X/ENS Physique MP 2020

Thème de l'épreuve Faisceaux gaussiens et pinces optiques
Principaux outils utilisés électromagnétisme, transformée de Fourier, physique des lasers, mécanique
Mots clefs pinces optiques, laser, diffusion, diffraction, faisceau gaussien, dipôle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MERCREDI 22 AVRIL 2020 - 08h00 12h00
FILIÈRE MP - Épreuve n°5

PHYSIQUE
(XULCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats numériques seront donnés avec un chiffre significatif.
Notations, formulaire et données numériques.

La grandeur complexe X(t), associée à la grandeur réelle X{(t) = Me(X(t)), 
harmonique de
pulsation w, est notée :

X(t) = X exp (--iut) | (1)

où À pourra dépendre de la pulsation.
On notera la fonction exponentielle indifféremment : exp(x) ou e*.

Pour un champ X (r,t) de l'espace et du temps, la représentation complexe est 
notée :
X (F4) = X(P) exp (ut) , (2)

où X (r) pourra dépendre de la pulsation. Nous ne ferons pas de distinction 
dans l'appellation
d'une fonction entre X(r't) et X(r) pour alléger les notations. Les arguments 
de la représentation
complexe d'un champ permettront de préciser les dépendances dans les variables 
en fonction de
la situation considérée.

Pour une onde plane progressive monochromatique, on écrira X (rt) = X exp ï CE 
T7 -- at) ,
où k est le vecteur de l'onde et F le vecteur position.

Définition : Dans le contexte du problème, on admettra qu'une fonction F(x,2) 
pourra toujours
se décomposer de la manière suivante :

+0 | a LD +00
F(x,z) = | F(a,z) exp(iar)Se et F(a,z) = | F(x,z)exp(---iax)dx, aEUReR. (3)

_% T -- 00

Remarque 1 : les fonctions F(x.2) et F(a.2) seront toujours définies dans des 
condi-
tions qui permettent la convergence de l'intégrale. On ne se préoccupera aucune-
ment de la convergence des intégrales dans le problème.

Remarque 2 : Il sera toujours permis de permuter les opérations de dérivée par
rapport à x ou 2 et les opérations d'intégration. Par exemple, on pourra écrire 
:

Ô Fr 9 = . da
3, F(&2) -- [. 3, F(@2) exp(iar)s-- :

Propriété 1 : On a la propriété suivante :

Fo d L
Vx, | F(a,z) exp(iar) = 04 Va, F(a,z) = 0. (4)
_50 T
_2
Propriété 2 : Pour une fonction gaussienne F(x) = F5 exp E , On à :
0
> _W/2 2
F(a) --= FoWovr exp () . (5)

Constante de PLANCK : h = 6.6 x 10% J.s = 4,1 x 10715 eV.s
Constante de BOLTZMANN : kp = 1,4 x 107% J.K-1

Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 x 10° m-s-!l

Permittivité diélectrique du vide : EURo = 8.9 x 10712F.m 1

Charge élémentaire : e = 1.6 x 10 C

Masse de l'électron : m, = 9,1 x 10°? kg

-- Page 3/13 -
Faisceaux gaussiens et pinces optiques

Dans ce sujet nous nous intéressons à l'utilisation de la lumière pour piéger 
de petits objets (une
nanobille dans l'exemple développé à la fin du problème). Il s'agit du principe 
de la pince optique (en
anglais optical tweezers), pour lequel Arthur ASHKIN a reçu le prix Nobel de 
Physique en 2018. Le
piégeage ne peut se faire que dans des conditions particulières, qui peuvent 
être réunies en utilisant un
faisceau laser. Le sujet propose d'abord une description formelle de la 
propagation de la lumière, puis
la description du mode gaussien fondamental d'un faisceau laser. Dans les 
parties suivantes, nous nous
concentrons sur l'interaction de la lumière avec une nano-bille diélectrique. 
C'est de cette description
que vont apparaître les forces optiques mises en jeu dans le piégeage de la 
nano-bille par le faisceau
laser. Les pinces optiques sont aujourd'hui largement utilisées dans le domaine 
de la biologie, pour
manipuler de manière non-invasive des bactéries ou des virus.

I Propagation et décomposition en ondes planes d'un champ électrique

Dans une zone de l'espace, vide de charges et de courants, on considère un 
champ électromagnétique
quelconque, décrit de manière générale par un champ électrique E(Mt) = E(rit) 
et un champ
magnétique B (Mt) -- B (rt), où r désigne le vecteur position du point M par 
rapport à un référentiel
galiléen R. À ce référentiel est associé un repère cartésien (Oxyz), où EUR, e, 
et EUR, sont les vecteurs
unitaires de la base orthonormale du repère.

On rappelle que les champs électrique et magnétique, E(rt) et B (r,t), sont 
couplés par les équations
de MAXWELL dans le vide :

-- -- -- -- l
divË=0  divB=0 rtE=---  rotB=---. (6)
C

La propagation du champ électrique (et du champ magnétique) est gouvernée par 
l'équation de
D'ALEMBERT :

OEL

9?

