel chimique donnée en annexe, que l'on appliquera à la vapeur d'eau, 
exprimez le rayon
critique au-delà duquel une gouttelette croit spontanément en fonction de la 
"sursaturation"

X -- Ps Psat(T) > let de M0. ©, Po; kR et T..

40) À partir de vos connaissances sur la loi d'Arrhénius, ou sur le facteur de 
Boltzmann,
proposez une expression pour la dépendance de la vitesse d'apparition des 
gouttelettes dans
l'atmosphère en fonction de la sursaturation x (cette expression sera obtenue à 
une constante
multiplicative près). Commentez cette dépendance en y.

On considère la situation représentée sur la figure 5 : une particule solide en 
suspension dans
l'atmosphère présente une cavité conique ouverte sur l'extérieur, de demi-angle 
d'ouverture 6.

10
On étudie la possibilité que de l'eau liquide se forme à partir du fond de la 
cavité, selon la
géométrie représentée sur la figure 5. L'eau liquide occupe alors un domaine 
conique dont la
base est un disque de rayon r perpendiculaire à l'axe du cône. Le volume d'un 
tel cône est
mr/l/3, où L est la hauteur du cône.

41) On fait l'hypothèse que seule l'interface liquide-gaz intervient dans le 
terme de tension de
surface, et donc que l'interface solide-liquide n'engendre aucun terme de 
tension de surface.
Exprimez la différentielle de l'enthalpie libre en fonction de /4, Huy, po, T, 
6, Mio, 0 et dr.

42) Comme à la question 38), identifiez une valeur remarquable de r. Exprimez 
l'énergie
d'activation associée en fonction de &, M0, Po, Lu, Hu et 0.

43) Expliquez alors pourquoi la présence de particules en suspension dans 
l'atmosphère favorise
l'apparition de nuages.

Quelques rappels

Pour simplifier certaines applications numériques, on donne les racines 
quatrièmes suivantes :
(220/5,67)//4 + 2,5 et 2/4 + 1,2.

Thermodynamique générale

Pour un système formé de N constituants (ou phases) de potentiels chimiques y;, 
avec les
quantités de matière n;, la différentielle de l'énergie interne s'écrit :

dU = TdS -- PaV + ES idn; (6)

et l'enthalpie libre est définie par G = ÙU + PV -- TS. Le dernier terme de la 
différentielle
(6) n'apparaît pas lorsque l'on considère une phase pure ou un système sans 
transformation de
phases (dn; = 0).

Thermodynamique des gaz parfaits

On rappelle la relation de Mayer pour un gaz parfait, C, -- C; = À, où la 
constante des gaz
parfaits vaut À = 8.314 J.K=!mol !. Dans un mélange de gaz parfaits. le 
potentiel chimique
1; d'un constituant ? est donné par la relation :

P,;
(PT) = WT) + RTS. (7)
0

où pi0) est une fonction qui ne dépend que de la température, PF; désigne la 
pression partielle

du constituant ?, et F, = 1 bar est une pression de référence.

11
Masses molaires

On rappelle les masses molaires de l'hydrogène, du carbone, de l'azote et de 
l'oxygène : My --
1,0 g.mol !, Mo = 12 g.mol !, Mn = 14 g.mol !, M5 = 16 g.mol !.

12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


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X/ENS Physique MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Virgile
Andreani (ENS Ulm) et Émilie Frémont (professeur en CPGE).

