X/ENS Physique MP 2019

Thème de l'épreuve La dynamique de l'Univers
Principaux outils utilisés mécanique, gravitation, thermodynamique, effet Doppler
Mots clefs Univers, expansion de l'Univers, loi de Hubble, matière noire, énergie noire, cosmologie, équation de Friedmann-Lemaître, redshift

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                      

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYIECHNIQUE - ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2019

MARDI 23 AVRIL 2019 - 8h00 -- 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 5

PHYSIQUE
(XULCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.
Les applications numériques seront données avec un seul chiffre significatif.

La dynamique de l'Univers

L'étude de l'Univers dans son ensemble est l'objet de la cosmologie. Au cours 
des cent dernières
années, sous l'influence de résultats expérimentaux nouveaux, notre conception 
de l'Univers a
profondément évolué. C'est cette évolution que nous allons ici retracer.

Tout d'abord nous pensons que l'Univers est homogène et isotrope. Cette 
propriété de l'Univers
est même érigée en principe, c'est le principe cosmologique. Il stipule que les 
lois physiques qui
régissent le monde sont les mêmes en tout point de l'Univers, et dans toutes 
les directions de
l'espace. Il suppose par exemple que la densité de masse p de l'Univers 
(c'est-à-dire sa masse
volumique) est la même en tout point. Bien sûr cette propriété est contredite 
par votre expérience
de tous les jours, et elle n'est pas vraie à notre échelle, ni même à celle de 
notre galaxie (la Voie
lactée a un rayon de l'ordre de 10 kpc, où le parsec (1 pc = 3,09 x 1016 m) est 
l'unité de longueur
couramment utilisée en astrophysique). Mais pour des distances encore plus 
grandes, de l'ordre de
100 Mpc (1 Mpc = 10 pc), cette propriété semble vraie : la cartographie des 
galaxies observées
semble indiquer que la densité moyenne de galaxies, et donc la densité moyenne 
de masse de
l'Univers (moyennée sur des volumes de quelques 105 Mpc*) est uniforme.

Le parti-pris de ce problème est de considérer que les lois physiques que vous 
connaissez, mé-
canique classique (c'est-à-dire non relativiste), géométrie euclidienne, 
gravitation newtonienne,
électromagnétisme, thermodynamique, etc, sont suffisantes pour comprendre bien 
des aspects
des propriétés et de la dynamique de l'Univers. En cours de route, nous aurons 
l'occasion de
compléter ces lois physiques ; en particulier les résultats expérimentaux sur 
l'Univers obtenus
durant le dernier siècle nous amèneront à en introduire de nouvelles.

1 Hubble : l'Univers est en expansion

Le premier résultat expérimental qui au cours du dernier siècle à bouleversé 
notre conception de
l'Univers est dû aux travaux de Edwin Hubble : loin d'être statique, comme on 
l'imaginait alors,
l'Univers apparaît en expansion.

En 1929, Edwin Hubble montra que plus une galaxie est loin de nous, plus son 
spectre (et
en particulier les raies identifiables de son spectre) est décalé vers le rouge 
(c'est-à-dire vers
les grandes longueurs d'onde). En interprétant ce décalage spectral vers le 
rouge (ou redshift)
comme la marque d'un effet Doppler, il montra que plus une galaxie est distante 
de nous, plus elle
s'éloigne de nous rapidement. Si on oublie la vitesse propre de la source au 
sein d'une structure
gravitationnellement liée plus grande (galaxie ou amas de galaxies), on observe 
que la vitesse de
la galaxie est proportionnelle à sa distance r :

v = Hor

Cette relation est connue sous le nom de loi de Hubble. Dans la mesure où la 
vitesse détectée
de la galaxie est colinéaire à 7, on peut interpréter cette relation comme une 
relation entre les
vecteurs U et 7, Soit :

0 = Hor (1)
1) Effet Doppler classique (non relativiste) et déplacement vers le rouge
1-a) Un observateur situé en O observe une galaxie À relativement proche, qui 
s'éloigne de

. -- . , . « ur -- . ° ° 2
O à la vitesse v colinéaire à OA = Fr (voir figure 1). Imaginons que cette 
galaxie émette des
impulsions lumineuses très brèves, à intervalle régulier T°.
Quel est le temps T" séparant l'arrivée en O de deux impulsions lumineuses 
consécutives ?

