X/ENS Physique MP 2019

Thème de l'épreuve La dynamique de l'Univers
Principaux outils utilisés mécanique, gravitation, thermodynamique, effet Doppler
Mots clefs Univers, expansion de l'Univers, loi de Hubble, matière noire, énergie noire, cosmologie, équation de Friedmann-Lemaître, redshift

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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X/ENS Physique MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Valentin Raban (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Romain Anankine (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet aborde un thème non étudié en CPGE mais passionnant par bien des
aspects : la cosmologie, c'est-à-dire la science de l'Univers. Il se concentre 
plus particulièrement sur son expansion, qui a été mise en évidence pour la 
première fois par
Edwin Hubble en 1929. Le texte et les questions, clairement construits comme un
cours d'introduction à la discipline, suivent une progression pédagogique. 
Certaines
notions étant plus techniques que d'autres, les six parties du sujet sont très 
inégales
en longueur et en difficulté.
· Après une rapide introduction de l'effet Doppler, dont le décalage vers le 
rouge
(redshift ) en astronomie est une illustration, la première partie présente 
l'expansion de l'Univers afin d'introduire le paramètre d'échelle a(t), qui est 
un
objet central de la cosmologie.
· Dans la deuxième partie, on établit l'équation différentielle vérifiée par 
a(t),
dite de Friedmann-Lemaître, puis on l'interprète en la résolvant sur les deux
cas particuliers d'un Univers vide et d'un Univers critique. Cette partie se
termine par une rapide étude graphique des différentes solutions possibles selon
la densité de masse dans l'Univers.
· La troisième partie, très courte, s'intéresse au rôle de la matière sur 
l'évolution
de l'Univers, et introduit notamment le concept de matière noire.
· La partie 4, assez courte également, permet l'obtention d'une « équation 
d'état »
générale à partir de la correspondance entre masse et énergie. On applique
ensuite cette équation à la matière non relativiste.
· Dans la cinquième partie, on utilise la même équation, cette fois pour la 
matière
relativiste. Cela permet de conclure que la matière « traditionnelle » (matière
baryonique, matière noire, matière relativiste et rayonnement) ne peut 
expliquer à elle seule l'expansion de l'Univers observée par Hubble.
· La dernière partie montre comment, à partir de la mesure du redshift et d'une
distance particulière dite « de luminosité », il est possible de déterminer les
distances qui nous séparent d'objets célestes très lointains, à la fois à 
l'instant
de l'émission et à celui de la réception du rayonnement. Il est ensuite indiqué 
que
ces dernières permettent la mesure de l'accélération de l'expansion de 
l'Univers.
Le sujet introduit finalement le concept d'énergie noire, dont la présence, bien
que spéculative, est nécessaire pour rendre compte de l'expansion accélérée de
l'Univers.
La cosmologie étant complètement absente du programme de CPGE, cet énoncé
peut être utilisé pour tester efficacement sa capacité à s'approprier un sujet 
nouveau.
Notons néanmoins qu'il fait peu appel au cours : on y rencontre seulement la 
démonstration de l'effet Doppler, une application du théorème de Gauss pour la 
gravitation
et une utilisation du premier principe de la thermodynamique.

Indications
Partie 1
1.b Appliquer l'expression trouvée en 1.a à la période des ondes lumineuses.
3 Traduire que la distance entre les galaxies O et O est aussi sujette à 
l'expansion.
Partie 2