AË-

I _
. -- Ô 1
> | (7)

©

où c désigne la célérité de la lumière.

Pour un champ harmonique (ou monochromatique) de pulsation w, on écrit le champ 
électrique dans
sa représentation complexe E(r,t) = E(r)exp(--iwt). L'équation de D'ALEMBERT 
pour E(rt) se réduit

--
.
L]

à l'équation dite de HELMHOLTZ portant sur la grandeur E(r)

AË(r) +  L

2. À quelle condition sur @, 7 est-il réel? On écrit alors + -- 7 avec + > 0. 
Donner l'expression
générale de E(a,2). Dans quel cas, y est-il imaginaire pur ? On pose alors + = 
iô avec à > 0.

Donner l'expression générale de E(a,z) dans ce cas.

On admet dans toute la suite du problème que les conditions aux limites des 
différentes
situations physiques rencontrées permettront d'écrire : E(a,z) -- A(a)exp(iyz). 
Nous sup-
poserons également que toutes les intégrales de fonctions sont convergentes.

3. On suppose dans cette question que pour |a| > w/c, A(a) = 0. Le champ 
électrique E(x,z2,t)
s'écrit alors sous la forme intégrale suivante :

+w /c da
E(x,2t) = exp(--iut) | Aa) expli(ar + 32122. (10)
--w/c 2T
Interpréter physiquement la décomposition du champ électrique E(x,z,t). On 
s'attachera en
particulier à donner un sens physique au vecteur «EUR, + ye, et à la grandeur 
A(a).

4. Proposer une interprétation dans le cas où 7 est imaginaire pur.

5. Dans le cas où 7 est réel, montrer que :

+00 |
A(a) = | E(x,z = 0)je "dx. (11)

OO

Dans la suite du problème, on considérera 7 réel et les bornes de l'intégrale 
intervenant
dans l'expression (10) pourront être prolongées en ---% et +co.

II Etude de la limitation transversale d'un faisceau lumineux

Le formalisme présenté et étudié dans la partie précédente est parfaitement 
adapté à l'étude d'un
faisceau lumineux ou d'une onde électromagnétique dont l'extension spatiale 
transversale à la propa-
gation est limitée. Ce formalisme permet également de décrire les modifications 
de la structure d'un
faisceau ou les phénomènes physiques apparaissant lorsqu'une onde 
électromagnétique rencontre un
obstacle au cours de sa propagation.

On considère, dans cette partie, un écran opaque placé dans le plan z = 0 dans 
lequel une ouverture
rectangulaire (©) à été réalisée. Cette ouverture (©) est de grande dimension 
dans la direction (Oy),
centrée en x = 0 et de largeur Wo dans la direction (Ox). On pourra considérer 
dans la suite que cette
ouverture est assimilable à une fente infinie selon (Oy) et de largeur W9 selon 
(0x). L'ouverture (©)
est éclairée en totalité par une onde incidente plane progressive 
monochromatique d'amplitude EE,
provenant de la région de l'espace située dans le demi-espace z < 0 (Figure 1) : -- E(z,t) = E(z,t)e, = Eoexpli(kiz -- wt)le, , (12) -- Page 5/13 - si. . M! E=E(z, ne, | . Z 7 Ecran opaque Figure 1 -- Onde incidente sur l'ouverture (O). avec k; = (w/c)é, = (2r/X)e, le vecteur d'onde de l'onde incidente. La longueur d'onde utilisée pour l'onde incidente est À = 600 nm. La largeur W, de l'ouverture est de quelques micromètres. 6. Rappeler quel critère quantitatif permet de se placer dans le cadre de l'approximation de l'op- tique géométrique. En raisonnant sur des grandeurs caractéristiques, cette approximation est-elle applicable dans la situation physique énoncée ci-dessus ? Quel phénomène physique pourrait être mis en évidence par le dispositif schématisé sur la Figure 1 ? Dans le demi-espace z > 0, situé en aval de l'ouverture (©), le champ 
électrique en un point M de
coordonnées (x,0,2), noté E(x,z,t), est de même pulsation w que l'onde 
incidente. La représentation
complexe de ce champ ÆE(x,2,t) peut s'écrire comme une superposition d'ondes 
planes progressives
harmoniques d'amplitude Aa), conformément à l'expression (10). On limite notre 
étude au plan
y = 0 au regard de l'invariance de l'ouverture (©) par rapport à l'axe (Oy).

7.

10.

III

Déterminer l'expression de A(a) en fonction de Eo, a et Wo. Représenter 
graphiquement A(a)
en fonction de «.

. À partir de l'expression du vecteur d'onde # d'une onde élémentaire dans le 
repère (Oxy2)

et de la représentation graphique de A(a), identifier les directions dans 
lesquelles on observe
un extremum de A(a) et des annulations de A(a). On pourra introduire l'angle 0 
défini par
tan 0 = a/7. Établir la relation entre sin 0, Àet Wa pour la première 
annulation. Par souci de
simplicité, on supposera par la suite que [0] est suffisamment petit pour avoir 
tan 0 & sin 0 & 6.