FIGURE 1 ---

1-b) La galaxie À émet maintenant de la lumière monochromatique de longueur 
d'onde dans
le vide À. Quelle est la longueur d'onde dans le vide X' de l'onde 
électromagnétique collectée
par l'observateur O ?

Préciser la limite de validité du résultat obtenu.

1-c) Les astrophysiciens définissent le décalage spectral vers le rouge (ou 
redshift) de À par
= VX

Montrer que, dans le cadre des approximations précédentes, z est directement 
relié à la vitesse
de la galaxie.

2) La constante de Hubble Ho
2-a) Quelle est la dimension de H5 ?
2-b) La détermination expérimentale de la constante de Hubble nécessite de 
mesurer simulta-
nément le redshift z d'une galaxie (donc sa vitesse) et sa distance. C'est 
cette dernière grandeur
qui est la plus difficile à mesurer précisément, et qui rend imprécise la 
détermination de A.
On prendra :

Ho = 70km:s !-Mpc |

Calculer la valeur de H, dans l'unité adaptée du système international.

3) Montrer que la relation (1) est compatible avec le principe cosmologique, 
c'est-à-dire qu'on
observerait la même loi d'expansion de l'Univers (équation 1) si on observait 
la galaxie A à
partir d'une galaxie O" quelconque, située en n'importe quel point de l'Univers.

En exploitant pleinement toutes les symétries imposées par l'homogénéité et 
l'isotropie de l'Univers,
on peut montrer que la seule loi d'expansion compatible avec le principe 
cosmologique est :

ü = H(t)r (2)

La grandeur H(t), qui est appelée paramètre de Hubble, peut dépendre à priori 
du temps t (à
l'échelle cosmologique). On verra plus loin (dans la partie 2) qu'elle est 
certes fonction du temps #,
mais qu'elle ne varie que sur une échelle de temps très longue. On peut donc 
considérer que toutes
les mesures de vitesses et de distances de galaxies (relativement proches) 
faites par Hubble ont été
faites à l'instant présent { -- to, ainsi la constante de Hubble A, intervenant 
dans la loi de Hubble
(relation (1)) correspond à la valeur à l'instant présent to du paramètre de 
Hubble H(t) introduit
par la relation (2) ; on à donc :
Ho = H(to)
L'interprétation de la loi (2) est que l'Univers est en expansion, ou plus 
précisément que l'espace
géométrique dans lequel on situe la position de la galaxie est en expansion : 
au cours du temps, il se
dilate proportionnellement à un paramètre d'échelle a(t) sans dimension, de 
sorte que la position
d'une galaxie À par rapport à nous (la Voie lactée est en O) est :

OÀ = Ft) = a(t)ÿ

où YX est un vecteur constant, caractéristique de la galaxie A. Les coordonnées 
sphériques (x, 6, @)
de Y sont appelées coordonnées comobiles de la galaxie À. La figure 2 illustre 
cette interprétation.

V(t)
U(t:) PL ni
ss
#"
DÉ es ' A de
". ns ! u
'+
/ A * t \
! \ ! 1
O \ : O l
| e !
' s, ; S, ,
'
k a(t; )X LL r * "a l
LC" + \ {
"7 W at,
NN '*
" +
7" 2
t > > li

FIGURE 2 -- Expansion de l'Univers. La position et la vitesse de la galaxie À 
sont représentées à

deux instants différents {1 et t2 (avec t2 > t1). Entre les instants t1 et {2 , 
l'expansion de l'Univers

s'est traduite par une homothétie de centre O et de rapport ns.

Comme pour le paramètre de Hubble, on notera :
AO -- a(to)

Tel qu'on vient de l'introduire, le paramètre d'échelle a(t) est défini à une 
constante multiplicative
près. On pourrait donc arbitrairement imposer ap = 1; la coordonnée comobile y 
de la galaxie À
représenterait alors la distance qui nous sépare de A à l'instant présent to.

4) Exprimer le paramètre de Hubble H(t) en fonction du paramètre d'échelle a(t).

