X/ENS Physique MP 2018

Thème de l'épreuve Étude du dispositif de propulsion du lanceur Ariane 5
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique
Mots clefs fusée, tuyère, nombre de Mach, force de poussée, relation de Hugoniot, moteur Vulcain, booster

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2018

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre 
significatif.

Étude du dispositif de propulsion du lanceur A RIANE 5

5

V ULCAIN est le nom du moteur qui assure la propulsion de l'étage principal des 
lanceurs européens A RIANE
5 1 . La réaction exothermique du dihydrogène et du dioxygène 2 , dans une 
chambre de combustion, produit de la
vapeur d'eau à hautes température et pression qui s'évacue à grande vitesse à 
travers une tuyère. C'est l'éjection
de ce gaz de combustion qui génère la poussée participant à propulsion de la 
fusée.
Une tuyère est un conduit qui permet de convertir, dans les meilleures 
conditions, l'énergie produite par la combustion en force propulsive. La figure 
(1) représente trois types de tuyère : divergente ; convergente ; 
convergentedivergente, connue sous le nom de tuyère de L AVAL.
2H2+O2
Chambre de
combustion
P0
T0

Vapeur
0

2H2O

x

0

x

(a)

0

(b)

x
(c)

F IGURE 1 ­ Chambre de combustion débouchant sur une tuyère pouvant présenter 
trois géométries : (a) divergente ; (b) convergente ; (c) 
convergente-divergente (tuyère de L AVAL).

10

Pour la première phase de vol, le propulseur V ULCAIN est assisté de deux 
puissants réacteurs à poudre qui
fournissent la majeure partie de la poussée nécessaire au décollage.
 Cadre (très simplifié) de l'étude du système de propulsion du moteur V ULCAIN :
· Tous les gaz sont parfaits.
· Dans la tuyère, l'écoulement du gaz est unidirectionnel (selon l'axe Ox) et 
unidimensionnel (les grandeurs
sont uniformes sur toute section droite).

15

· L'évolution du gaz le long de la tuyère est adiabatique et réversible. 
L'écoulement est stationnaire.
· La gravité est négligée dans l'étude de la tuyère.

1. Ces lanceurs sont utilisés pour le transport et la mise sur orbite de 
satellites.
2. Ces carburant et comburant sont stockés, sous leur état liquide, chacun dans 
un réservoir.

­ Page 1/7 ­

 Grandeurs, définitions, notations et données utilisées dans cette étude :
· La variable x représente l'abscisse le long de la tuyère. L'origine est 
choisie en sortie de la chambre de
combustion, ce qui correspond également à l'entrée de la tuyère.
20

· Les grandeurs physiques, à l'abscisse x : la pression P(x) ; la température T 
(x) ; la masse volumique (x) ;
la vitesse v(x) ; la célérité du son c(x) ; le nombre de M ACH M(x)  v(x)/c(x) 
; l'aire A(x) de la section de
la tuyère.
· Pour x = 0, ces grandeurs portent l'indice "0".
· Les pression et température dans la chambre de combustion : P0 = 110 × 105 
Pa, T0 = 3 500 K.

25

· La constante spécifique de la vapeur d'eau : r  R/M H2 O = 462 J · K-1 · kg-1 
, où R est la constante des gaz
parfaits et M H2 O est la masse molaire de l'eau.
· Le rapport des capacités calorifiques (CP /CV ) pour la vapeur d'eau :  = 1,3 
(supposé constant).
· Les diamètre et section d'entrée de la tuyère : d0 = 0,5 m , A0  0,196 m2 .
· La masse de gaz de combustion produit par unité de temps : D = 250 kg · s-1 . 
Ce débit est supposé constant.