. En considérant des rayons lumineux parallèles à l'axe (Oz) et des rayons 
parallèles entre eux,

inclinés d'un angle quelconque par rapport à ce même axe, préciser comment une 
lentille mince
convergente transforme une onde plane incidente dans son plan focal image. En 
déduire ce que
l'on observe avec un capteur optique dans le plan focal image d'une lentille 
mince convergente
(£) de distance focale image f", placée après l'ouverture (©).

Dans la configuration de la question précédente, déterminer la distance Ax 
entre l'image cor-
respondant au maximum global et l'image correspondant au premier zéro de A(a), 
dans le plan
focal image de la lentille (£). Commenter l'évolution de la tache lumineuse de 
largeur 2Ax% située
au voisinage du point focal image de (£) lorsqu'on fait varier la largeur W, de 
l'ouverture (©).
Déterminer la valeur numérique de 2Ax de la tache lumineuse pour Wo = 10 um et 
f" = 200 mm.

Source laser et faisceau gaussien

Dans cette partie, on étudie la propagation dans le sens des z croissants d'un 
faisceau lumineux issu
d'une source laser. Le champ électrique modélisant ce faisceau est noté 
Er(x,z,t) = Er(x,zt)e,. En

-- Page 6/13 -
raison du caractère quasi-monochromatique d'une source laser, la dépendance 
temporelle du champ
Er(x,z,t) est harmonique, de pulsation w. On a donc E,(x,2t) = 
E,(x,z)exp(--iwt). Le champ
électrique décrivant l'onde lumineuse est caractérisé dans le plan z = 0 par 
une répartition gaussienne
de son amplitude selon l'axe (Ox). On a ainsi :

2
Eure 0) = Brexp | | | (16)
0

Le faisceau lumineux décrit par cette répartition d'amplitude de champ 
électrique possède une ex-
tension latérale caractéristique W5 très grande devant la longueur d'onde 
réduite : W5 > À/27. Ce
faisceau est invariant par translation selon l'axe (Oy), il a donc la forme 
d'une nappe laser. Dans la
suite de cette partie, on se placera dans le plan y = 0.

11. À partir des résultats généraux établis dans la partie I, concernant la 
propagation d'un paquet
d'ondes planes progressives et harmoniques, établir l'expression intégrale de 
E,(x,z) dans le
demi-espace z > 0. En déduire l'expression de A(a) dans ce cas. On rappelle que 
les grandeurs
a et y sont reliées à la norme du vecteur d'onde k de la manière suivante : k? 
= +? + a'.

L'expression de A(a) permet d'obtenir, dans l'approximation paraxiale, la 
dépendance spatiale du
champ électrique décrivant le faisceau. On admettra que l'amplitude du champ 
électrique E,(x,2) se
met sous la forme suivante :

Eure) = Ke (Een (ne). (17)

Les fonctions réelles, W(z) et R(z), et la fonction complexe K(2) ont pour 
expression :

2 2
Z Z : 1
W(2)=Wufi+z  R()=2:{[1+< K(:) = Eo2re"° . (18) 7R Z . À 2m | 1+i-- 2ZR 2 2 rW, kW a dISTANCE 2R -- -- es appe ee alistance de AYLEIGH. La dist es 5 t lée dist de R 12. Déterminer l'expression approchée de W(2) dans les limites z & 2r et z > 2 
et tracer la courbe
représentant W en fonction de z. Définir et exprimer l'angle 0 de divergence du 
faisceau laser.
À partir de cette expression, justifier que l'évolution spatiale du faisceau 
laser met en évidence
un phénomène physique déjà rencontré précédemment que l'on rappellera.

13. Donner à une constante multiplicative près l'expression de l'intensité 
Z1(x,z) et en déduire que
le faisceau a toujours un profil gaussien dans un plan z = Cste. Tracer la 
répartition spatiale
d'intensité 1,(x,2) en z = 0 et z = 2R.

14. Dans le cas où z vérifie conjointement les conditions z > zr et z > [x], 
montrer que le terme
exp(ikz)exp likx*/(2R(2))| s'identifie au terme de phase caractéristique d'une 
onde sphérique,
dans le plan y = 0 (en toute rigueur et au regard de l'invariance suivant (Oy) 
de la nappe laser,
il s'agit d'une onde cylindrique). Quel est le rayon de courbure des surfaces 
d'onde pour z Y zr ?
Que dire de la surface d'onde pour z EUR 2R ? Évaluer numériquement 2R pour Wo 
= 100 um et
pour Wo = 1 mm.