2 Évolution du paramètre d'échelle a(t) en cosmologie newtonienne

L'objectif de cette partie est de modéliser l'évolution temporelle du paramètre 
d'échelle a(t) sous
l'influence de la gravitation. Dans la suite, toutes les structures 
gravitationnellement liées, galaxies
ou amas de galaxies, sont désignées sous le nom de galaxies. Dans cette partie, 
on supposera que
toute la masse de l'Univers est située dans ces galaxies.

5) Gravitation newtonienne
Ecrire les équations locales vérifiées par le champ gravitationnel g créé par 
une répartition de
masse caractérisée par la densité volumique de masse p(r).
6) La galaxie À, de masse m, est soumise à l'interaction gravitationnelle des 
autres galaxies et
amas de galaxies de l'Univers. Dans cette question on fera l'hypothèse que le 
référentiel centré
sur la Voie lactée O, dont les axes pointent sur trois galaxies lointaines, est 
un référentiel
galiléen. D'autre part la densité de masse de l'Univers, uniforme sur une 
grande plage de
distances, sera supposée s'annuler à très grande distance de Of.

Déterminer l'accélération 7 = dE de la galaxie À. En déduire l'expression de à 
en fonction de
G,p et a.

7) Comment évolue au cours du temps la masse M, de la partie de l'Univers 
intérieure à la
sphère de centre O et de rayon r(t) ?

En déduire l'expression de la densité de masse de l'Univers p(t) à l'instant t 
en fonction de sa
valeur à l'instant présent to, notée po = p(to), du paramètre d'échelle a(t) et 
de ao.

8) Montrer que la quantité à? -- 8rG poai est une constante du mouvement, qu'on 
appellera K.
Interpréter les deux termes de cette expression et la constante À en termes 
énergétiques.

9) En déduire que l'évolution du paramètre d'échelle a(t) est décrite par 
l'équation différentielle

du premier ordre :

à?  S8rG a  aë 8rG
= pe = L(HÉ - ---- 3
3 PO -- 26 -- ----"0) (3)

Cette équation d'évolution de a(t) est appelée équation de Friedmann-Lemaître.

10) Déterminer le paramètre d'échelle a(t) d'un Univers vide, dont la densité 
de masse est
nulle (po = 0). On exprimera a(t) en fonction de t et de H5, ao et to.

Montrer qu'il existe un instant {" tel que a(t") = 0, et en donner une 
interprétation.

Quel serait l'âge actuel 75 (i.e. à l'instant présent to) d'un Univers vide (ou 
quasi vide) ?
L'évaluer numériquement (en années).

11) Montrer que pour une densité de masse p9 supérieure à une certaine valeur, 
appelée
densité de masse critique p. (à l'instant présent), l'Univers ne peut être 
toujours en expansion.
Exprimer p. en fonction de Ho et G, et l'évaluer numériquement (on prendra G = 
6,67 x
10711 m$ kg l 872). Commenter l'ordre de grandeur du résultat obtenu (on 
rappelle que la
masse du proton est m, = 1,67 x 10777 kg).

12) Dans le cas où po = pe (c'est-à-dire pour un Univers critique), déterminer 
comment évolue
le paramètre d'échelle a(t) en fonction du temps t.
Quel serait alors l'âge de l'Univers ?

13) Des questions précédentes ressort clairement l'intérêt d'introduire des 
coordonnées réduites

de temps 7 -- Hot, de densité de masse Oo -- De (à l'instant présent to) et de 
paramètre d'échelle

a c
LT = ----.
ao

Ecrire l'équation de Friedmann-Lemaître (3) en coordonnées réduites.

14) L'intégration de l'équation différentielle (3) permet de décrire la 
dépendance temporelle
du paramètre d'échelle a(t) d'un Univers homogène et ne contenant que de la 
matière non
relativiste. La figure 3 présente cette dépendance temporelle pour différentes 
valeurs de po (ou
de (Oo -- De).

14-a) On appelle Univers « ouvert » un Univers dont l'expansion se poursuit 
sans fin. Inver-
sement, pour un Univers « fermé », le paramètre d'échelle a(t) reste fini. Dans 
quel cas un
Univers (homogène et non relativiste) est-il ouvert ou fermé ? Interpréter ce 
comportement en
termes d'énergie mécanique de la galaxie A.