30

· La masse initiale de l'ensemble de la fusée (avec carburants et comburants) : 
mF0 = 800 × 103 kg.
· La différentielle d f désigne l'accroissement infinitésimal de la fonction f 
entre les abscisses x et x + dx.
· Nous appelons différentielle logarithmique d'une fonction f , la grandeur :
df
= d(ln( f / f0 )) ( f / f0  R+ )
f

(1)

En particulier, appliquée à un produit de deux fonctions de la forme P = f  g , 
elle s`écrit :
dP
df
dg
=  +
P
f
g

(2)

· Le symbole "" spécifie une égalité introduisant et définissant une grandeur.
1 Analyse préliminaire.
1. Nous notons~vs = vs~ex la vitesse du gaz en sortie de tuyère, par rapport à 
la fusée. La force ~F, dite de poussée,
ressentie par la fusée, s'exprime :
~F = -D vs~ex

(3)

Proposer une brève argumentation en faveur de cette expression.
35

40

2. En précisant les éventuelles hypothèses introduites, exprimer la vitesse 
quadratique moyenne h~v 2 i de la
vapeur d'eau dans la chambre de combustion. On fera apparaître la constante 
spécifique r.
3. Exprimer la poussée (notée Fth ) qui serait fournie, directement en sortie 
de chambre (en absence de tuyère),
si elle était la conséquence de la conversion idéalisée de l'énergie produite 
par la combustion. On considé1/2
rera alors que le gaz, à la température T0 , traverse la section A0 à la 
vitesse vth  h~v 2 i . On exprimera ce
résultat en fonction de P0 et A0 .
4. Calculer sa valeur. Commenter ce résultat.
5. Exprimer, en fonction de , r et T , le rapport dP/d que nous noterons c2 . 
La grandeur c est identifiée à la
célérité des ondes sonores (en évolution adiabatique réversible) dans le gaz. 
Dans la suite, nous appellerons
nombre de M ACH le rapport M  v/c.

45

6. Nous considérons dorénavant le mode de fonctionnement non idéalisé du 
propulseur. Exprimer la vitesse
v0 du gaz à l'entrée de la tuyère en fonction de P0 , T0 , D, A0 et r. Calculer 
sa valeur.
7. Calculer la valeur du nombre de M ACH M0 à l'entrée de la tuyère. En déduire 
la nature subsonique (M0 < 1)
ou supersonique (M0 > 1) de l'écoulement gazeux. Le calcul donne c0  1 450 m · 
s-1 .

­ Page 2/7 ­

2 Relation de H UGONIOT.
50

En vue d'étudier les performances de la tuyère, nous allons tout d'abord 
établir une relation entre les différentielles dA et dv, paramétrée par le 
nombre de M ACH M.
Nous admettons que les différentielles de la vitesse et de la pression sont 
reliées par l'égalité, issue du principe
fondamental de la dynamique :
(4)

 vdv = -dP
8. Justifier que le produit vA est uniforme le long de la tuyère.

9. Exprimer la différentielle logarithmique du produit vA. En y faisant 
apparaître c2 et intervenir la relation
(4), établir l'égalité, connue sous le nom de relation de H UGONIOT :
 dv
dA ! 2
= M -1
A
v

(5)

55

10. L'expression de la poussée donnée par la relation (3) révèle que, pour un 
débit D fixé, cette force est d'autant
plus grande que la vitesse d'éjection des gaz est élévée. En considérant que M0 
< 1, indiquer quelle(s)
tuyère(s) répresentée(s) figure (1) ne présente(nt) pas la géométrie adaptée.

60

11. Dans le cas d'une tuyère convergente-divergente (et toujours pour M0 < 1), 
donner l'allure des deux évolutions envisageables de la vitesse le long de la 
tuyère. On raisonnera à partir de l'évolution du signe de dA
le long d'une telle tuyère. En déduire la condition assurant la croissance 
monotone de la vitesse depuis son
entrée jusqu'à sa sortie. La tuyère est alors dite amorcée. C'est dans cette 
situation que nous chercherons à
la faire fonctionner.
12. Une tuyère divergente équipe pourtant certains propulseurs d'avions de 
chasse. Préciser leur condition de
fonctionnement.
3 Dépendance des grandeurs avec le nombre de M ACH.

65

La relation de H UGONIOT n'est pas immédiatement exploitable car le nombre de M 
ACH dépend de la vitesse
v(x) mais également de la température T (x), à travers la célérité du son c(x). 
Nous allons d'abord établir une
relation différentielle liant les seules variables A et M.
13. Exprimer dM/M en fonction de dv/v et dT /T .