Le sujet explore plusieurs propriétés thermodynamiques de l'atmosphère et 
propose une description de certains mécanismes météorologiques majeurs : la 
formation
des nuages et des précipitations, la circulation atmosphérique (à travers les 
cellules
de Hadley) ou encore la puissance fournie par les vents. Les trois parties sont 
indépendantes.
· La partie 1, qui est la plus longue et la plus délicate, traite plusieurs 
modèles
d'atmosphère en prenant en compte à la fois l'équilibre thermodynamique, le
flux solaire et l'hydrologie. Elle contient plusieurs questions d'interprétation
assez délicate ainsi que de nombreuses applications numériques (sans 
calculatrice).
· La partie suivante aborde la puissance éolienne générée par l'atmosphère. En
pratique, il s'agit d'un exercice assez standard sur un modèle de machine 
thermique relié un peu artificiellement au sujet principal dans les dernières 
questions.
· La partie 3 concerne la formation de gouttes d'eau au sein des nuages ainsi 
que
le rôle des aérosols. Elle est plus calculatoire que les parties précédentes.
Intégralement consacré à la thermodynamique, le sujet couvre tout le programme
de MPSI dans ce domaine. Il est d'ailleurs abordable en fin de première année 
et n'est
pas trop calculatoire. Il ne faudrait pas en conclure pour autant qu'il s'agit 
d'un sujet
facile, car il demande une compréhension approfondie de la thermodynamique pour
être réussi. Cela en fait un excellent sujet de révision pour cette partie du 
programme
parfois délaissée à l'approche des concours.

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Indications
Partie 1
3 L'azote et l'oxygène sont présents dans l'air sous forme diatomique.
4 La densité de l'air dépend elle aussi de l'altitude, de sorte qu'il faut 
trois équations
pour résoudre le système, la condition d'équilibre hydrostatique, la loi des gaz
parfaits et la relation d'isentropie.
5 Pour un gaz parfait diatomique, l'indice adiabatique  vaut 7/5. Attention à
convertir toutes les données en unités SI.
6 Exploiter la loi de Laplace.
11 Exploiter l'égalité entre la pression partielle de la vapeur et la pression 
de vapeur
saturante. Attention à ne pas oublier que cette dernière dépend de la 
température.
13 Faire le bilan entropique infinitésimal de la parcelle en différenciant 
l'entropie de
l'air et celles des deux phases de l'eau.
14 Intégrer la relation trouvée à la question 13 entre z = 0 et z = h.
18 Le potentiel thermodynamique G vérifie dG = 0 à l'équilibre.
19 La variation d'entropie lors du changement d'état entre phase liquide et 
vapeur
est égale à vap H/T. On peut faire un développement limité, pour dT petit, de
Gm (T + dT, Psat (T + dT)).
20 Utiliser la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation 
différentielle.
Partie 2
22 Le rendement d'un moteur est égal à la quantité de travail fournie divisée 
par le
transfert thermique total depuis la source chaude.
25 On peut appliquer le premier principe de la thermodynamique à un cycle de
moteur.
26 Le second principe de la thermodynamique est cette fois approprié.
28 Il faut s'aider de la question 26, plutôt que de la question 23.
31 Le système judicieusement choisi est formé par F auquel on adjoint les deux
résistances thermiques. Les thermostats seuls ne créent pas d'entropie pendant
leur fonctionnement.
32 La puissance du moteur correspond à l'énergie cédée au vent par unité de 
temps,
la puissance totale reçue est égale à l'intensité totale du rayonnement solaire 
qui
touche la Terre.
Partie 3
34 Pour prouver l'égalité des potentiels chimiques on se place dans un système à
l'équilibre, ne contenant que de l'eau à l'état liquide et à l'état vapeur.
36 La quantité de matière n` contenue dans une goutte d'eau liquide est 
proportionelle à son volume.
38 Le rayon critique correspond au maximum de r 7 G(r).
40 La loi d'Arrhenius indique que si une réaction a une énergie d'activation E, 
sa
constante de vitesse k est proportionnelle à exp(-E/k B T).