-

6 La galaxie est soumise uniquement à la force de gravitation F = m -
g (-
r ). Il

-

-
faut déterminer g ( r ) par l'application du théorème de Gauss gravitationnel.
7 Traduire que la masse se conserve.
8 Insérer le résultat de la question 7 dans celui de la question 6. Ensuite, 
multiplier
l'équation obtenue par a pour l'intégrer.
9 Évaluer la constante K en utilisant les conditions initiales.
11 L'expansion s'arrête lorsque a = 0.
dx
= 0.
14.a L'expansion s'arrête lorsque
d
14.b Utiliser le résultat de la question 6.
Partie 4
17 Le principe cosmologique assure que la pression P et la densité volumique 
d'énergie interne u sont homogènes.
 -1
dr
du
du
18 Écrire que
=
.
dr
dt
dt
19 Utiliser le résultat de la question 7.
20 Appliquer l'équation (6) de l'énoncé à M .
Partie 5
24 Multiplier par a2 puis dériver l'équation obtenue à la question 23 pour 
déterminer a. Commenter son signe.
Partie 6
25.b Remarquer que d < 0 pour dt > 0.
26.a Traduire que A ne varie par entre les deux émissions.
26.d Le temps t0 est l'instant présent : il joue le rôle du temps de réception, 
appelé
précédemment t2 . t1 est l'instant d'émission, donc t1 < t0 .
26.e Raisonner sur les photons compris dans une sphère de rayon r(t).
29.a Remarquer que  ne dépend pas de a(t).

La dynamique de l'Univers
1. Hubble : l'Univers est en expansion
1.a On considère l'émission par la galaxie A d'une impulsion lumineuse au temps 
t0 .
Notons  = OA la distance entre les galaxies O et A à cet instant. Puisque la 
lumière
voyage à la célérité c, cette impulsion arrive en O à

c
L'impulsion suivante est émise au temps t1 = t0 + T. La galaxie A se trouve 
alors à
une distance  + v T de la galaxie O. Cette impulsion arrive donc en O à 
l'instant
t0 = t0 +

+vT
c
Finalement, la période T perçue par l'observateur est
t1 = t1 +

T = t1 - t0

+vT
- t0 -
c
c
v

= t0 + T +
soit

T = T 1 +

c

On peut contrôler ce résultat en l'écrivant pour les fréquences
f =

f
1 + v/c

On voit que la fréquence reçue est d'autant plus petite que la vitesse est
grande, ce qui correspond bien à l'expérience d'un camion de pompier qui
s'éloigne d'un passant : plus le camion est rapide plus la sirène paraît grave.
1.b Puisque  = c T et  = c T , on calcule en utilisant la relation précédente
 = c T

v
= cT 1 +
c

v
 =  1 +
c

Ce résultat est valable dans le cas où la source est non relativiste (v  c).
Dans le cas où v  c, il faut utiliser la cinématique relativiste (hors 
programme) pour résoudre le problème. On trouve alors
s
1 + v/c

 =
1 - v/c
Le développement limité de cette expression pour v  c redonne bien sûr le
résultat non relativiste.
v
1.c D'après la question 1.b,
z=
c
2.a H0 a la dimension du rapport d'une vitesse sur une distance. Elle est donc
homogène à l'inverse d'un temps.

2.b Les données de l'énoncé conduisent à
H0 = 2 × 10-18 s-1
3 On considère les trois galaxies ci-dessous.
Galaxie A
×

Galaxie O

--  A
O

rA-
= -
O
A

- A =
r

×

--
-
r
O = OO

×
Galaxie O

On suppose que la loi de Hubble est satisfaite pour des observations depuis la 
galaxie O. On a alors
-
-

-
-
v
et
v
A = H0 rA
O = H0 rO
-

Calculons vA
la vitesse de A observée depuis la galaxie O
--
--
-
dO A
dOA dOO
=
-
dt
dt
dt
--
-
= H0 OA - H0 OO
--
= H0 O A
soit

-

-

vA
= H0 rA

La loi de Hubble est donc aussi vérifiée depuis la galaxie O , conformément au
principe cosmologique.
-

4 La loi de Hubble s'écrit -
v
A = H(t) rA soit
d-
r
A
= H(t) -
r
A
dt
-

-

En introduisant le paramètre d'échelle par -
r
A = a(t)  , on obtient, puisque  est
un vecteur constant,

a(t) -
 = H(t) a(t) -

et finalement

H(t) =

a(t)
a(t)