70

14. En traduisant la propriété d'adiabaticité et de réversibilité de 
l'évolution, et en utilisant la relation (4),
exprimer dv/v en fonction de dT /T , M et .
15. Enfin, en faisant disparaître v au profit de M dans l'équation (5), établir 
la relation cherchée :
M 2 - 1 dM
dA
=
A
1 +  M2 M

(6)

où  est une constante positive que l'on explicitera.
· En vue d'intégrer cette équation différentielle à variables séparées, 
décomposons d'abord la fonction g définie
1 dA
par g(M) =
en éléments simples. Écrivons-là :
A dM
g(M) =

C1 C2 +C3 M
M2 - 1
=
+
2
M (1 +  M )
M
1 +  M2

(7)

16. Déterminer les constantes C1 , C2 et C3 .
17. Intégrer l'équation différentielle (6). Nous écrirons sa solution sous la 
forme A f (M) = Cste en choisissant
f (M) M0
f telle que
- 1. Nous poserons  = (1 + )/(2).
M
­ Page 3/7 ­

75

18. Justifier que la fonction f admet un extremum. Le situer sur l'axe des 
abscisses. Ces résultats peuvent
s'obtenir avec un minimum de calculs.
19. En déduire l'allure graphique de la fonction A = A(M). On marquera d'une 
étoile le point (M0 , A0 ).

80

20. Pour des conditions d'entrée fixées (P0 , T0 , A0 , D) (avec toujours M0 < 
1), décrire les parcours possibles du
point (M, A) sur ce tracé lorsque le gaz progresse de l'entrée à la sortie de 
la tuyère (convergente-divergente),
selon l'importance de la restriction de sa section au col.
21. En déduire l'allure de la dépendance de M avec l'abscisse x, pour une 
tuyère amorcée (M = 1 au col).
22. Sur le même graphe, donner l'allure de cette dépendance pour un nombre de M 
ACH M0 , à l'entrée de la
même tuyère, légèrement inférieur (M0 < M0 < 1).
4 Caractérisation de la situation au col.

85

Nous affectons l'indice "c" aux grandeurs relatives au col de la tuyère.
23. Exprimer le rapport kc0  Ac /A0 pour la tuyère amorcée (Mc = 1), en 
fonction de ,  et M0 . Commenter ce
résultat.
24. On utilisant la figure (2) représentant la dépendance du rapport A/Ac avec 
M, déterminer la valeur de kc0
puis celle de la section Ac .

F IGURE 2 ­ Dépendance du rapport de sections A/Ac avec M.

90

95

5 Adaptation en pression.
Pour des paramètres fixés à l'entrée de la tuyère, la relation de H UGONIOT 
permet d'établir la condition de
son amorçage mais elle n'en impose aucune à sa sortie. Nous admettons que le 
fonctionnement de la tuyère est
optimal lorsque la pression à sa sortie est égale à la pression extérieure 
(absence d'onde de choc, ou de détente).
La tuyère est alors dite "adaptée". Nous notons Pe cette pression et la 
choisissons égale à 105 Pa (situation de la
fusée au décollage). La figure (3) illustre les trois régimes de fonctionnement 
possibles, en sortie de tuyère. Nous
affectons l'indice "s" aux grandeurs relatives à la sortie de la tuyère.
25. Proposer une association argumentée de chacun des trois cas illustrés sur 
la figure (3) au régime sousdétendu (Ps > Pe ), adapté (Ps = Pe ) ou 
sur-détendu (Ps < Pe ) qui lui correspond.

­ Page 4/7 ­

F IGURE 3 ­ Les trois régimes de fonctionnement de la tuyère selon la situation 
de la pression du gaz à sa sortie,
par rapport à la pression extérieure Pe . Le gaz de combustion occupe le 
domaine grisé.