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Thermodynamique de l'atmosphère
1. Structure verticale de l'atmosphère
1 À l'équilibre, le flux incident (solaire) et le flux émis par la Terre sont 
égaux,
émis = reçu = I
donc, d'après la loi de Stefan,
d'où une température
r
T0 =

4

I
=
s

r
4

I = sT0 4

220
=
5,67 × 10-8

r
4

220
× 102  2,5.102 K
5,67

Selon ce modèle, la température à la surface de la Terre vaudrait à peu près 
-23 C,
ce qui est beaucoup plus bas que les températures réellement observées.
2 Dans cette nouvelle situation, la Terre est toujours à l'équilibre, mais elle 
reçoit
cette fois un flux supplémentaire, provenant de l'atmosphère,
s T0 4 = I + s Ta 4
L'atmosphère est à l'équilibre elle aussi, et émet un flux s Ta 4 vers le haut 
et vers
le bas. Elle reçoit un flux s T0 4 de la Terre, mais comme elle est 
transparente au
rayonnement solaire incident, le bilan ne contient pas de contribution du flux 
solaire,
s Ta 4 + s Ta 4 = s T0 4
donc

T0 4 = 2 T a 4

Remplaçons T0 dans la première expression,
2s Ta 4 = I + sTa 4
Ainsi la température de l'atmosphère dans cette modélisation est égale à la 
température de la planète obtenue à la question précédente,
r
I
Ta = 4 = 2,5.102 K
s
Et la température de la surface devient (en utilisant encore une fois l'annexe 
calculatoire de l'énoncé)

T0 = 4 2 Ta = 1,2 × 250 = 3,0.102 K
On trouve une température de 27 C, bien plus proche de la température moyenne
de la Terre. La présence d'une atmosphère modifie l'équilibre thermique et 
réchauffe
la surface, ce processus s'appelle l'effet de serre.
3 Les deux composants principaux de l'atmosphère sont l'azote et l'oxygène (tous
deux dans leur forme diatomique, O2 et N2 ). L'azote représente un peu moins
de 80 % de l'atmosphère et l'oxygène 20 %. La masse molaire moyenne de l'air
est donc donnée par
M = 2 × (0,8 MN + 0,2 MO ) = 2 × (0,8 × 14 + 0,2 × 16)  29 g.mol-1
4 Considérons une parcelle d'atmosphère de hauteur infinitésimale dz, de surface
(horizontale) A et donc de volume total dV = A dz. Lorsque cette parcelle est à
l'équilibre, son poids est compensé par les forces de pression qui s'exercent 
sur ses

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faces. Ce sont les seules forces qui s'exercent sur la parcelle, et on peut 
projeter
-
le principe fondamental de la dynamique (à l'équilibre) suivant 
ez orienté selon la
verticale ascendante,
-A P(z + dz) + A P(z) - (z) g dV = 0
où (z) désigne la densité volumique de l'air à l'altitude z. Avec un 
développement
limité à l'ordre un, il vient
dP
(z) = -g (z)
dz
Comme l'atmosphère est modélisée par un gaz parfait, on peut aussi appliquer la 
loi
des gaz parfaits à la parcelle. En remarquant que le nombre de moles d'air dans 
la
parcelle est donné par dn = (z)/M × dV, on obtient
P(z) =

dn RT(z)
R
=
(z) T(z)
dV
M

En combinant les deux équations précédentes,
Mg
1 dP
(z) = -
P(z) dz
RT(z)
Il manque une équation pour résoudre le système. L'énoncé précise qu'on se place
dans le modèle isentropique, l'entropie S de la parcelle étudiée ne dépend donc 
pas
de l'altitude.

1
 -1
d
ln
TP
dS
= n Cp
0=
dz
dz

1 dT
1
1 dP
ce qui se réécrit
0=
+
-1
T dz

P dz
Finalement, en reprenant l'équation de l'équilibre hydrostatique,
-

1 dP
Mg
=
(z) = -
R T(z)
P(z) dz

-1
1
1 dT
-1
(z)

T(z) dz

Il est possible de simplifier cette équation différentielle en utilisant la 
relation de
Mayer pour un gaz parfait,

1
R = Cp - Cv = Cp 1 -

On trouve

dT
Mg
(z) = -
dz
Cp

La solution de cette équation différentielle linéaire est donnée par
T(z) = T0 -

Mg
z
Cp