14-b) Que devient un Univers fermé après qu'il ait atteint son maximum 
d'expansion ? En jus-

1. Cette hypothèse ad hoc se justifie en relativité générale.
tifiant l'invariance de l'équation (3) par renversement du temps, indiquer 
comment l'évolution
du paramètre d'échelle après le maximum d'expansion est reliée à celle du même 
paramètre
avant le maximum d'expansion. En déduire que, pour un Univers fermé, il 
apparaît une nou-
velle singularité dans le futur, c'est-à-dire qu'il existe un instant {" > to 
tel que a(t") = 0.
14-c) Expliquer pourquoi, à l'exception du cas d'un Univers vide de masse, 
l'expansion de
l'Univers est toujours ralentie.

14-d) En utilisant la figure 3, décrire comment l'estimation de l'âge 79 de 
l'Univers dépend
de la connaissance de sa densité de masse 99 et interpréter physiquement ce 
comportement.

a(t)
x =

y

2

777
-- N,

= 0,5

#*.
0 + --
--1 0 1 2 3 +
instant 1-- 185 = H..(t _ to)
présent

FIGURE 3 - Dépendance temporelle du paramètre d'échelle a(t) de l'Univers 
(supposé homogène
et ne contenant que de la matière non relativiste) pour différentes valeurs de 
la densité de masse

po à l'instant présent to (ou de Oo -- De).

3 De quoi est constitué l'Univers ?

3.1 La matière baryonique et la matière noire

Il ressort clairement de la partie précédente que l'évolution aux temps longs 
de l'Univers, décrite
par une théorie non relativiste de la gravitation, ne dépend que de sa densité 
de masse à l'instant
présent to, soit de Mo -- ©. Ceci suggère de déterminer la densité de masse de 
l'Univers.

Pe"

La première méthode utilisée pour cela a été de compter les étoiles et les 
galaxies. IT est ainsi
possible d'obtenir une estimation de la densité de masse visible (au sens où 
cette masse émet de
la lumière visible). Mais dès les années 1930, en évaluant par d'autres 
méthodes les masses d'amas
de galaxies ou de galaxies, il est apparu que la masse visible ne constituait 
qu'une petite partie
de la masse de ces objets astrophysiques. Plus encore, l'étude des émissions X 
d'amas de galaxies
a permis de montrer que la masse totale de l'amas est largement supérieure à la 
masse totale des
protons, noyaux, électrons présents dans l'amas, c'est-à-dire ce que les 
cosmologistes ont coutume
d'appeler la masse baryonique de l'amas*?. On doit donc envisager la présence 
dans l'Univers de
matière noire, constituée de particules qui ne sont pas des « baryons » au sens 
cosmologique du
terme, et dont on ne connait pas actuellement la nature. Les valeurs les plus 
récentes des densités
de masse, normalisées à la densité critique pe, de la matière baryonique 
(indicée B) et de la matière
noire (indicée DM pour « dark matter ») sont respectivement :

4
Qp = DAUIRS 0,05
Pc

__ PpM(to)
Pc
Tant la matière baryonique que la matière noire sont considérées comme non 
relativistes. Aïnsi la

Qpu & 0,26 (4)

densité de masse, normalisée à p., de la matière non relativiste (qu'on notera 
désormais avec un
indice M) est
Ou = O8 +OQpm

15) L'Univers composé de matière baryonique et de matière noire, dont les 
densités de masse
(à l'instant présent to) sont données par les relations (4) est-il ouvert ou 
fermé ?

16) Montrer que, pour un Univers homogène décrit par une théorie non 
relativiste de la
gravitation, l'équation de Friedmann-Lemaître (équation (3)) s'écrit encore :

à?  8rG K

ms /t 5)

où p est la densité de masse à l'instant #, et À la constante introduite à la 
question &.

3.2 Influence de la matière relativiste et du rayonnement sur l'équation de
Friedmann-Lemaître

Dans le cadre d'une théorie relativiste de la gravitation (c'est-à-dire en 
relativité générale), on
obtient une équation de Friedmann-Lemaître en tout point identique à l'équation 
(5). Toutefois
l'interprétation des différents paramètres intervenant dans cette équation (5) 
est légèrement diffé-
rente :

e Pp est toujours la densité de masse de l'Univers (supposé homogène). En vertu 
de l'équivalence
masse-énergie propre à la mécanique relativiste, cette densité est 
proportionnelle à la densité d'éner-
gie u de l'Univers : u = pc°. p apparaît comme la somme de deux contributions :

- la densité de masse de la matière non relativiste qu'on appellera désormais 
pa,

- la contribution de la matière relativiste et du rayonnement, notée pr.