26. Montrer que la relation différentielle liant dv à dT , établie en réponse à 
la question (14), conduit à la
relation :
r
dT + v dv = 0
(8)
-1
Indiquer la loi de conservation qu'elle traduit.
27. En utilisant le résultat de la question (13), déduire la relation :
T (1 + M 2 ) = Cste
100

(9)

28. Établir une relation similaire liant la pression au nombre de M ACH.
29. Exprimer alors Ms 2 à la sortie de la tuyère correspondant à son adaptation 
à la pression Pe . Donner une
forme approchée de cette relation en tenant compte des ordres de grandeur des 
termes qui y interviennent.
30. Extraire la valeur de Ms de la figure (4) représentant la dépendance de 
P/P0 avec M.

F IGURE 4 ­ Dépendance du rapport P/P0 avec M, en coordonnées 
semi-logarithmiques.

105

31. Extraire, de la figure (2) représentant la dépendance du rapport A/Ac avec 
M, la valeur du rapport k sc  As /Ac
dans les conditions d'adaptation à la pression Pe .
32. En s'aidant de la figure (5) représentant la dépendance du rapport T /T0 
avec M, calculer la force de poussée
Fs . Commenter la comparaison de cette force avec le poids de la fusée puis à 
la force Fth calculée question
(3).

­ Page 5/7 ­

F IGURE 5 ­ Dépendance du rapport T /T0 avec M.

110

33. Dans le cas du moteur V ULCAIN, le rapport k sc est choisi égal à 45. Au 
décollage, le régime est-il alors
adapté, sous-détendu ou sur-détendu ? Donner une raison possible de ce choix.
34. Indiquer, par exemple à l'aide d'un schéma, où s'appliquent les efforts qui 
contribuent à la poussée de la
fusée. Préciser la difficulté technique que cela soulève.
35. Parmi toutes les hypothèses adoptées a priori, indiquer, sur la base d'une 
brève argumentation, celle qui
paraît la plus discutable.

115

120

6 Propulseurs d'appoint.
Le moteur V ULCAIN n'assure qu'une proportion réduite de la poussée lors de la 
sortie de l'atmosphère. La
fusée A RIANE est flanquée de deux très puissants propulseurs latéraux (ou 
boosters). Les carburant et comburant
sont mélangés en proportion stoechiométrique et forment, avec un liant, un 
milieu solide (nommé grain) dont la
combustion produit le gaz de propulsion. Le grain, de forme générale 
cylindrique, comporte, sur toute la hauteur du
booster, un canal de forme appropriée, qui tient lieu de chambre de combustion. 
La réaction chimique est initiée
par une dispositif d'allumage (en haut du booster). Après une phase transitoire 
de propagation, la combustion
s'effectue uniformément sur la surface du canal. Le gaz produit s'échappe à la 
base du booster qui se termine par
une tuyère, tout comme le moteur V ULCAIN. La figure (6) présente trois 
géométries de canal.

F IGURE 6 ­ Différentes géométries du canal dans un booster : a) canal plan, b) 
canal cylindrique et c) canal
annulaire.

125

Nous notons H la hauteur du booster, R0 son rayon, µ la masse volumique du 
mélange réactif solide, Q = Q(t) le
débit de masse de gaz éjecté. Nous considérons que la vitesse u du front de 
combustion (interface de combustion

­ Page 6/7 ­

où s'effectue la transformation du grain en gaz) est constante. Nous négligeons 
la présence du liant (en faible
proportion) dans le composé réactif solide.
36. Sans calcul, tracer l'allure de la dépendance temporelle du débit Q pour 
les boosters (a) et (b). On veillera
à attribuer à chacun des ces tracés la courbure qui lui correspond.
130

37. Le booster (c) est percé d'un canal annulaire de rayons initiaux R0 /2 et 
R0 /2 + e0 . Exprimer le débit Q(t)
en fonction des paramètres du booster. Nous considérerons que e0  R0 .
38. Tracer l'allure de l'évolution de ce débit au cours du temps.
39. Quelle conception semble-t-elle la plus appropriée ? Une argumentation est 
attendue.

135

40. Le booster (c) présente un inconvénient pratique : la fixation du cylindre 
central aux parois du booster est
fragile et peut céder au cours du vol. Proposer une géométrie de canal, 
inspirée des configurations (a) et (b),
qui présente l'avantage de la conception (c) sans son inconvénient de fragilité.