-- Page 7/13 -
IV Moment dipolaire d'un atome et d'une assemblée d'atomes

IV.A Modèle d'atome : l'électron élastiquement lié

On s'intéresse dans cette partie à un électron dans un atome. Le modèle utilisé 
date du tout
début du XX siècle, à une époque où l'électron était identifié comme un 
corpuscule mais où les
noyaux atomiques n'avaient pas encore été mis en évidence. L'électron est 
supposé être une particule
ponctuelle de charge --e, situé dans une sphère de rayon Ro, uniformément 
chargée positivement en
volume et de charge totale +e. Le système composé de l'électron associé à la 
sphère constitue un
modèle simplifié d'atome, représenté Figure 2. On considérera que le diamètre 
2R, de la sphère a pour
valeur typique 2kR0 = 0,1 nm.

Bien que ce modèle classique puisse sembler à l'heure actuelle très naïf, les 
résultats auxquels il mène
se retrouvent bien dans un traitement quantique de la matière dans des 
conditions expérimentales
usuelles, que nous supposerons respectées 1ci.

Figure 2 --- Modèle simplifié d'atome. La partie grisée représente la charge +e 
délocalisée dans toute
la sphère de rayon Ro. L'électron est représenté par une charge --e ponctuelle, 
de vecteur position r+.

On appelle r, le vecteur position de l'électron, défini par rapport au centre O 
de la sphère chargée
positivement, dans le repère cartésien (Oxyz).

15. Montrer que la force électrique F, exercée sur l'électron peut s'écrire 
comme une force élastique
linéaire, c'est-à-dire F -- --kar., avec ka la constante de raideur associée. 
Introduire dans
l'expression de ka une pulsation caractéristique wo dont on précisera 
l'expression en fonction des
paramètres du modèle et dont on calculera un ordre de grandeur.

IV.B Établissement du moment dipolaire de l'atome

L'atome, décrit par le modèle simplifié présenté précédemment, est éclairé par 
une onde plane mono-
chromatique, représentée par les champs électrique et magnétique suivants, en 
un point M quelconque
de vecteur position r: (rt) = E(rjerivt = EjefT-ut) et B(rt) = B(rerist = Biel 
T-wt), La
pulsation w de l'onde appartient à la gamme visible du spectre 
électromagnétique. On considère que
les amplitudes E(r) et B(r) de l'onde électromagnétique peuvent être 
considérées comme uniformes
à l'échelle de l'atome. On considère également que le déplacement du noyau 
soumis à cette onde est
négligeable par rapport à celui de l'électron. Enfin, on suppose que l'électron 
sollicité par l'onde ne
peut atteindre des vitesses qui nécessiteraient de prendre en compte des effets 
relativistes.

Lorsque l'électron est excité par l'onde électromagnétique, celui-ci perd de 
l'énergie au cours de son
déplacement sous forme de rayonnement. Nous modéliserons ces pertes par une 
force de frottement
visqueux F;, = -mTr,. où 7. désigne la dérivée par rapport au temps du vecteur 
position 7, de
l'électron. On a de plus EL EUR wo.

-- Page 8/13 -
16. Justifier que les amplitudes E(r) et B(r) peuvent être effectivement 
considérées comme uniformes
à l'échelle de l'atome.

17. Donner un argument pour justifier que le mouvement du noyau peut être 
négligé devant celui
de l'électron.

18. L'influence du champ magnétique de l'onde sur l'électron peut-elle être 
négligée ?
19. Établir l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur position 
7,(t) de l'électron.

20. On cherche la solution de cette équation en régime établi (régime 
sinusoïdal forcé) sous la forme
T(t) = Teoexp(--iwt). Déterminer l'expression de F9. En déduire l'expression du 
moment

dipolaire d,4(t) = --er,(t) associé à l'atome soumis à l'influence de l'onde 
électromagnétique.

IV.C Moment dipolaire d'une sphère diélectrique et indice optique

Le modèle de l'électron élastiquement lié, décrit dans (IV.A), et la 
modélisation de l'influence d'une
onde électromagnétique sur un atome par l'apparition d'un moment dipolaire 
(IV.B) permettent de
décrire le phénomène de polarisation d'une sphère diélectrique. Le terme 
diélectrique est synonyme ici
d'isolant électrique.

On considère maintenant un volume de matière, constitué de N atomes par unité 
de volume. On
appelle P(Ft) le vecteur polarisation représentant la densité volumique de 
moment dipolaire. On peut
considérer que si l'excitation par un champ électrique est sinusoïdale, 
c'est-à-dire E(rt) = E (re iwt,
la réponse de la matière diélectrique est linéaire et la polarisation oscille 
également à la pulsation w,
d'où P(rt) = P(rje it, L'indice optique n du volume de matière considéré 
intervient alors dans le
facteur de proportionnalité entre le champ électrique E(r) et la polarisation 
P(r) selon la formule
suivante :

P(F) = eo(n? -- 1)E(F) , (19)

où E(r) désigne l'amplitude du champ électrique sinusoïdal excitateur et P(r) 
l'amplitude de la réponse
sinusoïdale en polarisation au point r. On précise que l'indice optique n peut 
dépendre de la pulsation
et peut être une grandeur complexe.