La matière non relativiste est constituée de « baryons » (protons, noyaux et 
électrons) et de ma-
tière noire. Mais il existe aussi des particules relativistes, les plus 
abondantes étant les neutrinos,
et les photons, en effet l'Univers baigne dans un rayonnement 
électromagnétique, appelé fond de
rayonnement cosmique (voir partie 5).

e le second terme du membre de droite, et donc la constante K, sont reliés à la 
courbure de l'espace,
propre à la relativité générale.

2. Les électrons (qui sont des leptons) contribuent à cette masse baryonique, 
mais ils y contribuent faiblement,
compte tenu du rapport des masses de l'électron et du proton.
4  Thermodynamique de l'Univers

17) En appliquant le premier principe de la thermodynamique à la partie de 
l'Univers intérieure
à la sphère de rayon r(t) = a(t)x et en admettant que cette partie de l'Univers 
a une évolution
adiabatique, écrire l'équation différentielle reliant la densité d'énergie 
(interne) u de l'Univers
et sa pression P.

18) En utilisant la relation de correspondance entre masse et énergie, donc 
entre densités de
masse p et d'énergie u, en déduire :

a P
b +3" (p+ 55) --0 (6)
Q C

Il reste à connaître la relation entre p et P, c'est-à-dire l'équation d'état 
de la matière de l'Univers.
Cette équation d'état n'est pas la même selon qu'on s'intéresse à la matière 
non relativiste ou
au rayonnement électromagnétique (ou à la matière relativiste). On va 
maintenant rechercher
l'équation d'état de la matière non relativiste, c'est-à-dire la relation entre 
la densité de masse de
la matière non relativiste py et la contribution Py de la matière non 
relativiste à la pression de
l'Univers. Par analogie avec un mélange de gaz parfaits, on considérera Py; 
comme la pression
partielle de la matière non relativiste dans l'Univers.

19) Nous avons déjà exprimé comment se dilue la matière non relativiste au 
cours de l'ex-
pansion de l'Univers (voir question 7). Montrer que la conclusion de cette 
question permet de
déterminer ©, c'est-à-dire la dépendance en temps de la densité de masse de la 
matière non
relativiste (on pourra exprimer py en fonction de pm, a et à).

20) En utilisant la relation (6), déterminer la valeur de la pression Py.

9 Le rayonnement et la matière relativiste

L'existence d'un rayonnement électromagnétique en équilibre thermodynamique 
baignant tout
l'Univers avait été prédite par G. Gamow, R. Alpher et R Herman à la fin des 
années 1940. Ce
rayonnement à été observé dans le domaine microonde par A. Penzias et R. Wilson 
en 1964 et im-
médiatement interprété comme étant le fond diffus cosmologique par R.H. Dicke 
et al. Il s'agit d'un
rayonnement électromagnétique isotrope (en accord avec le principe 
cosmologique), non polarisé,
en équilibre thermodynamique, actuellement à la température 76 = 2,725 K. Il 
constitue l'essentiel
du rayonnement électromagnétique dans l'Univers, et sa densité d'énergie 
électromagnétique est
Uem = PemC", AVEC
Qu = Pem(to) À 5.4 x 10%
Pc

Ce rayonnement électromagnétique dans lequel baigne l'Univers est à l'origine 
d'une pression Pom,
appelée pression de radiation, en tout point de l'Univers. On montre que cette 
pression est reliée
à la densité d'énergie du rayonnement électromagnétique par la relation

Uem
Pem = ---- 7
(7
21) Relier la pression P d'un gaz parfait monoatomique, non relativiste, à sa 
densité d'énergie
interne uw (dans l'énergie interne de ce gaz, on prendra en compte l'énergie 
cinétique de ses
constituants, mais pas leur énergie de masse), et comparer la relation obtenue 
pour le gaz
parfait monoatomique à la relation (7).

La relation (7) peut aussi être interprétée comme l'équation d'état du 
rayonnement, au sens où la
notion d'équation d'état a été introduite précédemment (dans la partie 4), 
c'est-à-dire une relation
entre la pression PF due au rayonnement et la contribution pem du rayonnement à 
la densité de

« masse » p qui, pour le rayonnement, est définie par Pem -- 4.