140

41. La figure (7) représente l'évolution de la vitesse du lanceur A RIANE 5 sur 
le début de son vol. Le point
repéré par une étoile situe l'extinction des boosters. Sur la première phase (t 
 [0,t  ]), la masse du lanceur
s'est réduite de 800 à 250 tonnes. Sur cette phase, sa trajectoire est 
quasi-verticale. Quelques secondes
après leur extinction, les boosters sont largués, ce qui déleste la fusée 
d'encore 76 tonnes. Interpréter cette
évolution. Estimer la poussée au décollage. La comparer à la participation du 
moteur V ULCAIN calculée
en question (32). On indiquera le poucentage de contribution du moteur V ULCAIN 
à la poussée totale (au
décollage).

F IGURE 7 ­ Évolution de la vitesse du lanceur A RIANE 5, en fonction du temps, 
sur les 200 premières secondes
de son vol. Le point repéré par une étoile, à la cassure du tracé, correspond 
au temps t   110 s.

145

­ Page 7/7 ­

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Amélie Gay (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce problème porte sur le dispositif de propulsion du lanceur Ariane 5.
· La première partie établit quelques relations générales concernant par exemple
le nombre de Mach et l'expression de la célérité des ondes sonores dans un gaz
en évolution adiabatique réversible. On montre notamment que l'écoulement à
l'entrée de la tuyère est subsonique.
· Les deuxième, troisième et quatrième parties traitent des caractéristiques de
l'écoulement en fonction de la section de la tuyère et du nombre de Mach.
Le modèle proposé est progressivement complété. On manipule de nombreuses
relations différentielles et il convient donc d'être ordonné pour ne pas perdre 
le
fil du raisonnement.
· Dans une cinquième partie, on s'intéresse à l'adaptation en pression de la 
tuyère.
Pour avoir un fonctionnement optimal, la pression intérieure à la sortie de
la tuyère doit être égale à la pression extérieure de l'air. Ce fonctionnement
impose des conditions sur le nombre de Mach et sur la température à la sortie
de la tuyère. Cette partie reprend les résultats des parties précédentes pour
déterminer analytiquement et numériquement ces grandeurs.
· La dernière partie est la seule à être totalement indépendante des autres. On
étudie le mécanisme de combustion optimal des propulseurs de la fusée. Cette
partie repose essentiellement sur des raisonnements qualitatifs.
Ce sujet de longueur raisonnable ne présente pas de difficulté insurmontable.
Il mélange des questions calculatoires, qui ne nécessitent pas beaucoup de 
connaissances de cours, et des questions de compréhension des phénomènes 
physiques mis
en jeu. Il permet aussi de s'entraîner à faire des applications numériques en 
ordre de
grandeur puisque les calculatrices étaient interdites pendant l'épreuve.

Indications
5 Pour une transformation adiabatique et réversible d'un gaz parfait,
6 Par définition, le débit massique à travers une section uniforme est D =  v A.
8 L'écoulement est stationnaire, ce qui implique la conservation du débit 
massique.
11 Raisonner sur le signe de dv/v en fonction de la valeur du nombre de Mach.
13 Reprendre le résultat de la question 5 et la définition du nombre de Mach.
14 Différentier logarithmiquement la loi de Laplace P1- T = Cte .
17 Utiliser la relation dF/F = d(ln F) et réunir les logarithmes.
23 Déterminer la constante de la relation A f (M) = Cte en la calculant en x = 
0.
27 Reprendre le raisonnement des questions 13 et 14 en faisant disparaître dv/v 
au
profit de dT/T.
28 Injecter la loi de Laplace P1- T = Cte dans le résultat de la question 
précédente.
29 Montrer que  M0 2  1.

36 Le débit massique de gaz éjecté est proportionnel à la surface instantanée de
contact S(t) entre le grain et le canal. Le grain se consommant, il faut 
analyser
la surface de l'interface grain-canal en fonction du temps.
41 À t = 0, le principe fondamental de la dynamique s'écrit
m0

dv
dt

t=0

= -m0 g + Fp

Évaluer ensuite la dérivée grâce à la tangente à la courbe en t = 0.