21. Exprimer P(r't) en fonction de N et d,4(t), et en déduire l'expression de 
n°.

22. Dans le modèle d'atome adopté initialement, montrer que dans le domaine des 
fréquences op-
tiques (w comprise entre 2.10! et 5.101 rad.s"_ |) l'indice dépend peu de la 
pulsation.

On considère une sphère diélectrique d'indice optique n et de rayon a dans le 
vide, placée en ©.
Cette sphère est éclairée par une onde électromagnétique monochromatique 
incidente, dont l'amplitude
du champ électrique est Ês. Le rayon a de la sphère diélectrique est tel que a 
& À, où À désigne la
longueur d'onde du champ excitateur Ep. de sorte que l'on peut considérer le 
champ électromagnétique
uniforme dans la sphère. On peut montrer, sous certaines conditions 
d'approximation respectées ici,
que l'amplitude Ë du champ électrique monochromatique effectivement ressenti 
par les atomes dans
la sphère est différent de celle du champ excitateur E et obéit à la relation :

Ia

Ë = Es - (20)

CO
©

EUR

23. Quel est le moment dipolaire d + de chaque atome de la sphère en fonction 
de E et P ? Donner
alors l'expression de P en fonction de l'indice optique n précédemment 
déterminé et de E£,,.

24. En déduire le moment dipolaire D de la sphère en fonction de n, à, £o et de 
Es.

-- Page 9/13 -
V Principe d'une pince optique

Le principe général d'une pince optique repose sur le piégeage d'un système de 
petite dimension en
utilisant un faisceau laser. L'équilibre de ce système dans le faisceau laser 
est dépendant des différentes
interactions du système avec le faisceau lumineux. Cette partie propose de 
modéliser les différentes
actions exercées par la lumière sur le système de petite dimension (V.A) et 
d'analyser le comportement
de ce dernier au sein d'un faisceau lumineux (V.B).

bille

diélectrique

Faisceau Laser

Figure 3 -- Principe général d'une pince optique : piégeage d'une bille dans un 
faisceau lumineux. Les
lignes courbes représentent l'extension spatiale du faisceau lumineux.

On considère donc la situation physique décrite par la Figure 3 où une 
nano-bille diélectrique est
placée dans un faisceau laser, dont l'axe optique est (Oz) et de géométrie 
cylindrique. Cette bille est
de rayon a petit devant la longueur d'onde À du faisceau. Elle est placée en r; 
dans un liquide dont
l'indice optique est ns: Lorsque la bille est éclairée par le faisceau 
lumineux, elle est assimilable à un
moment dipolaire D, (vecteur réel) proportionnel au champ électrique du 
faisceau, E(ñ,) (vecteur
réel) :

D, = AË(ñ,) (21)

Le comportement diélectrique de la bille dans le faisceau lumineux, 
c'est-à-dire l'expression du coeffi-
cient À (constante réelle), sera développé dans la partie V.B.

V.A Forces optiques subies par la bille

Afin de réaliser le piégeage d'une bille dans un faisceau lumineux laser il est 
nécessaire de modéliser
les interactions lumière-matière entre la bille et le faisceau lumineux. La 
bille, décrite par un dipôle
D}, est soumise à deux forces issues de l'interaction avec le faisceau lumineux 
: la force radiative de

diffusion et la force de gradient, décrites dans les sous-parties suivantes. On 
négligera le poids de la
bille, ainsi que la poussée d'ARCHIMÈDE exercée par le solvant sur la bille.

V.A.a Force radiative de diffusion

La puissance lumineuse moyenne émise (diffusée) par le dipôle est donnée par :

-- Page 10/13 -
3
__ AT cn
_ 3 Ep À4 b,0 ?

où À est la longueur d'onde dans le vide du faisceau lumineux, et D, est 
l'amplitude du moment

(22)

dipolaire D,

On rappelle que l'impulsion p,n portée par un photon est hk où E est le vecteur 
d'onde associé au
mode électromagnétique décrit par le photon dans le milieu du solvant (k = 
nsw/c), et À = h/(27) la
constante de PLANCK réduite. L'énergie d'un photon est En = Aw.

25. Sur une durée infinitésimale dt, déterminer l'énergie dEUR de la lumière 
diffusée par la bille. En
déduire le nombre de photons dW qui ont été diffusés par la bille pendant cette 
durée.

26. La diffusion par un dipôle est à symétrie centrale (symétrie par rapport au 
centre du dipôle) : le
nombre de photons diffusés dans une direction caractérisée par le vecteur 
d'onde £ est donc égal
au nombre de photons diffusés dans la direction _k, En conséquence, on admettra 
que l'impulsion
globale de la lumière diffusée par la bille est nulle. En écrivant l'impulsion 
infinitésimale dp
transmise par les photons de l'onde incidente à la bille pendant dt, déduire 
l'expression de la
force F, de diffusion exercée par les photons incidents sur la bille, notamment 
en fonction de P.
Quelle est son action sur la bille ? On précisera le sens de la force.