Or il est apparu que, pour la matière non relativiste, l'équation d'état est 
directement reliée à la
façon selon laquelle la densité pm se dilue au cours de l'expansion de 
l'Univers. Inversement, de
l'équation d'état de tel ou tel constituant de l'Univers, on peut déduire la 
façon selon laquelle la
densité volumique d'énergie de ce constituant se dilue au cours de l'expansion 
(dans la mesure où
ce composant n'échange pas d'énergie avec les autres composants de l'Univers).

22) Déduire de l'équation d'état du rayonnement (équation (7)) la façon dont la 
densité d'éner-
gie du rayonnement se dilue au cours de l'expansion, c'est-à-dire l'expression 
de pem (à l'instant
t) en fonction du paramètre d'échelle a(t) et des constantes pemo et ao 
(valeurs de pem et de a
à l'instant présent to).

Enfin, dans l'Univers, il existe aussi de la matière relativiste. Il s'agit de 
neutrinos relativistes, en
nombre comparable à celui des photons du fond diffus cosmologique. Les 
neutrinos (notés ) ont
une masse au repos très faible, mais très mal connue ; c'est pourquoi on 
connait mal la contribution
u, de ces neutrinos relativistes à la densité d'énergie de l'Univers. On estime 
que leur densité de
masse p, à l'instant présent {o normalisée à pe, Q,, -- pete) est comprise dans 
l'intervaille

1,2X10 * 0,1), on peut déterminer le paramètre 
de décélération
do. Les étoiles qui ont été détectées et étudiées sont des supernovae de type 
Ia, dont le processus
de formation permet de connaître précisément la luminosité, et qui de plus sont 
extrêmement
brillantes.

Durant les années 1990, deux collaborations internationales ont mené séparément 
ce travail. Leurs
résultats *® ont montré que l'expansion de l'Univers, bien loin de ralentir 
comme on s'y attendait
(voir question 24), s'accélère (soit go < 0, d'où äo > 0).

6.2 La constante cosmologique et l'énergie noire

Pour interpréter ce résultat, les cosmologistes se sont souvenus que Einstein 
avait introduit un

paramètre supplémentaire appelé constante cosmologique dans la théorie de la 
relativité générale,

précisément pour rendre cette théorie compatible avec un Univers statique. La 
découverte de l'ex-

pansion de l'Univers à conduit à abandonner cette constante dans les années 
1920, mais celle de

son accélération lui à redonné vie.

En présence d'une constante cosmologique À non nulle, l'équation de 
Friedmann-Lemaître devient
à? 8rG K Ac?

Le ... 10
a? 3 PTE (10)

3. B. P. Schmidt et al, The high Z supernova search : measuring cosmic 
deceleration and global curvature of
the Universe using type Ia supernovae, Astrophys. J. 507, 46 (1998)
S. Perlmutter et al, Measurements of omega and lambda from 42 high redshift 
supernovae, Astrophys. J. 517, 565
(1999)
Les leaders des deux collaborations, $S. Pertmuller, B. P. Schmidt et À. Reïss, 
ont reçu le prix Nobel de physique
en 2011 pour cette découverte.

11
Dans la suite, on admettra aussi que la constante cosmologique est bien une 
constante, donc qu'elle
ne dépend pas du temps t.

28) La constante cosmologique

28-a) Quelle est la dimension de la constante cosmologique À introduite par 
Einstein ?
28-b) Montrer que l'introduction de cette constante cosmologique peut 
s'interpréter comme
celle d'une densité de masse supplémentaire pA. Exprimer pA en fonction de À, G 
et c.

28-c) En déduire la densité d'énergie supplémentaire uA ainsi introduite.

29) L'énergie noire

On peut interpréter les effets de la constante cosmologique comme ceux d'un 
fluide de densité
d'énergie uA et de densité de masse pa. La densité de masse totale dans 
l'Univers devient alors
la somme de trois termes :

P -- PM + PR + PA

Si on envisage un Univers vide, c'est-à-dire dépourvu de matière et de 
rayonnement (pm = 0
et pr = 0), il y subsiste encore une densité d'énergie ua. C'est pourquoi cette 
densité d'énergie
est interprétée comme la densité d'énergie du vide; et l'énergie du vide est 
appelée énergie
noire.