Étude du dispositif de propulsion du lanceur
Ariane 5
1 On peut vérifier que :
· la formule est homogène : un débit massique est en kg.s-1 , et v en m.s-1 donc
D v est bien en kg.m.s-2 , c'est-à-dire en newtons ;
· la relation est bien cohérente : la force d'éjection des gaz est opposée au 
mouvement et est d'autant plus importante que le débit de gaz éjecté est élevé.
2 La vapeur d'eau est assimilée à un gaz parfait et on suppose que le milieu
extérieur est homogène et isotrope. Le théorème d'équipartition de l'énergie 
donne
Ec,moy =

2
1
3

m h-
v i = kB T
2
2

Avec kB = R/N a et MH2 O = m N a où N a est le nombre d'Avogadro,
2
3RT

h-
v i=
= 3rT
MH2 O

3 Prenons l'expression de la force de poussée de la question précédente avec v 
s = v th
et D = 0 A0 v th :
Fth = 0 A0 v th 2
D'après la question 2 et la loi des gaz parfaits P0 = r T 0 ,
Fth = 3 P0 A0
4 Numériquement,

Fth = 6 × 106 N

Comparons cette valeur au poids total de la fusée au décollage, qui est de 8 × 
106 N.
La force de poussée est inférieure au poids de la fusée. Elle n'est donc pas 
suffisante
pour la faire décoller.
5 L'évolution est adiabatique réversible. La vapeur d'eau est considérée comme 
un
gaz parfait. On peut donc appliquer la loi de Laplace :
P
P0
= Cte = 

0
Calculons la célérité des ondes sonores c :
c2 =

dP
d

P0
 -1
0 
P
=

=

c2 =  r T
Par conséquent,

c=

avec P =

P 0 
0 

d'après la loi des gaz parfaits

rT

6 À l'entrée de la tuyère, le débit massique s'écrit
D = 0 v0 A0
La loi des gaz parfaits donne 0 = P0 /rT0 , d'où
v0 =

7 D'après la question 6,

r T0 D
= 2 × 102 m.s-1
P0 A0
M0 =

v0
= 0,1
c0

L'écoulement est donc subsonique.

8 L'écoulement est stationnaire. Il n'y a donc pas d'accumulation de matière ;
le débit massique est alors conservé le long de la tuyère. Finalement,
 v A = Cte
9 Calculons la différentielle logarithmique de la relation précédente
d dv
dA
+
+
=0

v
A
2
La définition de c permet d'écrire d = dP/c et l'énoncé donne  v dv = -dP. On
arrive donc à
d
v dv
dv
= - 2 = -M2

c
v
Injectons cette relation dans la première équation,
dA
dv
= (M2 - 1)
A
v
10 L'écoulement doit vérifier la relation dv/v > 0. Puisque M0 < 1, d'après la
question précédente, dA/A < 0 : à l'entrée de la tuyère, la section doit 
diminuer.
La tuyère divergente n'est pas adaptée.
11 Pour une tuyère convergente-divergente, le signe de dA/A change. Dans la 
partie
convergente (respectivement divergente), dA/A < 0 (respectivement dA/A > 0). Au
niveau du col, on a dA/A = 0. D'après la question 9, deux cas sont à envisager :
· Si le nombre de Mach est toujours plus petit que 1 jusqu'au col, la vitesse
augmente jusqu'au col (dv/v > 0) puis diminue jusqu'à la sortie (dv/v < 0) ;
· En revanche, si au niveau du col le nombre de Mach est égal à 1, dans la 
partie
divergente (dA/A < 0), on a dv/v > 0. L'écoulement est donc accéléré tout le
long de la tuyère.
La vitesse est toujours croissante si M = 1 au niveau du col.
Si l'écoulement a un nombre de Mach M = 1 avant le col, la vitesse
diminue avant le col, ce qui n'a pas d'intérêt et peut même rendre l'écoulement
subsonique après le col.
La valeur particulière M = 1 au col est donnée dans l'énoncé au niveau
de la question 21.