V.A.b Force de gradient

Pour modéliser l'influence de la deuxième force exercée par la lumière sur la 
bille, on va se ramener
à une situation simplifiée. Dans un premier temps, on considère un dipôle 
formellement décrit par
une charge positive +q et une charge négative --q aux positions respectives T1 
= Tp et = = To -- ô.
Le moment dipolaire de la bille s'écrit alors D, -- q(rs -- 7) = q6. Afin de 
simplifier l'étude, on
considère que les charges positives ont une inertie beaucoup plus grande que 
les charges négatives, et
on supposera qu'aux échelles de temps considérées r, ne dépend pas du temps 
(charges positives fixes)
et seul ô dépend du temps (charges négatives mobiles).

Le déplacement 6 étant peu important, on pourra utiliser le développement 
limité au premier ordre
en ||ô|| des champs suivants :

-- -- --

+ -->
E(r_,t) = E(ro;t) -- (ô.grad)E(ro;t) . (23)
Le même développement s'applique au champ magnétique B (rt).

27. Écrire la force de LORENTZ instantanée F exercée sur l'ensemble des deux 
charges, et en
déduire, à l'aide du développement limité au premier ordre en | ô | ci-dessus, 
que la force totale
exercée par l'onde électromagnétique incidente sur le dipôle D}, représentant 
la bille se met sous
la forme suivante :

Fo = (Dr.grad)Ë + co AB. (24)

28. En utilisant l'expression (21) et l'identité vectorielle grad(£?) -- 
9(Ë.grad)Ë +2E À (rotÉ),
exprimer la force FLor comme une combinaison linéaire, dont on précisera les 
coefficients, des
termes grad(E?) et O(E A B)/ôt.

29. Du fait de son inertie et de la fréquence élevée du champ électromagnétique 
décrivant l'onde
incidente sur la bille, cette dernière ne réagit qu'à la moyenne temporelle de 
la force de Lo-
RENTZ instantanée (FLor)T = = LS Ftor(t)dt, où T = 2x /w est la période 
d'oscillation du champ
électromagnétique. Montrer que (0(EAB)/ôt}r = 0 et donner l'expression de la 
force de gradient
F,. définie comme F, = (Fr), en fonction de À et du gradient de (E?)r.

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V.B Piégeage d'une bille diélectrique

La bille, considérée jusqu'à présent, est une sphère diélectrique de rayon a et 
d'indice optique n.
Le moment dipolaire de la bille en présence d'un faisceau lumineux obéit à la 
relation (21). On peut
montrer que le coefficient de proportionnalité de l'équation (21) entre le 
moment dipolaire de la bille
D et le champ électrique caractérisant le faisceau lumineux est :

2

-- 1
A =4 2437
TEONSA T5 :

(25)

où m = n/n, est le rapport de l'indice optique de la bille n sur l'indice 
optique n, du solvant. L'intensité
du faisceau lumineux incident sur la bille, au sein du solvant, est par 
définition :

I = nseoc(E?)r . (26)

30. À partir de l'étude des forces de diffusion et de gradient menée dans les 
paragraphes (V.A.a) et
(V.A.b), donner les expressions des forces Fi et F, sur la bille au sein du 
solvant, en fonction
de m, n, et I en particulier. Dans le cas de la force de diffusion, on pourra 
se servir du fait que
(E?)r = Eë/2 où Es est l'amplitude du champ électrique Ë(+).

On considère que l'intensité du faisceau gaussien utilisé, à géométrie 
cylindrique, centré en x = 0
et y = 0, peut s'écrire sous la forme :

--2(x? + n) |

Te 27

4
Z
L(x.y,2) = 10 -- Rex
31. Préciser les conditions permettant de piéger la bille de façon stable au 
centre du faisceau.

Dans une région du faisceau définie par les conditions suivantes : [x},]y| & Wo 
et [2]  2r, il
est possible d'écrire, en première approximation, les dérivées partielles de 
l'intensité sous la forme
suivante :

OT --410

5 (2922) -- W2 L ; (28)
OI A)

01 = 40 29
dE) = Tv (29)
OI Al

01 = ho A, 30
ge UT) re rene (30)

32. Compte tenu des résultats de la question 30, et sans effectuer de calcul, 
conclure sur la possibilité
de piéger une telle bille. Justifier la nécessité de focaliser le faisceau pour 
piéger la bille.

En utilisant un objectif de microscope approprié, considéré comme une lentille 
mince convergente
de très courte distance focale, il est possible de focaliser très fortement un 
faisceau laser, de manière
à créer un gradient d'intensité élevé. On montre dans ce cas que l'extension 
latérale WQ du faisceau
lumineux est de l'ordre de À/7.