29-a) Montrer que l'énergie noire ne se dilue pas lors de l'expansion de 
l'Univers.

29-b) Quelle relation doivent vérifier Q1 = a . Qu et QrR pour rendre compte 
que l'expansion
de l'Univers est accélérée à l'instant présent (soit äo > 0) ?

En déduire le signe de A.

29-c) Quelle est la pression P\ du fluide énergie noire ?

29-d) L'interaction entre l'énergie noire et la galaxie témoin À introduite à 
la question 6
est-elle attractive ou répulsive ?

En utilisant les différentes données expérimentales disponibles actuellement, 
on estime que :

(21 R Û, 69
Données :
Célérité de la lumière c = 3,00 x 10° ms!
Constante de gravitation universelle  G = 6,67 x 107!1 m° kg !.s2
Constante de Planck h = 6,63 x 107% J.s
Constante de Boltzmann kp =1,38x10 %J.K 1
Constante d'Avogadro N1 = 6,02 x 10% mol !
Masse du proton mp = 1,67 X 10727 kg
Constante de Hubble Ho = 70 km:s-l.Mpc |
Parsec (pc) 1 pc = 3,09 x 1016 m

On pourra remarquer qu'une vitesse de un parsec par million d'années est 
approximativement égale
à l1km:s 1:

1km:s 1&10 °pc-an !

12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Valentin Raban (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Romain Anankine (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet aborde un thème non étudié en CPGE mais passionnant par bien des
aspects : la cosmologie, c'est-à-dire la science de l'Univers. Il se concentre 
plus particulièrement sur son expansion, qui a été mise en évidence pour la 
première fois par
Edwin Hubble en 1929. Le texte et les questions, clairement construits comme un
cours d'introduction à la discipline, suivent une progression pédagogique. 
Certaines
notions étant plus techniques que d'autres, les six parties du sujet sont très 
inégales
en longueur et en difficulté.
· Après une rapide introduction de l'effet Doppler, dont le décalage vers le 
rouge
(redshift ) en astronomie est une illustration, la première partie présente 
l'expansion de l'Univers afin d'introduire le paramètre d'échelle a(t), qui est 
un
objet central de la cosmologie.
· Dans la deuxième partie, on établit l'équation différentielle vérifiée par 
a(t),
dite de Friedmann-Lemaître, puis on l'interprète en la résolvant sur les deux
cas particuliers d'un Univers vide et d'un Univers critique. Cette partie se
termine par une rapide étude graphique des différentes solutions possibles selon
la densité de masse dans l'Univers.
· La troisième partie, très courte, s'intéresse au rôle de la matière sur 
l'évolution
de l'Univers, et introduit notamment le concept de matière noire.
· La partie 4, assez courte également, permet l'obtention d'une « équation 
d'état »
générale à partir de la correspondance entre masse et énergie. On applique
ensuite cette équation à la matière non relativiste.
· Dans la cinquième partie, on utilise la même équation, cette fois pour la 
matière
relativiste. Cela permet de conclure que la matière « traditionnelle » (matière
baryonique, matière noire, matière relativiste et rayonnement) ne peut 
expliquer à elle seule l'expansion de l'Univers observée par Hubble.
· La dernière partie montre comment, à partir de la mesure du redshift et d'une
distance particulière dite « de luminosité », il est possible de déterminer les
distances qui nous séparent d'objets célestes très lointains, à la fois à 
l'instant
de l'émission et à celui de la réception du rayonnement. Il est ensuite indiqué 
que
ces dernières permettent la mesure de l'accélération de l'expansion de 
l'Univers.
Le sujet introduit finalement le concept d'énergie noire, dont la présence, bien
que spéculative, est nécessaire pour rendre compte de l'expansion accélérée de
l'Univers.
La cosmologie étant complètement absente du programme de CPGE, cet énoncé
peut être utilisé pour tester efficacement sa capacité à s'approprier un sujet 
nouveau.
Notons néanmoins qu'il fait peu appel au cours : on y rencontre seulement la 
démonstration de l'effet Doppler, une application du théorème de Gauss pour la 
gravitation
et une utilisation du premier principe de la thermodynamique.

Indications
Partie 1
1.b Appliquer l'expression trouvée en 1.a à la période des ondes lumineuses.
3 Traduire que la distance entre les galaxies O et O est aussi sujette à 
l'expansion.
Partie 2

-

6 La galaxie est soumise uniquement à la force de gravitation F = m -
g (-
r ). Il

-

-
faut déterminer g ( r ) par l'application du théorème de Gauss gravitationnel.
7 Traduire que la masse se conserve.
8 Insérer le résultat de la question 7 dans celui de la question 6. Ensuite, 
multiplier
l'équation obtenue par a pour l'intégrer.
9 Évaluer la constante K en utilisant les conditions initiales.
11 L'expansion s'arrête lorsque a = 0.
dx
= 0.
14.a L'expansion s'arrête lorsque
d
14.b Utiliser le résultat de la question 6.
Partie 4
17 Le principe cosmologique assure que la pression P et la densité volumique 
d'énergie interne u sont homogènes.
 -1
dr
du
du
18 Écrire que
=
.
dr
dt
dt
19 Utiliser le résultat de la question 7.
20 Appliquer l'équation (6) de l'énoncé à M .
Partie 5
24 Multiplier par a2 puis dériver l'équation obtenue à la question 23 pour 
déterminer a. Commenter son signe.
Partie 6
25.b Remarquer que d < 0 pour dt > 0.
26.a Traduire que A ne varie par entre les deux émissions.
26.d Le temps t0 est l'instant présent : il joue le rôle du temps de réception, 
appelé
précédemment t2 . t1 est l'instant d'émission, donc t1 < t0 . 26.e Raisonner sur les photons compris dans une sphère de rayon r(t). 29.a Remarquer que  ne dépend pas de a(t). La dynamique de l'Univers 1. Hubble : l'Univers est en expansion 1.a On considère l'émission par la galaxie A d'une impulsion lumineuse au temps t0 . Notons  = OA la distance entre les galaxies O et A à cet instant. Puisque la lumière voyage à la célérité c, cette impulsion arrive en O à c L'impulsion suivante est émise au temps t1 = t0 + T. La galaxie A se trouve alors à une distance  + v T de la galaxie O. Cette impulsion arrive donc en O à l'instant t0 = t0 + +vT c Finalement, la période T perçue par l'observateur est t1 = t1 + T = t1 - t0 +vT - t0 - c c v = t0 + T + soit T = T 1 + c On peut contrôler ce résultat en l'écrivant pour les fréquences f = f 1 + v/c On voit que la fréquence reçue est d'autant plus petite que la vitesse est grande, ce qui correspond bien à l'expérience d'un camion de pompier qui s'éloigne d'un passant : plus le camion est rapide plus la sirène paraît grave. 1.b Puisque  = c T et  = c T , on calcule en utilisant la relation précédente = c T v = cT 1 + c v =  1 + c Ce résultat est valable dans le cas où la source est non relativiste (v  c). Dans le cas où v  c, il faut utiliser la cinématique relativiste (hors programme) pour résoudre le problème. On trouve alors s 1 + v/c = 1 - v/c Le développement limité de cette expression pour v  c redonne bien sûr le résultat non relativiste. v 1.c D'après la question 1.b, z= c 2.a H0 a la dimension du rapport d'une vitesse sur une distance. Elle est donc homogène à l'inverse d'un temps. 2.b Les données de l'énoncé conduisent à H0 = 2 × 10-18 s-1 3 On considère les trois galaxies ci-dessous. Galaxie A × Galaxie O --  A O rA- = - O A - A = r × -- - r O = OO × Galaxie O On suppose que la loi de Hubble est satisfaite pour des observations depuis la galaxie O. On a alors - - - - v et v A = H0 rA O = H0 rO - Calculons vA la vitesse de A observée depuis la galaxie O -- -- - dO A dOA dOO = - dt dt dt -- - = H0 OA - H0 OO -- = H0 O A soit - - vA = H0 rA La loi de Hubble est donc aussi vérifiée depuis la galaxie O , conformément au principe cosmologique. - 4 La loi de Hubble s'écrit - v A = H(t) rA soit d- r A = H(t) - r A dt - - En introduisant le paramètre d'échelle par - r A = a(t)  , on obtient, puisque  est un vecteur constant, a(t) - = H(t) a(t) - et finalement H(t) = a(t) a(t)