33. Quelle est dans ce cas la distance de RAYLEIGH 2R (autour du point focal) ? 
En déduire l'échelle
de longueur sur laquelle l'intensité est significative le long de l'axe (Oz) de 
propagation du
faisceau laser et justifier que les forces de gradient sont du même ordre de 
grandeur sur les trois

axes (Ox), (Oy) et (Oz).

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34.

39.

36.

37.

On éclaire, dans ces conditions, une bille de silice de rayon a = 100 nm, 
d'indice optique n = 1,37,
dans de l'eau d'indice optique n, = 1,33 (On a alors (m° --1)/(m°+2) & 0,02), 
avec un laser de
longueur d'onde À = 600 nm, et dont la puissance délivrée est de 40mW. Calculer 
l'intensité Lo
dans le plan focal image de la lentille en W.cm *. Pour un écart à la position 
x = 0, y = 0,z=0
de l'ordre de 50 nm, on obtient une valeur de la force de gradient de l'ordre 
de 1 pN. L'ordre de
grandeur de la force de diffusion est 0,2 pN. Conclure sur la possibilité de 
piéger la bille.

Justifier que l'on puisse considérer la force de gradient comme une force 
élastique et évaluer la
constante de raideur associée.

À partir des valeurs des forces données dans la question 34, donner un ordre de 
grandeur des
forces de gradient et de diffusion pour des billes de silice de rayon a = 200 
nm. Donner également
un ordre de grandeur des forces de gradient et de diffusion pour des billes en 
polystyrène de
rayon a -- 100 nm, dont l'indice optique est n = 1,63 (on donne alors 
(m*--1)/(m° +2) & 0,14).
Comment choisir la longueur d'onde du laser pour mieux piéger une particule ?

On revient à une particule de silice de rayon a -- 100nm piégée dans la pince 
optique. Le
long de l'axe (Ox), la position de la bille est en moyenne nulle : (x,) = 0. En 
utilisant le
théorème d'équipartition de l'énergie, déterminer quel est l'ordre de grandeur 
de l'écart-type ©;
à température ambiante (T -- 300K). On rappelle que a = (x*) -- {x)?. Comparer 
à la taille
de la bille et à la distance caractéristique de la zone de confinement du 
faisceau. Le piège est-il
satisfaisant ?

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Tom Morel
(professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur le principe de fonctionnement des pinces optiques, un système
optique capable de piéger de petits objets au sein d'un faisceau laser, ce qui 
permet ensuite de les manipuler. Les quatre premières parties du sujet 
introduisent les
concepts d'électromagnétisme nécessaires pour aborder, dans la cinquième et 
dernière
partie, le fonctionnement du dispositif.
· La première partie, très mathématique mais guidée, demande de démontrer
plusieurs résultats fondamentaux sur la décomposition en ondes planes d'un
champ.
· La deuxième partie est consacrée au phénomène de diffraction : on calcule 
l'amplitude de l'onde diffractée à travers une fente rectangulaire.
· La troisième partie s'intéresse aux propriétés des faisceaux lasers gaussiens.
· La quatrième partie consiste en une étude assez classique de 
l'électromagnétisme dans un milieu continu, avec le modèle de l'électron 
élastiquement lié.
Cette section introduit, entre autres, la polarisation induite, principe au 
centre
du fonctionnement de la pince optique. La notion n'est pas au programme, mais
la partie reste suffisamment guidée pour que cela ne pose pas de problème.
· La dernière partie, plus difficile et plus longue, décrit en détail comment la
pince optique est capable de piéger un objet.
Ce sujet, centré quasi exclusivement sur l'électromagnétisme, reste assez 
classique et abordable pour cette banque de concours. Les différentes parties 
fournissent
beaucoup de résultats intermédiaires et les parties difficiles peuvent être 
évitées. Cependant quelques questions sont ardues et demandent un développement 
long. Le
sujet contient aussi de multiples, et parfois délicates, applications 
numériques, sans
calculatrice.

Indications
Partie I
1 Le formulaire en page 3 du sujet est particulièrement important pour toute la
première partie.
Partie II
7 Utiliser la relation (11). Le champ est nul sur l'écran, sauf dans 
l'ouverture.
8 Attention, comme précisé dans le sujet,  dépend de .
9 Faire un schéma. Les rayons qui passent au centre de la lentille ne sont pas 
déviés.
Partie III
11 Utiliser la propriété (2), énoncée au début du sujet.
13 L'intensité du champ est proportionnelle au carré du module du champ 
électrique
complexe.
-
14 Partir du déphasage spatial d'une onde sphérique, égal à kk
r k, et retrouver
l'expression donnée dans le sujet.
Partie IV

-
15 Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ E puis la force.

-

-
18 Exprimer l'ordre de grandeur de k B k en fonction de celui de k E k.

-
23 Le moment dipolaire d at garde l'expression obtenue dans la question 20, 
mais le

-
champ électrique E est remplacé par le champ électrique ressenti par les atomes,

-

-
lequel correspond à E 0 - P /(30 ).
24 Le moment dipolaire total de la sphère est la somme des moments dipolaires de
chacun de ses atomes.
Partie V
26 L'énergie des photons que la bille diffuse est identique à celle des photons 
qu'elle
absorbe, par contre leurs impulsions sont différentes.
27 La force totale exercée sur le dipôle est la somme des deux forces de Lorentz
-

s'appliquant en -
r
+ et r- .
28 Remarquer que le produit vectoriel vérifie la règle de Leibniz et utiliser 
l'équation
de Maxwell-Faraday.
29 Écrire explicitement la moyenne temporelle sous forme d'intégrale.
34 Dans le plan focal, le diamètre de la tache est donné par /.
-
35 Montrer que la force de gradient est proportionnelle à 
r.
37 La bille étant piégée dans un potentiel harmonique, on peut relier 
l'écart-type de
sa position à l'écart-type de sa vitesse.

Faisceaux gaussiens et pinces optiques
I. Propagation et décomposition en
ondes planes d'un champ électrique

- -
1 L'équation d'Helmholtz portant sur E (
r ) est donnée par l'équation (8) :

- -
- -

-
2 
 E (
r ) + 2 E (
r)= 0
c
Or, d'après l'énoncé, le champ électrique est monochromatique, polarisé suivant 
Oy,
et indépendant de y. Il s'écrit en conséquence

- 
-
E (-
r , t) = E(x, z) e -it 
ey
L'absence de dépendance suivant y est une conséquence de l'équation de
Maxwell-Gauss dans le vide :

-
E
=0
div E =
y
-
En projetant l'équation d'Helmholtz suivant la direction 
ey , on trouve
 2 E(x, z)  2 E(x, z)  2
+
+ 2 E(x, z) = 0
x2
z 2
c
e
Pour faire apparaître la fonction E(, z), utilisons l'équation (3) du sujet :
Z 
d
e
E(x, z) =
z) e ix
E(,
2
-
En permutant intégrales et dérivées, on peut réécrire l'équation d'Helmholtz de 
la
façon suivante :
Z 
Z  2e
Z  2
 E(, z) ix d
 e
d
 2 e ix d
e
E(,
+
e
+
E(, z) e ix
=0
z)
2
2
2
x
2
z
2
c
2
-
-
-
#
Z "
2e
2
E(,

z)
d

e
e
Soit
z) +
z) e ix
-2 E(,
+ 2 E(,
=0
2
z
c
2
-
Comme cette équation est valide pour tout x, la propriété (4) permet d'obtenir
e
 2 E(,
z)
e
+  2 E(,
z) = 0
z 2

avec

2 =

2
- 2
c2

e est la transformée de Fourier (suivant la direction Ox) du
La fonction E
champ E. La transformée de Fourier est un outil particulièrement utile en
électromagnétisme ; comme on va le voir plus loin, elle permet de décomposer
une onde quelconque en superposition d'ondes planes, plus faciles à analyser.
2 Pour que  soit réel, son carré doit être positif, ce qui se traduit par
2
c2
Or,  et c sont positifs, donc  est réel si et seulement si
2 6

|| 6

c

L'équation (9) est une équation linéaire du second ordre à coefficients 
constants.
Son équation caractéristique admet deux racines imaginaires pures, valant i et 
-i.
La solution générale s'écrit alors
e
E(,
z) = A+ e iz + A- e -iz
avec A+ et A- deux coefficients complexes quelconques.
De la même façon,  est imaginaire pur si et seulement si  2 est négatif, ce qui
se traduit par
|| >

c

L'équation caractéristique présente alors deux racines réelles
générale de l'équation (9) est dans ce cas

+
- ,

et la solution

e
E(,
z) = A+ e -z + A- e z
3 L'expression (10) s'interprète comme la décomposition en ondes planes du
champ électrique E, restreinte ici aux ondes dont le vecteur d'onde vérifie

- 

k ·-
ex 6
c
On peut la réécrire
Z +/c
d

- 
- 
-
E(x, z, t) =
A() e i[( ex + ez )· r -t]
2
-/c
Chacune des ondes planes composant le champ électrique est progressive et 
définie
-

par son vecteur d'onde k = -
e + -
e , et son amplitude A().
x

y

4 Lorsque  = i est imaginaire pur, || > /c. Il vient
Z
d

-

- 
-
A() e i(x ex +iz ez )· r -it
E(x, z, t) =

2
||> c
Z
A() -z i x
-
-r -it d
ex ·
=
e
e

2
2
||> c

- -
Si k · 
ex > /c, le champ électrique peut toujours être décomposé en ondes planes,
mais cette fois l'onde se propage suivant Ox et son amplitude décroît 
exponentiellement avec une distance caractéristique  -1 selon Oz : les ondes 
sont évanescentes.
e
5 La fonction A() est définie par la relation E(,
z) = A() e iz . En utilisant
encore une fois la relation (3), on peut écrire
Z 
e
A() = E(, z = 0) =
E(x, z = 0) e -ix dx
-